О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ В ОБОБЩЕННЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 25, № 129 2020

© Жуковская Т.В., Мерчела В., Шиндяпин А.И., 2020 Б01 10.20310/2686-9667-2020-25-129-18-24 УДК 517.988.6, 515.124.2

О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах

Татьяна Владимировна ЖУКОВСКАЯ1 , Вассим МЕРЧЕЛА2 , Андрей Игоревич ШИНДЯПИН3

1) ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 2) ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 3) Университет имени Эдуардо Мондлане 3453, Мозамбик, г. Мапуто, ул. Джулиуса Нейрере

On coincidence points of mappings in generalized metric spaces

Tatiana V. ZHUKOVSKAIA1 , Wassim MERCHELA2 , Andrey I. SHINDIAPIN3

1 Tambov State Technical University

106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation

2 Derzhavin Tambov State University

33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation 3 Eduardo Mondlane University Julius Nyerere Av., Maputo 3453, Mozambique

Аннотация. Пусть на пространстве X определена то -метрика р (возможно, принимающая значение то), на пространстве У определено удовлетворяющее аксиоме тождества то -расстояние ¿. Для отображений ¥, О : X ^ У рассматривается задача о точке совпадения, т.е. задача о решении уравнения ¥(х) = О(х). Получены условия существования точки совпадения, использующие множество накрывания отображения ¥ и множество липшицевости отображения О в пространстве X х У. Множество а -накрывания ( а > 0 ) отображения ¥ — это множество таких (х,у), что

Зи € X ¥ (и) = у, р(х,и) < а-1 ¿(¥ (х),у), р(х,и) < то,

а множество в-липшицевости ( в > 0 ) отображения О — множество таких (х, у), что

Уи € X О (и) = у ^ ¿(у, О(х)) < вр(и, х).

Обсуждается связь полученных результатов с известными теоремами о точках совпадения.

Ключевые слова: точка совпадения двух отображений; метрика; расстояние; накрывающее отображение

Благодарности: Работа выполнена при поддержке иЕМ^ГОА 2017-2022 (Подпрограмма № 1.4.2: Наращивание потенциала в математике, статистике и ее приложениях).

Для цитирования: Жуковская Т.В., Мерчела В., Шиндяпин А.И. О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах // Вестник российских университетов. Математика. 2020. Т. 25. № 129. С. 18-24. DOI 10.20310/2686-9667-202025-129-18-24.

Abstract. Let X be a space with то -metric p (a metric with possibly infinite value) and Y a space with то -distance d satisfying the identity axiom. We consider the problem of coincidence point for mappings F,G : X ^ Y, i.e. the problem of existence of a solution for the equation F(x) = G(x). We provide conditions of the existence of coincidence points in terms of a covering set for the mapping F and a Lipschitz set for the mapping G in the space X x Y. An a -covering set ( a > 0) of the mapping F is a set of (x, y) such that

3u £ X F(u) = y, p(x,u) < a-1 d(F(x),y), p(x,u) < то,

and a в - Lipschitz set ( в > 0 ) for the mapping G is a set of (x, y) such that

Vu £ X G(u) = y ^ d(y, G(x)) < ep(u, x).

The new results are compared with the known theorems about coincidence points.

Keywords: coincidence point of two mappings; metric; distance; covering mapping

Acknowledgements: The work is partially supported by the UEM-SIDA 2017-2022 (Subprogramme № 1.4.2: Capacity Building in Mathematics, Statistics and Its Applications).

For citation: Zhukovskaia T.V., Merchela W., Shindiapin A.I. O tochkakh sovpadeniya otobrazheniy v obobshchennykh metricheskikh prostranstvakh [On the coincidence points of the mappings in generalized metric spaces]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika -Russian Universities Reports. Mathematics, 2020, vol. 25, no. 129, pp. 18-24. DOI 10.20310/2686-9667-2020-25-129-18-24. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Теорема о существовании точки совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующими в метрических пространствах, получена А. В. Арутюновым в [1]. В работах [2-4] понятие накрывания было распространено на пространства с различными обобщенными метриками и получены обобщения на такие пространства теоремы о точке совпадения. Эти исследования вызваны не только естественным стремлением определить максимально широкий класс пространств, в которых справедливы результаты о точках совпадения, но и приложениями таких утверждений к различным функциональным уравнениям (в том числе, к дифференциальным и интегральным уравнениям, см., например, [5]).

