Взаимосвязь и единство дифференциальных вариационных принципов механики Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЗАИМОСВЯЗЬ И ЕДИНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ

А. А Нездеров1, М. П. Юшков2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, alexn14@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, профессор, yushkovmp@mail.ru

Введение. Переход от голономной механики к неголономной вызвал ряд серьезных трудностей и сопровождался знаменитыми ошибками Е. Линделёфа, К. Неймана и ряда других ученых. Оказалось, что реакции неголономных связей имеют структуру, отличающуюся от хорошо изученных реакций голономных связей. Поэтому появилась необходимость введения понятия идеальности неголономных связей, составления уравнений движения неголономных систем, формулирования новых вариационных принципов механики. Создание новых принципов поставило задачу о выяснении их взаимосвязи и общности. Изучению этих вопросов были посвящены работы Л. Маурера, Е. Делассю, Г. Гамеля и др. В Советском Союзе исследования в этом направлении были начаты широко известной статьей Н. Г. Четаева «О принципе Гаусса» и продолжены работами его ученика В. В. Румянцева. Выявлению векторной структуры реакций неголоном-ных связей, их идеальности, понятию возможных перемещений неголономных систем, иерархии дифференциальных вариационных принципов были посвящены исследования Н. Н. Поляхова. В предлагаемой статье приводится критический обзор научной переписки Н. Н. Поляхова и В. В. Румянцева, посвященной этим вопросам, обсуждается современная трактовка взаимосвязи дифференциальных вариационных принципов механики и дается геометрическая иллюстрация их единства.

1. Векторное уравнение движения голономной системы. Пусть движение свободной механической системы характеризуется криволинейными координатами q = (q1, ..., qs). В этом случае для описания движения удобно использовать уравнения Лагранжа второго рода

где М — масса всей системы, а —обобщенная сила, соответствующая координате qa. Здесь и далее по дважды встречающимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах.

Вводя в данный момент времени в данном положении системы касательное пространство [1] к многообразию всех положений системы, которые она может иметь в данный момент времени, уравнениям Лагранжа второго рода (1.1) можно сопоставить

© А. А Нездеров, М. П. Юшков, 2010

d дТ ВТ

dt dqa aqu

(1.1)

а = 1, s , а, ß = 0, s ,

векторное уравнение [2]

мw = у, w = ва, у = ест ,

а, т = 1, в , а, /3 = 0, в .

Эвклидово пространство во введенном касательном пространстве определяется метрическим тензором с матрицей (дат), атт = 1, в, задаваемой выражением кинетической энергии. Отметим, что соответствующие слагаемые кинетической энергии составляют положительно-определенную квадратичную форму обобщенных скоростей. Матрица дополнительного метрического тензора (дат) состоит из элементов матрицы, обратной к матрице (дат).

С помощью инвариантных выражений квадрата возможного перемещения 5у и элементарной работы 6А [2] в касательном пространстве вводятся основной {е1, ея} и взаимный {е1, ..., ея} базисы криволинейной системы координат.

Если на движение системы наложены голономные связи

Связи (1.2), для которых То = 0, назывются идеальными. В этом случае можно говорить, что идеальные голономные связи (1.2) полностью определяются своим аналитическим заданием.

Для краткости будем в дальнейшем векторное уравнение (1.3) называть вторым законом Ньютона.

Перейдем от криволинейных координат д = (д1, ..., дя) к новым координатам д* = (д*, ••• , д|) по формулам

Формулы перехода (1.5) выделят в исходном в-мерном пространстве два ортогональных подпространства: ^-пространство с базисом {е*+1, ..., е*}, е1+х = V/o<, х = 1, к, и Ь-пространство с базисом {е*, ...,е*}, = (дда/дд^) еа, I = в — к, А = 1,1, а = 1, в.

Движение в ¿-пространстве описывается уравнениями Лагранжа второго рода

н=1,к,

то вместо уравнения МW = У будем иметь

М W = У + и,

где вектор реакции И связей (1.2) можно представить в виде

И = ЛК/ + То = N + То , Т • N = 0,

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Я* =/*Л(і, я), А=1,/, 1 = 8-к,

я1+х = ЯП*,Ч), * = ЇД,

(1.5)

где функции /*(і, я), Л = 1, /, выбираются исследователем. Преобразованию (1.5) соответствует обратное преобразование координат

Яа = Яа{і, я*), а = 1, в .

<1 дТ дТ

Зі дс£ дд£

Яа, А = 1,/,

а в К -пространстве расположена реакция идеальных связей (1.2)

И = Лк е*

1+к

причем обобщенные реакции Лк, к = 1, к, могут быть найдены по формулам

А 8Т 8Т Л 1-Г

<5 г+х + 1,/г.

* г+"

В силу выполнения уравнений связей (1.2) и преобразований (1.5) вариации координат 5д1^ж, х = 1, к, равны нулю, а вариации 6д^, Л = 1, /, являются произвольными, допускаемыми связями. В исходной системе координат д = (д1, ..., дя) уравнения связей

(1.2) на вариации бд17, а = 1, в, накладывают ограничения

д/К

5да = 0, н=1,к. (1-6)

дq<7

Вектор возможных перемещений ¿у можно представить в виде

¿У = е<т = ^*ед .

