О предельно монотонной сводимости σ 0 2-множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 1 Физико-математические науки

2014

УДК 510.5

О ПРЕДЕЛЬНО МОНОТОННОЙ сводимости ^-МНОЖЕСТВ

Д.Х. Зайнетдинов, И.Ш. Калимуллин

Аннотация

Исследованы свойства lm-сводимости множеств, принадлежащих классу Е2 • В частности, доказано существование несравнимых Е2 -множеств относительно lm-сводимости. Кроме того, построена бесконечная равномерная последовательность несравнимых Е2-множеств относительно lm-сводимости, показано также отсутствие наибольшего Е2-множества относительно рассматриваемой сводимости.

Ключевые слова: вычислимые функции, Е 2 -множества, предельно монотонные функции, предельно монотонные множества. * 1

Введение

Обозначим через щ = {0,1, 2,...} множество неотрицательных целых чисел. Функция f : щ ^ щ называется предельно монотонной, если существует вычислимая функция y>(x, s) такая, что для всех x £ щ

1) f (ж) = lim ^(x, s);

s—— ^

2) <^>(x, s) ^ т(ж, s + 1) Vs £ щ.

Множество A С щ будем называть предельно монотонным, если A = 0 или оно является областью значения некоторой предельно монотонной функции.

Пусть дано множество натуральных чисел X £ 2Ш. Спектром предельной монотонности (иногда будем называть его просто спектром и обозначать как lmSp( A)) множества A называется класс всех множеств X £ 2Ш таких, что A является предельно монотонным множеством относительно некоторой функции <p(x, s) такой, что X.

В обозначениях и терминологии мы придерживаемся в основном монографии [1]. Мы имеем дело с множествами и функциями, заданными на множестве щ. Для обозначения множества всех конечных последовательностей над щ используется запись щ<ш. На множестве щ<ш для любых двух строк x и у определим их покомпонентный порядок, а именно xix2 ... xn y1y2 ... yn тогда и только тогда, когда xi ^ yi & x2 ^ у2 & ... & xn ^ yn. После этого мы можем вычислимо

отождествить множество всех строк, заданных на щ, с множеством натуральных чисел, то есть можем задать взаимно-однозначное отображение щ<ш ^ щ. Тогда под записью Б<ш будем понимать множество номеров строк x1x2 ... xn таких, что xi £ Б, x2 £ Б, ..., xn £ Б.

В работе (2] введено понятие сводимости на семействах подмножеств натуральных чисел, согласованное с понятием У-определимости в допустимых множествах. Обозначим через Fa семейство начальных сегментов {{x | x < n} | n £ A}. В соответствии с работой (2] определим lm-сводимость множеств как У-сводимость соответствующих начальных сегментов, а именно A Б тогда и только тогда, когда Fa Fb • В настоящей статье нам будет удобнее пользоваться эквивалент-

ным понятием lm-сводимости.

22

О ПРЕДЕЛЬНО МОНОТОННОЙ СВОДИМОСТИ Eg-МНОЖЕСТВ

23

Определение 1. Будем говорить, что A <im B, если A = {9(x), x G B<“}, где 0(x) - предельно монотонная функция, которая является монотонной по своим аргументам, то есть если в(y) j и x ^ y, но 0(x) j и 0(x) ^ в(у).

Определение 2. Будем говорить, что A =lm Б, если A <lm B и B <lm A. Отметим, что отношение ^im рефлексивно и транзитивно, так что =im является отношением эквивалентности.

Предельно монотонной степенью (или, иначе, lm-степеныо) множества A назовем класс эквивалентности deg(A) = {Б : B =im A}. В дальнейшем lm-степеныо множеств будем обозначать строчными полужирными буквами а, Ь, с. Через Sim обозначим класс всех lm-степеней. Степени из Sim образуют частичный порядок относительно отношения deg(A) ^ deg(B) тогда и только тогда, когда A ^im B. Будем записывать deg(A) < deg(B), если A < imB, то есть если A <im B и

B ^im A-

Во втором параграфе настоящей статьи мы докажем, что каждый счетный частичный порядок вкладывается в Sim.

