Одна оценка неподвижных точек и точек совпадения отображений метрических пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.63, 515.124

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1255-1260

ОДНА ОЦЕНКА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И ТОЧЕК СОВПАДЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

© М. В. Борзова1) , Е. С. Жуковский 1)2 , Н. Ю. Черникова 2)

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected], [email protected] 2) Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected], [email protected]

Для однозначных и многозначных отображений, действующих в метрическом пространстве X и удовлетворяющих условию Липшица, предлагается оценка снизу расстояния от заданного элемента хо € X до неподвижной точки. Таким образом, определяется такое г > 0, что в шаре с центром в хо радиуса г нет неподвижных точек. Доказательство прямо следует из неравенства треугольника. Результат распространяется на (ц\,ц2) -метрические пространства. Аналогичная оценка получена для точек совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических пространств. Ключевые слова: неподвижная точка; точка совпадения; метрическое пространство; теорема Банаха; теорема Надлера; оценка снизу расстояния от заданного элемента до неподвижной точки

Напомним, что неподвижной точкой оператора ф, отображающего в себя некоторое множество X, называют такой х € X, что х = фх.

Пусть (X, ё) —полное метрическое пространство, ф : X — X —сжатие, т. е. отображение, удовлетворяющее условию:

Эв € [0,1) Ух, и € X ё(фх,фи) < вё(х,и).

В теореме Банаха [1] утверждается, что ф имеет единственную неподвижную точку х € X, к элементу х сходится последовательность итераций х1 = фх—\, г = 1, 2,..., при любом хо, и выполнено неравенство

ё(х,хо) < ---ё(хо,фхо).

1 - в

Таким образом, из теоремы Банаха следует, что неподвижная точка оператора ф содержится в замкнутом шаре Вх(х0,г) = {х € X : р(х,х0) < г} радиуса г = (1 — в)-1ё(х0,фх0). Имеет место аналогичный результат о существовании неподвижной точки многозначного отображения — теорема Надлера (см., например [2], теорема 2.1.1).

Здесь мы получим оценку снизу расстояния от произвольного х0 € X до неподвижной точки оператора ф, точнее, определим радиус шара с центром в х0, в котором нет неподвижных точек этого оператора. Аналогичный результат мы получим для неподвижной точки многозначного отображения. Кроме того, получим оценку снизу расстояния от х0 до точи совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических пространств. Далее, эти оценки мы распространим на отображения, действующие в (д\, 52) -метрических пространствах.

Полученные оценки могут использоваться, например, в приближенных методах решения уравнений.

1. Оценка неподвижной точки оператора

Пусть (X, ё) — метрическое (не обязательно полное) пространство, и пусть задан оператор ф : X — X, удовлетворяющий условию Липшица

Зв £ М+ Ух, и £ X ё(фх, фи) < вё(х, и)

(неравенство в < 1 здесь не требуется).

Предложение 1. Для любого элемента х0 £ X такого, что фх0 = хо, открытый шар Б°х(х0, г) = {х £ X : ё(х, х0) < г} радиуса г = (1 + в)-1ё(х0, фх0) не содержит неподвижных точек оператора ф.

Доказательство. Пусть х = фх. Согласно неравенству треугольника имеем ё(х0, х) + ё(фх, фх0) = ё(х0, х) + ё(х, фх0) > ё(х0, фх0). Из этого неравенства в силу условия Липшица следует

ё(х0,х)+ вё(х,х0) > ё(х0,ф(х0)) & ё(х,х0) > 1+в ё(х0,фх0).

Таким образом, в шаре БХ(х0,г) нет неподвижных точек оператора ф. □

Стандартно определим расстояние в метрическом пространстве X от точки х до множества и равенством ё(х, и)=т£аде^ё(х,и). Обозначим через Н(и,У) расстояние по Хаусдор-фу между непустыми множествами и, У С X. Рассмотрим теперь многозначное отображение Ф : X ^ X, удовлетворяющее условию Липшица

Зв £ М+ Ух, и £ X Н(Фх, Фи) < вё(х,и).

Неподвижной точкой отображения Ф называют такой х £ X, что х £ Фх.

Предложение 2. Если для некоторого элемента х0 £ X выполнено ё(х0, Фх0) > 0, то в открытом шаре БХ(х0,г) радиуса г = (1 + в)-1ё(х0, Фх0) нет неподвижных точек оператора Ф.

Доказательство. Пусть х £ Фх. Справедливы неравенства

ё(х0, х) + Н(Фх, Фх0) > ё(х0, х) + ё(х, Фх0) > ё(х0, Фх0). Отсюда в силу условия Липшица получаем

ё(х0, х) + вё(х, х0) > ё(х0, Фх0) & ё(х, х0) > 1+в ё(х0, Фх0).

