CC BY
53
Отсюда и из уравнений связей вытекает, что
= А = 1,1, а = 1,8.
Подставляя эти выражения в формулу обобщенного пpинципа Даламбеpа—Лагpанжа и учитывая, что величины б'у^, А = 1,/, прозвольны, получаем
а
дх дс[ ___
- ^ — = О, А =1,/, <7 = 1,8. (1)
В данных уравнениях величины хзи—2, хзи—1, хзи являются декартовыми координатами точки, положение которой задается радиусом-вектором
= Хз„—2 11 + Хзи—1 12 + хзи 1э .
Эта точка имеет массу ши = ш^, ¡л = 3v — 2, 3v — 1, 3v, и к ней приложена активная сила
^ = Хз„ — 2 11 + Хз„— 1 12 + 1з . Учитывая эти выражения, уравнения (1) можно записать в виде
дг„ дд
— А = 1,1, =
Заменяя суммирование по V интегрированием, получаем
А = ~1, *=ТГз. (2)
Здесь г = г(£, д) —радиус-вектор элементарной массы ¿ш, к которой приложена активная сила сШ. Отметим, что при записи уравнений (2) использованы обозначения, принятые в обзорной статье Дж. Папаставридиса [4, 1998]. Введем, следуя этой работе, векторы
л дг л дда л -
е<т = а^' £т = Щеа' а'т = 1'5' (3)
которые принадлежат не касательному пространству, а тому обычному евклидову пространству, в котором изучается движение рассматриваемой механической системы. Используя обозначения
д дда д дпт дгиТ дд'
а, т = 1, в ,
векторы £т представим в виде
дг
Тогда уравнения (2) примут вид
дг ~ _
* ' д^х = ' Л=М, (4)
где
~ Г дг дда С дг — _
Функции, входящие под знак интеграла в уравнениях (4), представим следующим образом:
дг <1 /. дг \ . <1 дг
д-кх Л V дтг)
Учитывая, что
^d^-Jt^'d^J'^Jtd^' X-1J' (5)
_
Г = -Q^ qa = qaea, q° = t, e0 = а = 0, s ,
получаем
eCT =
dr _ ,a два dnx ~ q dtf
а = 0, s , <7 = 1,s, A=1,/.
С другой стороны
d дг _ d idcf Л drf a i d drf
dr a dr
drf ~ 4 drf '
drf drf drf Л dqP dvx a drf а dvx drf Л
dvx dnx a
dt dnx ~ dt ~ dvx&a + [dtdvx)ea' Л-М>
поэтому
d dr ör ör — —
где
= _ dq°_
x dt dvx dnx' y '
Отсюда, а также из соотношений
дг д(1а дг дг дух дух дца дпх '
вытекает, что выражения (5) могут быть представлены в виде
г — д(г2/2) д(х2/2) т<7 д(х2/2)
Г' дтг* ~ А дьх д^ Л д4а ' (7)
Л = 1,1, а = 1, в .
Подставляя эти выражения в уравнения (4), получаем
] ат ЭТ» ЯТ „ _
dt dvx dnx dcf
Здесь T* —кинетическая энергия системы, выраженная через квазискорости. Используя выражения (3), представим сумму
dr
гра _ гра £
lx dq«~ х а
следующим образом:
дур
Так как
имеем
дг дда дг дда
дур дур дда дур а р '
дг
Т? е - -1¥р —-
где
^ = (9)
дур дд
В результате этих преобразований выражения (7) запишутся в виде
дг в, <9(Г2/2) д(гУ21
= ---+ Л = м' ^ =
а уравнения (4) —
С дТ* дТ* дТ
*
+ 77^ = ^. А = 1,1, р= 1,8. (10)
Л дпх дур Л
Покажем, что выражения (9) могут быть представлены в виде
л дух\сИдд° дд°) ' К '
Из формул (9) и (6) следует, что
Так как
имеем
дур дда _ р дда дух ~ х'"
(1 дур \ дда _ дур (1 дда
Функция ур(Ь, д, д(Ь, д,у*)) тождественно равна ур, поэтому дур дур ддт -—
W + WW= ' Р>°>'г = 1>*>
и, следовательно,
дур дда дур дда ддт дур ддт дда дур дда
дда дтгх дда ддт дух ддт дда дух дда дух
(13)
(14)
Из выражений (12)—(14) вытекает, что коэффициенты действительно могут быть представлены в виде (11).
Для случая, когда время явно не входит ни в выражения кинетической энергии, ни в уравнения связей, уравнения (10) и (11) были в 1938 г. получены Г. Гамелем [5], а для общего случая в 1957 г. выведены В.С.Новоселовым [1]. В 1998 г. В.В.Румянцев [2] получил эти уравнения в результате обобщения уравнений Пуанкаре и Четаева. Он установил [2, с. 57], что эти уравнения «... можно рассматривать как общие уравнения классической механики, включающие в себя как частные случаи все известные уравнения движения».
Уравнения (10) и (11) переходят друг в друга и записаны они и в первой и во второй форме в квазикоординатах. Учитывая это им можно дать общее название уравнений движения в квазикоординатах. При линейных неголономных связях и при наличии как потенциальных, так и непотенциальных сил данные уравнения, как было показано в [3], переходят в уравнения Пуанкаре—Четаева-Румянцева.
Summary
S. A. Zegzhda, M. P. Yushkov. On equations of motion of non-holonomic systems in quasi-coor-dinates.
The approach of J. G. Papastavridis is used for deriving equations of motion of non-holonomic systems in quasi-coordinates.
Литература
1. Новоселов В. С. Сведение задачи неголономной механики к условной задаче механики голономных систем // Ученые записки ЛГУ. Серия мат. наук. 1957. Вып. 31. №217. С. 28-49; Он же. Применение нелинейных неголономных координат в аналитической механике // Там же. С. 50-83; Он же. Расширенные уравнения движения нелинейных неголономных систем // Там же. С. 84-89.
2. Румянцев В. В. Об уравнениях Пуанкаре—Четаева // Тр. 5-й Всесоюз. конф. по анал. мех., теории устойчивости и упр. движением. Ч. 2. М.: ВЦ АН СССР. 1990. С. 3-18; Он же. Об уравнениях Пуанкаре—Четаева // Прикл. мат. и мех. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 3-16; Он же. Общие уравнения аналитической динамики // Там же. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 917-928; Он же. К уравнениям Пуанкаре и Четаева // Там же. 1998. Т. 62. Вып. 4. С. 531-538; Он же. Об общих уравнениях классической механики // Второе Всерос. совещание-семинар заведующих кафедрами теоретической механики. Тез. докл. Москва, 11-16 октября 1999 г. С. 57.
3. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2002. 276 с.
4. Papastavridis J. G. Maggi's equations of motion and the determination of constraint reactions //J. of Guidance, Dynamics and Control. 1990. Vol. 13. №2. P. 213-220; Он же. On the Boltzmann-Hamel equations of motion: a vectorial treatment // ASME. J. Appl. Mech. 1994. Vol. 61. №2. P. 453-459; Он же. On the transformation properties of the nonlinear Hamel equations // Там же. 1995. Vol. 62. P. 924-927; Он же. A panoramic overview of the principles and equations of motion of advanced engineering dynamics // Appl. Mech. Rev. 1998. Vol. 51. №4. P. 239-265.
5. Hamel G. Nichtholonome Systeme höherer Art // Sitzungsbererichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. 1938. Bd. 37. S. 41-52.
Статья поступила в редакцию 16 декабря 2004 г.
