Каскадный поиск: устойчивость достижимых предельных точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.9

КАСКАДНЫЙ ПОИСК: УСТОЙЧИВОСТЬ ДОСТИЖИМЫХ

ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК

Т. Н. Фоменко 1

Данная статья является продолжением серии работ автора, посвященных методу каскадного поиска. Исследуется вопрос об устойчивости подмножества достижимых из x предельных точек заданного поискового мультикаскада при малом изменении начальной точки x, а также при малом возмущении порождающего мультикаскад поискового функционала у. Результаты применяются к задаче каскадного поиска общих прообразов замкнутого подпространства при действии n многозначных отображений (n ^ 1).

Ключевые слова: устойчивость каскадного поиска, многозначное отображение, прообраз подпространства, совпадение n отображений.

This is a continuation of the series of the author's previous works devoted to the cascade search method. The stability of the subset of reachable from x limit points of a given search multicascade is considered with respect to a small variation of the initial point x and to a small perturbation of the search functional generating the multicascade. The results are applied to the cascade search problem for common preimages of a closed subspace under n(n ^ 1) multivalued mappings.

Key words: cascade search stability, multivalued mappings, subspace preimage, coincidence of n mappings.

1. Введение. В недавних работах автора [1-4] (а также частично в [5, 6]) предложены так называемый принцип каскадного поиска нуль-подпространства функционала и основанные на нем методы каскадного поиска общего прообраза замкнутого подпространства при действии набора многозначных отображений метрических пространств, в частности множества их совпадений, а также множества их общих корней. Данная статья является продолжением работы [4], где рассматривается устойчивость подмножества y(x) предельных точек поискового мультикаскада, удовлетворяющих оценочному неравенству относительно расстояния от начальной точки x. В отличие от [4] здесь рассматривается устойчивость подмножества 7(x) достижимых из начальной точки x предельных точек поискового мультикаскада (см. определение 1). Исследуется устойчивость этого множества как по отношению к изменению начальной точки, так и по отношению к возмущению соответствующего поискового функционала или порождающих его (многозначных) отображений.

Приведем необходимые обозначения и термины. Всюду ниже (X, р), (Y, d) — метрические пространства; H — замкнутое подпространство в Y; F : X ^ C(Y) — многозначное отображение, где C(Y) — совокупность непустых замкнутых подмножеств в Y. (По поводу терминологии и свойств многозначных отображений см. также, например, [7].) Метрику D в пространстве Yn определим так: D(y, z) :=

n

^d(yi,Zi), где y = (yi,...,yn),z = (zi,...,zn) £ Yn. Обозначим через An диагональ в Yn, n ^ 2;

i= 1

An(H) := {h = (h, ...,h) £ An | h £ H} — часть диагонали "над подпространством H".

Неотрицательный функционал у : X ^ P(R), где P(R) — совокупность непустых подмножеств в R, называется (а,в)-поисковым на X при 0 < в < а, если для однозначного функционала у*, где

у*(ж) := inf {7}, ж G X, верно, что для любого х G X существует такая точка х' G X, что р(х, xr) ^ v y е<р(х)

и У) ^ | •

Нуль-подпространство функционала у определяется как подмножество Nil(y) = {x £ X | 0 £ y(x)}, а расширенное нуль-подпространство — как Nil+(y) = {x £ X | у* (x) = 0}.

Множество СгарИ(у) := {(x,y) | Y £ у^)^ £ X} называется графиком функционала у. График СгарИ(у) называется 0-полным (слабо 0-полным), если любая фундаментальная последовательность его

Фоменко Татьяна Николаевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей математики ф-та вычислительной математики и кибернетики МГУ, e-mail: [email protected].

элементов {(жп,7п}п=1 2 ..., где 7п £ ф(жп), 7п —► 0, сходится к некоторому элементу (£, 0), £ £ №1(ф)

(£ € №1+(ф)). График СгарИ(ф) функционала ф называется 0-замкнутым (слабо 0-замкнутым), если для каждого его предельного элемента вида (£, 0) верно, что £ € №1(ф) (£ € №1+(ф)). График СгарИ(Р) отображения Р : X ^ С (У) будем называть Н-полным, если всякая фундаментальная последовательность {(жш, уш)}ш=о 1 ... ^ СгарИ(Р), где ^(уш,Н) —► 0, имеет предел (£,п) € СгарИ(Р), т.е. п € Р(£)ПН.