Для идеальных голономных связей (1.2) оказывается, что

к ■ ¿у = 0, (1.7)

а движению голономных систем соответствует выполнение принципа Даламбера— Лагранжа

¿дГ дТ \ „ , ч

4 (1'8)

Как указывает В. В. Козлов [3, с. 60, 61], если в основу голономной механики положить принцип (1.8), то «...при таком способе построения динамики в число аксиом следует включить определение возможных перемещений» и «даже в простейшем случае интегрируемой связи определение возможных перемещений есть независимая аксиома динамики».

Попытки перенести стройный и законченный аппарат голономной динамики на движение неголономных систем привели в конце XIX века к знаменитым ошибкам Э. Лин-делёфа [4], К. Неймана [5] и др. Даже один из основателей неголономной механики, один из авторов первых уравнений неголономной механики, не содержащих множителей Лагранжа, Л. Больцман первоначально допустил аналогичную ошибку.

2. Обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа и принцип Суслова— Журдена. Большое внимание в XX веке уделялось формулировке дифференциального принципа для систем, на движение которых наложены классические нелинейные неголономные связи первого порядка

¡1^,д,д)=0, н=1 ,к, (2.1)

при этом использовались два различных подхода.

При первом подходе исследователи стремились распространить принцип Даламбера—Лагранжа (1.8), справедливый в своей исходной формулировке лишь для

голономных систем, на движение неголономных систем. Одним из первых это блестяще сделал Н. Г. Четаев [6, с. 68], который стремился «... ввести для нелинейных связей понятие возможного перемещения так, чтобы одновременно сохранить и принцип Да-ламбера, и принцип Гаусса . . . ». Он подчинил возможные перемещения неголономной системы ¿q = (¿q1, ... ,¿qs) условиям

я /х ___

-^-¿^=0, н=1,к, (2.2)

внешне напоминающим условия (1.6). Неголономные связи (2.1), при наличии которых возможные перемещения подчинены условиям (2.2), получили название связей типа Четаева. При таком предположении для нелинейных неголономных систем оказывается справедливым обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа, сохраняющий вид (1.8), но в котором вектор «возможного перемещения» системы ¿у = ¿qст ест имеет компоненты, удовлетворяющие условиям Четаева (2.2); отметим, что при этом сохраняется и вид записи ортогональности (1.7) вектора реакции связей к «возможному перемещению» системы.

Как всегда при исследовании основополагающих положений в науке похожие условия на возможные перемещения неголономных систем вводились и рядом других авторов. Так, П. Аппель [7] и Дж. У. Гиббс [8] для этого случая вводили возможные перемещения по правилам, фактически отождествлявшим их с возможными скоростями, что являлось вполне естественным. Отдавая должное соответствующим рассуждениям П. Аппеля, В. С. Новоселов такие условия называет условиями Аппеля—Четаева и для соответствующих возможных перемещений вводит термин «А-перемещений» [9].

Возможным перемещениям неголономных систем были посвящены работы и других ученых, среди которых, в первую очередь, назовем Г. Герца [10], О. Гёльдера [11], Г. Гамеля [12]. Весьма интересной является статья Л. Маурера 1905 г. [13], рекомендованная к опубликованию Д. Гильбертом. В ней автор стремится объединить точки зрения Г. Герца, О. Гёльдера и Г. Гамеля. При этом Маурер пишет [13, с. 101]: «В механических проблемах рассматриваются только такие неголономные связи, которые являются линейными и однородными относительно производных; для проводимого здесь общего исследования это ограничение необязательно». Таким образом, в этой работе впервые в исследованиях учитываются нелинейные неголономные связи. Вводя собственное понятие сингулярных интегралов системы дифференциальных уравнений, Л. Маурер изучает возможность применения принципа Гамильтона при наличии нелинейных него-лономных связей и получает, в частности, условия на вариации координат при наличии таких связей в виде (2.2). Учитывая научную новизну исследований Маурера, Дж. Па-паставридис [14, 15] называет эти соотношения (2.2) условиями Маурера—Аппеля—Четаева—Гамеля, ставя фамилию Маурера на первое место.

Ряд работ этому направлению в 1936-1938 гг. посвятил и норвежский ученый Л. Юн-сен, подытоживший их в 1941 г. в обширной статье [16], имеющей вид небольшой монографии. Не останавливаясь на том, что Л. Юнсен первым расширил уравнения Больцмана—Воронца—Гамеля и канонические уравнения, полученные ранее для линейных неголономных связей, на случай связей нелинейных, скажем несколько слов

о его исследованиях относительно возможных перемещений в этом случае. В первой своей работе 1936 г. «Виртуальные перемещения неголономных систем и принцип Да-ламбера» Юнсен подробно рассматривает именно вопрос о возможных перемещениях неголономной системы. Опираясь на принцип Гаусса, он получает классические уравнения Лагранжа второго рода с множителями при наличии нелинейной неголономной

