Научная статья на тему 'Об антитонных возмущениях накрывающих отображений упорядоченных пространств'

Об антитонных возмущениях накрывающих отображений упорядоченных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
95
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УПОРЯДОЧЕННО НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ / АНТИТОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА / ORDER-COVERING MAPPINGS / ANTITONE MAPPING / OPERATOR EQUATIONS AND INEQUALITIES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жуковская Татьяна Владимировна, Жуковский Евгений Семенович

Рассматриваются вопросы существования решения x уравнения ψx, x =y, где y известно, отображение ψ(∙, ∙) действует в упорядоченных пространствах и является по первому аргументу упорядоченно накрывающим, а по второму антитонным. Используемое в статье понятие упорядоченного накрывания предложено в совместных работах А.В. Арутюнова, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского в связи с исследованием точек совпадения отображений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT ANTITONE PERTURBATIONS OF COVERING MAPPINGS OF ORDERED SPACES

We consider the problem of existence of a solution x to the equation ψx, x = y, where y is given, the mapping ψ(∙, ∙) acts in ordered spaces, is order-covering with respect to the first argument, and antitone with respect to the second one. The concept of order-covering used in the article was proposed in the joint works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy regarding the studies of the mappings’ coincidence points.

Текст научной работы на тему «Об антитонных возмущениях накрывающих отображений упорядоченных пространств»

2016. Т. 21, вып. 2. Математика

УДК 517.988.6, 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-369-372

ОБ АНТИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ

© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский

Рассматриваются вопросы существования решения х уравнения ф(х,х) = y, где y известно, отображение •) действует в упорядоченных пространствах и является по первому аргументу упорядоченно накрывающим, а по второму — антитонным. Используемое в статье понятие упорядоченного накрывания предложено в совместных работах А.В. Арутюнова, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского в связи с исследованием точек совпадения отображений.

Ключевые слова: упорядоченно накрывающие отображения; антитонное отображение; операторные уравнения и неравенства.

Введение

В работах [1]—[3] предложено понятие упорядоченно накрывающего отображения и получены теоремы о точках совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображений в упорядоченных пространствах. Если в качестве упорядоченно накрывающего отображения выбрать тождественное отображение, то результаты [1]-[3] совпадают с классическими принципами неподвижной точки (включая теоремы Кнастера-Тарского ([4], с. 25), Биркгофа-Тарского ([5], с. 266), Тарского-Канторовича ([4], с. 26)).

Здесь предлагается распространение понятия упорядоченного накрывания, доказываются утверждения об отображении, упорядоченно накрывающем по первому аргументу и антитонном по второму. Полученные результаты могут использоваться для исследования разрешимости уравнений и получения оценок их решений.

1. Упорядоченные пространства

Пусть заданы упорядоченные пространства X = (X, ■<), Y = (Y,, ■<). Для u,v € X, V С X будем обозначать

OX(u) = {х € X : х < и}, [u,v]X = {х € X : v ^ х и}, Lowx(V) = {х € X : х ^ v Vv € V}.

Определение 1 [1]. Отображение f : X ^ Y называем упорядоченно накрывающим множество W С Y, если для любого и € X выполнено включение

Oy(f (и)) П W С f (Ox(и)).

Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство Y, называем упорядоченно накрывающим.

Заметим, что f : X ^ Y тогда и только тогда является упорядоченно накрывающим множество W, когда

V и € X V y € W y < f (и) ^ Эх € X f (х) = y & х ^ и.

Для целей данной работы оказывается удобной следующая модификация свойства упорядоченного накрывания.

Определение 2. Множеством упорядоченного накрывания отображения : X ^ У называем совокупность всех пар (и, у) € X х У, удовлетворяющих условию: либо у ^ f (и); либо у ^ f (и) и тогда существует такой х € X, что выполнены соотношения f (х) = у, х ^ и. Будем обозначать это множество В(/).

Множество В(/) упорядоченного накрывания любого отображения f : X ^ У не пусто (например, ему принадлежит пара (и, (и)) для всех и € X ). Отметим также, что упорядоченное накрывание множества Ш отображением f равносильно вложению ) Э X х Ш, а свойство упорядоченного накрывания — равенству ) = X х У.

Рассмотрим простейшие примеры нахождения множеств упорядоченного накрывания для вещественных функций.

Напомним, что отображение f : X ^ У называют антитонным на Ш С X, если для любых х,и € Ш из х У и следует f (х) ^ f (и). Антитонное на всем X отображение называют антитонным.