Данная работа продолжает исследование, начатое в работе [6], в которой было получено утверждение о существовании точки совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующих из метрического пространства в множество с расстоянием, удовлетворяющим только аксиоме тождества. Здесь мы предполагаем, что расстояние и метрика в рассматриваемых пространствах могут принимать значение то, и ослабляем предположения о накрывающих и липшицевых свойствах отображений.

Предлагаемые в статье результаты о точках совпадения отображений в дальнейшем планируется использовать для исследования функциональных уравнений в пространстве измеримых функций.

1. Основные понятия

Обозначим = [0, +то), = [0, +то], X = (X, р) — пространство с то -метрикой р : X2 ^ Е+, Вх(х0, г) = {х € X| р(х, х0) < г} — замкнутый шар в X с центром в точке х0 € X радиуса г € (0, то].

Пусть на множестве У = 0 задано расстояние ^ : У х У ^ Е+, удовлетворяющее аксиоме тождества:

Уу1 ,У2 € У ^(У1,У2) = 0 ^ У1 = У2. (1.1)

Будем говорить, что последовательность {у.} С У сходится при г ^ то к у € У и писать yi ^ у, если ^(у.,у) ^ 0. Очевидно, сходящаяся в У последовательность может иметь более одного предела, кроме того, при сходимости yi ^ у расстояние ^(у, у.) может не сходиться к 0. Для произвольной последовательности {у.} С У обозначим через Limyi = {у| yi ^ у} множество всех пределов этой последовательности.

Отображение / : X ^ У будем называть непрерывным в точке х € X, если для любой последовательности {х.} С X такой, что xi ^ х выполнено /(х.) ^ /(х), т. е. /(х) € Lim/(х.). Отображение, непрерывное во всех точках множества V С X, будем называть непрерывным на множестве V. Отметим, что для непрерывности отображения / в точке х единственность предела /(х) последовательности {/(х.)} не требуется. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 1.1. Пусть X = У = [0,1], причем в X задана «стандартная метрика» р(х,и) = |х — и|, х,и € [0,1], а в У — расстояние, определяемое следующими соотношениями:

Уу, 2 € [0,1] у ^ ^(у, г) = ^(¿,у)

у — 2 при у =1 и 2 = 0

тт{г:, 1 — 2} при у = 1 и 2 = 0

тт{у, 1 — у} при у = 1 и 2 = 0

1 при у = 1 и 2 = 0

В пространстве У каждая из последовательностей yi = г-1, = —г-1 + 1 имеет два предела 0 и 1. Отображение / : X ^ У, равное /(х) = х при х € (0,1) и принимающее любое из значений 0 или 1 при х = 0 и х = 1, является непрерывным на всем пространстве X.

Теперь приведем определение свойства замкнутости отображения / : X ^ У. Обычно используемому для пространств с расстоянием определению замкнутости отображений (см., например, [2,8]) не удовлетворяет отображение / в точке х € X, для которой при х. ^ х предел последовательности {/(х.)} не единственный, и это значительно сокращает преимущества рассмотрения уравнений в пространствах с расстоянием вместо метрики. Поэтому здесь предлагается ослабление этого понятия. Отображение / будем называть замкнутым в точке х, если для любой последовательности {х.} С X такой, что х. ^ х и Lim/(х.) = 0, выполнено /(х) € Lim/(х.). При таком определении единственность предела последовательности {/(х.)} не является необходимым условием замкнутости отображения. Заметим также, что из непрерывности / в точке х следует замкнутость / в этой точке (как и для отображений «обычных метрических» пространств). Отображение, замкнутое во всех точках множества V С X, будем называть замкнутым на множестве V.

Сформулируем известные определения свойств накрывания и липшицевости (см. [1]), заменив в пространстве образов «обычную метрику» на расстояние.

Пусть заданы а > 0, в > 0. Отображение / : X ^ У называется а -накрывающим на множестве V С X, если для любых х Е V, у Е У существует и Е X такой, что /(и) = у и рх(х,и) < а-1^(/(х),у). Отображение / : X ^ У называется в -лип-шицевым на множестве V С X, если для любых х, и Е V выполнено неравенство

4/(х),/(и)) < вр(х,и).

В формулируемых ниже утверждениях предполагаются выполненными условия, аналогичные приведенным условиям накрывания и липшицевости отображения / : X ^ У, использующие следующие множества, введенные в [7]:

соу«[/] = {(х,у) Е X х У | Зи Е X /(и) = у, р(х,и) < а-1а!(/(х),у), р(х,и) < го}; [/] = {(х,у) Е X х У | Уи Е X /(и) = у ^ %,/(х)) < вр(и,х)}.

