CC BY
7
УДК 517.977
ПОЧТИ И СЛАБАЯ ЧАСТИЧНЫЕ m-СВОДИМОСТИ ^
К.В. Петрова
Ивановский государственный химико-технологический университет
В статье рассматривается фундаментальное понятие теории вычислимости -понятие сводимости. Приводятся известные и достаточно хорошо изученные сводимости по перечислимости, такие как ш-, pm-, рс-сводимости и др. Они представлены в диаграмме сводимостей по перечислимости.
Кроме этого введены две новые сводимости по перечислимости: почти pm-сводимость (apm-almost partial m-reducibility), слабая рш-сводимость (wpm-weak partial m-reducibility). Доказаны их простейшие свойства, установлен факт отличия pm- и apm-сводимостей.
Будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в монографии [1]. Приведем те из них, которые используются в статье.
О - множество натуральных чисел; A, B, C, ...(с индексами или без них) - подмножества множества СО ; A - дополнение множества А; Du - конечное множество с каноническим индексом u; < х, у > - канторовский номер упорядоченной пары (x, y); 5а -область определения частичной арифметической функции а ; ра - множество значений частичной арифметической функции а ; для сокращения записи вместо x е 5а будем писать !а(х); Wn , п е со - вычислимо перечислимое (в.п.) множество с в. п. индексом n;
(рп (x\ n > о - частично вычислимая функция с геделевым номером n. Если / - частично
вычислимая функция, то /-1(X) = (х :! /(х) А /(x) е X}.
Следуя [1], скажем, что А e-сводится к B посредством n и писать A <e B, если Vx [х е A ^ 3u [< х, и >е W а Du с B]].
Через Ф п обозначим оператор перечисления (или е-оператор), определяемый вычислимо перечислимым множеством Wn , для которого
Фп (X) = {x: 3u [< x, u >eWn а Du с X]} для любого X е о .
Таким образом, A <e B ^ 3n [A = Ф n (B)].
Будем писать A ^ B, если А не e-сводится к B и B не e-сводится к A.
Обозначим через deg(A) = {B: B <e A a A <e B} - е-степень множества А.
Известно, что частично упорядоченное множество е-степеней образует верхнюю по-
лурешетку De с наименьшим элементом Ое - е-степенью, состоящей из всех вычислимо перечислимых множеств.
Как обычно A © B = {2x : x е A} ^ {2x +1: x e B}.
Известно, что dege( A © B) является точной верхней границей е-степеней deg e (A)
и dege ( B).
*) Статья публикуется в авторской верстке
Классификация всех множеств через полурешетку е-степеней является одной из важнейших классификаций. Но вместе с тем эта классификация является в определенном смысле достаточно грубой. Например, в е-степень Ое попадают все вычислимо перечислимые и вычислимые множества, конечные и бесконечные. Для того, чтобы построить более подробную классификацию, необходимо усилить отношение е-сводимости так, чтобы эквивалентными были только множества, очень близкие по их алгоритмическим свойствам.
Приведем следующие известные усиления е-сводимости, которые определены в [1, 2, 3]. Пусть / - вычислимая функция.
1. А <! В &3/ - разнозначная Ул[х е А & /(х) е В].
2. А <т В &3/ Ух[х е А &/(х) е В].
3. А <с В &3/ Ух[х е А & (х) с В].
4. А < В &3/ Ух[х е А & £/(х) о В Ф0].
5. А <РВ &3/ Vx[x е А & (3и е В/{х)) л (Ви с В)].
6. А < рт В & 3п Vx[x е А &\рп (х) л рп (х) е В] & 3п [А = р-1(В)].
7. А < рсВ & 3П ^[ х е А &\Рп (х) Л Врп (х) С В] .
8. А < В &3п Vx[x е А &\рп (х) л Жр (х) о В Ф 0)].
Можно доказать, что А В & 3/ Vx[х е А & Ж/(х) о В Ф 0)].
Установлены [4] следующие соотношения между сводимостями по перечислимости (рис. 1).
Рис. 1. Диаграмма сводимостей по перечислимости
Наиболее изученными являются т- и рт-сводимости. Связь между этими сводимостями установил Ершов Ю.Л. [2]: (А <т В) & (А <рт В л А <рт В).
Так как отношение т-сводимости сильнее, чем отношение рт-сводимости, то всякая рт-степень состоит из объединения нескольких т-степеней. Среди т-степеней, составляющих одну (произвольную) рт-степень, всегда есть наибольшая.