Таким образом, в шаре БХ(х0,г) нет неподвижных точек оператора Ф. □

Получим аналогичные утверждения для (51,52) -метрического пространства ^,р). Расстояние в этом пространстве — отображение р: X2 — М+, называемое (51,52) -метрикой, удовлетворяет двум аксиомам обычной метрики:

Ух, и £ X р(х,и) = 0 & х = и, Ух, и £ X р(х,и) = р(и,х),

и ослабленному неравенству треугольника:

З51 > 1 З52 > 1 Ух,и,ш £ X р(х,т) < 51р(х,и) + 52р(и, -ш).

Пусть оператор ф : X — X удовлетворяет условию Липшица

Зв £ К+ Ух, и £ X р(фх,фи) < вр(х,и).

Предложение 3. Для любого элемента х0 £ X такого, что фх0 = х0, открытый шар БХ(х0,г) = {х £X : р(х,х0) <г} радиуса г = (51 + в52)-1 р(х0,фх0) не содержит неподвижных точек оператора ф.

Доказательство повторяет доказательство предложения 1. Следует только воспользоваться вместо «обычного» ослабленным неравенством треугольника. □

Как и в «обычном метрическом» пространстве определим расстояние в (51,52) -метрическом пространстве X отточки х до множества и равенством р(х,и ) = т£„е^ р(х,и), и определим расстояние по Хаусдорфу между непустыми множествами и, У С X соотношениями

Н(и, У) = ш1п{Н+(и, У), Н+(У, и)}, Н+(и, У) = 8ИР^ р(и, У).

Рассмотрим многозначное отображение Ф : X ^ X, удовлетворяющее условию Липшица

Зв £ М+ Ух, и £ X Н(Фх, Фи) < вр(х, и).

Предложение 4. Если р(х0, Фх0) > 0 при некотором х0 £ X, то в открытом шаре БХ(х0,г) радиуса г = (51 + в52)-1р(х0, Фх0) нет неподвижных точек оператора Ф.

Доказательство повторяет доказательство предложения 3. □

2. Оценка точек совпадения двух отображений

Пусть заданы отображения /,ф : X — У. Точкой совпадения этих отображений называют элемент х £ X, для которого выполнено равенство / (х) = ф(х). Задача о точке совпадения в случае, когда X,Y — метрические пространства, исследована А.В. Арутюновым (см. [3]), и в случае, когда X,Y — (51, 52) -метрические пространства — А.В. Арутюновым и А.В. Греш-новым (см. [4]). В этих работах предполагается, что отображение ф : X — Y липшицево, а отображение / : X — Y накрывающее. Мы приведем здесь оценку снизу расстояния от произвольного х0 £ X до точек совпадения отображений /,ф: X — Y для (51,52) -метрических пространств. Соответствующий результат для метрических пространств вытекает из этой оценки при 51 = 52 = 1.

Пусть (X, р) — (5ь52) -метрическое пространство, Y = и пусть задано отображение П: Y2 — М+. Никаких требований к «расстоянию» п в Y не предъявляется. Будем предполагать, что отображение / : X — Y является а -накрывающим, а> 0, т. е.

Ух £ X Уу' £ Y Зх' £ X /х' = у', р(х',х) < а-1п(у',/х),

а отображение ф : X — Y — в -липшицевым:

Ух, и £ X п(фх,фи) < вр(х,и).

Так как / является а -накрывающим, то можно определить многозначное отображение

/-1 : Y ^ X, /-1у = {х £ X : /х = у}.

Для каждого у £ Y значениями этого отображения являются непустые множества, отображение /-1 является липшицевым с коэффициентом в = а-1.

Для получения оценки точки совпадения запишем уравнение fx = фх в виде равносильного включения

х £ f-1фх.

Применяя к этому включению предложение 4, получим

Предложение 5. Если при некотором х0 £ X выполнено р(х0, f-1фх0) > 0, то в открытом шаре BX(x0,r) радиуса r = (aq\ + fíq2)-la р(х0, f-1фх0) нет точек совпадения отображений f, ф.

Доказательство следует из предложения 4 в силу того, что композиция f-1ф : X Z X является а-1 в -липшицевым отображением.

В заключение получим соответствующую оценку для точек совпадения многозначных отображений F, Ф : X Z Y. Элемент х £ X называют точкой совпадения этих отображений, если

F(х) П Ф(х) = 0.

Пусть, как и выше (X, р) — (q1,q2) -метрическое пространство, на Y = 0 задано «расстояние» п: Y2 ^ R+. Будем предполагать, что отображение F: X Z Y является а -накрывающим, а> 0, т. е.

