К вопросу о примененииметода определения собственных частот и функций системы упругих тел через собственные функции ее элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

2005_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 531.01 С. В. Алмазова

К ВОПРОСУ О ПРИМЕНЕНИИ

МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

И ФУНКЦИЙ СИСТЕМЫ УПРУГИХ ТЕЛ

ЧЕРЕЗ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ

В работах [1, 2] С. А. Зегжда и М. П. Юшков предложили новый метод определения собственных частот и собственных функций системы упругих тел, соединенных друг с другом. Решение ищется через собственные частоты и собственные функции упругих тел, представляющих систему, а соединения тел друг с другом трактуются как голо-номные связи. Это позволяет для уравнений движения составить уравнения Лагранжа первого рода в криволинейных координатах. Важно, что характеристический определитель системы имеет порядок, равный числу введенных голономных связей, но элементы его и выражения собственных функций содержат бесконечные ряды. Для приближенного решения задачи предложено использовать метод, подробно изложенный в монографии [3], согласно которому в рядах динамически учитываются несколько первых слагаемых, а остальные слагаемые учитываются квазистатически. Применение этого метода в ряде конкретных примеров дало удивительно высокую точность расчетов [1].

Итак, уравнения Лагранжа с множителями будут применяться к механической системе, состоящей из упругих тел. При этом для каждого упругого тела должна быть введена своя система обобщенных лагранжевых координат. Целесообразный способ их введения основан на понятии о собственных формах колебаний упругого тела. Рассмотрим данный способ, полагая для общности, что тело может свободно перемещаться.

Введем декартову систему координат Схуг, жестко связанную с телом до его деформации. Пусть оси этой системы являются главными центральными осями инерции данного тела.

Произвольная точка тела с координатами х, у, г до деформации может перемещаться, во-первых, за счет движения данного тела как абсолютно твердого, и, во-вторых, за счет деформации тела. И те, и другие перемещения будем отсчитывать от того положения, которое система Схуг имела при £ = 0. Будем считать данные перемещения настолько малыми, что вектор перемещения и(х, у, г, точки с координатами х,у, г в момент времени £ может быть представлен в виде

© С. В. Алмазова, 2005

u(x,y,z,t) = (Ф) + фу(t)z - фz(t)y)i + (n(t) (t)x - <fix(t)z)j +

+ (Z(t) + Фх (t)y - Фу (t)x)k +Y, 4a (t)ua (x, y, z) . (1)

a=1

Здесь i, j, k — орты соответствующих осей x, y, z, величинами ц, Z задается перемещение центра масс тела, а величинами фх,фу, фz —углы поворота тела относительно осей x,y,z соответственно. Эти углы считаются настолько малыми, что различием между проекциями вектора u на исходные и повернутые оси можно пренебречь.

Функции ua(x,y,z), входящие в выражение (1), являются собственными формами колебаний. Это означает, что если при t = 0 все точки тела имеют нулевую скорость, а вектор смещения равен Caua (x, y, z), то при t = 0

u(x,y,z,t) = Caua (x,y,z) cos t. (2)

Здесь — собственная частота, соответствующая собственной форме ua(x, y, z)^ Ca — произвольная достаточно малая постоянная. Система функций ua является полной, и потому по ней может быть разложено всякое перемещение точки тела, связанное с его деформацией. Из сказанного следует, что заданием в момент времени t величин C,V,Z, фх,фу,Фz,41,42,... однозначно определяется положение всех точек тела в рассматриваемый момент времени. Следовательно эти величины являются обобщенными лагранжевыми координатами.

Подставляя вектор перемещения, заданный в виде (1), в выражение для кинетической энергии упругого тела, получим

T=7}J J J dxdVdz =

Ma = j j j P(x,y, z)v?a(x,y, z)dxdydz .

a=1

V

Здесь р(х,у,г) —плотность материала, из которого изготовлено тело, М — масса тела, А, В, С — главные центральные моменты инерции тела. Вычисленная кинетическая энергия, как видим, зависит только от квадратов введенных обобщенных скоростей. Такую простейшую форму она имеет потому, что вектор перемещения и(ж, у, г, Ь) представлен в виде ряда по собственным формам колебаний.

Определим теперь потенциальную энергию деформации упругого тела. Для этого, используя выражение (1), найдем тензор деформации, а затем, полагая, что выполняется обобщенный закон Гука, вычислим тензор напряжений. Подставляя эти тензоры в выражение для потенциальной энергии деформации упругого тела, получим

п = £^. (4)

Данная форма представления потенциальной энергии деформации вытекает из того, что введенные обобщенные лагранжевы координаты да являются главными координатами. Эти координаты, как следует из формул (1) и (2), должны удовлетворять

уравнениям

Яа + да =0 , а = 1, 2,....

Они как раз и получатся из уравнений Лагранжа второго рода

й дТ дТ дП

тогда, когда кинетическая и потенциальная энергия упругого тела представлены соответственно в виде (3) и (4).

