Подход пуанкаре-четаева-румянцева к выводу уравнений движения неголономных систем и его связьс другими подходами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.01

С. А. Зегжда, М. П. Юшков

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№ 1)

ПОДХОД ПУАНКАРЕ—ЧЕТАЕВА—РУМЯНЦЕВА К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ И ЕГО СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ПОДХОДАМИ

В работе при выводе уравнений движения неголономных систем одновременно используется как подход Пуанкаре—Четаева—Румянцева, так и подход, основанный на понятии касательного пространства. Это позволяет по-новому раскрыть содержание первого из них. Устанавливается также связь данных подходов с подходом к задачам неголономной механики, развиваемым в трудах Дж. Папаставридиса.

Новый метод вывода уравнений движения голономных систем в квазикоординатах был предложен А.Пуанкаре в 1901 г. [1]. Он был развит Н.Г.Четаевым [2, 3], а затем в работах Л. М. Мархашова [4, 5], В.В.Румянцева [6-10], Фама Гуена [11-13] был распространен на неголономные системы. Этот метод заслуживает дополнительного внимания в связи с тем, что он дает возможность с иной точки зрения осветить вопрос о том, почему уравнения движения неголономных систем не могут быть записаны в форме уравнений Лагранжа второго рода без множителей.

Итак, пусть на движение механической системы наложены линейные неголономные связи, задаваемые уравнениями

= + 0, к = Т/к, а=~8, 1 = в-к. (1)

Здесь и далее по дважды встречающимся индексам предполагается суммирование.

Пусть уравнения (1) таковы, что используя их при введении квазискоростей р = 1, в по формулам

= ч) Ца + ао (X ч) I А = 17/,

у1+" = а1+хЦ,д)да +а'0+ж(г,д) =0, х = Т/к, а = 1^

имеем

^ _ и ^ У0 или в компактной форме

я' =К&Я)у1+Ъ№,Я), <7, Г = 1,8, (2)

= = 1, а1 = ь1 = $1, а, 13 = 077,

где ¿в — символы Кронекера.

Воспользуемся при выводе уравнений движения неголономной системы обобщенным принципом Даламбера—Лагранжа

д, дТ дТ \ —

© С. А. Зегжда, М.П.Юшков, 2003

в котором величины 6да при наличии связей (1) должны удовлетворять условиям Н. Г Четаева

а1+х6д'7=0, х = Т/к, а =

Используя сквозную нумерацию р = 1, 2, 3,... для обозначения как декартовых координат точек системы, так и проекций активных сил, приложенных к этим точкам, сможем записать

.. дх^_д_д]^_дТ_ дх^ _

дд" ~ А дд° дд°' ~ м дд° '

Отсюда вытекает, что обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа может быть записан в виде

дх

{т,х,-Х,)^5д° = 0. (4)

Отметим, что суммирование по р при наличии в системе твердых и упругих тел переходит в интегрирование.

Введем касательное пространство [14] и в нем векторы

¿у = 5даеа , У = Q<Jе" ,

а М\сМ дда д<Г) ' еа • ет = , =

Обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа и условия Н. Г. Четаева при этом запишутся в виде

(М№ — У) • ¿у = 0 , ■ ¿у = 0 , х = Т~к,

где

а1+х = а1+хеа , х=1,к, а = 1,з.

Введение по формулам (2) и (3) величин -у*, р = называемых параметрами Пуанкаре—Четаева, позволяет в касательном пространстве ввести неголономный базис, т. е. ввести векторы

ар = араеа , ат = Ь^е^ , р, а, т = 1, в ,

такие, что

ар • ат = ¿р .

Отсюда следует, что вектор ¿у, входящий в обобщенный принцип Даламбера—Лагран-жа, можно представить в виде

= ¿ЧЛал = = 5даеа , \ = ~1.

Таким образом

= сг=М, Л = 17/.

Подставляя эти выражения в уравнение (4) и учитывая, что величины = 1,1,

произвольны, получаем

Эх,,

При наличии как потенциальных, так и непотенциальных сил эти уравнения таковы:

ьл

(5)

Здесь и — силовая функция. Введение обозначений

г) г) — г)т ___

позволяет уравнения (5) представить в виде

дх, ди ~

Л =1,1.