Будем называть первое из этих множеств Соуа[/] множеством а -накрывания этого отображения, а второе множество [/] — множеством в -липшицевости. Равенство Соуа [/] = V х У равносильно а -накрыванию на V отображения /, а равенство Ырв [/] = V х У — в -липшицевости на V этого отображения.

2. Теорема о точке совпадения отображений

Пусть заданы отображения О : X ^ У. Их точкой совпадения называют х Е X такой, что

^ (х) = О(х). (2.2)

Сформулируем условия существования точки совпадения.

Теорема 2.1. Пусть метричеакое пространство X полное и заданы а > в > 0, хо Е X такие, что (хо),О(хо)) < го. Положим

К = (а - в(хо),С(хо)), V = Вх(хо,К).

Предположим, что для любого х Е V выполнены включения (х, ^(х)) Е Ыр^[О], (х,О(х)) Е Covo.FI; на шаре V отображение ^ является замкнутым, а отображение О — непрерывным, и имеет место следующее соотношение

У{х,} С V Ух Е V (х, ^ х и Ыш^(х,) = ЫшО(х,) = 0 ) ^ ^(х) = О(х). (2.3) Тогда в шаре V существует решение уравнения (2.2).

Доказательство. Покажем, что существует последовательность {х,} С X такая, что выполнены соотношения

х, Е V, ^ (х,) = О(х,-1), г = 1, 2,..., (24)

р(х,-1, х,) < др(х,-2,х,-1), г = 2, 3,..., где q = в/а.

Проверим эти соотношения при г = 1 и г = 2. Пусть хо — это заданный в условиях теоремы элемент, уо = О(хо). В силу предположения (хо,уо) Е Covа[F], существует х1 Е X такой, что

^(х1) = О(хо) и р(хо,х1) < (хо),О(хо)), (2.5)

поэтому р(х0,х1) < Д, и значит, выполнено х1 € V. Положим у1 = С(х1). Поскольку (х1,у0) € Lipв[С], имеет место неравенство

^(уо,уО = ^С(х0),С(х1^ < вр(х0,х1). (2.6)

Теперь, в силу предположения (х1,у1) € Соуа[^], существует х2 € X такой, что выполнено ^(х2) = С(х1) и р(х1,х2) < а-1 (х1 ),С(х^), поэтому из соотношений (2.5) и (2.6) получим р(х1,х2) < др(х0,х1). Заметим, что х2 € V, так как

р(х0, х2) < р(х0, х1) + р(х1, х2) < а-1(1 + (х0), С(х0)) < Д.

Таким образом, при г =1 и г = 2 соотношения (2.4) выполнены.

Предположим, что при всех натуральных г = 1,п определены элементы х. € X, так, что выполнены соотношения (2.4). Покажем, что существует элемент хга+1, удовлетворяющий также этим соотношениям.

Так как (хга,уга) € Соуа[^], существует хга+1 € X такой, что

^ (хга+1) = С(х„)

и имеет место неравенство

р(х„,х„+1) < (х„), С(х„)).

Следовательно,

р(х„,хга+1) < а-1 ^С(х„-1), С(х„)) < др(х„,х„-1). (2.7)

Из неравенства (2.4), справедливого по предположению индукции при всех г = 1,п, и неравенства (2.7) получаем

р(хп,хга+1) < а-1 qrad(FЫ^Ы). (2.8)

Таким образом,

1

р(х0,х„+1) < а qid(F(х0),С(х0)) < а(1 __ ^ (х0),С(х0)) = Д,

т. е. хп+1 € V. Доказано, что соотношение (2.4) выполнено при г = п +1.

Из неравенства (2.8) очевидно следует, что последовательность {х.} является фундаментальной. Пусть х. ^ х. Тогда х € V и, вследствие непрерывности отображения С на шаре V получаем С(х.) ^ С(х). А так как С(х.+1) = F(х.), имеем LimG(xi) = LimF(х.) = 0. Отсюда, согласно условию (2.3), получаем F(х) = С(х). □

З а м е ч а н и е 2.1. В аналогичных теоремах о точках совпадения отображений метрических пространств непрерывность отображения С не предполагается, поскольку непрерывность следует из липшицевости этого отображения. Используемое в доказанной здесь теореме 2.1 ослабленное предположение липшицевости (принадлежность пары (х, С(х)) при любом х € V множеству липшицевости отображения С) уже не обеспечивает требуемую для этого утверждения непрерывность С. Приведем пример отображений, не имеющих точки совпадения, для которых выполнены все условия теоремы 2.1 кроме непрерывности С.