Ух £ X Уу £ F(х) Уу' £ Y Эх' £ X y' £ Fx', р(х', х) < а-1п(у', y), а отображение Ф: X Z Y — в -липшицевым:

Ух,и £ X H(Фх, Фи) < вр(х,и). Здесь H — расстояние по Хаусдорфу, порожденное отображением п :

yu,v С Y H(U, V) = min{H+(U, V),H+(V, U)},

H+(U,V) = sup n(u,V), n(u,V) = inf n(u,v).

ueu

Так как F является а-накрывающим, то можно определить многозначное отображение

F-1 : Y Z X, F-1у = {х £ X : у £ Fx}.

Очевидно, F-1у = 0 при любом у £ Y. Отображение F-1 является липшицевым с коэффициентом в = а-1. Запишем условие Fx П Фх = 0 в виде равносильного соотношения

х £ F-1Ф х.

К этому включению применимо предложение 4, поскольку композиция F-1Ф: X Z X является а-1 в -липшицевым отображением. Таким образом, справедливо

Предложение 6. Если при некотором х0 £ X выполнено р(х0,F-1Ф хо) > 0, то в открытом шаре BX(х0,г) радиуса r = ^q1 + вq2)-1а р(x0,F-1Ф х0) нет точек совпадения отображений F, Ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales // Fundamenta Mathematicae. 1922. V. 3. P. 133-181.

2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Либроком, 2011. 226 с.

3. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

4. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (qi,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-01-00553, № 15-01-05134), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 3.8563.2017/7.8.

Поступила в редакцию 13 августа 2017 г.

Борзова Марина Васильевна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, инженер научно-образовательного центра «Фундаментальные математические исследования», е-mail:bmv_ [email protected]

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, ведущий научный сотрудник математического института им. С.М. Никольского, е-mail: [email protected]

Черникова Наталья Юрьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат химических наук, доцент, профессор кафедры химии и биологии, е-mail: [email protected]

UDC 517.988.63, 515.124

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1255-1260

ONE ESTIMATE OF FIXED POINTS AND COINCIDENCE POINTS OF MAPPINGS OF METRIC SPACES

© M. V. Borzova , E. S. Zhukovskiy 1)'2) , N. Yu. Chernikova 2)

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected], [email protected] 2) RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected], [email protected]

For single-valued and multi-valued mappings acting in a metric space X and satisfying the Lipschitz condition, we propose a lower estimate of the distance from a given element x0 £ X to a fixed point. Thus, we find r> 0 such that there are no fixed points in the ball with center at x0 of radius r. The proof follows directly from the triangle inequality. The result is extended to (91,92) - metric spaces. An analogous estimate is obtained for coincidence points of covering and Lipschitz mappings of metric spaces.

Keywords: fixed point; point of coincidence; metric space; Banach theorem; Nadler's theorem; lower estimate of the distance from a given element to a fixed point

REFERENCES

1. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales // Fundamenta Mathematicae. 1922. V. 3. P. 133-181.

2. Borisovich YU.G., Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obukhovskiy V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnykh otobrazheniy i differentsial'nykh vklyucheniy. M.: Librokom, 2011. 226 s.

3. Arutyunov A.V. Covering mappings in metric spaces and fixed points // Doklady Mathematics. 2007. V. 76. Iss. 2. P. 665-668.

4. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. Theory of (qi,q2) -quasimetric spaces and coincidence points // Doklady Mathematics. 2016. V. 94. Iss. 1. P. 434-437.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 17-01-00553, № 15-01-05134), by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 3.8563.2017/7.8.

Received 13 August 2017

Borzova Marina Vasilevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Engineer of the scientific and educational center «Fundamental mathematical research», е-mail: bmv_ [email protected]

Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics; RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Leading Researcher of the Mathematical Institute named after S.M. Nikolsky, е-mail: [email protected]

Chernikova Natal'ya Yur'evna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Chemical Sciences, Associate Professor, Professor of Chemistry and Biology Department, е-mail: [email protected]

Для цитирования: Борзова М.В., Жуковский Е.С., Черникова Н.Ю. Одна оценка неподвижных точек и точек совпадения отображений метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1255-1260. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1255-1260.

For citation: Borzova M.V., Zhukovskiy E.S., Chernikova N.Yu. Odna otsenka nepodvizhnykh tochek i tochek sovpadeniya otobrazheniy metricheskikh prostranstv [One estimate of fixed points and coincidence points of mappings of metric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1255-1260. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1255-1260 (In Russian, Abstr. in Engl.).