связи. После этого он эти же уравнения получает из принципа («расширенного» по его терминологии) Даламбера, если подчинить возможные перемещения условию, совпадающему с условиями Четаева (2.2). Затем Юнсен, разлагая уравнение связи по малым отклонениям всех параметров (в том числе и времени) до второго порядка включительно, записывает формулу, из которой, применяя «привычное определение виртуальных перемещений в голономно-реономном случае», получает условие Четаева. Далее выделяется бесконечно-малый элемент плоскости, перпендикулярной единичной нормали п с компонентами

и отмечается, что в направлении этой нормали внешние силы вызвать движение не могут. Скорость же и ускорение в направлении нормали п характеризуются вторыми и третьими слагаемыми в выписанной ранее формуле. Выражение нормальной составляющей связи Л. Юнсен не обсуждает, он только замечает, что «сила или компонента силы в этом направлении не оказывает никакого воздействия на движение точечной массы, она оказывается в равновесии и “теряется”». Надо полагать, что под словом «теряется» Юнсен понимает невозможность влиять на движение силой, направленной вдоль п.

В 1931 г. А. Пшеборский [17] распространил уравнения Маджи на случай нелинейных связей первого порядка и линейных связей второго порядка, обобщив понятие возможных перемещений и принцип Даламбера—Лагранжа на случай подобных связей. В 1938 г. и Г. Гамель [12] получает уравнения Маджи в случае нелинейных неголономных связей (по терминологии Гамеля «для неголономной системы высокого порядка первого класса»). Отметим, что здесь Гамель высоко оценивает упоминавшиеся выше работы Л. Юнсена. Важно, что в той же работе [12] Гамель рассматривает и «неголономные системы высокого порядка второго класса», т. е. подчиненные связи, содержащей нелинейно обобщенные ускорения (в статье обсуждалась лишь одна стационарная связь):

Требуя одновременного выполнения и в этом случае принципов Гаусса и Даламбера— Лагранжа, Гамель приходит к выводу, что возможные перемещения должны удовлетворять условию

Очевидно, что это соотношение является расширением условий Четаева (2.2) на случай одной нелинейной неголономной связи второго порядка.

Исследованию связей второго порядка посвящали свои работы и другие ученые, например, В. Вылкович, Е. Делассю, В. И. Киргетов, А. Китцка и др. Приведем цитату из статьи В. И. Киргетова [18, с. 666], отражающую кредо приверженцев рассмотренного первого подхода: «Понятие “возможного перемещения” системы, без сомнения, является основным в аналитической механике. Это не просто одно из понятий аналитической механики, но понятие, на котором построено все здание аналитической механики, понятие, полностью обусловливающее характер аналитической механики, степень ее общности, границы ее приложения. Аналитическая механика распространяется только на те материальные системы, для которых установлено понятие “возможного перемеще-

д/о

г = 1, 2, 3,

/2^, ^,<?) = 0 .

ния” системы или, другими словами, указано определение “возможных перемещений” системы».

При втором подходе вариации скорости 5'(1 = ¿/</я) подчиняются усло-

виям

Штрих при вариации обобщенных скоростей обозначает, что при составлении выражений (2.3) фиксированными считаются Ь и </<т, а = 1, в, т.е. рассматриваются вариации скорости в данный момент времени в данном положении системы. При вариациях возможных скоростей, удовлетворяющих условиям (2.3), оказывается справедливым принцип Журдена [19, 20]:

Как видим, Журден использовал не понятие возможных перемещений системы при наличии нелинейных неголономных связей (2.1), а понятие возможных скоростей него-лономной системы. Отметим, что практически этот же принцип, но с несколько видоизмененной терминологией, раньше Журдена сформулировал и Г. К. Суслов [21]. В связи с этим вариационный принцип (2.4) справедливо называть принципом Суслова— Журдена [22]. Сравнивая условия (2.2) и (2.3) и формы записи принципов (1.8), (1.7) и

(2.4), (2.5), видим, что обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа фактически оказывается эквивалентным принципу Суслова—Журдена. По-видимому поэтому Е. Делассю предлагал называть принцип (2.4) аналитической формой обобщенного принципа Да-ламбера [23].

3. О научной переписке Н. Н. Поляхова и В. В. Румянцева. Яркими представителями этих рассматриваемых подходов были профессоры В. В. Румянцев и Н. Н. По-ляхов, являвшиеся ведущими специалистами Советского Союза в области неголоном-ной механики. В этом отношении представляет особый научный интерес почтовая переписка указанных ученых, сохранившаяся в архиве Н. Н. Поляхова и приведенная в работе [24]. Обсуждение ее не только поможет в выяснении окончательных положений в этих вопросах, но и окажется полезным дополнением к основополагающим работам

[25, 26] и [27-29] этих авторов. В. В. Румянцев считал справедливым первый подход, а Н. Н. Поляхов придерживался второго.

В своих двух письмах В. В. Румянцев ставит вопросы, возникшие у него в связи с прочтением статьи Н. Н. Поляхова [28], а в двух письмах Н. Н. Поляхова даются на них ответы.