(6)

Используя формулы (2), (3) при вычислении производной по времени от функции f (Ь, д), получаем

где

Отметим, что

д/ д/ ^^ а дf а = 07в, 7Г° = = t, <7 = 177,

5 = х„ = ъЧ д

дп д

дТ7

дд"

а, /3 = 0, в .

<7, Г = 1, в .

так как = 0, т = 1, в.

Из выражений (7) следует, в частности, что

(7)

(8) (9)

£, ^ * Хахц

..а дхУ-

* атг°'

а = 0, в ,

(10)

и потому

_ _ _-—

(11)

Подставляя в выражение для кинетической энергии системы т,х,/2 скорости х,, выраженные через параметры Пуанкаре—Четаева, получим функцию Т* от переменных д0", г^, <т = 1, е. Эта функция такова, что

~ ^¿г . ¿^¿г г.-

дТ*

дур дТ* _

дхр дх,.

Л= 1,/.

(12) (13)

Используя выражения (12), левую часть уравнений (6) представим в виде

.. дх, <1 ( . дхЛ

= ^ ' гп-'г-- 1 "

1 дх,.

< дТ

1 дх,

дпл

Ниже будет показано, что

дъЧ 41 »А А 11 11А д^'

(14)

Здесь срат — некоторые, пока неизвестные функции переменных Ь и д0", а = 1,5. Из выражений (13)—(15) вытекает, что уравнения (6) могут быть представлены в виде

р р ди_ ~

сМ дь* дтг* ~ С»х дь? + С°Л дь? + ' ~ + ' (16)

Л, /X = 1, / , р, О" = 1, в .

Покажем, что соотношения (15) действительно выполняются, и найдем входящие в них коэффициенты с£т, а = 0, в, р,т = Из выражений (7), (10), (11) следует, что соотношения (15) справедливы, если

д х (( д х (( ~ дх ((

_^ — _^ I „Р _£1

дтг« дпт дпт дтга ат дпр '

то есть когда

[Ха, Хт] х^ = ХаХт х^ — ХтХа = Сат Хр , а = 0, в , р,т = 1, в . Используя формулы (8) и (9), получаем

(17)

Так как

ъР ъа 92x11 = ъа ъ13 д2%м

дяв дс1° т а дс1° дяв '

,%0 _ _

Ъ°т = 0, ^ = ^ = 0, а,/3 = 0^, а,г=М.

имеем

Коэффициенты при дх^/дца в выражении (18) представим в виде

дЬа дЬа

Ъ? ^ -Ъ? = ср Ьа (19)

дцР дцР 9 '

Из этих формул, а также из выражений (18) и (9) вытекает, что соотношения (17), а следовательно, и соотношения (15) действительно выполняются.

Коэффициенты а9 являются элементами матрицы, обратной по отношению к матрице с элементами р, а = 1, в, поэтому из представлений (19) следует, что

/ яит яи<у \ ___

= Р,а,т = 1,8, а,0 = 0,3. (20)

Используя выражения (3), получаем

араЪат = 5р, аРЪ1 = 5ра, р,а,т = 1^, а,7 = 0^,

следовательно,

дЬ" дар

а дер ~ т дер

дЬа дар

р = _77 _1

7 де^ а де^ '

Учитывая, что

получим

р, <т, т = 1, в , а, 7 = О, в .

,%о ___

= О, а,/3 = 0, в, г =1,5,

ддв

дк

т дф'

дЬа

р а

а де^

даР -Ь7 — а ддР

(21)

р, а, т = 1, в , а, /3, 7 = 0, в .

Заменяя в формулах (20) в первой двойной сумме по а и по в немой индекс в на 7 и используя затем выражения (21), сможем записать

„ (д< дарв\ ___

(22)

Основными формулами, на которые опирается данный вывод уравнений (16), являются соотношения (15), непосредственно связанные с введенным Пуанкаре коммутатором (17). Как было показано Лагранжем, для случая, когда величины пт являются истинными координатами г = 1, в, выполняются равенства

<< дх, дх, А дд1 дд1 '

1,в.

