Тензорная форма уравнений удвадиа-калабы движения неголономных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА

УДК 531.011

ТЕНЗОРНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ УДВАДИА—КАЛАБЫ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ*

А. Б. Бячков1, М. П. Юшков2

1. Пермский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, доцент, AndreyBya@yandex.ru

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, mikhail.yushkov@mj16561.spb.edu

1. Введение. В своей известной работе «A new perspective on constrained motion» [1] Ф. Удвадиа и Р. Калаба вывели уравнения движения неголономных систем, не содержащие реакций связей. Количество этих уравнений равно числу обобщенных координат системы. Удвадиа и Калаба считают, что полученные ими уравнения являются самыми простыми и в то же время самыми общими из всех уравнений, выведенных ранее. Эти уравнения получены с использованием понятия псевдообратной матрицы, предложенной в 1920 г. Э. Х. Муром (Moore) [2] и обобщенной Р. Пенроузом в 1955 г. [3].

В предлагаемой статье дается тензорная запись уравнений Удвадиа—Калабы для неголономных систем, имеющая простую и наглядную форму. При ее выводе используется понятие касательного пространства, и получена она в результате подстановки выражений обобщенных реакций, даваемых второй группой обобщенных уравнений Маджи, в уравнения Лагранжа второго рода с множителями.

2. Векторное уравнение движения механической системы с конечным числом степеней свободы. Следуя монографии [4], введем в рассмотрение многообразие всех положений механической системы с s степенями свободы, которые она может иметь в данный момент времени t. Будем описывать положение этой системы двумя системами коодинат, q = (q1, . .. ,qs) и q* = (qI, ... , qS), связанными между собой формулами перехода

<f = qa{t, <?*), qZ = q£(t,q), p,a = l,s.

* Работа выполнена при поддержке Государственного Контракта ГК.2.740.11.0619 от 29.03.2010. © А.Б.Бячков, М.П.Юшков, 2011

Эти преобразования координат можно записать в дифференциальной форме:

яп° япр ___

6да = Щ64*' 6д* = ^6д^ = (2-1)

Здесь и в дальнейшем по дважды встречающимся индексам предполагается суммирование. Выделим в нашем многообразии некоторую точку. Величины 6да и 6др, связанные соотношениями (2.1), называются контравариантными компонентами касательного вектора 6у, а все множество таких векторов образует касательное пространство к введенному многообразию в выделенной нами точке [5]. Касательный вектор 6у можно записать в виде

<5у = 5да еа = 5дР е* , р,а=1(2.2)

а векторы еа и ер рассматривать как векторы основного базиса касательного пространства соответственно в системах координат да и др. Векторы (2.2) называются также векторами возможного (виртуального) перемещения механической системы.

Для введения евклидовой структуры рассматриваемого касательного пространства будем опираться на выражение кинетической энергии механической системы, которая в общем случае имеет вид

Т = ^дарчаЄ = ^9*а.р ЧҐ€\

а, /3, о*, (3* = 0, в , </° = і , д° = 1,

где М — масса всей механической системы. Составим квадрат вектора (2.2), причем этот квадрат длины вектора является инвариантом относительно выбора системы криволинейных координат:

(<5у) 2 = 9ат 5да 5дт = *т* 5д1* 5д1* , а, т, а*, т* = .

Здесь дат и д**т* (<т, т, <т*, г* = 1, в) суть коэффициенты из выражений кинетической энергии, причем они составляют матрицы коэффициентов положительно определенных квадратичных форм. Таким образом, этими коэффициентами кинетической энергии механической системы задаются основные метрические тензоры введенных систем координат. Они позволяют вычислять скалярные произведения векторов

а = ааеа = аа еа* и Ь = Ьтет = Ьт ет* по формулам

а • Ь = дат ааЬт = д**т* аа* Ц* ,

дат = еа • ет , да*т* = еа* • е т* ,

а,т,а* ,т* = 1, в .