Покажем сейчас отсутствие наибольшего Eg-множества относительно 1т-своди-мости, используя свойства спектра предельно монотонных Eg-множеств. Для этого воспользуемся следующими двумя теоремами, доказательства которых можно найти в работе [3].

Теорема 1. Если S G Eg, то спектр множества S содержит низкую степень.

Теорема 2. Множество X 0' не является 2-низким тогда и только

тогда, когда X принадлежит спектру каждого множества S G Eg.

Отсюда, как следствие из этих теорем, непосредственно вытекает следующий результат, устанавливающий отсутствие наибольшего Eg-множества относительно 1т-сводимости.

Следствие 1. Не существует наибольшего Eg-множества относительно lm-сводимости1.

Доказательство. Из приведенных выше определений спектра и 1т-сводимо-сти нетрудно видеть, что если A ^im B и B является предельно монотонным множеством относительно функции <p(x, s), где X, то A также является

предельно монотонным множеством относительно некоторой функции X.

Отсюда непосредственно следует, что спектр предельной монотонности множества B содержится в спектре предельной монотонности множества A, то есть lmSp(B) С lmSp(A). Дадее, применяя теорему 1, получим, что если B G Eg, то для класса low всех низких множеств имеет место включение low С lmSp(B). Из теоремы 2 следует, что для класса Nonlowg всех не 2-низких множеств имеет место равенство Nonlowg = р| (lmSp(A) ( 0'), где под выражением lmSp(A) ( 0' по-Aes»

нимается множество элементов спектра lmSp(A), Т-сводящихся к 0'. Кроме того, известно, что каждая низкая степень является также и 2-низкой. Таким образом, если предположить, что B является наибольшим Eg-множеством относительно 1т-сводимости, то получим lmSp(B) = р| (lmSp(A)). Рассмотрим теперь последнее

Aes»

равенство в ограничении на 0', то есть lmSp(B) ( 0' = р| (lmSp(A) ( 0'). В итоге

Aes» 1

1Авторы настоящей статьи благодарны М.Х. Файзрахманову за высказанные идеи, которые легли в основу доказательства данного результата.

24

Д.Х. ЗАЙНЕТДИНОВ, И.Ш. KA. lllMV. l. 11111

получим противоречие с тем, что класс низких множеств содержится в классе не

2-низких множеств:

low С lmSp(B) \ 0' = (lmSp(A) \ 0') = Nonlow2.

Ае£° □

Основные результаты, на которые мы будем опираться при изучении свойств предельно монотонной сводимости, представлены в работах [4] и [5]. Далее докажем лемму, которая будет полезна нам во втором параграфе настоящей статьи.

Лемма 1. Если A является бесконечным £2 -множеством и существует бесконечное множество B, содержащееся в A, то A <1m B.

Доказательство. Пусть A - бесконечное £2-множество и существует бесконечное множество B С A. Так как A является £2-множеством, т0 существует такая вычислимая функция h, что для каждого a £ ш имеем

a £ A Wh(a) конечно.

Зафиксируем вычислимый набор пар {(xk, ak)}kew таких, что xk - непустая строка xk = bfe,obfe, 1 ... bk,sk-1 £ и><ш и ak < bk,0 . Для того чтобы показать, что A ^lm B, определим предельно монотонную функцию 9(xk, s), которая задает множество A в следующем виде:

A = {#(xfc, s), xk £ B<, s £ ш, к £ ш}.

Определим искомую функцию в виде

, . Г ak, если Wh(ak ),s С Wh(ak },sfc)

0(xk, s) = <

[bkj0 в противном случае.