График СгарИ(Р) будем называть Н-замкнутым, если все его предельные точки вида (ж,у), где у € Н, содержатся в СгарИ(Р). При Н = У Н-полный (Н-замкнутый) график называется полным (замкнутым).

Отображение Р : X ^ С (У) называется секвенциально полунепрерывным сверху, если из того, что жк —► £ и ук € Р(жк), к = 0,1,... , следует, что ^(ук, Р(£)) —► 0.

Множество Р-1(Н) = {ж € X | Р(ж) П Н = 0} будем называть полным прообразом подпространства Н при отображении Р, а множество Р-1(Н) = {ж € X | ^(Р(ж),Н) =0} — расширенным прообразом Н при Р.

Пусть задан набор Р1 , ...,Рп : X ^ С (У) многозначных отображений, п ^ 1, и Н С У — замкнутое подпространство. Обозначим Р = Р1 х ... х Рп : X ^ С(Уп). Множество Р(Р11,..., Рп; Н) := Р-1(Дп(Н)) будем называть (полным) общим прообразом подпространства Н при наборе отображений Р1,..., Рп, а множество Р+(Р1,..., Рп; Н) := Р-1(ДП(Н)) — расширенным общим прообразом подпространства Н при наборе отображений Р1,...,Рп.

Отметим, что если п = 1, то Р = Р1, Р (Р; Н) = Р-1(Н). Если Н = У, то Р (Р1,...,Рп; У) = Р-1(Дп) = Сот(Р1,...,Рга) — множество совпадений набора Р1,...,Рп, а при Н = {с},с € У, с :=

1 п

(с, ...,с) € Уп, имеем Р (Р1 ,...,Рп; {с}) = Р (с) = {ж € X | с € П Рз (ж)} — множество общих кор-

з=1

ней набора Р1,..., Рп, соответствующих значению с. Аналогично для расширенных прообразов. Удобное понятие общего прообраза подпространства для набора однозначных отображений рассматривалось (по другому поводу), например, в [8].

Мультикаскадом на пространстве X называется дискретная динамическая система с фазовым пространством X и полугруппой сдвигов (^о, +), порождаемой итерациями ее генератора, т.е. некоторого (вообще говоря, многозначного) отображения С : X ^ Р(X), где Р(X) — совокупность непустых подмножеств пространства X.

В [2] автором предложен следующий принцип каскадного поиска.

Теорема 1 (см. [2, теорема 2.4 и замечание 2.25]). Пусть (X, р) — метрическое пространство и функционал ф : X ^ Р(Л) является (а, в)-поисковым на X для некоторых а, в, 0 < в < а. Пусть также выполнено одно из следующих условий:

(I) СгарИ(ф) 0-полон или X полно и СгарИ(ф) 0-замкнут;

(II) СгарИ(ф) слабо 0-полон или X полно и СгарИ(ф) слабо 0-замкнут.

Тогда на X определен мулътикаскад с генератором С,р, где ж) := {ж' € Х|р(ж,ж') ^ ж') ^

^ •<£>(ж)}7 и с предельным множеством А^ ф 07 где А^ = №1(ф) в случае (I) и А^ = №1+(ф)) в случае (II), причем расстояние между всякой начальной точкой жо € X и любой из достижимых из нее предельных точек £ € Амножество которых непусто для любого элемента жо, удовлетворяет неравенству

/ (ж0) (л\

а — в

Определение 1. Для всякого поискового функционала ф на X мультикаскад, определенный в теореме 1, будем называть поисковым мультикаскадом, порожденным функционалом ф, и обозначать так: К< = К (X, А<).

Кроме того, в условиях теоремы 1 определены следующие многозначные отображения: 1) 7< : X ^ С(А<), где 7<Дж) — подмножество всех предельных точек, удовлетворяющих оценочному неравенству (1); 2) : X ^ С(А<), где 7<(ж) — множество предельных точек, достижимых из точки ж по траекториям заданного мультикаскада.