Рассмотрим еще один инвариант относительно вводимых систем координат — элементарную работу на возможном перемещении системы. Пусть на механическую систему действуют активные силы, проекции которых Xм в декартовой системе координат занумерованы сквозным образом, так что р = 1, 2, 3,... Тогда элементарная работа этих сил на возможном перемещении запишется в виде

6А = Xм 5хм . (2.3)

Но вариации декартовых координат связаны с вариациями обобщенных координат следующим образом:

М - дда 6(1 - дчР д(1* >

поэтому выражение элементарной работы (2.3) может быть переписано в виде

6Л = да5да = Яр бдр . (2.4)

Здесь

п - X ^ о* - у дх» - О д(1а

Ча - м дд- ’ Чр ~ м д<& ~ Ча д<& ■

Выражение (2.4) представляет собой линейную инвариантную дифференциальную форму от вектора 6у. Ее коэффициенты да и д*р при использовании координат да и д* соответственно являются компонентами ковариантного вектора V [5]. Воспользовавшись евклидовой структурой касательного пространства, представим величину 6Л в виде скалярного произведения

5Л = У • 5у ,

(2.5)

где вектор силы У может быть выражен через свои ковариантные компоненты во взаимных базисах {в1, ... , вя} и {е1, ... , в®} следующим образом:

У = Яа в°

дрвр

і, в.

5 р^ *7 Р, а

Таким образом, представление элементарной работы, являющейся инвариантной величиной, в виде (2.5) позволило ввести в рассмотрение векторы взаимных базисов, которые по отношению к введенным выше основным базисам обладают свойствами

в а • ет = 5ат =

в

вт

= 5ат. =

а* = т *

О, а = т,

V1, а = Т, V

а, г, а*, г* = 1, в .

Отсюда и из выражений дат = е а ■ ет следует, что

ет да те , е д ет •

Коэффициенты дат являются элементами матрицы, обратной к матрице с элементами д т.

Введение ковариантного вектора У по выражению для возможной элементарной работы 6А позволяет рассматривать систему уравнений Лагранжа второго рода

сі дТ дТ _ А~д<у

а = 1,8,

как одно векторное равенство Здесь

М W = У .

(2.6)

Ша ва = (да+г^ дав ва,

_ 1 (ддтр дд_ та _ ддаЛ т,а/3 ~ 2 V дда дд!3 ддт ) ’

(2.7)

а, т = 1, в ,

а, /3 = 0, в

а

Формулы (2.7) позволяют ввести вектор ускорения W для произвольной механической системы с в степенями свободы и уравнение (2.6) рассматривать как векторную форму записи второго закона Ньютона для механической системы с конечным числом степеней свободы.

3. Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два ортогональных подпространства. Идеальность неголономных связей. Следуя монографии [4], рассмотрим наложение на движение механической системы линейных неголономных связей второго порядка

/?(*,Я, Я, Я) = ч)ча +4сГ(Х'7, Я) = °, к=1,к, 1 = з-к. (3.1)

Отметим, что в настоящее время имеется единственный пример подобной связи, осуществляемой механическим контактом [6]. Однако в виде (3.1) могут быть представлены классические нелинейные неголономные связи

/Г(^<7, Я) = 0, и=1,к, (3.2)

после их дифференцирования по времени и голономные связи

1о&,я)=®, п=1,к, (3.3)

после их двойного дифференцирования по времени. Выделение же в уравнениях связей обобщенных ускорений д<т, а = 1, в, при записи их в виде (3.1) имеет принципиальное значение, так как позволяет обсудить влияние математического задания связей на формирование силы реакции И. этих связей.

Итак, при наложении связей, записанных в виде (3.1), вместо уравнения (2.6) будем иметь следующее векторное уравнение движения неголономной механической системы:

М W = У + И. (3.4)

Обратим внимание на то, что введение касательного пространства и в нем вектора W, задаваемого формулами (2.7), позволяет записать систему уравнений (3.1) в векторной форме:

е'+ж-’ИГ = х?(*,<7,<7), х = ТХ (3.5)

где векторы £1+К считаются представленными в виде

£1+х = а1+хеа , >с = Т/к, а через хК обозначены функции

хЧ = -«20^ + 4^ Та!)ЯаЯР , п=1,к, СГ= 1, в, а, (3 = 0, в.

Таким образом, задание уравнений связей (3.1) позволяет в касательном пространстве выделить некоторое К -подпространство размерности к, имеющее базис {е1+1, ... ,£я}. Поэтому все касательное пространство можно представить в виде прямой суммы этого подпространства и его ортогонального дополнения (Ь-подпростран-ства) с базисом {£1, ... ,£1}, I = в — к, при этом можно потребовать, чтобы последние векторы удовлетворяли соотношениям

£\ ■ £1+х = 0 , А=1,/, я=1,к.