Докажем, что 9(xk) = lim 9(xk, s) является предельно монотонной аппрокси-

S—— ^

мацией для множества A. В самом деле, во-первых, заметим, что для всех к, s £ ш справедливо соотношение 9(xk, s) ^ 9(xk,s + 1). Во-вторых, легко увидеть, что max 9(xk, s) существует для всех к £ ш, так как max 9(xk, s) ^ bk o-

sGw sGw ’

Теперь предположим, что a £ A. Так как множество B бесконечно, то существует такое к, что xk £ B<“, bk ,o > ak, где a = ak и Wh(ak) = Wh(ak),sk ■ Тогда для любой длины s строки xk имеем Wh(ak), s С Wh(ak), sk . Поэтому lim 9(xk, s) =

ak a •

Допустим, что a £ A. Тогда множество Wh(a) должно быть бесконечным. Выберем к, s такие, что 9(xk, s) = a и xk £ B<“. Тогда существует s' Д s, для которого TTfe(afc)iS/ Д Wh(ak)iSk . В итоге имеем, что 9(хк, s') = bfcj0 > а для всех s' ^ s. Отсюда вытекает, что а Д lim в{хк, s) для всех номеров к £ ю. □

s—— ^

1. Существование пары несравнимых множеств

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании несравнимых £2" множеств относительно 1т-сводимости.

Теорема 3. Существуют такие £2~множества A и B, что A Д1т B и B Д 1m A.

Доказательство. Пусть ^>e(x,t), где e £ ш - равномерное перечисление всех частично вычислимых функций таких, что если значение <p(x,t') определено

О ПРЕДЕЛЬНО МОНОТОННОЙ СВОДИМОСТИ Eg-МНОЖЕСТВ

25

для любого шага t' ^ t, тогда значение функции ip(x,t) определено и на всех предыдущих шагах t и y>(x, t) ^ ip(x,t').

Далее, на шаге s нашей конструкции мы определим конечные множества As и Bs таким образом, ч тобы A(y) = lim As(y) и B(y) = lim Bs(y) для любо го у.

s—— ^ s—— ^

Сформулируем условия, которые в дальнейшем будем именовать требованиями R2е и Й2е+1 > которым должны удовлетворять множества A и B:

Й2е : (Vx G B<“) [f2e(x) = lim <p2e(x, t) < w] =^ A = rng(/2e);

t—

R2e+1 : (Vx G A<“) [/2e+1 (x) = lim ^2e+l(x,t) < w] =^ B = rng(/2e+l).

t—

Стратегия удовлетворения только одного требования R2e состоит в том, чтобы на шаге s выбрать произвольное число m2e. Затем поместить его в A, то есть положить As(m2e) = 1. При этом требование R2e будет удовлетворено, так как As(m2e) = 1 и /2e(x) Т- Если та более позднем шаге to мы найдем x G B<“ такой, что y>2e(x,to) = m2e, тогда для выполнения требования R2e необходимо удалить m2e из A, то есть полагаем A(^2e (x,t)) = 0 для любо го t ^ to. Итак, имеем либо As(m2e) = 1 И /2e(x) Т , Либо /2e(x) j И As (<£>2e(x, t)) = 0.

Построение множеств A и B.

На шаге s мы пытаемся определить значения параметров me, xe и ne = y>(xe, s) для всех требований Re. Каждый из параметров может быть также неопределен.

Шаг 0. Пусть Ao = Bo = 0, считаем все параметры неопределенными.

Шаг s > 0. Для каждого подшага i = 0,1, 2,..., s — 1 мы выполняем следующие действия:

Подшаг i = 2e.

1. Если m2e Т, тогда в качестве m2e берем наименьший номер в w[e], больший, чем все my, j < e, который не запрещен никаким требованием. При этом требование R2e запрещает m2^ A. Полагаем As(m2e) = 1 и выполняем следующий подшаг или, если i = s — 1, то переходим к шагу s + 1.

2. Допустим, что x2e Т , n2e Т и существует x G B<“ такой, что ^>2e(x, s) = = m2e. Тогда определим x2e = x и n2e = m2e. Следовательно, получаем, что x2e j и ^>2e(x2e, s) = m2e. Тогда удаляем m2e из A, то есть As(m2e) = 0. Требование R2e запрещает все элементы строки x G B<“ в множестве B. Выполняем следующий подшаг или, если i = s — 1, переходим к шагу s + 1.

