Управление преследованием цели по методу погони как неголономная задача механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т. Н. Погребская, Ш. Х. Солтаханов

УПРАВЛЕНИЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕМ ЦЕЛИ ПО МЕТОДУ ПОГОНИ КАК НЕГОЛОНОМНАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ

1. Введение. Как известно, неголономная механика возникла из необходимости решать задачи о перекатывании твердых тел без проскальзывания. Первоначально подобные задачи решались классиками механики (И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж.Даламбер, Ж. Лагранж, С. Пуассон и др.) с помощью основных теорем динамики. Во второй половине девятнадцатого века попытки решить такие задачи с помощью испытанных методов голономной механики (К. Нейман, 1885-1886 гг., Э. Кречини, 1889 г., П. Моленбрук, 1890 г., Э.Линделёф, 1895 г., Г. Схоутен, 1899 г.) привели к ряду знаменитых ошибок, привлекших пристальное внимание ведущих ученых того времени. Было выяснено, что вектор реакции идеальных неголономных связей принципиально отличается от вектора реакции идеальных голономных связей, поэтому вместо уравнений Лагранжа второго рода при изучении движения неголономных систем следует пользоваться уравнениями Лагранжа с множителями. Первые уравнения движения без множителей вывели С. А. Чаплыгин, 1895 г., и Г. Маджи, 1896 г. Позже было получено большое количество других различных форм уравнений движения неголономных систем, работа в этом направлении продолжается и в настоящее время.

Параллельно с получением уравнений движения (и для вывода уравнений движения) изучался вопрос и о дифференциальных вариационных принципах неголономной механики. Попытки применить для этого принцип Даламбера—Лагранжа, справедливый для движения голономных систем, требовали доопределения понятия возможных перемещений для неголономных систем. Здесь важнейшую роль сыграло аксиоматическое определение возможных перемещений для неголономных систем, данное

Н.Г. Четаевым в 1932-1933 гг. Это определение позволяло применить для неголоном-ных систем обобщенный принцип Даламбера—Лагранжа. Следует отметить, что занимаясь подобными проблемами, аналогичные определения возможных перемещений параллельно с Н. Г. Четаевым вводили и некоторые другие ученые, например, П. Аппель, Дж. Гиббс, А. Пшеборский. Но именно с вариациями скоростей связали дифференциальный вариационный принцип Г. К. Суслов (1900) и Е.Делассю (1913). Очень удачно эти два подхода объединил В. В. Румянцев, выразив вектор возможного перемещения неголономной системы как вектор возможной скорости, умноженный на бесконечно малый промежуток времени, введенный Гауссом в формулировку своего принципа. Сам же дифференциальный вариационный принцип неголономной механики для случая идеальных удерживающих неголономных связей первого порядка был сформулирован П.Журденом (1908-1909) и Г. К. Сусловым (1900), назвавшим его общим уравнением механики. В 1982 г. Н. Н. Поляхов [1] предложил называть его принципом Суслова— Журдена.

Указанными выше трудностями объясняется тот факт, что длительное время изложение теории движения голономных и неголономных систем шло самостоятельно, раздельно друг от друга. По-видимому, одними из первых, кому удалось предложить общий подход к выводу уравнений движения как голономных, так и неголономных систем

© Т.Н.Погребская, Ш.Х.Солтаханов, 2007

были Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда и М. П. Юшков [2]. Здесь особую роль сыграл вектор обобщенного оператора Гамильтона, введенный в рассмотрение Н. Н. Поляховым [3]. Этим вектором задается направление реакции идеальной неголономной связи. Позже подобный подход был использован для создания теории движения механических систем с неголономными связями высокого порядка [4].

2. Постановка задачи. Классическая теория движения неголономных систем позволяет, в первую очередь, описывать перекатывание без проскальзывания или скольжение твердых тел с острой кромкой. Границы применения аппарата неголономной механики резко расширились после введения А. Бегеном и П. Аппелем в рассмотрение сервосвязей [5]. Сам А. Беген с их помощью изучал движение гирокомпасов Аншютца и Сперри [6].

Щхо,Уо,х0)

Рис. 1.