Поясним применение введенных формул на примере поперечных колебаний весомого стержня длиной /, в сечениях хк, к = 1, п, которого насажены диски с массами и моментами инерции ,1к [1]. Воспользуемся тем, что и при наличии дисков поперечные колебания стержня могут быть представлены в виде

у(х,г) = ^ца(г)ха(х),

а=1

где Ха(х) —собственные функции стержня без дисков. Пусть ик —смещение центра масс к-го диска вдоль оси у, а —его угол поворота. Величины да (а = 1, 2,...), ик, ^Рк (к = 1,п) будем рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты, на которые наложены голономные связи:

1к = Яаха (хи) - ии =0 ,

"=1 (5)

^ ^ 1

1п+к = '^я<уХ'Г7(хк) - <рк = 0, к = 1,п.

а=1

Теперь кинетическую энергию и потенциальную энергию системы можно представить в виде

т = Ма& | (ткй2к +

а=1 2 к=1 ^ 2 2

I

а=1 2 0

Здесь —собственные частоты вала без дисков, р — плотность, а Б — площадь поперечного сечения вала.

Существенно, что в рассматриваемом методе используются уравнения Лагранжа второго рода с множителями. Составляя их, получаем

Ма(Яа + Яа ) = ^ [Ак Ха (хк )+Лп+к Х'а (хк )] ,

к=1

ткйк = -Кк, 1кфк = -Кп+к, а = 1,2,..., к=1,п.

к=1 (6)

Здесь величины Ак (к = 1,2п) являются множителями Лагранжа, соотетствуюгцими голономным связям (5). Отметим, что из уравнений (6) следует, что величина Лк (к = 1,п) оказывается равной силе, действующей на балку со стороны диска к, а величина

(к = l,n) —моменту, приложенному к балке со стороны к-то диска. Введение в рассмотрение таких обобщенных сил позволяет расширить возможности исследования механической задачи.

Учет перемещения одного из упругих тел как твердого проводится в статье [2], подобное перемещение совершает в ней верхний горизонтальный стержень.

Summary

S. V. Almazova. On the question of applying the method of determination of eigenfrequencies and eigenfunctions of the elastic body system by virtue of eigenfunctions of its elements.

Some basic concepts of applying an approximate method of determination of eigenfrequencies and eigenfunctions of the elastic body system by virtue of eigenfunctions of its elements are discussed.

Литература

1. Зегжда С. А., Юшков М. П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Известия РАН. Мех. тверд. тела. 1999. №4. С. 31-35.

2. Yushkov M. P., Zegzhda S. A. A new method of vibration analysis of elastic systems, based on the Lagrage equations of the first kind // Technische Mechanik. 1998. Bd. 18. H. 2. S. 151-158.

3. Зегжда С. А. Соударение упругих тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1997. 316 с.

Статья поступила в редакцию 25 января 2005 г.

УДК 531.01

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

С. А. Зегжда, М. П. Юшков

ОБ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ В КВАЗИКООРДИНАТАХ

Выводу уравнений движения неголономных систем в квазикоординатах посвящено большое количество работ. Весьма полно они исследованы В. С.Новоселовым [1]. Подход Пуанкаре—Четаева к выводу уравнений движения голономных систем последовательно применял к неголономным системам В.В.Румянцев [2]. Большое внимание к этому вопросу уделено в монографии [3]. В этой книге была использована возможность записать в касательном пространстве всех возможных положений механической системы с конечным числом степеней свободы ее уравнение движения в векторной форме. Интересно теперь рассмотреть подход к выводу этих уравнений, применяемый одним из ведущих американских специалистов по неголономной механике Джоном Папаста-вридисом [4].

Пусть положение механической системы до наложения связей однозначно определяется заданием обобщенных координат да, а = 1, в. Для общности положим, что все или некоторые из уравнений связей

д,д) = о, ж = Т/к,

нелинейно зависят от скоростей. Введем квазискорости:

¥>*(^,д,д), А=1,/, 1 = з-к,

+ К _ , Л + К

Предполагая, что

ае1

дvp

дда

= 0,

р, а = 1, в,

= <?,«*), (7 = 1, в.

Как и другие исследователи, Дж. Папаставридис исходит в своих рассуждениях из обобщенного принципа Даламбера—Лагранжа и условий Н. Г. Четаева, согласно которым вариации координат 6да, а = 1, в, удовлетворяют соотношениям

д^

дд

0,

<7 = 1, в , (7 = 1, в .

Здесь и далее по дважды встречающимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах. Соотношения между квазискоростями и обобщенными скоростями, выраженные в дифференциальной форме, в соответствии с условиями Н. Г. Четаева следует писать в виде

© С. А. Зегжда, М. П. Юшков, 2005

р,а = 1,в.

А

V

*

*

к