3. Пусть теперь x2e G B<“, n2e = ^2e(x2e, s). Полагаем As(n2e) = 0. Если окажется, что n2e запрещен требованием Ry для j > 2e, то полагаем все параметры и запреты для всех требований Ry при j > 2e неопределенными.

Подшаг i = 2e + 1. Проводим те же действия, что и при i = 2e, то меняем A и B местами. Если такого i не существует, то полагаем As+1 = As, Bs+1 = Bs и x|+1 = xse и n|+1 = n| для любо го e.

Если окажется, что As(y) или Bs(y) остаются неопределенными для некоторого у к концу шага s, то полагаем, что As(y) = As-1(y) и Bs(y) = Bs-1(y) соответственно. Шаг s завершен.

Для завершения доказательства теоремы докажем несколько промежуточных утверждений.

Предложение 1. Начиная с некоторого шага, значение каждого параметра me больше не меняется.

Доказательство. Предположим, что утверждение справедливо для любого i < e. Пусть so - такой шаг, та котором каждое значение m2, i < e уже достигло

26

Д.Х. ЗАЙНЕТДИНОВ, И.Ш. KA. lllMV. l. 11111

своего предела; значение xi уже определено, элементы строки xi уже запрещены требованием Ri, i < e. Пусть к Д e — наименьшее число, которое не запрещено этими требованиями и не совпадает ни с одним из этих конечных пределов lim ni s = lim ^i(xi,s) < то. Пусть si > so — такой шаг, что для всех s Д si

s—’ s—

^i(xi, s) = к для всех i < e. Тогда после шага s1 значение me ^ к не может быть изменено. □

Предложение 2. Если f2e(x) = lim <p2e(x,t) существует для любого x G

t—— ^

G Е<ш, то A = rng(f2e).

Доказательство. Предположим противное, то есть существует e такое, что A = rng(f2e). Пусть so — наименьший шаг, на котором все числа mi, i ^ 2e, достигают своего предела. Тогда на некотором более позднем шаге s > so нам необходимо выполнить второй пункт из конструкции для построения множеств A и B, иначе получим, что A(m2e) = 1, но m2e G rng (f2e) • Пусть m2e = ф2e(x2e, s), здесь шаг s понимается как минимальный номер шага, использующийся во втором пункте конструкции. Следовательно, для шага t > s имеем n2e = ^2e(x2e,t) и At(n2e) = 0. Таким образом, получаем, что At(y>2e(x2e, t)) = At(f2e) = 0. Это противоречит тому, что А = rng (/2е). □

Аналогичные рассуждения приводят к справедливости следующего утверждения.

Предложение 3. Если f2e+1(x) = lim ^>2e+1 (x, t) существует для любого

t—— ^

x G A<“ , то B = rng (f2e+i) •

Предложение 4. Для любого у существует lim As(y). Кроме того, A(y) =

s—— ^

= lim As(y) и A является ^-множеством.

s—

Доказательство. Для того чтобы все числа m2e для различных требований были различными, выберем в качестве параметра m2e для требования R2e числа у из w[2e] = |(x, i) : i = 2e}. Пусть so — наименьший шаг, на котором каждое значение mj, j ^ 2e, уже достигло своего предела. Поскольку у можно поместить в A<“, если только у = m2e, то A(у) после шага so может измениться не более одного раза. Поэтому А будет £2-множеством. □

Предложение 5. Для любого у существует lim ВДу). Кроме то го, В(у) =

s—— ^

= lim ВДу) и В является S2 -множеством.

s—— ^

Доказательство. Необходимо провести рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве предложения 4, только вместо 2e и A используем 2е + 1 и В соответственно. □

Этим утверждением завершается доказательство теоремы в целом. □

2. Бесконечная последовательность несравнимых £°-множеств относительно 1т-сводимости

В данном параграфе мы обобщим результат, полученный в первом параграфе, а именно построим бесконечную равномерную последовательность несравнимых S -множеств относительно 1т-сводимости.