В случае квазикоординат эти тождества Лагранжа нарушаются, появляется поправка, которая и учитывается с помощью коэффициентов срат. Их вычисление Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев связывают с так называемыми перестановочными соотношениями [15]. Рассмотрим произвольный вектор касательного пространства, заданный в виде

5у = 3'уРар, р= 1,в.

Полагая, как принято в работах В. В. Добронравова, В. С. НовоселоваиЮ.И. Неймарка и Н.А.Фуфаева, что

¿V = ¿пр,

получаем Учитывая, что имеем

5у = 5ир ар = 5да еа , р, а = 1, в .

= Ь" е ■Ар Ь р .

ара ар , р, а = 1, в ,

5да = Ьар 5ир , 5тгр = ара6д'7 , р, а = 1, в . По определению принимается, что

п0 = д0 = Ь, ¿п0 = ¿д0 = ¿Ь = 0, 1п0 = 1д0 = А, 1пр = ар <д7 ,

р = 1, в , 7 = 0, в .

р

с

е

"

Так же по определению полагается, что

да£ а дав р а

5(1ттр = —^ ¿д~* + < ¿с^7, ¿6тгр = —£ ¿д~* (5/ + apRd5qÍЗ . ддв ' дд~' в

/О = /3,7 = 0, е.

Составляется разность

6(1тгр-(16тгр, р = Т^З, в которую подставляются величины 5дв и ¿д1, заданные в виде

= (5тгг , ск? = Ъ1сЫа , т =177, а,/3,7 = 0^.

В результате получаются следующие соотношения:

5йпр - ¿5пр = срат ¿па 5пт + ар7 5 ¿д1 - аРв ¿5дв , р,т = 1, в , а, 7 = 0, в ,

(23)

в которых величины срт задаются формулами (22). Отметим, что процедуру вычисления коэффициентов срт путем составления перестановочных соотношений (23) Ю.И.Ней-марк и Н.А.Фуфаев считают более простой, чем их непосредственное вычисление по формулам (20) или (22).

Рассмотрим теперь случай, когда все или некоторые из уравнений связей

/х(г,д,д)=0, х = Т/к,

нелинейно зависят от скоростей. Введем квазискорости по формулам

V* = /*(*, Я, я), А =М, 1 = з-к,

VI+х = й+хЦ,я,я) = ГЦ,д,д), х = ТД.

Предполагая, что

[д^Л _

^0, р, сг =

дда

имеем

Ча = V*), а = 1,з.

Зададим в касательном пространстве векторы

р дг"* а дЧа т-

такие, что

ар • ат = 5рт .

Так как = /К, то

аг+к = V'/к , к = Отсюда следует, что условия Н. Г. Четаева

дд'

д/-^ _

— 6да = 0 , а = 1,з,

в векторной форме, как и выше, запишутся в виде

аг+^.<5у = 0, х = Т/к,

и потому касательный вектор 6у, входящий в обобщенный принцип Даламбера—Ла-гранжа, задается выражением

¿У = 6'Vх ах = 5'Vх —т ест = 6да ест , А = 1,1, <7=1, е.

ду*

Таким образом

<5^ =<5 V , А = 1, /, <7=1, е. д<

Подставляя эти выражения в обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа, записанный в виде (4), и учитывая, что величины А = 1,1, прозвольны, получаем

А =М, а = М. (24)

В данных уравнениях величины хзи-2, хзи-1, xзV являются декартовыми координатами точки, положение которой задается радиусом-вектором

ГV = Хз^-2 11 + Хэ^-1 12 + хз^ 1з •

Эта точка имеет массу ши = ш,, р = 3v — 2, — 1, 3v, и к ней приложена активная сила

Fv = Xзv-2 11 + ^-1 12 + 1з • Учитывая эти выражения, уравнения (24) можно записать в виде

дда ду*

Заменяя суммирование по V интегрированием, получаем

[ (г ¿тп - <1Е) ■ ^гг = 0 , А = 17/, сг = 177. (25)

Здесь г = г(£, д) — радиус-вектор элементарной массы ¿ш, к которой приложена активная сила ¿Е. Отметим, что при записи уравнений (25) использованы обозначения, принятые в обзорной статье Дж.Папаставридиса [16]. Введем, следуя этой работе, векторы

дг л д<р л -—

которые принадлежат не касательному пространству, а тому обычному евклидову пространству, в котором изучается движение рассматриваемой механической системы. Используя обозначения

д дер д -—

дпт дуТ дда ' ' ' '

векторы ат представим в виде

л дг -

ат = —, т=1,з.