Помимо отстаивания своих взглядов на упоминавшиеся вопросы, авторы детально обсуждают условия идеальности неголономных связей, вид их реакций и взаимоотношение принципов Даламбера—Лагранжа, Журдена и Гаусса. При этом В. В. Румянцев,

ссылаясь на цитаты из статьи Гаусса [30], считает, что принцип Гаусса получен последним из принципа Даламбера—Лагранжа. В свою очередь, Н. Н. Поляхов полагает, что принцип Гаусса самостоятельно справедлив для неголономных систем и что из него

(2.3)

(2.4)

а идеальности неголономных связей (2.1) соответствует равенство

r • ¿'у = 0, ¿'у = ¿'q7 e7.

(2.5)

получаются принципы «более низкого порядка». При этом Н. Н. Поляхов пишет: «Я считаю, что принципы Журдена и Гаусса не имели бы никакой ценности, если бы они были только следствием принципа Даламбера—Лагранжа». Более подробно эта точка зрения с привлечением так же цитаты из статьи Гаусса [30] развита Н. Н. Поляховым во второй половине стр. 2 второго его письма.

Особое внимание можно обратить на рассмотрение вида реакций неголономных связей. В обсуждаемой статье [28] Н. Н. Поляхов для описания реакции неголоном-ной нелинейной связи (фактически лишь для случая идеальной связи) дает обобщение оператора Гамильтона, опираясь на вводимый им основной неголономный базис, предполагая его ортогональным (полезно его считать и нормированным). Здесь Н.Н. Поляхов явно использует идею вектора n, введенного Л. Юнсеном. Во втором письме

Н. Н. Поляхов, выделяя в продифференцированном выражении уравнения связи ускорение изображающей точки по Герцу, строит удачное выражение реакции неидеальных неголономных связей через два ортогональных вектора G и P. Разбирая полученную формулу, Н. Н. Поляхов пишет, что «P произвольный вектор, ортогональный вектору G = V 1<£>к. Отсюда видно, что каждой заданной функции связи соответствует определяемая ею реакция G к. Для определения P эта функция ничего не дает. ... Естественно назвать связь, в каком-то смысле, идеальной, если P = 0». В письме используются обозначения

д

ipx(t, х,х) = 0, V 1 = вг .

CjX i

Аналогичное представление распространяется и на связи второго порядка.

Отметим, что обсуждаемая формула реакции неидеальных неголономных связей появляется у Н. Н. Поляхова впервые именно в этом письме. Сама переписка явилась для Н. Н. Поляхова толчком к написанию статьи [29], сданной в печать 26 марта 1974 г. (последнее письмо датировано «8.3.73 г.»). В этой статье Н.Н. Поляхов приводит векторную запись уравнений движения неголономной системы материальных точек с помощью изображающей точки по Герцу и с некоторым изменением обозначений приводит обсуждавшееся выше представление реакции неголономных связей. В дальнейшем эти формулы Н. Н. Поляхов начинает использовать в своих лекциях и, наконец, в 1985 г. они публикуются в учебнике для университетов [31].

Подчеркнем, что полученная Н. Н. Поляховым формула отражает векторную структуру реакции неголономных связей, имеет наглядное содержание и носит фундаментальный характер. Через четверть века выводу и обсуждению выражения реакции неголономных связей посвятили свою работу известные американские ученые О. О’Рейли и А. Сриниваса [32].

В статье [29] Н. Н. Поляхов рассматривает некоторый произвольный промежуток времени то, умножая на который вариации скорости, получает выражения, которые формально можно назвать возможными перемещениями системы. Введение вектора

¿у/* = то ¿'v (3.1)

позволяет принципу Журдена придать форму, внешне совпадающую с принципом Даламбера—Лагранжа. Затем он вводит и вектор

т @

Sy* = — 5"w , у 2 ,

(3.2)

позволяющий ему принцип Гаусса, записанный как скалярное произведение суммы активной силы и силы инерции на вариацию ускорения системы ¿"г/, представить внешне в виде принципа Даламбера—Лагранжа, но при этом добавляет [29, с. 113]: «Однако следует иметь в виду, что ¿у* не есть возможное перемещение в смысле Лагранжа, вычисляемое как вариация вектора радиуса. Конечно, можно называть ¿у* возможным перемещением в обобщенном смысле, но такая терминология будет мало удачной, так как с термином перемещения в механике всегда связывают изменение координат точки». Подобную точку зрения разделяет и В.И.Киргетов [18], беря в аналогичных ситуациях термин «возможные перемещения» в кавычки (см. выше цитату из статьи [18]).

Несомненно, что переписка с Н. Н. Поляховым помогла и В. В. Румянцеву окончательно сформулировать свои взгляды. В частности, в статье 1975 г. [25] он для неголо-номных связей

1з(х„, ^, ¿V,хV, ¿V,■£) =0 (в = 1, ... ,к)

вводит векторы gradVv /я, совпадающие с обобщенными операторами Гамильтона, и получает [25, с. 259], что связи «накладывают ограничения лишь на составляющие ускорений точек по соответствующим градиентам связей, а составляющие, ортогональные векторам gradVv /я, остаются произвольными». Формулы (3.1) и (3.2) В. В. Румянцев рассматривает фактически как определения возможных перемещений при неголоном-ных связях первого и второго порядков, хотя и поясняет их геометрический смысл.