Траекторией мультикаскада К<, выходящей из точки жо, будем называть всякую последовательность

{Хк}к=0,1,2,..., где хк+1 е С(хк), т.е. р(хк,хк+1) ^ ^ ^(хк).

2. Основные результаты. В предыдущей работе [4] для поискового мультикаскада К< = К(X, А<), порожденного (а, в)-поисковым функционалом ф, 0 < в < а, рассматривались вопросы непрерывности отображения 7<. Вообще говоря, множество 7<(ж) не обязано совпадать с подмножеством 7<(ж). Имеется лишь очевидное включение: 7<(ж) С 7<(ж),ж € X. Поэтому целесообразно рассмотреть вопрос о том,

при каких условиях близость начальных точек заданного мультикаскада влечет близость (в разумном смысле) соответствующих подмножеств 7^ (х) достижимых из них предельных точек. В этом пункте мы приводим несколько соображений по данному вопросу.

Вначале оценим расстояние между предельными точками, соответствующими двум начальным точкам заданного мультикаскада.

Лемма 1. Пусть задан поисковый мультикаскад К^ = К(X, Л^), соответствующий (а, ^-поисковому функционалу у. Пусть хо,х1 € X и х°° € 7(х0,2 = 0,1, — какие-нибудь достижимые из них предельные точки. Тогда имеет место следующая двухсторонняя оценка:

р(хо ,Х1) -

(р*( ж0) + У*(Ж1) а — в

^ р(х£°,х^°) ^ р(хо,Х1) +

(р*( Жр) + У*(Ж1)

а — в

(2)

, г , / 0,и < 0; где [и]о := | ^ и > о — неотрицательная срезка величины и.

Доказательство. Обозначим через Т = |хт}т=1,2,...,' = 0,1, какие-нибудь траектории мультикаскада, начинающиеся в хо,х1 и приводящие к заданным предельным точкам х^, х|°. Легко видеть, что р(х1, хЦ) удовлетворяет неравенству

р(хо ,х1) —

у*(хо) + у*(х0

а

^ р(х1,х^) ^ р(хо,х1) +

у*(хо) + у*(х0

а

Аналогично для р(х2, х^) имеем

р(жр, Х\) - (]. +

а

в\ у*(хо) + у*(х0

аа И так далее. Для р(хт, хт) получаем оценку

^ р(х1,х\) ^ р(жр, Х\) + (1 +

а

в \ у* (хо) + у* (х1)

а

р(Ж0,Ж1)- ( ^ (-)"

4 =о

т— 1

в\Л у*(хо) + у*(х1)

а

< р(хт,хт") <

^ р(хо,х1) +

у-у <^*(жр) + У*(Ж1)

=о а

а

Переходя к пределу при т ^ то, получаем требуемую оценку (2). Лемма доказана. □

Обозначим верхнюю оценку в (2) через р<Джр,ж0 := р(жр,ж0 + ^*(хо)+¥*(х1) ^ отметиМ) что функция р^ неотрицательна, обладает симметричностью, удовлетворяет неравенству треугольника и превращается в метрику р на N11+(у). Введем следующие понятия.

Определение 2. Пусть на X задан поисковый мультикаскад К^ = К(X, Л^), порожденный (а, в)-поисковым функционалом у. Пусть Л > 0 и хо € X. Назовем точку х1 € X Х-связанной с точкой хо (относительно мультикаскада К^), если для любой траектории Т1 = |хт}т=о,1,... мультикаскада К^ с начальной точкой х^ = х1 найдутся такая траектория То = |хт}т=о,1,..., выходящая из точки хо = хо, и такой номер то = то (ТО, что для любого т,т ^ то, выполнено неравенство р^(хт, хт) ^ Л ■ р(хо, х1).

Определение 3. Будем называть точку хо € X правильной (относительно мультикаскада К^), если для некоторого Л > 0 любая точка х € X Л-связана с хо. Назовем мультикаскад К^ правильным, если любая точка х € X является правильной (по отношению к К^).