Важно отметить, что разбиение касательного пространства на эти два ортогональных подпространства соответствует конкретному состоянию механической системы в данный момент времени і, т. е. в рассматриваемый момент времени і считаются

известными положение механической системы д = (д1, ... ,дя) и ее обобщенные ско-

рости д = (д1,... ,дя).

Введение подпространств К и Ь позволяет разложить все векторы, входящие в уравнение (3.4), на две ортогональных составляющих:

W = WK + WL , У = Ук + Уь , И. = Ик + И.ь ,

Wк • WL = 0, Ук • Уь = 0, Ик • Иь = 0,

Wк = Щ+к £1+к , Ук = Яі+К £1+к , Ик = Лк £1+к , (3.6)

WL = Шл £л , УL = ЯХ£х , И = ПХ£х ,

А = 1,1, я = 1, к ,

причем составляющие '%і+К вектора Ик специально обозначены через Лк, так как именно они оказываются множителями Лагранжа. В результате вместо одного векторного уравнения движения (3.4) можно рассматривать два:

МWK = Ук + Ик , (3.7)

МWL = УL + И^ . (3.8)

Из-за ортогональности вектора ^ к векторам є1+х; м = 1, к, уравнения связей (3.5) можно переписать в виде

є‘+”.чгК = х5(і, Я, я), Н = Т^.

Отсюда с учетом формул (3.6) получаем

к™* Щ+х* =хЧ{і,чЛ), = £1+х ■ £1+х\ к,я*=Т/к. (3.9)

Линейную систему алгебраических уравнений (3.9) относительно можно раз-

решить и получить выражения

Х2 (і, Ч,Ч), н,н* = 1,к, (3.10)

где НК*К суть элементы матрицы, обратной к введенной в (3.9) матрице (НКК ).

Таким образом, формулы (3.10) показывают, что задание неголономных связей в виде (3.1) предписывает ускорению Wк изменяться согласно законам (3.10). При имеющейся активной силе Ук такой закон изменения вектора Wк обеспечивается реакцией связей Ик, находимой из уравнения (3.7).

В отличие от этого математическое задание неголономных связей в виде (3.1) никак не влияет согласно уравнению (3.8) на формирование вектора WL. Уравнение (3.8) при задании связей (3.1) может удовлетворяться при любом значении вектора И^, в частности, и при

^ = 0. (3.11)

Неголономные связи вида (3.1), при которых выполняется условие (3.11), естественно назвать идеальными неголономными связями. Если при математическом задании

неголономных связей вида (3.1) условие (3.11) не выполняется, то в этом случае формирование вектора следует описать дополнительно.

Для идеальных неголономных связей (3.1) уравнение движения в Ь-подпростран-стве имеет вид

М WL = Уь ,

т. е. описывается так же, как и в случае отсутствия связей.

Таким образом, при наложении на движение механической системы идеальных линейных неголономных связей второго порядка (3.1) векторное уравнение движения имеет вид (3.4), где

я /х __ ___

Я, = Аж£1+х = А„а&’‘е<г = Ах^е° , х=1 ,к, <7 = 1,8. (3.12)

Формулы (3.12) в случае исходного задания классических неголономных связей в виде (3.2) принимают вид

я р ____ ____

Я.= АЖ еа = кхЧ'К , Х=1,к, <7 = 1,8,

а для движения голономных систем при задании связей (3.3) —вид

Я ____ ____

И = Ах-^е° = АхЧК, Х=1 ,к, <7 = 1,8. (3.13)

В последних трех формулах V/К являются операторами Гамильтона, а V'/К и V"/2К — обобщенными операторами Гамильтона, введенными в рассмотрение Н. Н. Поляховым [7].

4. Дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы. Обобщенные уравнения Маджи. Если на движение механической системы, описываемой криволинейными координатами д = (д1, ... ,дя), наложены голономные связи (3.3), то ее движение можно описать уравнениями Лагранжа второго рода с множителями. Эти уравнения приходится интегрировать совместно с уравнениями голономных связей (3.3). Сами уравнения связей (3.3), как было показано выше, выделяют в касательном пространстве К -подпространство (для голономных систем — пространство реакций) с базисом

я /ж ___ __

е1+х = =У/ож, х=1,к, <7 = 1,8, (4.1)

в котором реакция идеальных голономных связей задается формулой (3.13). Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, от системы координат д = (д1, ... ,дв) следует перейти к новой системе координат д* = (д1, ... ,д%) по формулам (см. [4])

Я*=Я*(^,Я), Р= М, (4-2)

которым соответствует обратное преобразование

4° = Я^&д*), <7 = М- (4-3)

Формулы перехода (4.2), (4.3) определяют векторы основного и взаимного базисов новой системы координат:

Є* = 1#Є<Т’ Р,°,т=ТГз- (4.4)

В преобразовании (4.2) последние выражения полезно дать в виде ЧІ+Х = Іо(і, я), 1 = з-к, н=\ ,к;

тогда согласно (4.4) для К -подпространства задается взаимный базис

г) f х ___ ___

е!,+ж = ^гет=У/0~, х=1,к, т= 1,8;

естественно, что он совпадает с базисом (4.1).