Тогда уравнения (25) примут вид

Г дг ~ _

/г .—dm = Qx, А=1,/, (27)

где

~ Г дг дда С дг — _

Функции, входящие под знак интеграла в уравнениях (27), представим следующим образом:

дг <1 /. дг \ (1 дг „ —-

г • ——г- = — ( г • ——г-) — г • — ——г-, А = 1, . 28

дтгх Л V дтгх) dt д-кх ' v 7

Учитывая, что

получаем

— qa = qaea, q°=t, е0 = — , а = 0, s ,

л dr A дг ,а деа

dr ,а деа d(f d(f dqp л a л

а = 0, s , <7 = 1,s, A=1,Z.

С другой стороны

d dr d (dqa / ddqa\л л — _

--= — 1 -e<i =тте<1+ ттгт А = 1, /, ег = 1, s,

dt дпх dt \dvX J dvX а \dt dvX J

поэтому

+ ТГ-^, А = 1, /, cr = l,s.

d дг дг дг , -г—; -—

dt дттх дттх ' л <9^'

где

d dqT dq

Тх ~ <Н дух дтгх ■ (29)

Отсюда, а также из соотношений

дг д(1а дг дг —^

дух дух дqcr дтгх ' ' '

вытекает, что выражения (28) могут быть представлены в виде

дт а Э(г2/2) Э(г2/2) Э(г2/2) —

Г-д^х = А—х---Х=1>1> а = 1'5' (30)

Подставляя эти выражения в уравнения (27), получаем 100

а дт *

дт*

дт

Аду* 07Г* Л-1'/'

<т = 1, в .

(31)

Здесь т — кинетическая энергия системы, вычисленная через квазискорости. Используя выражения (26), представим сумму

Т*

дг

дер

т* а

*

следующим образом:

Так как

имеем

где

Т* а

Т**

ду*

дд* р '

дг дд* дг дд* Л

дд17 д'о1

диР

К = -тг1^. * дд* *

(32)

В результате этих преобразований выражения (30) запишутся в виде

г Эг л I ТГГ эу/п2), л = 17/, р =

дп* А ду* дп*

а уравнения (27) станут такими:

а дт *

дт* +шрдт*

А=1,/, р = 1,5.

А ду* дтгх ' ' Л Покажем, что выражения (32) могут быть представлены в виде

Ш' =

Из формул (32) и (29) следует, что

дд'7 _

ду* V <И дд* дд* ) '

Так как

получаем

л ула^ атгл у '

( <1 дурл дда _ дур <1 дда

ХАЪ^) ду* ~ ~дАдг$ '

(33)

(34)

(35)

(36)

Функция у *(£, д, д(Ь, д, V *)) тождественно равна у *, поэтому

ддт

дда ддт дда

0,

р,а,т = 1, в ,

*

и, следовательно,

дгир дс[а дгир дс[а дс[т дгир дс[т дс[а дгир дс[а

<9</<т <9</<т <9</т <9</т <9</<т <9</<т

Из выражений (35)—(37) вытекает, что коэффициенты действительно могут быть представлены в виде (34).

Уравнения (31) и (33), как следует из их вывода, могут быть применены и к голо-номным, и к неголономным системам, причем как с линейными, так и с нелинейными по скоростям идеальными связями. Для случая, когда время явно не входит ни в кинетическую энергию, ни в уравнения связей, эти уравнения были получены Г. Гамелем в 1938 г. [17], а для общего случая выведены В.С.Новоселовым в 1957 г. [18]. В 1998 г. В. В. Румянцев [9] получил эти уравнения в результате обобщения уравнений Пуанкаре и Четаева. Он установил ([10], с. 57), что эти уравнения «... можно рассматривать как общие уравнения классической механики, включающие в себя как частные случаи все известные уравнения движения».