Определение 4. Будем говорить, что последовательность траекторий Т = |хт}т=1,2,..., я = 1, 2,..., мультикаскада К^ слабо р^-сходится к траектории То = |хт}т=1,2,..., если существуют такие возраста-

ющие последовательности номеров }к= 1,2,..., |т&}к= 1,2,..., что р^(х,

тк „т

х

)<

Определение 5. Будем говорить, что последовательность траекторий Т = |хт}т=1,2,..., я = 0,1,..., р^-фундаментальна, если существует такая возрастающая последовательность номеров |М&}к= 1,2,..., что для любого ] > Мк и любого д € N найдется номер т = т(,?, д), для которого выполнено неравенство

п (грП1 \ ^ I

Лемма 2. Если точка хо € X является правильной относительно заданного на X поискового мультикаскада К,р, то отображение 7^ секвенциально полунепрерывно сверху в точке хо. Если мультикаскад К^ правильный, то отображение 7^ секвенциально полунепрерывно сверху на всем X.

о

о

о

о

Доказательство. Пусть жт —► жо и (ж°° }т=12... — любая последовательность предельных точек,

где ж°° € 7<(жт),т = 1, 2,.... Так как по условию точка жт А-связана с точкой жо, то, согласно определению 2, для любой траектории Тт, выходящей из жт и приводящей в точку ж°°, существует такая траектория Тот = (ж§т}к=о ,1 ,...,ж0 = жо, выходящая из жо и приводящая в некоторую предельную точку ж° € 7<(жо), что для достаточно больших номеров ] верно неравенство р<(жот, ж0) ^ А ■ р(жо,жт). Поэтому в силу леммы 1 имеем

р(ж°°,7<(жо)) ^ р(ж0°,ж000т) ^ Р<(жт,ж(от) ^ Ар(жо, жт) ► 0.

Второе утверждение леммы следует автоматически.

Лемма 3. Если последовательность траекторий Т = (ж0}т=1 ,2,..., 2 = 1,..., слабо р<-сходится к траектории То = (ж0}т=1 ,2 ,..., то существует подпоследовательность последовательности (ж°°}г=1 ,2 ,... их предельных точек, которая сходится к предельной точке ж°° траектории То по метрике р.

Лемма 4. Если последовательность траекторий Т = (ж0}т= 1,2,..., 2 = 0,1,... , является р<-фундаментальной, то последовательность их предельных точек (ж°°}г=1)2,... фундаментальна по метрике р.

Утверждения лемм 3, 4 вытекают из определений 4, 5 и леммы 1.

Приведем теперь следующее полезное свойство отображения 7<.

Теорема 2. Пусть задан поисковый мультикаскад К<. Пусть последовательность начальных точек (ж^}г=1,2,... ^ X сходится к точке жо € X, а некоторая последовательность предельных точек (ж°°}г=1,2,..., ж°° € 7(жг), сходится к точке ж°° € А<. Пусть существует последовательность траекторий Т = (жт}т=1,2,..., 2 = 1, 2,..., данного мультикаскада, выходящих из ж^ и приводящих в ж°°, которая слабо р<-сходится к какой-нибудь траектории То, начинающейся из жо. Тогда ж°° € 7(жо).

Доказательство. Так как траектории Т слабо р<-сходятся к траектории То, то в силу леммы 3 существует некоторая подпоследовательность (ж°° }&=1,2,... последовательности их предельных точек, сходящаяся к предельной точке ж°° траектории То. Но тогда имеем ж°° = ж°° € 7(жо), так как вся последовательность (ж°°}г=1,2,... сходится к точке ж°°. Теорема доказана. □

Рассмотрим теперь некоторые свойства поисковых функционалов.

Является ли предел поисковых функционалов также поисковым функционалом? Как связаны отображения 7 для близких поисковых функционалов? Следующая теорема дает ответ на эти вопросы.