О ПРЕДЕЛЬНО МОНОТОННОЙ СВОДИМОСТИ Eg-МНОЖЕСТВ

27

Теорема 4. Существует такая равномерная последовательность бесконечных Eg-^нож:есme {Ai}ieu, что Aj ^lm р Aj, причём р Aj бесконечно и

j=j jew

x G Aj при x < i.

Доказательство. Пусть ^>e(x,t), где e G ш - равномерное перечисление всех частично вычислимых функций таких, что если значение y>(x, t') определено для любого шага t' ^ функции y>(x, t) определено и на всех предыдущих

шагах t и y>(x,t) ^ <p(x,t').

На шаге s нашей конструкции мы определяем конечные множества AjjS таким образом, чтобы Афу) = lim Aj s(y) для любо го у.

S—— ^ ’

В ходе построения множеств A.j будем следить за тем, чтобы предикат “ x G Aj ” принадлежал классу Eg, иными словами, множество 0 Aj = {(x,i) : x G Aj & i G ш} должно принадлежать классу Eg-множеств.

Для каждой пары (e, i) и для любого k G ш удовлетворяем требованиям R(e,i) и Pk , которые зададим в следующем виде:

R{e,j)

Vx G

П Aj

j=j

fe(x)

lim ^e (x, t) < ш

Aj = rng (fe);

Pk : max П Aj > k.

jGw

Стратегия удовлетворения единственного требования R{ej) состоит в том, чтобы на шаге s прикрепить к R{ej) потенциального «свидетеля» myejj) ■ Затем поместить его в Aj, то есть положить AjjS(m^e j)) = 1. При этом требование R(ey) будет удовлетворено, так как AjjS(m^e j)) = 1 и fe(x) j. Если на более позднем

шаге to мы найдем такой элемент x G ( р| aA , что ^e(x, t0) = mye j), тогда для

j J

выполнения требования R(ejj) необходимо удалить m^e j) из Aj, то есть положить Aj(^e(x, t)) = 0 для любого t ^ to • Итак, имеем, что либо Aj(m^e j)) = 1 и fe(x) j, либо fe(x) j И Aj(^e (x, t)) = 0.

Построение множеств Aj, i G ш.

На шаге s мы пытаемся определить значения параметров myejj), x^e j) и n^e j) = = ^(x^e j), s) для всех требований R(ejj) • Каждый из параметров может быть также неопределен.

Шаг 0. Пусть Ajj0 = 0 и полагаем все параметры неопределенными.

Шаг s > 0. Для каждого подшага l = 0,1, 2,..., s — 1 мы выполняем следующие действия.

Подшаг l = 2(e, i) + 1.

1. Если m^e j) j, то в качестве m^e j) > i берем наименьший номер в ш[е], больший, чем все m j,j), j < e, и который не запрещен никаким требованием. При этом требование R(ejj) запрещавт m^e j) в А^. Полагаем AjiS(m^e j)) = 1 и выполняем следующий подшаг или, если l = s — 1, то переходим к шаг у s + 1.

2. Допустим, что x^ej) j , n^ej) j и существует x G ( П Aj) , для которого

j J

j) (x, s) = m(e , j). Полагаем x^ , j) чаем, ЧТО x(e , j) | И <£>(e , j) (x<e, j) , s) есть Aj , s(mye , j)) = 0. А значит, требование R(e , j) запрещает все элементы строки

x и n(ejj) = m^e j). Следовательно, полу-m^e j). Тогда исключаем m^e j) из Aj, то

e,j

x G I П Aj

ч j=j

<w

в множестве x G

p| Aj ). Выполняем следующий подшаг или

j=j

если l = s — 1, переходим к шагу s + 1.

28

Д.Х. ЗАЙНЕТДИНОВ, И.Ш. KA. lllMV. l. 11111

3. Пусть теперь x(e,i) G (f| j , n(e,i) = АДД (x(e,i) ,s). Полагаем

' j=i '

Ai,s(n(eji)) = 0. Если окажется, что n^e,i-> и tk запрещены требованиями Rjy) и Pq для j > e и q > k, то объявляем все параметры и запреты для всех требований Rj}i)iI Pq при j > e и q > k неопределенными.