С помощью сервосвязей можно изучать и управляемое движение, когда программа движения задана в виде уравнения сервосвязи, а ее реакция равна управляющей силе. Эту идею в динамике полета впервые применил В. И. Киргетов [7]. Он рассматривал закон наведения на цель по методу погони, когда скорость преследующей точки М(х, у, г) все время направлена на движущуюся цель Ц(£, п, С) (рис. 1 поясняет этот закон наведения в случае плоского движения). При плоском движении требование наведения точки на цель по методу погони приводит к необходимости выполнения условия

х = У X - ф) у - ф)

Программу наведения (2.1) В. И. Киргетов рассматривает как нестационарную неголо-номную связь

<р(ь, х, у, х, у) = (у - п(*))£ - (х - £(Ь))у = 0, (2.2)

наложенную на движение материальной точки. Это позволяет к исследованию поставленной задачи динамики полета применить аппарат неголономной механики и рассматривать реакцию неголономной связи (2.2) как управляющую силу, обеспечивающую выполнение программы движения (2.1). В работе [8] для решения задачи использовались уравнения Маджи, при этом в случае движений цели по плоским траекториям были найдены движения преследующей точки и получены годографы соответствующих управляющих сил (реакций неголономной связи (2.2)).

Известно, что в динамике неголономных систем существуют два способа составления уравнений движения — либо использование непосредственно уравнений Маджи или уравнений Лагранжа с множителями, либо применение принципа Суслова—Журдена. В работах [9] было показано, что наряду с упомянутыми основными способами можно

(2.1)

опираться на введенные в этих работах линейные преобразования сил. Именно этим способом в [9, 2001] были получены уравнения движения точки, преследующей в плоском случае цель по методу погони (2.1).

В предлагаемой работе подход работы [8] распространяется на пространственный случай движения цели и преследующей ее точки. Помимо этого, уравнения движения точки выводятся всеми тремя способами — в виде уравнений Маджи (и уравнений Лагранжа с множителями), с помощью принципа Суслова—Журдена и с помощью линейного преобразования сил.

3. Закон наведения на цель по методу погони в пространственном случае (уравнения сервосвязей). Пусть цель Ц движется по пространственной кривой, параметрическое уравнение которой имеет вид

С = С(г), п = п(г), С = С(г), г > о. (3.1)

Далее функции (3.1) считаем заданными.

При наведении на цель по методу погони вектор скорости летательного аппарата (ЛА), который мы рассматриваем как материальную точку, должен быть направлен на цель в любой момент времени. Поэтому должно выполняться условие

х у г

х - £ У -V г ’

или

У1 = (у - п)х - (х - С)у = 0 , у2 = (у - п)г - (г - С)у = 0 , у3 = (х - С)г - (г - С)х = 0 .

Это система линейно зависимых уравнений, поэтому одно из уравнений можно отбросить. Исключая из рассмотрения последнее из них, получим задачу с двумя неголо-номными связями

У1 = (у - п)х - (х - С)у = 0, У2 = (у - п)г - (г - С)у = 0 . (3.2)

Таким образом, наведение летательного аппарата на цель можно рассматривать как задачу неголономной механики, когда на движение точки наложены две идеальные неголономные связи (3.2). Реакции этих связей и будут управляющими силами, обеспечивающими закон наведения ЛА на цель по методу погони.

4. Силы, действующие на ЛА. При изучении пространственного движения ЛА будем учитывать действие на него силы тяги Р, направленной вдоль скорости V, силы тяжести и распределенной по корпусу и оперению аэродинамической силы И“, создаваемой набегающим на летательный аппарат потоком воздуха. Последнюю распределенную нагрузку обычно приводят к центру масс тела и заменяют главным вектором и главным моментом, называемыми в динамике полета полной аэродинамической силой и полным аэродинамическим моментом. При рассмотрении летательного аппарата в виде материальной точки будем учитывать лишь полную аэродинамическую силу, величину которой обычно представляют в исторически сложившемся виде Ка = сдБро2/2, где сд — безразмерный аэродинамический коэффициент, I — характерная длина (например, длина ракеты или крыла самолета), Б — характерная площадь (напр., площадь наибольшего поперечного сечения ракеты или площадь крыла самолета), р — плотность среды, в которой происходит движение, о — скорость набегающего потока (в нашем случае скорость преследующего тела).