Теорема 3. Пусть в метрическом пространстве X всякий замкнутый шар компактен, и пусть заданы многозначный функционал фо, последовательность (ап,вп)-поисковых (многозначных) функционалов (фп }п=1,2,... и числа а, в таковы, что 0 < вп ^ в < а ^ ап. Пусть также последовательность однозначных функционалов (фп* }п=1,2,... равномерно сходится на X к однозначному непрерывному функционалу фо*, где ф^* (ж) = {¿},ж € X, к = 0,1,..., и для всех п ^ 1 и любого ж € X выполнено

бе<рк (х)

неравенство фп*(ж) ^ фо*(ж). Тогда верны следующие утверждения:

1) функционал фо является (а, в)-поисковым на X;

2) если графики всех функционалов фп,п ^ 1, 0-полны и фо*(ж) € фо (ж), ж € X, то и график функционала фо 0-полон;

3) если графики всех функционалов фп слабо 0-замкнуты, то и график функционала фо слабо 0-замкнут;

4) если выполнены условия утверждения 2 или X полно и выполнены условия утверждения 3, то на X определены соответствующие функционалам фп мультикаскады К<п с предельными множествами А<п ,п = 0,1, 2,... . Тогда для любого жо € X из любой последовательности предельных точек (ж° }п=о,1,2,..., ж° € 7<п (жо) ^ А<п, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой предельной точке ж°° € 7<0 (жо) ^ А<0.

Доказательство. Докажем утверждение 1. Пусть жо € X — произвольная точка. По определению (ап, вп)-поискового функционала для любого п ^ 1 существует точка жп € X, такая, что

/ /л ^ фп*(жо) ^ фо* (жо) / М / вп / л ^ в /л /ол

р{Х0,Хп) ^ - ^ -, <рп*(Хп) ^--<Рп*(%0) ^ - ' фо*(жо)• (3)

ап а ап а

Таким образом, для каждого жо € X имеем последовательность точек (жп}п=1,2,... в замкнутом шаре Вг(хо) радиуса г = г(Жо) = ^0, удовлетворяющую неравенствам (3). В силу компактности этого шара последовательность (жп}п=1,2,... имеет предельные точки. Пусть ж' € Вг(жо) — такая предельная точка,

и пусть к ней сходится подпоследовательность (ж^.}j=i,2,...- Покажем, что тогда выполнено неравенство

Уо*(ж') ^ ^-уо*(жо)- В самом деле, предположим противное, т.е. что уо*(ж') ^-уо*(жо)+£ для некоторого £ > 0. Тогда ввиду непрерывности функционала уо* можно указать номер Ni, такой, что при всех j > Ni будет выполнено неравенство у0*(ж' ) ^ f • уо*(жо) + §• Зафиксируем такой номер rij. Далее, в силу равномерной сходимости функционалов уп* к функционалу уо* существует номер N2, такой, что для

любого к > N2 справедливо неравенство У/с*(ж' ) ^ ~ ' ¥>о*(жо) + f для всех х' одновременно. Таким

3 а 4 3

образом, это последнее неравенство выполняется для всех j > N1 и для всех k > N2. Взяв k = nj ^ j > max{Ni,N2}, получаем неравенство у&*(ж^) ^ + f — противоречие с неравенством у./*(ж^) ^

f • у0*(ж0) из (3)-

Итак, для любого жо £ X существует точка x' G Br(жо), для которой выполнено условие уо* (ж') ^ ^ • уо*(жо), т.е. функционал уо является (ск,/3)-поисковым.

Докажем утверждение 2. Оно следует из неравенства уп*(ж) ^ уо*(ж), ж G X, и 0-полноты графиков функционалов yn,n ^ 1. В самом деле, пусть последовательность ((жт, )}m=i,2,... элементов графика уо фундаментальна и ¿m —► 0. Тогда и уо*(жт) —> 0, а значит, и уп* (жт) —> 0, n ^ 1. Для любой после-

m—те m—m—

довательности £m —► 0, £m > 0, существуют последовательности ((xm, nmn)}m=i 2 ... элементов графиков Graph(y„), такие, что 0 ^

^mra < уra*(xm) + £m,n ^ 1. Тогда все последовательности (^mra}m=i,2,... сходятся к нулю (n ^ 1). Из 0-полноты графиков Graph(yn) получаем, что последовательность }m=i,2,... сходится к некоторому пределу £ G X и 0 G yn(£),n ^ 1. Тогда, очевидно, уп*(£) = 0,n ^ 1, а значит, и уо*(£) =0 G уо(£), т.е. Graph(у0) 0-полон.