Подшаг l = 2k + 2. Для удовлетворения требований Pk проводим следующие действия: выбираем наименьшее число Д Д k и помещаем его в каждое Ai. При этом требование Pk запрещает tk во всех Ai; i G ш. Полагаем Ai,s(tk) = 1 и выполняем следующий подшаг или, если l = s — 1, то переходим к шагу s + 1.

Если окажется, что Ais(y) остается неопределенным для некоторого у к концу шага s, то полагаем, что A^^) = AijS_i(y). Шаг s завершен.

Для завершения доказательства теоремы докажем несколько промежуточных утверждений.

Предложение 6. Начиная с некоторого шага, значение каждого параметра m^eji) больше не меняется.

Доказательство. Предположим, что утверждение справедливо для любого j < e. Пусть so - такой шаг, та котором каждое значение m j < e достигло своего предела; значение х^,^ определено, элементы строки х^,^ запрещены требованием R(ji), j < e. Пусть k Д e - наименьшее число, которое не запрещено этими требованиями и не совпадает ни с одним из конечных пределов lim nj i) s =

= lim <fi(j i) (xji), s) < го. Пусть s1 > so - такой шаг, что ^(ц) (х(ц) ,s1) > k для всех j < e, для которых уд, i) (xj,i), s) = го. Тогда после шага s1 значение m(e,i) ^ к не меняется. □

Предложение 7. Для любого у существуе т lim Ai s(y). Кроме то го, Ai(y) =

S—— TO ’

= lim Ai s(y), и (J)i Ai = |(x, i) : x G Ai & i G w} является £°-множеством.

Доказательство. Для того чтобы числа m(ei) из различных требований были различными, выберем в качестве параметра m(e, i) для требования R(e , i) числа у из w[e] = {(x, i) : i = e}. Пусть s° - такой шаг, на котором каждое значение mj, i), j < e, уже достигло своего предела. Поскольку любое у можно поместить в Ai; если толь ко у = mj , i), j < e, то после шага s° мы можем только исключить элемент из Ai. Таким образ ом, Ai(y) после шага s° может измениться не более одного раза. Поэтому Д будет Si]-множеством. □

Предложение 8. Если /e(x) = lim ye(x, t) существует для любого x/e i) G G ( П A^ , m 0 Ai = rng (/e) <?ля вс еж i G w.

j y

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует e такое, что Ai = rng(/e). Пусть s° - наименьший шаг, та котором каждое значение mj , j ^ e достигло своего предела. Тогда на некотором более позднем шаге s > s° нам необходимо выполнить второй пункт из конструкции для построения множеств {Ai}i£w, иначе получим, что Ai(m(e,i)) = 1, но m(e,i) G rng (/). Пусть m(eji) = уду) (x(eji), s), здесь шar s понимается как минимальный номер шага, использующийся во втором пункте конструкции. Следовательно, для шага t > s имеем n(ei) = y(eii)(x{eji),t) и Aijt(n(ei)) = 0. Таким образом, получаем, что Aiit(^(e,i)(x(ey),t)) = Aijt(/e) = 0. Получили противоречие с предположением, что A = rng(/e). □

О ПРЕДЕЛЬНО МОНОТОННОЙ СВОДИМОСТИ Eg-МНОЖЕСТВ

29

Предложение 9. max р| Ai Д к для любого k £ ш.

i£w

Доказательство. Пусть so - такой шаг, та котором каждое значение myeji), (в, г) < к, достигло своего предела; значение x{eji) определено, элементы строки запрещены требованием R(e,i) > (в, г) < к. Пусть tk Д к - наименьшее число, которое не запрещено этими требованиями и не совпадает ни с одним из этих конечных пределов lim uyeji)jS = lim tf(e,i) (x(e,i), s) < го. Пусть si > so - такой шаг,

что для всех s Д s1 ^(eji) (x(eji), s) = k для всех (в, г) < к. Тогда после шага s1 значение Д £ р| Д не меняется. □

i£w

Таким образом, теорема 4 полностью доказана. □

Покажем теперь, что для любого счётного частично-упорядоченного множества P = (P, ^р) существует сохраняющее порядок 1:1 отображение из P в Sim, где Slm - это класс всех lm-степеней. Поскольку каждое счётное частичноупорядоченное множество вкладывается в вычислимый частичный порядок, мы можем считать, что P = ш, и ^р является вычислимым отношением.