Несмотря на тесную связь, рт-сводимость отличается от т-сводимости, т.к. для последней из сводимости А к В следует сводимость А к В , что неверно для рт-сводимости. Есть и другие различия, например, верхняя полурешетка От не имеет минимального элемента, а в Брт он существует.
Введем две новые сводимости по перечислимости.
Определение 1. Будем говорить, что множество А почти рт-сводится к В, и писать A < apm B (apm - almost partial m-reducibility), если
3Д, A2[(A2 — вычислимо перечислимое множество) a (A = A1 и A2) a (A1 <pm B)].
Удобно факт apm-сводимости записывать следующим образом:
(A <apm B)О (3 W3 /[ A = W и /1 (B)]),
где W- переменная, в.п. множество, / - частично вычислимая функция.
Определение 2. Будем говорить, что множество А слабо pm-сводится к В, и писать A < wpm B (wpm - weak partial m-reducibility), если
3A^ A1,..., Ak [(A = A1 u A2 U ... U Ak ) AVi (Ai < pm B)].
Кратко это определение можно записать так
A < wpm B ^3nl, n2,^ Щ [ A = U<( B)].
i=1,....k
Целью исследования является изучение свойств введенных сводимостей и включение их в диаграмму сводимостей по перечислимости.
Предложение 1. Отношение <apm рефлексивно и транзитивно.
□ Докажем рефлексивность отношения <apm. Возьмем A = A, A2 = 0, тогда по определению получаем A < apm A . Рефлексивность доказана.
Докажем транзитивноть отношения <apm. Пусть A <apm B и B <apm C . Т е.
3A1, A [(A2 — в. п. множество) a (A = A1 и A2) a (A1 <pm B via p)],
3BX,B2 [(B2 — в. п. множество) a (B = B1 и B2) a (B <pm C via /)].
Другими словами A = A2 uqfX(B), B = B2 и X(C). Тогда
A = A2 u V 1 (B2 u /^ (C)) = A2 u V 1 (B2) u V 1 (/1 (C)) .
Существует частично вычислимая функция у такая, что X(C) = ф~*(/ 40). Имеем A = A2 и у~Х(С), т.е. A <apm C. Транзитивность доказана. ■
Итак, отношение <apm рефлексивно и транзитивно. Поэтому отношение — apm на О , которое определяется естественным образом для любых X, Y со
(X - apm Y) О (X <apmY A Y ^ X) , является отношением эквивалентности.
Обозначим через a= degapm(A) = {X : X —apm A} и назовем этот класс множеств apm-степенью множества А.
Обозначим через Dapm множество apm-степеней, частично упорядоченных отношением <, которое индуцировано отношением <apm на множествах.
Предложение 2. Отношение <wpm рефлексивно и транзитивно.
□ Рефлексивность отношения <wpm следует непосредственно из определения wpm-сводимости при k = 1.
Докажем транзитивноть отношения <w . Пусть A < m B и B < wm C . Т е
BAl, A2,..., Ak [(A = A1 V A2 V... V Ak ) л^' = 1, k (Al < pm B via fi )],
3Bl,B2,...,Bt [(B = Bl vB2 v...vBt)лVj = ll (Bj <pm C via gj)]. Определим Ej = {x : \ f (x) л f (x) є Bj } . Тогда
A=UE»,
i=lk j=1l
Vl =1, k, j =1,1 (x є Ej \fi(x) л fi(x) є Bj ^ \gjfi(x) л gjfi(x) є C). Полагаем hlj = gjfi (i = 1, k, j = 1, l).
Имеем, 3Ey (i = 1,k, j = 1,l) [A = UEtj лVi = 1,k, j = 1,l Etj <pm C via htj].
і=1,к ]=і,і
Следовательно, А < м>рт С . Транзитивность доказана. ■
Аналогично определяется отношение =крт на СО и wpm-степень.
Предложение 3. Частично упорядоченное множество арт-степеней образует верхнюю полурешетку ^арт с наименьшим элементом Оарт - арт-степенью, состоящей из
всех непустых вычислимо перечислимых множеств.
□ Докажем, что частично упорядоченное множество арт-степеней образует верхнюю полурешетку Варт. По определению Варт является верхней полурешеткой тогда и
только тогда, когда любые две арт-степени множеств А и В имеют точную верхнюю грань.