Докажем утверждение 3. Пусть все графики Graph(yn),n ^ 1, слабо 0-замкнуты. Возьмем произвольную последовательность ((ж™,)} ^ Graph(уо),

сходящуюся к (£, 0). Тогда уп* (жт) —► 0, n ^ 1, а сле-

m—те

довательно, существуют последовательности {^m, Ymn)}m=i,2,..., сходящиеся к (£, 0),n ^ 1, Ymn G yn^m). Из слабой 0-замкнутости графиков Graph(yn) следует, что 0 = уп*(£), поэтому уо* (£) = lim уп*(£) = 0,

m—те

т.е. график Graph(уо) слабо 0-замкнут.

Докажем утверждение 4. При условии 0-полноты всех графиков Graph(yn),n = 0,1,... (или при условии полноты X и слабой 0-замкнутости всех графиков), в силу принципа каскадного поиска (теорема 1) на X определены соответствующие мультикаскады Kn = Kn(X, ), где = Nil(yn) (или соответственно = Nil+(yn), n = 0,1, 2,...). Согласно лемме 3, достаточно показать, что всякая последовательность траекторий (Tn}n=i,2,..., где Tn = (жо, ж^, ... , ж^,,... } — траектория мультикаскада Kn, начинающаяся из точки жо, слабо р^-сходится к некоторой траектории То мультикаскада Ко, также начинающейся из точки жо. Действительно, рассмотрим элементы с одним и тем же номером m у всех заданных траекторий (Tra}ra=i;2,.... Они составляют последовательность (ж^,}n=i,2,.... По построению траекторий имеет место следующая цепочка неравенств:

р(жо,жтга) < £ < ^М . < . £ = Вп.

. „ . „ а . „ а

j =о

Таким образом, вся последовательность (ж^,}n=i,2,... содержится в замкнутом шаре (жо), который по условию теоремы компактен. Следовательно, существует предельная точка ж^ этой последовательности. Выберем такие предельные точки по одной для каждого m, m = 1, 2,..., следующим образом. Для m = 1 предельная точка жю выбирается произвольно. Пусть к ней сходится подпоследовательность (ж^ }fc1=i,2,.... На следующем шаге выбирается любая предельная точка ж2о подпоследовательности (ж2Пк }. Пусть к этой предельной точке ж2о сходится подпоследовательность (ж2Пк } Q (ж2пк }. И так далее. То есть каждая следующая последовательность номеров (nfcm+1 }fcm+1=i,2,... является подпоследовательностью предыдущей последовательности номеров (nkm }fcm=i,2,.... Покажем, что совокупность выбранных таким образом предельных точек (жщо}m=i,2,... образует траекторию (одну из возможных) мультикаскада Ко, начинающуюся из жо. Требуется проверить, что

р(жт0,ж(т+1)о) ^ уо(Ж(т+1)о) ^ ^ • Уо(жто)- (4)

В самом деле, точки жщо, ж^+^о являются, в частности, пределами последовательностей

{xmnk +1 }fcm+i=1,2,... и {x(m+ i )nk +1 }fcm+i=1 ,2,... соответственно. По построению имеем неравенства

fnk I 1 (xmn-k , j (xmrak . j

> %(m+l)nkm+1) ^ a а ' 1 j

т+1

впк в Кт+1 ) ^ ^^ • ) < - • Ыпкт+1) . (6)

пкт+1

Переходя к пределу в (5) и (6), получаем неравенства (4). Итак, То = (жо, ж 1 о,..., жто,... } — траектория мультикаскада Ко. Покажем теперь, что последовательность траекторий {Тп}, где Тп = (жо,ж 1п,..., жтп,... }, слабо р<-сходится к ней. В самом деле, для любого у € N существует номер , такой, что для

всех т,т ^ тя, справедливо неравенство )т ■ < Зафиксируем какой-нибудь номер т' ^ тя.

Так как последовательность (жт'пк }п=1,2,... сходится к точке жт'о, то для того же у найдется номер

т'

Щ € {пкт,}, такой, что для всех п' € {пкггг,},п' ^ щ, верно неравенство р(хт>о,хт>п>) ^ щ. Соединяя эти неравенства, получаем, что для любого у существует такая пара номеров (шд, пд), что

( \<(ЁЛтч +<Рщ*(%о) , ( ч 1

Рср{%тпг40,%тпг4пг4) 1 ) ' а + Р(Хтч0, %тчпч) < •

V а / а — р у

Поэтому 1

р(ж0 ,%П(1) ^ р(р0(хтчо, хтдП(1) < —.