4. Разбиение касательного пространства уравнениями неголономных связей первого порядка на два ортогональных подпространства. Выше была выяснена принципиальная роль для описания реакций неголономных систем векторов, представляемых обобщенными операторами Гамильтона от функций, задаваемых уравнениями неголономных связей (2.1). Введем в рассмотрение ^-пространство с базисом {ег+1, ..., ея}, е1+х = V'= {д/\ ¡д(/<7)е<7, х = 1, к, и дополним его ¿-пространством, для которого векторы базиса {£1, ...,£;}, выбираются исследователем с соблюдением условий

£\ ■ £1+ж = 0, А = 1,/, н=\ ,к. (4.1)

Таким образом, исходное в-мерное пространство уравнениями связей разбивается на прямую сумму двух подпространств размерностей к и I.

Пусть рассматриваемая неголономная система находится в данный момент £ в положении д = (д1, ..., дя). В пространстве скоростей (рассуждения удобно сопровождать рисунком 1, соответствующим движению материальной точки в трехмерном пространстве при наличии одной нелинейной неголономной связи, т. е. когда в = 3, к = 1,1 = 2) уравнения связей (2.1) зададут 1-мерную поверхность, для которой рассматриваемые £ и д являются заданными параметрами. В зависимости от начальных условий и действующих сил при этих £ и д система может иметь различные векторы скорости V, но концы этих векторов для выполнения связей (2.1) должны находиться на поверхности. Предположим, что при выбранных £ и д система имеет конкретную скорость V (см. вектор ОМ на рис. 1). Тем самым дальнейшие рассуждения соответствуют конкретному состоянию системы при заданном времени, т. е. определенным значениям (£, д, д). На это обстоятельство неоднократно обращает внимание Л. Юнсен в своих работах.

В конце вектора V ортогонально векторам £г+1, ..., £я проведем касательную плоскость к поверхности, в этой плоскости согласно формулам (4.1) будут лежать выбранные исследователем векторы £1, ... , £ (см. на рис. 1 вектор £3 в точке М, векторы

Рис. 1. Скорости системы при наличии неголономной связи.

£1, £2 не указаны). Введение «К» и «Ь» подпространств позволяет теперь разложить имеющийся вектор скорости системы V на две ортогональные составляющие — вектор ”УК, характеризуемый перпендикуляром, проведенным к касательной плоскости из начала координат, и вектор VL, лежащий в этой плоскости.

Без нарушения связей скорость V может иметь вариацию 5^ = 5^^ (5^к = 0, т. к. вектор Vк задан уравнениями связей), которой соответствует при заданных (і, д, д) возможная скорость V (см. точку М на рис. 1). «Возможное перемещение системы» можно трактовать с помощью формулы

5у = то 5^ , (4.2)

аналогичной формуле (3.1), но его лучше мыслить проведенным в «обычном пространстве движения» от конца «радиуса-вектора у». При такой трактовке обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа совпадает с принципом Суслова—Журдена.

Отметим, что в случае линейных неголономных связей построенная выше поверхность превращается в плоскость, отстоящую от начала координат на длину вектора Vк, задаваемого уравнениями связей.

5. Разбиение касательного пространства уравнениями линейных неголономных связей второго порядка на два ортогональных подпространства. Еще

более общая точка зрения на дифференциальные вариационные принципы механики была изложена в статье [33]. В ней и в монографии [2] предлагается связи записывать

в виде линейных неголономных связей второго порядка

/2" g, д д) = (^ g, д) да + 40к (і, д,д) =0, ,

___ ___ (5.1)

а = 1, в , к = 1, к, I = в — к,

для чего достаточно неголономные связи первого порядка продифференцировать по времени один раз, а голономные связи два раза. В виде (5.1) может быть задана и непосредственно линейная неголономная связь второго порядка, правда, в настоящее время

пример подобной связи, осуществляемой механическим контактом, приведен лишь в работе [34].

При исследовании формирования силы реакции связей представление их уравнений в виде (5.1) принципиально важно, т.к. подобная запись содержит обобщенные ускорения, непосредственно связанные с силами. По-видимому, выделение обобщенных ускорений в уравнениях связей впервые было использовано в 1981 г. в работе [35], а затем подробно изложено в учебнике [31]. Позже аналогичный прием применяли и другие авторы. Так, например, Ф. Удвадиа и Р. Калаба [36] используют матричное исчисление для выяснения реакций связей, представленных линейными функциями относительно обобщенных ускорений, при этом они отмечают, что тем самым исследование справедливо и для линейных неголономных связей второго порядка. В результате применения обобщенной инверсии Мура (Мора)—Пенроуза, предложенной еще в 1920 г., фактически получается разбиение всего пространства на два ортогональных подпространства, при этом авторы получают систему дифференциальных уравнений относительно всех обобщенных координат, не содержащую множителей Лагранжа. Основываясь на этих

уравнениях, Ф. Удвадиа и Р. Калаба предлагают новую форму изложения принципа

Гаусса.