Таким образом, движение в Ь-подпространстве с базисом е^,Л = 1,/, будет описываться уравнениями Лагранжа второго рода, а вторая группа уравнений Лагранжа второго рода будет формировать реакции Ах, я = 1, к.

При наложении на движение механической системы идеальных линейных него-лономных связей второго порядка (3.1) уравнения Лагранжа второго рода с множителями имеют вид (см. [8])

d дТ дТ „ А df? _ —N

-SW~aF = Q’+"W ’s' ’ ( ’

При желании же получить уравнения движения без множителей Лагранжа следует переходить не от старой системы обобщенных координат к новой, а от исходных обобщенных ускорений q = (q 1, ... ,q s) к новым ускорениям w* = (wl, ... ,wS), которые, вообще говоря, могут быть квазиускорениями:

w* = w* {t, q, q, q), р = М- (4.6)

Преобразованию (4.6) соответствует обратное преобразование

qa = qa(t,q,q,w*), (7 = 1, s. (4.7)

Считая, что производные от функций (4.6), (4.7) непрерывны, можно ввести две системы линейно независимых векторов:

£ -ЁЁ1е par-—, (4 8)

T~dw: <r’ dqr ’ 14.8J

Эти векторы можно принять за векторы основного и взаимного базисов, так как они удовлетворяют соотношениям

-P , = 5^* ^ = ,P = J°>

T sq-T \i, p = t.

Будем называть базисы (4.В) неголономными базисами.

Уравнения связей (3.1) будем считать такими, что

IV"#-V"#* 1^0,

Тогда в формулах перехода (4.6) последние функции можно задать следующим образом:

= /2(1, Я, Я, Я), I = в — к, н=1,к,

так, что при наложении связей (3.1) будет выполняться = 0, х = 1 ,к. Теперь

согласно формулам (4.8) имеем

е1+х = ^ет = У"# , ж = IX

Эти векторы и формируют К-подпространство при задании линейных неголономных связей (3.1), а ортогональное ему Ь-подпространство создается основным базисом, состоящим из первых I векторов £д, Л = 1,/, из формул (4.8). Уравнение Ньютона теперь можно записать в виде

ИW = У + ЛКе1+К . (4.9)

Умножая это уравнение на векторы ел, А = 1,/, получаем обобщенные уравнения Маджи:

Я(]° ___

(мша -дст) = 0, А = 1,/,

аэт^дт _ (4л0)

= <т = м'

Обобщенные уравнения Маджи (4.10) впервые были получены А. Пшеборским [9] с помощью обобщенного принципа Даламбера—Лагранжа.

Умножая теперь уравнение (4.9) на векторы £;+,<, х = 1 ,к, получаем вторую группу обобщенных уравнений Маджи,

Япа __

(МШа - дст) = Аж, х=1,к, (4.11)

позволяющую находить обобщенные реакции неголономных связей (3.1).

Обобщенные уравнения Маджи (4.10) весьма удобны для решения механических задач при наложении связей (3.1), но они обладают определенным недостатком, так как эти I уравнений содержат, вообще говоря, все неизвестные функции д17 ,<7 = 1, в, поэтому их приходится интегрировать совместно с линейными неголономными связями (3.1). От этого свободны уравнения Удвадиа—Калабы, которые будут обсуждаться в следующем пункте. Здесь же еще заметим, что из обобщенных уравнений Маджи (4.10), (4.11) сразу следуют и обычные уравнения Маджи, если на движение наложены нелинейные неголономные связи первого порядка (3.2):

Яг,<? ___

(мша - дст) -^ = 0 , А = 1, /,

(МИ', - д,) ^ = Лж , х=1 ,к.

Здесь = 1,в, обозначают вводимые при таких связях квазискорости. Отметим,

что сам Маджи вывел эти уравнения для линейных неголономных связей в 1896 г.

[10].