Последнее означает, что подпоследовательность (ж°° }д=1,2,... сходится к ж°°. Теорема 3 доказана. □

Применим теперь теорему 3 к задаче поиска общего прообраза замкнутого подпространства при действии набора многозначных отображений.

Теорема 4. Пусть в пространстве X всякий замкнутый шар компактен и задан набор многозначных, секвенциально полунепрерывных сверху отображений То,..., Т : X ^ С (У), То = х ... х Н — замкнутое подпространство в У. Обозначим

Д,(ж) := (7 I 7 = Ду, Дп(Н)), у € То(ж)}, ж € X.

Пусть также задана последовательность наборов многозначных, секвенциально полунепрерывных сверху отображений ..., Т™ : X ^ С (У); Т5 = Т. х ... х Т. : Xn ^ С (Уп),^ = 1, 2,.... Пусть функционалы Дт(ж) := (7 | 7 = ^(у, Дп(Н)),у € Тт(ж)} при т ^ 1 являются (ат, вт)-поисковыми и 0 < вт ^ в < а ^ ат. Предположим еще, что последовательность функционалов (^т* }т= 1 ,2,..., где ^т*(ж) = (ж), Дп(Н)), равномерно сходится к непрерывному на X функционалу ^о*,^о*(ж) =

^(Т°(ж), Дп(Н)) и для всех т ^ 1 и любого ж € X верно неравенство ^т*(ж) ^ ^о*(ж). Тогда справедливы утверждения:

1) функционал ^о является (а, в)-поисковым на X;

2) если (а) Н компактно и для каждого т, т ^ 1, хотя бы один из графиков Graph(F,m) Н-полон (] = 1,...,п) или (Ь) пространство X полно, то на X определены соответствующие поисковые мультикаскады с предельными множествами А&, где А& = (Тк)- 1 (Дп(Н)) в случае (а) и А^ = (Тк)—1 (Дп(Н)) в случае (Ь), к = 0,1, 2,.... При этом для любого жо € X из любой последова-

° } , ж°

т }т= 1,2,..., жт

сходящуюся к некоторой предельной точке ж°° € 7(жо) С Ао.

Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку для каждого т все отображения Т00,= 1,...,п, секвенциально полунепрерывны сверху, то отображение Тт также секвенциально полунепрерывно сверху. Кроме того, в случае 2 (а) для т ^ 1 графики Graph(Fm) Дп(Н)-полны. В самом деле, если, например, Graph(Fm) Н-полон и ((ж., у°0)}/=1,2,... С Graph(Fm) — фундаментальная после-

тельности предельных точек {x^}m=i,2,..., x^ G 7m(xoj ^ Am, можно выбрать подпоследовательность

jjJ =

довательность, где ym = (Ут>'''>Утг) и D(ym, An(H jj —> 0, то из H-полноты Graph(F\ j следует, что j j j j j—

(xj,y'mj —^ (C,nj,n G H. А так как D(ym, An(Hjj —► 0, то последовательности {ym}j=1 ,2,... сближаются jj—j j —jq''

(q = 1,..., nj. Поэтому существует предел lim (xj, ymj = (£, nj, где 7 = (n, G An(Hj, т.е. Graph(Fmj

An(Hj-полон (см. также аналогичное рассуждение в доказательстве теоремы 2.15 [2]).

Утверждение 1 вытекает непосредственно из теоремы 3. Далее, в доказательстве теоремы 2.11 [2] показано, что, во-первых, при условии компактности H из An(H)-полноты графика секвенциально полунепрерывного отображения Fm следует 0-полнота графика соответствующего метрического функционала Dm; во-вторых, при условии полноты пространства X для секвенциально полунепрерывного отображения Fm график функционала Dm является слабо 0-замкнутым. Для замкнутости изложения приведем ниже эти рассуждения.