В свою очередь, полную аэродинамическую силу представим в виде силы аэродинамического сопротивления Ду = су^р«2/2, направленной противоположно скорости движения ЛА, и перпендикулярной ей аэродинамической подъемной силы Д^ = с^^р«2/2. Как известно, аэродинамические силы, действующие на корпус и оперение ЛА, имеют сложную зависимость от углов атаки и скольжения, от числа Маха, от вязкости среды, высоты полета, конфигурации ЛА и от ряда других дополнительных факторов. Эта зависимость отражается с помощью соответствующего функционального задания аэродинамических коэффициентов су и с^, которые в большинстве случаев находят с помощью результатов экспериментальных продувок или по данным летных испытаний.

При рассмотрении ЛА в виде материальной точки можно считать, что подъемная сила направлена по орту п = (а, 6, с), перпендикулярному к соприкасающейся плоскости траектории движения преследующей точки. Для приближенного определения величин а, 6, с будем положение соприкасающейся плоскости в точке М(ж, у, г) находить как положение плоскости, проведенной через касательную т = (х/«, у/«, г/«), V = \/ х2 + у2 + г2 в точке М, и через близкую к ней точку М'(х',у', г1), координаты которой берутся из предыдущих вычислений. Тогда величины а, 6, с, можно найти из системы уравнений:

а(ж — ж') + 6(у — у') + с(г — г') = 0, а(ж — Ж^) + 6(у — у^) + с(г — £^) = 0,

а2 + 62 + с2 = 1 .

В случае модели, в которой ЛА заменяется материальной точкой, при пологой траектории выражение подъемной силы можно упростить и считать, что она направлена вертикально вверх. Тогда будем иметь

РЖ = QX = (Р — КУ)Ж^ !

РУ = Qy = (Р — КУ)у^ , (4-1)

= Qz = (р — )г/v + Кь — т5 •

5. Уравнения Лагранжа первого рода движения ЛА. Движение преследующей точки М массы т при наличии связей (3.2) под действием сил (4.1) можно описать уравнениями Лагранжа первого рода:

тЖ = Рж + Лх(у — п), ту = Ру — Лх(ж — £) — Л2(г — С), (5.1)

тг = Fz + Л2 (у — п).

Как обычно, к этим уравнениям следует добавить уравнения связей (3.2).

Из уравнений (5.1) можно выразить множители Лагранжа:

тж — РЖ , т,г — Р

Л1 =---------Л2 =----------------

у — п у — п

Подставляя выражения (5.2) во второе уравнение системы (5.1) и присоединяя к нему продифференцированные по времени уравнения связей (3.2), получим систему диффе-

(5.2)

ренциальных уравнений шестого порядка относительно ж,у, г:

ж — ^ г — ^

ту = Рч — (тх — Рх)--------(тг — _Р2)------,

у — п у — п

(у — п)ж — (ж — £)у — пж + £у = 0 , (5.3)

— (г — С)у + (у — п)г + Су — п^ = 0 .

Отметим, что если отсюда найти выражения ускорений ж, у, г (эти громоздкие формулы опускаем) и подставить их в формулы (5.2), то найдем множители Лагранжа как функции времени, координат и скоростей:

Лк = Лк(4, ж, ж, у, у, г, г), к = 1, 2 . (5.4)

При заданных начальных условиях после интегрирования системы дифференциальных уравнений (5.3) будет найден закон движения преследующей точки и при этом с помощью функций (5.4) могут быть вычислены проекции управляющей силы, обеспечивающей наведение на цель по методу погони:

Дж = Лх(у — п),

Ду = —Л1(ж — — Л2(г — С) , (5.5)

Rz = Л2 (у — п).

6. Уравнения Маджи движения ЛА. Рассматривая декартовые координаты точки как частный случай криволинейных координат

1 2 3

q = ж, q = у, q = г, можем уравнения Маджи движения ЛА записать в виде

дqст

(м^-дст)^ = о, д(/ст (мж, - дст) ^ = Л!,

(МИ',-<3„)^ = Л2, (61)

_ТТГ й дТ дТ _ ей ~~ дд* ’

сг=1,3, Т = ту /2 .

Здесь и далее по дважды встречающимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах.