В качестве точной верхней грани берем арт-степень множества А © В . Необходимо показать, что
A < A Є B •
apm 5
B < A Є B •
apm 5
VC[( A < C л B < C) ^ A Є B < C]
LV apm apm s apm J •
apm
apm
1)
2)
3)
Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем пункт 3). Имеем A <apm C и B <apm C . Т е. 3Aj, a2 [(A2 — в. п. множество) a (A = A1 и A2) a (A1 <pm C via p)],
3Bj,B2[(B2 — в. п. множество) a (B = Bx и B2) a (B <pm C via ^/)].
Полагаем E1 = A1 ©B1, E2 = A2 ®B 2,
у( y)
p
y
w
, если y — четное & \ p
y— 1 2
v 2 у 1\
, если y — нечетное & \ w
y — 1 2
тогда A © B = E V E2, E2 - в.п. множество, A1 © B1 < pm C via у
<
Таким образом, 3Ej,E2[(E — в. п. множество) a(A0B = E иE2) a(E C via у)].
Пункт 3) доказан, соответственно доказано, что множество apm-степеней образует верхнюю полурешетку.
Докажем, что Оарт - apm-степень, состоящая из всех непустых вычислимо перечислимых множеств, является наименьшим элементом в верхней полурешетке Dapm. Необходимо показать, что V а е Dapm VA £a VW е Оарт [W < apm A] . Пусть w е W, положим W(1) = {w}, W(2) = W \ {w}. Оба эти множества являются вычислимо перечислимыми, значит, оба принадлежат Орт - pm-степени, состоящей из всех непустых вычислимо перечислимых множеств. Значит, W^ <pm A и W^2) <pm A . Имеем,
3 W(1), W(2) [(W(2) — в. п. множество) a (W = W(1) и W(2)) a (W(2) <рт A)]. Таким образом, W <apm A. ■
Предложение 4. Частично упорядоченное множество wpm-степеней образует верхнюю полурешетку Dwpm с наименьшим элементом Owpm - wpm-степенью, состоящей из
всех непустых вычислимо перечислимых множеств.
□ Докажем, что частично упорядоченное множество wpm-степеней образует верхнюю полурешетку Dwpm. По определению Dwpm является верхней полурешеткой тогда и
только тогда, когда любые две wpm-степени множеств А и В имеют точную верхнюю грань.
В качестве точной верхней грани берем wpm-степень множества A 0 B . Необходимо показать, что
1)
2)
3) VC[(A <wpm C A B <wpmC) ^ A 0 B <wpm C] .
Пункты 1) и 2) непосредственно следуют из определения wpm-сводимости при k = 1
A < A Є B •
wpm 5
B < A Є B •
— wpm •>
с учетом того, что A < pmA Є B и B < pmA Є B .
pm
"wpm C и B <wpm C . Т е.
Докажем пункт 3). Имеем A <w
ЗA1, A2,..., Ak [(A = Al V A2 V... V Ak ) ЛVl (Al < pm C via pi )] ЗB1, ^..^ Bl [(B = Bl V B2 V... V Bl) ^j (Bj < pm C via Wj )]
Рассмотрим множества Elj = Al Є Bj, i = 1, k, j = 1, l. Очевидно, что
A Є B = U Ej.
i=1,k_ j=1,l
Определим функции уij (y) —
Wj
y
2
y— 1 2
, если y — четное & \ pt
v 2 у
, если y — нечетное & \ W,
<
Тогда имеем, V i = 1, k, j = 1, l [EtJ <pm C via ytj ]. Таким образом, доказано, что A 0 B < C
— wpm •
Пункт 3) доказан, соответственно доказано, что множество wpm-степеней образует верхнюю полурешетку.
Докажем, что Owpm - wpm-степень, состоящая из всех непустых вычислимо перечислимых множеств, является наименьшим элементом в верхней полурешетке Dwpm. Необходимо показать, что V а е Dwpm VA еа VW е Owpm [W <wpm A]. Это утверждение непосредственно следует из определения wpm-сводимости при k = 1 с учетом того, что W е Орт как вычислимо перечислимое множество. ■
Определение 3. Множество А является сжатым тогда и только тогда, когда для любого в.п. множества W либо A о W конечно, либо A о W конечно.
Определение 4. m является минимальным элементом в частично упорядоченном множестве D тогда и только тогда, когда m Ф O и Vx е D[(x Ф O a x < m) ^ m < x].
Предложение 5. apm-степень сжатого множества является минимальным элементом
в Dapm.