Уравнения связей (5.1) можно представить в виде скалярных произведений

£1+к. W = хК (1,4, 4),

£1+х = 4^ , хГ = -4о" + 4^ Пр <7 V , (5.2)

<7 = 1, в, н=1,к, а, /3 = 0, в ,

где являются символами Кристоффеля или функциями, их напоминающими и отражающими нестационарность базисов [2]. Появившиеся здесь векторы £г+1, ... , ея и выбираемые исследователем векторы £1, ...,£;, удовлетворяющие опять условиям вида

(4.1), позволяют вновь разбить исходное в-мерное пространство на два ортогональных подпространства «К» и «Ь» соответственно размерностей к и I, если эти векторы принять за базисы. Подчеркнем, что это рассмотрение и в этом случае проводится при конкретных значениях Ь, ц, ц. Наличие этих подпространств позволяет вектор ускорения представить в виде двух ортогональных составляющих

W = WL + WK ,

WL = ША £\ , WK = Шг+К £1+К , WL • WK =0

......... „ (5.3)

1+к

и записать вместо уравнения Ньютона два уравнения в этих подпространствах:

МWL = YL + И ,

, _ (5.4)

уь = дЛ£Л, Пь = Яа£а , А = 1,1,

МWK = YK + ик ,

_ ___ (5 5)

ук = д1+хе1+х, нл л е' . х = 17*. '

Формулами (5.2) полностью задается составляющая ускорения Wк, т. к. вторая составляющая WL в силу (5.3) может быть исключена из этих уравнений. Теперь реакция связи может быть при заданных активных силах определена из уравнения (5.5). Отметим, что само математическое задание уравнений связей, таким образом, задает

лишь вектор WK, но не влияет непосредственно на формирование вектора W¿. На него связи (5.1) могут влиять лишь косвенно через вектор И.£. Сами уравнения (5.1) выполняются при любом векторе И.£, в частности, и при И.£ =0. В последнем случае естественно назвать связи (5.1) идеальными. Если же связи являются неидеальными, то для полного их описания наряду с заданием уравнений (5.1) требуется охарактеризовать физическое осуществление выполнения этих уравнений, это и будет описывать закон возникновения вектора И^.

Рис. 2. Ускорения системы при наличии неголономной связи второго порядка.

Относительно вариации ускорений можно привести рассуждения, близкие к приведенным в предыдущем пункте для скоростей, но теперь построения проводятся в пространстве ускорений (поясняющий рассуждения рис. 2 весьма близок рис. 1). Линейные относительно ускорений уравнения (5.1) (или эквивалентные им уравнения (5.2)) задают в пространстве ускорений 1-мерную плоскость, находящуюся от начала координат на расстоянии |WK|, определяемом теми же уравнениями связей. На этой плоскости обязаны находиться концы ускорений для выполнения уравнений связей. При идеальных связях (И_£ = 0) полное ускорение согласно уравнениям Ньютона (5.4) и (5.5) формируется вектором

У Пк

м ' м

(см. векторы ОАМ и А-М на рис. 2). В результате получается вектор W (ОМ на рис. 2), из которого при известном WK находится и составляющая ускорения W¿ (АМ на рис. 2), лежащая в построенной плоскости.

Без нарушения уравнений связей (5.1) ускорению можно придать вариацию по Гауссу S"W = S"W^ (состояние (і, q, q) считается зафиксированным; 5"WK = 0, т. к. вектор WK задан уравнениями связей). В результате возможное ускорение будет характеризоваться вектором W, оканчивающимся на плоскости (вектор ОМ на рис. 2). Вектору 6'^, аналогично формуле (3.2), и здесь можно сопоставить вектор «возможного пере-

мещения» системы

т 2

5У=Л.5»Ч?} (5.6)

который опять следует мыслить приложенным в «пространстве движений» к концу «радиуса-вектора системы у».

Обратим внимание на то, что введенные векторы е1+х = V"/Iе = (д^/д!}а)е'7, ж = 1, /г, как легко проследить, при неголономных связях (2.1) превращаются в векторы V//f, ж = 1, /г, а при голономных связях (1.2) в векторы V//¿<, ж = 1, к.

6. Единство и взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов механики. Вычисляя частный дифференциал 6// при фиксированных Ь, ц, д от обеих частей выражений (5.2), получаем

е1+ж ■ (5"\¥ = е1+ж ■ (5"\¥ь = 0, ж = Т/к. (6.1)

Из приведенных формул и из выражения Ик = ЛК е1+к следует, что Ик • 5//W = 0. Если связи идеальные (И^ = 0), то

Ик = И = М W - У,

поэтому

(МW - У) • 5//W = 0 . (6.2)

Эта формула выражает принцип Гаусса для произвольной механической системы, на движение которой наложены связи (5.1), так как ее можно представить в привычном виде

6"г = 0, ^=у(\¥-У/М)2.