(6 1 ) квазискорости о,*? „*

Введенные в уравнениях (6.1) квазискорости V1 V2, V3 свяжем с обобщенными ско-

•1 -2 -3

ростями q1,q2,q3 соотношениями

V*1 = (у — п)ж , V*2 = (у — п)ж — (ж — £)у, V*3 = (у — п)г — (г — 0^

(6.2)

чему соответствует обратное преобразование

1 1 2 V*1 . V*1 — V*2

х =-----, у =

1 & >= у — п ж — 5

_ -у*3(ж - £) + (г - (Х^*1 - V*2)

(6.3)

(ж — 5)(у — п)

Поэтому уравнения системы (6.1) принимают вид

тх-С^ | тг/-<Э2 | {т'£ - С]з)(г - () = р У-?? (х-0(У~11) ’ '

д Му-д2 (Мг-(Э3)(г-С) /г.,,

= ^-с-(,-?)(„-,) ' (6-5)

Л2 = АО-%

у — п

Видим, что уравнение (6.4) совпадает (с точностью до очевидных преобразований) с первым уравнением системы (5.3). Уравнение Маджи (6.4) содержит все три неизвестные координаты преследующей точки, поэтому его требуется интегрировать совместно с уравнениями связей (3.2). Дифференцируя для удобства уравнения связей по времени, опять приходим к системе уравнений (5.3). В свою очередь, представление Л1 и Л2 формулами (6.5) и (6.6) совпадает с выражениями (5.2), если учесть уравнение (6.4).

7. Вывод уравнений движения ЛА из принципа Суслова—Ж^урдена. При

движении ЛА должен выполняться принцип Суслова—Журдена:

(МШи — С2а)5'ча = 0, <7=1,3. (7.1)

На вариации обобщенных скоростей £^1, ^'</2, ^'</3 уравнения связей (3.2) накладывают

условия (это эквивалентно условиям Четаева)

д^к

—5'^= 0, я =1,2. (7.2)

д^

Умножая каждое из выражений (7.2) на Лк и вычитая их из (7.1), получаем

М\Уа — ) д'да = 0 , а = 1,3, >с = 1,2, (7.3)

или подробнее

(тж — Ql — Л1(у — п))^?1 + (ту — Q2 + Л1(ж — 5) + Л2(г — С ))^2 +

+ (т,г — Qз — Л2(у — пЖ?3 = 0 . (7.4)

Три вариации скоростей удовлетворяют двум условиям (7.2), поэтому, например, ^'(/2 и ^'(/3 можно выразить через ^'(/1. Подберем Л1 и Л2 так, чтобы обратились в нули коэффициенты при ^'(/2 и ^'(/3:

тж — Ql = Л1 (у — п), („ _)

ту — Q2 = —Л1(ж — 5) — Л2(г — С).

Тогда в сумме (7.4) останется только первое слагаемое, содержащее независимую вариацию ^'(/1, коэффициент перед которой тоже должен равняться нулю:

тг — Qз = Л2 (у — п). (7.6)

Полученная система уравнений (7.5)—(7.6) оказалась эквивалентной системе уравнений Лагранжа первого рода (5.1).

8. Вывод уравнений движения ЛА из линейного преобразования сил. Для

связи между обобщенными скоростями и квазискоростями были введены преобразования (6.2) и (6.3). Этими формулами перехода задается линейное преобразование сил [4, 9]

дv1 ~ дv2 ~ дv3

- ^\ ‘ТУ* * "7?* *

дv1 ~ дv2 ~ дv3

' * "7?* * I 'ту* *

. дг;*1 5г;2 ~ 5г;3

а* + 2 а* + ^3 а*

а также и обратное ему линейное преобразование сил

Кх = п*~д± + ^2~д± + п*3~д± =К(У-Г1) + Щ(у - V),

— дv1 — дv2 — дv3 — —

Яу=Щ-±+Щ-± + Щ-± = -Щ(х-0- Щ(г - С), (8-1)

ду ду ду

дv1 дv2 дv3

я* = П-^ + Щ-^ + Щ-^ = Щ(у-г1),

Я* Р д* , Р дУ , Р д* , Ку , Р *-(

'М — -*^хТГ~[ ~г гСу——^ -\- ±ьг ~ ~ — | - + К

дv!1 у дv!1 дv!1 у — п ж — 5 (у — п)(ж — 5) 7

Р д* , Р дУ , Р д* КУ р г~с ,оп)

^2 - Кх^п + + КгТГ-^ - -- -Т7~ , (»-^)

Кз - Кх + Ку + кх —

дv3 дv3 дv3 у — п

Выполнение условия наведения (3.2) требует, чтобы введенные квазискорости V2, V3 были равны нулю:

V3 = 0, v3 = 0 . (8.3)

Из теоремы, названной в [4, 9] основной теоремой неголономной механики, следует, что для выполнения условий (8.3) требуется положить

7г1 = 0, 7г2 = л1 , 7г3 = л2 . (8.4)

На основании формул (8.4) линейные преобразования сил (8.1) и (8.2) примут вид

Дж = Л1(у — п),

Ду = —Л1(ж — 5) — Л2(г — С) , (8.5)

Дz = Л2 (у — п),

ДЖ Ду „ г — С

о = —+ —у— + д, ц

у — п ж — 5 (у — п)(ж — 5) ’

<8-б)

Л, = -«=-.

у — п

Видим, что преобразование (8.5) дает уравнения Лагранжа первого рода (5.1), а преобразования (8.6) приводят к уравнениям Маджи (6.4) и к выражениям (6.5) и (6.6) для множителей Лагранжа.

Итак, четырьмя различными способами получены идентичные дифференциальные уравнения движения преследующей точки и выражения для управляющей силы, обеспечивающей ее наведение по методу погони на цель, движущуюся по закону (3.1).

4000

ООО

0

Ь

600

400

200

-200 -400 -600

9. Численные расчеты. В качестве примера рассмотрим следующий случай. Пусть цель движется по закону

£(£) = Уог + 5000 , п(0 = 5000 , С(0 = 5000 .

Здесь г задано в секундах, а £, п, С — в метрах. При этом для гипотетической ракеты,

рассматриваемой в виде материальной точки, принималось [8]

Уо = 194.44 м/с, т = 200 кг, Р = 2500 Н, =0.01 V2 Н, Яаь = 0.005 V2 Н.

Заданы начальное положение и начальная скорость ракеты:

х(0) = 0 , у(0) = 0 , г(0)=0 ,

Х(0) = 1, у(0) = 1, г(0) = 1 м/с .

Рис. 2.

Рис. 4.

Рис. 5.

На рис. 2 кривой 11 показано движение цели согласно принятому закону, а кривой 21 — соответствующее движение летательного аппарата.

На рисунках 3-5 представлены графики управляющих сил Ях, Яу, Яг (проекций реакции неголономных связей) как функций времени. Отметим, что Яу и Яг существенно начинают возрастать по модулю при приближении к цели, которая достигается при г = 81.7 с.

Summary

T. N. Pogrebskaya, Sh. Kh. Soltakhanov. The control of chasing a target by the pursuit method as a nonholonomic problem in mechanics.

V. I. Kirgetov was the first to use the apparatus of nonholonomic mechanics for studying the chasing of a target. Later this idea was developed by E. Yu. Leontyeva and M.P. Yushkov. In the work given this approach is extended to the case of a space motion of the target.

Литература

1. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Принцип Суслова—Журдена как следствие уравнений динамики // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 12. М.: Высшая школа, 1982. С. 72-79.

2. Поляхов Н.Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1985. 536 с.; М.: Высшая школа, 2000. 592 с.

3. Поляхов Н.Н. Канонические уравнения для неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1970. Вып. 1. №1. С. 120-122; Он же. Уравнения движения механических систем при нелинейных, неголономных связях в общем случае // Там же. 1972. Вып. 1. №1. С. 124-132.

4. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука. Физ-матлит, 2005. 269 с.

5. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз. Т. I. 1960. 516 с.; Т. II. 1960. 488 с.

6. Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. М., 1967. 171 с.

7. Киргетов В. И. О кинематически управляемых механических системах // Прикл. мат. и мех. 1964. Т. 28. Вып. 1. С. 15-24; Он же. Об уравнениях движения управляемых механических систем // Там же. Вып. 2. С. 232-241; Он же. О движении управляемых механических систем с условными связями (сервосвязями) // Там же. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 433-446.

8. Леонтьева Е. Ю., Юшков М. П. Применение аппарата аналитической механики к некоторым задачам динамики полета // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1996. Вып. 4 (№22). С. 110112.

9. Зегжда С. А., Юшков М. П. Линейные преобразования сил. Неголономные системы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 4 (№25). С. 70-74; Они же. Линейные преобразования сил. Примеры применения // Там же. 2001. Вып. 1 (№1). С. 77-85.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.