□ Пусть А - сжатое множество, В - не вычислимо перечислимое множество. Для того чтобы degapm(A) являлась минимальным элементом в Dapm, необходимо показать, что
VB[(B — Не В. П.) А (B <apm A) ^ (A <apm B)] .
Пусть B <apm A via V , т.е.
3Bj, B2 [(B2 — в. п. множество) a (B = B1 и B2) a (B1 <pm A via p)]
Обозначим через W = pp, W- в. п. множество. По определению сжатого множества либо (1) A О W - конечно, либо (2) A О W - конечно.
Рассмотрим случай (1): A О W - конечно.
Возьмем Vx [(x е B ^ ( ! V(x) a p(х) е A) ^ (! p(x) a p(х) е A о W)], следовательно, B1 < pm A о W . Поскольку A О W - конечно, A о W - вычислимо перечислимо, следовательно, и Бг - в. п. множество. Получаем, B = B и B2 - в. п. множество, что противоречит выбору множества В. Значит, случай (1) невозможен.
Рассмотрим случай (2): A О W - конечно.
Обозначим через A = W о A , A2 = W О A . Тогда A = A1 и A2, где A2 - в. п. множество. Покажем, что A1 < pm B . Зададим частично вычислимую функцию ^(x) = pT 1(x) . Тогда
Vx[(x е A) ^ (!p l(x) a p-1(x) е B^ (!v(x) a iy(x) е B)] ^ (!v(x) a iy(x) е B).
Получаем, A1 < pm B . Окончательно имеем,
3A1, A2 [(A2 — в. п. множеСтво) A (A = A1 и A2) a (A1 <pm B)] , т.е. A <apm B . ■
Предложение 6. wpm-степень сжатого множества является минимальным элементом в D .
D wpm•
□ Пусть А - сжатое множество, В - не вычислимо перечислимое множество. Для того чтобы deg м,рт(А) являлась минимальным элементом в Б т, необходимо показать, что
УЯ[(В - не В. П.) А (В <Крт А) ^ (А <№рт В)] .
Пусть В <№ртА , т.е. Щ, В2,...Вк [(В = В1 и В2 и ... и Вк ) А (У1 Вг < рт А Р2[ )]
Обозначим через Ж = р(р^ и РР^ и ... и РРгк , Ж - в. п. множество. По определению сжатого множества либо (1) А о Ж - конечно, либо (2) А о Ж - конечно. Рассмотрим случай (1): А о Ж - конечно.
Возьмем (х е В) О (3/ е {1,...,к}[х е В/]) О ( \рг (х) ар2 (х) е А) О
О Р (х) е А о Ж) О (В < рт А о Ж).
Поскольку А о Ж - конечно, А о Ж вычислимо перечислимо, следовательно, и В - в. п. множество, что противоречит выбору множества В. Значит, случай (1) невозможен.
Рассмотрим случай (2): А о Ж - конечно.
Положим А0 = А о Ж , Аг = р г. (В), / = 1,к, тогда А = А0 и А1 и... и Ак.
Возьмем Ь е В . Определим частично вычислимые функции
ГЬ, если х е А
¥о(х) = Г ,
[неопределена, в противном случае
/ (х) = Р-1(х), / = 1к.
Покажем, что для V/ = 0, к А <рт В. При / = 0 очевидно, что А0 <рт В /о .
При / = 1, к имеем
Vx[(х е А ) О (х е р21 (В)) О (\ р-1 (х) А р-1 р (В)) О (\ / (х) А /(х) е В)] . Получаем, что А/ < рт В . Окончательно имеем для
А = А о Ж и А = Рг,(В) г =1, к [(А = А и А1 и... и Ак ) А ^/А/ <рт В)]. Значит, А < Крт В. ■
Предложение 7. Если для множеств А и В, некоторой частично вычислимой функции / и вычислимо перечислимого множества Ж выполнено: А = Ж и/ *(В) (т.е.
А < артВ ) и Ж о 8/ - вычислимое множество, то А < рт В .
□ Обозначим через У1 =8/ \ (Жо8/), У2 = Ж\(Жо8/). У1,У2 - вычислимо перечислимые множества. Возьмем Ь е В, Ьх е В .
Зададим частично вычислимую функцию р следующими инструкциями:
1. Если х е Ж о 8/, то полагаем р( х) = Ь1.