Если в формуле (6.2) использовать понятие «возможного перемещения» для связей

(5.1), задаваемое соотношением (5.6), то получим обобщенный принцип Даламбера— Лагранжа, распространенный на случай линейных неголономных связей второго порядка.

Вводя аналогично формуле (5.6) соотношение

5/У = т0 6^ ,

в случае неголономных связей (2.1) из принципа Гаусса (6.2) получаем принцип Суслова—Журдена, при этом плоскости на рис. 2 будет соответствовать плоскость на рис. 1. В свою очередь, принципу Суслова—Журдена был эквивалентен обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа.

При голономных связях (1.2) из формулыы (6.2) с использованием представления (5.6) получаем непосредственно принцип Даламбера—Лагранжа, при этом плоскостям на рис. 1 и 2 соответствует касательная 1-мерная плоскость к 1-мерной поверхности, задаваемой уравнениями (1.2). Именно в этой плоскости и расположены возможные перемещения 5у = 5цаест = 6ц*е^ голономной системы.

Итак, аналогично взглядам Н. Н. Поляхова можно считать наиболее общим принципом неголономной механики принцип Гаусса, справедливый и для линейных неголоном-ных связей второго порядка. Из него, как следствие, получаются принципы «более низкого порядка» — принцип Суслова—Журдена в случае классических нелинейных него-лономных связей, из которого, в свою очередь, следует принцип Даламбера—Лагранжа

при голономных связях. Последний следует и непосредственно из принципа Гаусса при определении (5.6).

При историческом пути развития вариационных принципов, справедливость которого отстаивал В. В. Румянцев, их формулирование требовало аксиоматического определения «возможных перемещений» по формулам (4.2) или (5.6) (или по формулам

(3.1) и (3.2)). Но, как было показано выше, эта аксиоматика фактически предвосхитила понятие возможных скоростей и возможных ускорений, соответствующих правилам вариационного исчисления.

Таким образом, оба подхода оказались справедливыми, в определенном смысле эквивалентными и плодотворными, при этом удачно дополняющими друг друга.

В работе рассматривались лишь идеальные связи до линейных связей второго порядка включительно. Такие связи могли быть осуществлены механическим контактом, и для них были получены выражения обобщенных реакций как функции t, q, q. В монографии [2] развита теория движения неголономных систем при идеальных линейных связях третьего и более высокого порядков. В этом случае приходится строить совместную систему дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат и обобщенных реакций как неизвестных функций времени. Подчеркнем, что тем самым реакции находятся как функции только времени и не зависят от каких-либо производных от обобщенных координат. Построенной системе дифференциальных уравнений соответствует принцип Манжерона—Делеану. Помимо этого при задании линейных связей высокого порядка можно было воспользоваться и обобщенным принципом Гаусса [37, 38], которому соответствуют уравнения движения в форме Аппеля и Маджи. Такие связи высокого порядка следует рассматривать как программные связи, а их реакции оказываются управляющими силами, обеспечиваюшими выполнение программы движения, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений высокого порядка.

Литература

1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

2. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнениядвижения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука, 2005. 269 с.

3. Козлов В. В. Принципы динамики и сервосвязи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1989. №5. С. 59-66.

4. Lindelöf E. Sur le mouvement d’un corps de revolution roulant sur un plan horisontal // Acta Societatis Scientiarum Fennicae. 1895. T. XX. N 10. P. 1-18.

5. Neumann C. Ueber die rollende Bewegung eines Körpers auf einer gegebenen HorizontalEbene unter dem Einfluss der Schwere // Berichte der Konigl. Söchs. Gesell. der Wissensch. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1885. Bd 37. S. 352-378.

6. Четаев Н.Г. О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. Т. 6. Сер. 3. 1932-1933. С. 68-71.

7. Appell P. Traite de Mecanique Rationelle. Paris: Gauthier-Villars, 1896.

8. Gibbs J. W. On the fundamental formulae of Dynamics // American J. of Math. Vol. XI. 1879. P. 49-64.

9. Новоселов В. С. Обусловленность реакций уравнениями связей // Прикл. мех. Вып. 10 (К 90-летию со дня рождения профессора Н. Н. Поляхова). СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. С. 198-199.

10. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. 1894. (Ges. Werke. Bd III. Leipzig. 1910). (Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 386 с.).

11. Holder L. O. Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertius // Nachrichten von der Kon. Ges. der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-phus. Klasse, 1896. Heft II. S. 122-157.

12. Hamel G. Uber die virtuellen Verschiebungen in der Mechanik // Math. Ann. 1904. Bd 59.

S. 416-434.

13. Maurer L. Ueber die Differentialgleichungen der Mechanik // Nachrichten von der Kön. Ges. der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-phus. Klasse, 1905. Heft II. S. 91-116.

14. Papastavridis J. G. Time-integral variational principles for nonlinear nonholonomic systems // ASME. J. Appl. Mech. 1997. Vol. 64. P. 985-991.