Пример 2.2. Пусть X = Y = R — вещественная прямая с «обычной метрикой», определим функции F, G : R ^ R формулами

fx если x = 0, F (x) = 2x, G(x) = i

[1 если x = 0.

Очевидно, функция F является 2-накрывающей и непрерывной на всем R. Покажем, что для в =1 выполнено (x, F(x)) £ Lip^[G] также на всем R.

Если x = 0 и x =1/2, то F(x) = 2x = 0 и F(x) = 2x =1. В этом случае равенство F(x) = G(u) выполнено только при u = 2x, и тогда имеем

|G(x) - G(u)| = |G(x) - G(2x)| = |x|, |x - u| = |x - 2x| = |x|.

В случае x = 0 получаем F(0) = 0, а равенство G(u) = 0 невозможно. В случае x =1/2 уравнение G(u) = 1 имеет два решения: u = 0 u =1. Для этих значений получаем

|G(1/2) - G(u)| = 1/2, 11/2 - u| = 1/2.

Итак, (x, F(x)) £ Lipe[G] (в =1) на всем R, но при этом функция G не является непрерывной. Остальные условия теоремы 2.1 выполнены, тем не менее, рассматриваемые функции не имеют точки совпадения.

В заключение отметим, что из теоремы 2.1 следуют результаты о точке совпадения, полученные в работе [6]. В [6, теорема 2.1] предполагалось, что метрика р и расстояние d могут иметь только конечные значения, и использовались «классические» условия накрывания и липшицевости отображений.

References

[1] А. В. Арутюнов, "Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки", Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155; англ. пер.:А. V. Arutyunov, "Covering mappings in metric spaces and fixed points", Doklady Mathematics, 76:2 (2007), 665-668.

[2] А. В. Арутюнов, А. В. Грешнов, "Теория (q1,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения", Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531; англ. пер.:А. V. Arutyunov, А. V. Greshnov, "Theory of (q1, q2) -quasimetric spaces and coincidence points", Doklady Mathematics, 94:1 (2016), 434-437.

[3] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств", Матем. заметки, 100:3 (2016), 344-362; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "On Coincidence Points of Multivalued Vector Mappings of Metric Spaces", Mathematical Notes, 100:3 (2016), 363-379.

[4] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения векторных отображений", Изв. вузов. Матем., 2016, № 10, 14-28; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "On Coincidence Points for Vector Mappings", Russian Mathematics, 60:10 (2016), 10-22.

[5] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, Е.А. Pluzhnikova, "Covering mappings in a product of metric spaces and boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 49:4 (2013), 420-436.

[6] В. Мерчела, "К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73. [W. Merchela, "About Arutyunov theorem of coincidence point for two mapping in metric spaces", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 23:121 (2018), 65-73 (In Russian)].

[7] С. Бенараб, Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением", Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:4 (2019), 52-63. [S. Benarab, E. S. Zhukovskii, W. Merchela, "Theorems on perturbations of covering mappings in spaces with a distance and in spaces with a binary relation", Trudy institute, matematiki i mekhaniki UrO RAN, 25:4 (2019), 52-63 (In Russian)].

[8] Е. С. Жуковский, "Неподвижные точки сжимающих отображений f-квазиметрических пространств", Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "The fixed points of contractions of f-quasimetric spaces", Siberian Mathematical Journal, 59:6 (2018), 1063-1072.

Информация об авторах

Жуковская Татьяна Владимировна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

ORCID: http://orcid.org/0000-0003-4374-4336

Мерчела Вассим, аспирант, кафедра функционального анализа. Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Шиндяпин Андрей Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики. Университет имени Эдуардо Мондлане, г. Мапуту, Мозамбик. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-8750-1534

Конфликт интересов отсутствует. Для контактов:

Жуковская Татьяна Владимировна E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 23 декабря 2019 г. Поступила после рецензирования 5 февраля 2020 г.

Принята к публикации 6 марта 2020 г.

Information about the authors

Tatiana V. Zhukovskaia, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department. Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0003-4374-4336

Wassim Merchela, Post-Graduate Student, Functional Analysis Department. Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Andrey I. Shindiapin, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematics and Computer Science Department. Eduardo Mondlane University, Maputo, Mozambique. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-8750-1534

There is no conflict of interests.

Corresponding author: Tatiana V. Zhukovskaia E-mail: [email protected]

Received 23 December 2019 Reviewed 5 February 2020 Accepted for press 6 March 2020