2. Иначе начинаем одновременно перечислять Ух и У2 .
a. Если х появляется в перечислении Ух, то полагаем р(х) = /(х) .
b. Если х появляется в перечислении У2 , то полагаем р(х) = Ь .
Заметим, т.к. V1 О V2 = 0, то случаи a) и b) взаимно исключают друг друга.
Имеем, W и у~1 (B) с p , (x е у(B) ^ p(x) е B), (x е W ^ p(x) е B),
(x g W и у~1 (B) ^ p(x) g B).
Получаем, Vx[( x е W и 1 (B)) ^ (! p( x) a p( x) е B)]. Следовательно,
W UW~\B) < pmB , те. A < pm B . ■
Последнее предложение указывает условия, при которых pm- и apm-сводимости совпадают. Возникает вопрос, не будут ли эти сводимости совпадать для всех множеств. Следующая теорема дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Теорема. Существуют множества А и В такие, что А не pm-сводится к В, но А apm-сводится к В.
□ Построим в.п. множества W и C такие, что
1) C - бесконечное;
2) Vy[(pp — бесконечно) ^ (3x[(x е W) a (p (x) е C)])].
Опишем (у+1)-ый шаг построения. Проверяем выполнение условия:
3x[(! py (x)) a (py (x) > 2у)]. Если условие выполнено, то берем x - наименьшее x,
* / * \
удовлетворяющее указанному условию, и зачисляем x в W, а py (x ) - в С.
Имеем, для каждого у множество {0,1,...,2у}содержит не более у элементов из С.
Следовательно, C - бесконечно.
По построению W и С - в. п. множества. Таким образом, пункты 1) и 2) выполнены.
Построим множество B С C такое, что A и W не в.п. множество, где
A = {x,x) : x е b}.
Заметим, (*)если определить вычислимую функцию p(( x, x)) = x, то A1 < m B via V . Пусть Z = {z : Wz з W}.
Пусть z0, z, .. - какое-нибудь перечисление Z, а ^, c, .. - какое-нибудь перечисление C . (Оба перечисления не эффективные, т.к. Z, C - не в. п. множества).
Для каждого i = 0,1,2,... проверяем \Ci,еЛ е W . Если «да», то пусть Wz = Wz
' ' z j i
для некоторого j > i, тогда Cj зачисляем в В, а е не зачисляем. Если «нет», то е не зачисляем в В. Таким образом, получаем, что Vz ео [W и A Ф W ], т е. A и W - не в. п. множество.
Из замечания (*) имеем, A <т B via p. Следовательно, A <рт B , значит, A1 uW < apm B. Докажем, что A1 u W не будет pm-сводиться к В.
Предположим противное, A1 u W <pm B. Значит,
3 у — частично вычислимая [A и W = \у~ 1(B)] (**)
Т.к. у - частично вычислимая функция, то 3у[у = Vy ], где у - канторовский номер частично вычислимой функции.
Если ppy - бесконечно, то
3x[(x е W) a (p (x) е C)] ^ 3x[(x е W) а (! py (x)) a (p (x) g B)].
Что противоречит (**).
Если р(ру - конечно, то Д и Ж - вычислимое множество, что противоречит построению а и ж .
Таким образом, доказано, что А1 и Ж не будетрда-сводиться к В. ■
Дополним диаграмму (рис. 1) новыми сводимостями.
Рис. 2. Диаграмма сводимостей по перечислимости с учетом арт- и ирт-сводимости
ЛИТЕРАТУРА
1. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость.-М.: Мир, 1967. 525 с.
2. Ершов Ю.Л. Теория нумераций, I. Новосибирск, 1969. 174 с.
3. Скордев Д.Г. О частичной конъюнктивной сводимости // II Всевоюзн. конф. по матем. логике. Тезисы докл. М., 1972. С. 43-44
4. Поляков Е.А., Розинас М.Г. Теория алгоритмов. (Уч. пособие по спецкурсу для студентов математиков). ИГУ, 1976.
ALMOST AND WEAK PARTIAL m-REDUCIBILITIES
K. Petrova
This article is devoted to computable fundamental notion of the reducibility. Well known enumeration redu-cibilities such as m-, pm-, pc-reducibility are given here. Given reducibility diagram presents these reducibilities.
Two new enumeration reducibilities are introduced in paper: almost partial m-reducibility (apm-reducibility) and weak partial m-reducibility (wpm-reducibility). Simple properties of these reducebilities and distinction between pm- n apm-reducibility are proved.