15. Papastavridis J. G. Analytical Mechanics. Oxford: University Press, 2002. 1392 p.

16. Johnsen L. Dynamique generale des Systemes non-holonomes // Skrifter Utgitt av det Norske Videnkaps-Akademi Oslo. I. Mathematik-Naturvidenskab Klasse, 1941. N4. S. 1-75.

17. Przeborski A. Die allgemeinsten Gleichungen der klassischen Dynamik // Math. Zeitschrift. 1931-1932. Bd 36. H. 2. S. 184-194.

18. Киргетов В. И. О возможных пеpемещениях матеpиальных систем с линейными диф-феpенциальными связями втоpого поpядка // Прикл. мат. и мех. 1959. Т. XXIII. Вып. 4. С. 666671.

19. Jourdain P. On those principles of mechanics which depend upon processes of variation // Math. Annalen. Leipzig, 1908. Bd 65.

20. Jourdain P. Note of analogy of Gauss’ principle of least constraint // Quart. J. Pure Appl. Math. London. 1909. Vol. 40. P. 153-157.

21. Суслов Г. К. Основы аналитической механики. Том I. Киев: Тип. Имп. ун-та Св. Владимира. 1900. 287 с.

22. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Принцип Суслова—Журдена как следствие уравнений динамики // Сб. научно-методич. статей по теорет. механике. Вып. 12. М.: Высшая школа, 1982. С. 72-79.

23. Delassus E. Les diverses formes du principe de d’Alembert et les equations generals du mouvement des systems soumis a des liaisons d’ordre quelconques // Comptes Rendus. 1913. T. CLVI. P. 205-209.

24. Нездеров А. А., Юшков М. П. О переписке Н. Н. Поляхова и В. В. Румянцева относительно понятия возможных перемещений при нелинейных неголономных связях // ?? Избранные труды Международной научной конференции по механике «Пятые Поляховские чтения». СПб., 2009.

25. Румянцев В. В. О совместимости двух основных принципов динамики и о принципе Четаева // Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. С. 258-267.

26. Румянцев В. В. К вопросу о совместимости дифференциальных пpинципов механики // Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука, 1976. С. 172-178.

27. Поляхов Н.Н. Канонические уравнения для неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1970. Вып. 1. №1. С. 120-122.

28. Поляхов Н. Н. Уравнения движения механических систем при нелинейных, неголономных связях в общем случае // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. Вып. 1. №1. С. 124-132.

29. Поляхов Н. Н. О дифференциальных принципах механики, получаемых из уравнений движения неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1974. Вып. 3. №13. С. 106-116.

30. Gauss K. Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik // Crelle’s Journal för die reine Mathematik. 1829. Vol. IV. S. 233.

31. Поляхов Н.Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та. 1985. 536 с.

32. O’Reilly O.M., Srinivasa A. R. On a decomposition of generalized constraint forces // Proceedings of the Royal Society. London. 2001. Vol. A457. P. 1307-1313.

33. Зегжда С. А., Юшков М. П. Геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре— Четаева—Румянцева // Прикл. мат. и мех. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 752-760.

34. Kitzka F. An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order in

particle mechanics // ZAMM. 1986. Vol. 66. N7. S. 312-314.

35. Поляхов Н.Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Уравнения динамики как необходимые

условия минимальности принуждения по Гауссу // Колебания и устойчивость механических систем. Прикл. механика. Вып. 5. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. С. 9-16.

36. Udwadia F. E., Kalaba R. E. A new perspective on constrained motion // Proceedings of the Royal Society London. 1992. Vol. A439. N1906. P. 407-410.

37. Чу ев М. А. К вопpосу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Маши-

ностpоение. Изд-во. МВТУ им. Н. Э. Баумана. 1974. №8. С. 165-167.

38. Поляхов Н.Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Обобщение принципа Гаусса на случай

неголономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. №6. С. 1328-1330.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2009 г.

ХРОНИКА

28 октября 2009 г. на заседании секции Дома ученых РАН по теоретической механики им. профессора Н. Н. Поляхова состоялся доклад доктора физико-математических наук профессора Г. Т. Алдошина (БГТУ «Военмех») на тему «Авто-параметрическое возбуждение колебаний в нелинейной системе с двумя степенями свободы».

Краткое содержание доклада:

Дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода, применяемые для исследования колебаний, как правило, нелинейные, и для их решения используют приближенные и численные методы. В консервативной системе со стационарными связями полная механическая энергия в процессе движения не изменяется, так что система не может отклониться от равновесия дальше, заданного начальными условиями, положения, что свидетельствует об устойчивости движения по Ляпунову. Тогда уравнения Лагранжа линеаризуются и сводятся к системе с постоянными коэффициентами. Такой прием рекомендуется в большинстве современных учебников и руководств по теоретической механике и теории колебаний. Вопрос определения границ применения метода линеаризации остается открытым. На ряде примеров нелинейных колебаний системы с двумя степенями свободы установлена некорректность такого подхода: члены высших порядков, отбрасываемые при линеаризации, могут сказаться не только на точности моделирования, но и исказить характер процесса. Высказаны некоторые эвристические соображения, которые могут явиться методическим обоснованием возможности линеаризации конкретных уравнений.