Связь уравнений Маджи с уравнениями Пуанкаре—Четаева рассматривалась в статье Л. М. Мархашова [4]. В этой работе он пишет (с. 46): «Уравнения Пуанкаре написаны почти одновременно с основными формами уравнений движения неголономных систем. Несмотря на большое сходство обе теории долгое время развивались независимо. Обобщенные уравнения Пуанкаре—Четаева, пригодные как для голономных, так и неголономных систем, получены в работе [13]».

С новой точки зрения вопрос о применении уравнений Пуанкаре—Четаева в неголо-номной динамике рассматривается в работах В.В.Румянцева [6-10]. Особое значение среди этих работ занимают статья 1998 г. [9] и доклад 1999 г. [10], в которых уравнения Пуанкаре—Четаева распространяются на нелинейные неголономные связи. Это позволяет говорить об уравнениях (31) и (33) как об общих уравнениях классической механики, а сами эти уравнения называть уравнениями Пуанкаре—Четаева—Румянце-ва.

Геометрическая интерпретация этих уравнений дана в работе [19].

Summary

Zegzhda S.A., Yushkov M.P. Poincare—Chetaev—Rumyantsev approach to the construction of motion equations for nonholonomic systems and its connection with other approaches.

In constructing the motion equations of nonholonomic systems both the Poincare—Chetaev—Rumyantsev approach and that based on a concept of the tangent space are used. This makes it possible to consider the first approach from a new point of view. The connection with the approach to the problems of nonholonomic mechanics due to J. Papastavridis is established.

Литература

1. Poincaré H. Sur une forme nouvelle des équations de la mécanique // Comptes Rendus. 1901. Vol. 132. P. 369-371.

2. Четаев Н.Г. Об уравнениях Пуанкаре // ПММ. 1941. Т. V, вып. 2. С. 253-262.

3. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М., 1987.

4. Мархашов Л.М. Об уравнениях Пуанкаре и Пуанкаре—Четаева // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 1. С. 43-55.

5. Мархашов Л.М. Об одном обобщении канонической формы уравнений Пуанкаре // ПММ. 1987. Т. 51, вып. 1. С. 157-160.

6. Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре—Четаева // Сб. тр. 5 Всес. конф. по анал. мех., теории устойчивости и упр. движением (анал. мех., динам. тверд. тела). Ч. 2. М., 1990. С. 3-18.

7. Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре—Четаева // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 3. С. 3-16.

8. Румянцев В.В. Общие уравнения аналитической динамики // ПММ. 1996. Т. 60, вып. 6. С. 917-928.

9. Румянцев В.В. К уравнениям Пуанкаре и Четаева // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 4. С. 531-538.

10. Румянцев В.В. Об общих уравнениях классической механики // Второе Всероссийское совещание-семинар заведующих кафедрами теоретической механики. Тезисы докладов. Москва, 11-16 октября 1999 г. С. 57.

11. Фам Гуен. Об уравнениях движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре—Четаева // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 2. С. 253-259.

12. Фам Гуен. К уравнениям движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре—Четаева // ПММ. 1968. Т. 32, вып. 5. С. 804-814.

13. Фам Гуен. Об одной форме уравнений движения механических систем // ПММ. 1969. Т. 33, вып. 3. С. 397-402.

14. Зегжда С.А., Филиппов Н.Г., Юшков М.П. Уравнения динамики неголономных систем со связями высших порядков. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№ 15). С. 75-81.

15. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М., 1967.

16. Papastavridis J. G. A рапогашк overview of the ргтар1ев and equations of motion of advanced engineering dynamics // Арр1. Mech. Rev. 1998. Vol. 51, N 4. P. 239-265.

17. Hamel G. Nichtholonome Systeme höherer Art // Sitzungsbererichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. 1938. Bd 37. S. 41-52.

18. Новоселов В. С. Применение нелинейных неголономных координат в аналитической механике // Ученые записки ЛГУ. Серия математ. наук. 1957. Вып. 31, №217. С. 50-83.

19. Зегжда С.А., Юшков М.П. Геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре—Четаева—Румянцева // ПММ. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 746-754.

Статья поступила в редакцию 28 мая 2002 г.