2. Теорема о возмущениях упорядоченно накрывающих отображений

Пусть определено отображение ф : X2 ^ У, которое по первому аргументу обладает некоторыми накрывающими свойствами. Следующее утверждение гарантирует сохранение этих свойств отображением f : X ^ У, f (х) = ф(х, х) , если ф по второму аргументу является антитонным на некотором множестве.

Теорема 1. Пусть у € У, существует такой элемент и0 € X, что (и0) У у, и выполнены условия:

(a) при любом х € Ох(и0) справедливо включение (х,у) € В(ф(-,х)), где В(ф(-,х)) есть множество упорядоченного накрывания отображения ф(-,х): X ^ У;

(b) при любом х € Ох(и0) отображение ф(х, ■): X ^ У является антитонным на множестве [х,ио\х;

(c) любая цепь й С Ох(и0) такая, что

ограничена снизу, т. е. Ьс^й*) = 0, и существует нижняя граница ш € Low(S), удовлетворяющая неравенству (ш) У у.

Тогда для любого х € Ох(и0) выполнено (х,у) € ). Доказательство. Покажем, что уравнение

Это множество не пусто, ио € По. Определим на По бинарное отношение < , полагая для у,и € По выполненным V < и, если V = и, или если V -< и и ф(ь, и) ^ у. Покажем, что это отношение определяет порядок на По. Достаточно проверить транзитивность. Пусть V < и, и < х, Если V = и, или и = х, то соотношение V < х очевидно. Пусть V = и и и = х, тогда

V x € S ф(х,х) У у, Vх1,х2 € S xi — х2 ^ ф(х1,х2) ^ у,

(1)

ф(х,х) = у

(2)

разрешимо, причем существует решение х € Ох(u0). Определим множество

Uo = {х € Ох(uo) : f (х) У у}.

2016. Т. 21, вып. 2. Математика

v — u — x и имеют место неравенства ф(v,u) ^ y, ф(u,x) ^ y. Согласно условию (b) выполнено ф(v, x) ^ ф(v, u) y. Таким образом, v < x.

Согласно теореме Хаусдорфа (см., например, [6], гл. 1) в (UQ, <) существует максимальная цепь S, которая содержит точку xq. В силу предположения (с) эта цепь имеет нижнюю границу w (относительно исходного порядка ^ ), и справедливо неравенство ф(w,w) У y.

Покажем, что построенная точка w является решением уравнения (2). Очевидно, w e Ox(uq). Из условия (a) следует существование элемента v e X, для которого выполнено

ф(v, w) = y, v ^ w. (3)

Из условия (b) получаем ф(и,и) У y. Для любого элемента x e S имеем x У v, следовательно, в силу предположения (b), ф(v,x) = y. Итак, v e UQ и множество S U {v} С UQ относительно отношения > является цепью, а в силу максимальности цепи S имеем v e S. Поэтому v У w. Это неравенство и соотношения (3) означают, что w = v, y.

Для произвольного x e Ox (uq) справедливо включение (x,y) e B(^(-,x)) и возможны две ситуации.

1. Если ф(x,x) ^ y, то (x,y) e B(f ).

2. В случае ф(x, x) У y, согласно доказанному выше (если принять uQ = x ), существует такой элемент u e X, что f (u) = y и x У u. Полученные соотношения означают принадлежность пары (x, y) множеству упорядоченного накрывания отображения f. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.

2. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский C.E. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-47S.

3. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-59S.

4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.

5. Люстерник Л.А., Соболев B.И. Краткий курс функциональ ного анализа. М.: Высшая школа, 19S2.

6 . Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 19S1.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: t_ [email protected]

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: [email protected]

UDC 517.988.6, 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-369-372

ABOUT ANTITONE PERTURBATIONS OF COVERING MAPPINGS OF ORDERED SPACES

© T.V. Zhukovskaia, E. S. Zhukovskiy

We consider the problem of existence of a solution x to the equation = y, where

y is given, the mapping ■) acts in ordered spaces, is order-covering with respect to the first argument, and antitone with respect to the second one. The concept of order-covering used in the article was proposed in the joint works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy regarding the studies of the mappings' coincidence points. Key words: order-covering mappings; antitone mapping; operator equations and inequalities.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-97504) and by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 2014/285 (project № 2476).

REFERENCES

1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.

4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.

5. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Kratkij kurs funkcional' nogo analiza. M.: Vysshaya shkola, 1982.

6. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. EHlementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: Nauka, 1981.

Received 21 March 2016.

Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ [email protected]

Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.