В самом деле, пусть подпространство H компактно и Graph(Fm) является Ап(Н)-полным. Покажем, что в этом случае график функционала Dm является 0-полным. Возьмем произвольную фундаментальную последовательность {(xq,Yq)}q=o,i,... С Graph(Dm), где Yq = D(yg, A„(H)), G Fm(Xq) и Yq сходится к нулю. Так как подпространство An(H) компактно, то существует сходящаяся подпоследовательность yq, —> П- Тогда подпоследовательность {(xq, ,yq, )}k=i 2... фундаментальна. Ввиду того что

q—'

график Graph(Fm) является An(H)-полным, последняя подпоследовательность сходится к некоторой паре (£,Щ) G Graph(Fm), где n = (n,---,n) G Fm(С) и D(n, An(H)) = 0. Следовательно, n G Fmj(С) П H, j = l,---,n. Более того, так как первоначальная последовательность {xq}q=o ,i ,... фундаментальна, то она тоже сходится к Таким образом, первоначальная последовательность пар {(xq,Yq)}q=o ,1 ,... сходится к паре (£, 0) G Graph(Dm). Это означает, что график Graph(Dm) является 0-полным.

Предположим теперь, что пространство X полно, и покажем, что тогда график Graph(Dm) является слабо 0-замкнутым. Действительно, возьмем произвольную последовательность {(xq,Yq)}q=o,i,... С Graph(Dm), т.е. Yq = D(yq, An(H)),yq G Fm(xq)- Пусть она сходится к (£, 0) G X х R. Последовательность {xq}q=o,i,... сходится к Тогда, поскольку отображение Fm секвенциально полунепрерывно сверху, последовательность {yq}q=o i сходится к множеству Fm(£), т.е. D(yq,Fm(£)) —> 0. Одновременно

' '"' q—те

Yq = D(yq, An(H)) сходится к нулю. Отсюда следует, что Dm (С) = D(Fm (0, An (H)) = 0, т.е. Graph(Dm) является слабо 0-замкнутым.

Таким образом, в обоих указанных выше случаях (а) и (b) в утверждении 2 теоремы 4 в силу принципа каскадного поиска (теорема 1) на X существуют мультикаскады с предельными множествами Ад, k =

0. l, 2,- -- , где Ak = (Fk)-i(An(H)), k = 0, l, 2,---, в случае (а) и Ak = (Fk)-i(An(H)), k = 0, l, 2,--- , в случае (b). Таким образом, в обоих случаях (а) и (b) утверждение 2 теоремы 4 следует из теоремы 3. □

Как уже отмечалось во введении, множество А = P (Fi,---,Fn; H) при n = l совпадает с полным прообразом F-i(H) , а при n > l и H = Y оно равно множеству совпадений Coin(Fi,---,Fn). При n > l,H = {c},c G Y, оно совпадает с множеством общих корней данного набора отображений, соответствующих значению с. Подмножество вида А+ = P+(Fi, ---, Fn; H) в аналогичных ситуациях совпадает с соответствующими расширенными прообразами. Поэтому теорема 4 дает аналогичные следствия (которые мы здесь не приводим) для каскадного поиска указанных подмножеств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадений и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств // Матем. заметки. 2009. 86, вып. 1. 110-125.

2. Fomenko T.N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problem of n one-valued or multivalued mappings // Topol. Appl. 2010. 157. 760-773.

3. Фоменко Т.Н. К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений // Матем. заметки. 2009. 86, вып. 2. 304-309.

4. Фоменко Т.Н. Устойчивость каскадного поиска // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. 74, №5. 171-190.

5. Fomenko T.N. On the approaching to coincidence points of a finite set of mappings between metric spaces // Abstracts of the Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations (DFDE-2008). Moscow, Russia, August 17-24. М., 2008. 119.

6. Фоменко Т.Н. Принцип каскадного поиска и совпадения N отображений // Мат-лы Междунар. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию В.А. Садовничего, 30 марта -2 апреля 2009 г. М.: Изд-во МГУ, 2009. 99.

7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Комкнига, 2005.

8. Фролкина О.Д. Относительная задача прообраза // Матем. заметки. 2006. 80, вып. 2. 282-295.

Поступила в редакцию 25.05.2009