Определим отображение f : ш ^ Slm, полагая

f (г) =hi = deg(Bi) = deg(nAfc : к <p г),

где Bi = р| Ak . Из теоремы 4 вытекает, что х £ Bi для любых x и г в том и

k^ P i

только том случае, когда (Ук ^ х)[к ^р г =^ x £ Ak], так что Bi £ Eg для

каждого г.

Наша задача показать, что если г ^P j, то Bi ^lm Bj , и если г ^P j, то Bi ^lm Bj. Для этого сформулируем и докажем следующие утверждения.

Предложение 10. Если г ^P j, mo Bi ^lm Bj.

Доказательство. Если г ^P j, тогда Bj = П Ak С Bi = п Ak, где

k^pj k^pi

Bi и Bj принадлежат клaccy E° -множеств. Далее, применяя лемму 1, получим

Bi = П Ак Дт Д = П Л. □

k^pi k^pj

Предложение 11. Если г ^P j, то Bi ^lm Bj.

Доказательство. По теореме 4 имеем Ai ^lm p| Ak. Применяя снова лем-

k=i

му 1, можно получить следующую цепочку неравенств:

Bi = П Ak >lm Ai ^lm П Ak >lm П Ak = Bj.

k^pi k=i k^pj

Следовательно, Bi ^lm Bj. Так как в противном случае, если бы между Bi и Bj существовала lm-сводимость, то и в цепочке приведенных выше неравенств присутствовала бы lm-сводимость, то есть мы имели бы Ai Дт f] Ak , а, это неверно. □

k=i

Из всех полученных во втором параграфе результатов можно сделать следующий вывод.

Следствие 2. Каждый счетный частичный порядок вкладывается в Slm.

30

Д.Х. ЗАЙНЕТДИНОВ, И.Ш. КАЛИМУЛЛИН

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 12-01-31389, 12-01-97008, 14-01-31200) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных - докторов наук МД-4838.2013.1.

Summary

D.Kh. Zainetdinov, I.Sh. Kalimullin. On Limitwise Monotonic Reducibility of E^-Sets.

In this paper, we study the properties of Im-reducibility of sets belonging to the class of E2-sets. In particular, we prove the existence of incomparable E^-sets with respect to 1m-reducibility. In addition, we construct an infinite uniform sequence of incomparable E^-sets relative to Im-reducibility and show that every countable partial order can be embedded into the class of all lm-degrees of E2 -sets.

Keywords: computable functions, E^-sets, limitwise monotonic functions, limitwise monotonic sets.

Литература

1. Coap Р.И. Вычислимо перечислимые множества и степени: Изучение вычислимых функций и вычислимо перечислимых множеств / Пер. с англ. - Казань: Казан, ма-тем. о-во, 2000. - 576 с.

2. Калимуллин И.Ш., Пузаренко В.Г. О сводимости на семействах // Алгебра и логика. - 2009. - Т. 48, № 1. - С. 31-53.

3. Калимуллин И.Ш., Файзрахманов М.Х. Спектры предельной монотонности E2-множеств // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 2. -С. 107-116.

4. Kalimullin I., Khoussainov В., Melnikov A. Limitwise monotonic sequences and degree spectra of structures // Proc. Amer. Math. Soc. - 2013. - V. 141, No 9. - P. 3275-3289.

5. Khoussainov B., Nies A., Shore R. Computable models of theories with few models // Notre Dame J. Formal Logic. - 1997. - V. 38, No 2. - P. 165-178.

Поступила в редакцию

27.01.14

Зайнетдинов Дамир Хабирович - аспирант кафедры алгебры и математической логики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: damir.zh@mail.ru

Калимуллин Искандер Шагитович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математической логики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: ikalimul@gmail.com