5. Тензорная форма уравнений движения Удвадиа—Калабы. Для получения тензорной формы уравнений движения Удвадиа—Калабы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода с множителями (4.5) и представлениями множителей Лагранжа (4.11). Перепишем эти уравнения в развернутом виде:

М(дсгт ЧТ + Гст а(3 Ч°'Ч^) = Яа + ^ ,

ода (5.1)

<7, т=1,в, а, /3 = 0, в , х=1,к,

(М(да*т qT + Ta*j0,p r^q13) — Qa*) ~J+^ — ^

dqc

(5.2)

<7*,r=l,s, a, /3 = 0, s , x=l,k. Подставляя выражения (5.2) в уравнения (5.1), получаем

Зоа dfK

M(g<jT ЯТ + Г а,а/3 qaq^) = Qa + (М(да*т qT + r<j*iC(j8 qaqP) — Qa*) 2

Эт1+К д Ча ’ сг, <т*, г = 1, в , а, /3 = 0, в, х=1,/г.

Эти выражения можно переписать в виде

Аат (^,ч, ч) ч т = ва д),

где

*,( д Ч а* д/? \

ат {9ат ~ 9а*т а¥) ’

В -о -О ^-ЁК + мг лал0 д^ ИГ пааР

Ва — Qa 9м;г+х ^<7 + МГ>,«/з</ Я дп}1+х д~а МГ«,^Ч Ч ,

а, а*, г = 1, в , а, /3 = 0, в, х=1,/г.

Из этих формул и вытекают уравнения Удвадиа—Калабы:

<?т = Ат,7(г, д,д) Ва{Ь, q,q), <7,г = М. (5.3)

Здесь Ата —элементы матрицы, обратной к матрице (А ат).

Как отмечалось выше, уравнения Удвадиа—Калабы (5.3) удобны тем, что их число совпадает с числом степеней свободы неголономной системы, при этом в них уже учтены сами уравнения связей (3.1).

Литература

1. Udwadia F. E., Kalaba R. E. A new perspective on constrained motion // Proceedings of the Royal Society. London. 1992. Vol. A439. N 1906. P. 407-410.

2. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bidl. Am. math. Soc. 1920. Vol. 26. P. 394-395.

3. Penrose R. A generalized inverse of matrices // Proc. Camb. phil. Soc. 1955. Vol. 51. P. 406-413.

4. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука, 2005. 269 с.

5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

6. Kitzka F. An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order in particle mechanics // ZAMM. 1986. Vol. 66. N7. S. 312-314.

7. Поляхов Н. Н. О дифференциальных принципах механики, получаемых из уравнений движения неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1974. Вып. 3. №13. С. 106-116.

8. Hamel G. Nichtholonome Systeme hoherer Art // Sitzungsbererichte der Berliner Math-ematischen Gesellschaft. 1938. Bd 37. S. 41-52.

9. Przeborski A. Die allgemeinsten Gleichungen der klassischen Dynamik // Math. Zeitschrift. 1931-1932. Bd 36. H. 2. S. 184-194.

10. Maggi G. A. Principii della Teoria Matematica del Movimento dei Corpi. Corso di Mec-canica Razionale. Milano: U. Hoepli, 1896.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2010 г.

ХРОНИКА

21 апреля 2010 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили д-р физ.-мат. наук, проф. С. А. Зегжда (СПбГУ) и д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Юшков (СПбГУ) с докладом на тему «Применение обобщенного принципа Гаусса к задаче гашения колебаний механических систем».

Краткое содержание доклада:

Рассматривается упругая система, имеющая конечное число различных собственных частот. Предполагается наличие одной управляющей силы, возбуждающей все формы ее колебаний. Ищется, какой должна быть эта сила для того, чтобы за заданный промежуток времени колебания по всем формам прекратились. Показывается, что, выдвигая условие минимальности интеграла от квадрата управляющей силы в этом промежутке времени, придем к представлению искомой силы в виде ряда по резонансным частотам. Доказывается это утверждение с помощью принципа максимума Понтрягина. Показывается также, что, если выбор управляющей силы подчинить обобщенному принципу Гаусса, то это приведет к представлению искомой силы в виде ряда по степеням текущего времени. На конкретном примере механической системы с тремя степенями свободы показывается эффективность применения обобщенного принципа Гаусса по сравнению принципом максимума Понтрягина в том случае, когда промежуток времени, за который нужно погасить колебания больше наименьшего периода собственных колебаний системы.