Спектры предельной монотонности σ02 -множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 154, кн. 2

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 510.5

СПЕКТРЫ ПРЕДЕЛЬНОЙ МОНОТОННОСТИ

-МНОЖЕСТВ

И. III. Калимуллип, М.Х. Файзрахмапов

Аннотация

Исследуются классы тыорипговых степеней, содержащиеся в нетривиальных спектрах предельной монотонности. В частности, доказано, что спектры предельной монотонности £¡2-множеств имеют ко-иервую категорию. Кроме того, построено £2 -множество, спектр предельной монотонности которого имеет меру пуль.

Ключевые слова: вычислимые функции, £2 -множества, предельно монотонные множества, тыорипговы степени.

Введение

Пусть дано множество натуральных чисел X £ 2Ш. Функция F называется Х-предельно монотонной, если для некоторой частично X-вычислимой функции ^(ж, s) выполнены условия:

1) для всех ж максимум maxs ^(ж, s) существует;

2) F(ж) = max ^(ж, s).

s

Множество S называется X-предмьно монотонным, если S совпадает с областью значений некоторой X -предельно монотонной функции или S = 0.

Ясно, что если S является X-предельно монотонным, то S £ . Иногда верно и обратное, как показывает следующий известный результат.

FX

ной областью значений. Тогда каждое -множеетво S D ran F является X -предельно монотонным..

Доказательство этого утверждения можно найти в обзорной работе [1]. Доказательство существования S2 множеств, не являющихся предельно монотонными, можно найти в статье [2].

Спектром предельной монотонности (а в рамках настоящей статьи просто спектром) множества S будем называть масс всех множеств X £ 2Ш таких, что SX

Зафиксируем эффективную нумерацию (Se}eew всех вычислимых операторов S:2W х w х w ^ w такую, что для всех X, ж, s:

1) S(X \ s; ж, s) определено, где через X \ s обозначена конечная строка

sX

2) S(X; ж, s) < s;

3) s(x; ж, s) < S(X; ж; s + 1).

Пусть дан вычислимый оператор Ф(Х; ж, s). Определим частичный оператор Ф : 2Ш х w ^ w, полагая

{тахФ(Х; ж, s), если тахФ(Х; ж, s) существует,

ss

не определено в противном случае.

Легко видеть, что функция F является X-предельно монотонной тогда и только тогда, когда существует такое е, что F(ж) = Se(X;ж). Из Предложения 1 теперь непосредственно получаем

Предложение 2. Бесконечное S^(X)-множеетво S является X-предельно монотонным тогда и только тогда, когда существует такой оператор S„, что (i) S„(X) тотальная функция; (и) S„(X;ж) > ж для всех ж; (iii) ran S„(X) С S.

В обозначениях и терминологии мы придерживаемся в основном монографии [3]. Малыми греческими буквами будем обозначать конечные строки из 2<ш. Для строки а через |а| обозначим ее дайну; для строк а и р пишем а ^ р, если а является началом строки р и пишем а — р, если а ^ р и а = р. Для множества X и строки а € 2<ш пишем а — X, если а — X Г п для некоторого п. Деревом в 2<ш будем называть такое непустое множество с трок, что если р € T и а ^ р, то а € T. Множество X называется путем в дереве T, если X Г n € T для всех п. Через Paths(T) обозначим множество всех путей в дереве T. Для строки а обозначим через [а] = {X : а — X} базовую окрестность, порожденную а. Для произвольного множества строк U С 2<ш определим класс [U]х = |J [а].

аеи

Через А будем обозначать равномерно распределенную вероятностную меру

в канторовском пространстве 2Ш, а именно: еели G С 2Ш открыто, то A(G) =

= 2-|а| для такого множества попарно несравнимых строк U, что G = [U]х; аеи

для произвольного класса C С 2Ш полагаем A(C) = inf{A(G) : C С G & G открыто}.

1. Ненулевые спектры предельной монотонности

В данном разделе изучаются и строятся примеры не предельно монотонных множеств, мера спектров предельной монотонности которых равна 1. Установим сначала, что такой спектр не может иметь такую меру только за счет того, что он 1

Теорема 1. Если Р - непустой П°-класс и Б предельно монотонно относительно каждого элемента из Р, то Б предельно монотонно.

Доказательство. По теореме о низком базисе [4] существует элемент низкой степени, принадлежащий Р. Отсюда Б е Е2 •

Предположим, что Б непредельно монотонно. Нашей целью будет найти множество 2 е Р, относительно которого Б непредельно монотонно. Для этого определим последовательность непустых П® -классов

Р = Ро 2 Р1 2 Р2 2 ...,

удовлетворяющую для каждого е > 0 требованию:

: Б и 2е(Х) не удовлетворяют условиям предложения 2

ни для какого X е Ре.

Тогда 2 е р| Ре будет искомым. Предположим, что Ре уже определено. Определим

е

Ре+1, рассматривая три возможных случая.

Случай 1. Существуют такие У е Ре и п е что 2е+1(У;п) ^ п. Определим

Ре+1 = {X е Ре :2е+1(Х; п) < п}. Тогда 2е+1(Х) для всех X е Ре+1 не удовлетворяет условию (11).

Случай 2. Существуют такие Y £ Pe и n, что значение Фе+1 (Y; n) определено, но не принадлежит S. Выберем t и у, для которых Se+1 (Y;n,t) = Se+1 (Y;n) = y, и определим

Pe+1 = {X £ Pe : Y \ t ^ X & Vs > t Se+i(X; n, s) = y}.

Тогда S и Se+1(X) для каждого X £ Pe+1 не удовлетворяют (iii).

Случай 3. Случай 1 и Случай 2 не выполняются. В этом случае просто положим Pe+1 = Pe. Тогда фе+1(Х) для каждого X £ Pe+1 не удовлетворяет (i). Предположим, напротив, что функция Se+1(X) тотальна для некоторого X £ £ Pe+1. Выберем такое вычислимое дерево T С 2<ш, что Pe+1 = Paths(T). Рассмотрим вычислимую функцию f, определенную следующим образом:

f (n, s) = min{Se+1(a; n, s) : a £ T & |a| = s}.

Легко видеть, что если f (n, s) = Se+1(a;n, s) для некоторого a £ T, |a| = s, и f (n, s + 1) = Se+1(r; n, s + 1) для некоторого т £ T, |т| = s + 1, то

f (n, s) < Se+1(T \ s;n, s)

Se+1 (т t s; n, s) < Se+1 (т; n, s +1),

так что f (n, s) < f (n, s + 1) для всex n и s.

Функция F(n) = maxs f (n, s) тотальна, поскольку

f (n, s) < Se+1 (X t s; n, s) < Фе+1 (X; n)

для всех s. Так как 2Ш компактно, то для любого n существует бесконечная по-

T

ao -< a 1 -< a2 -< • • •

такая, что

F(n) = f (n, |afc |) = Se+1(afc; n, |afc|) для каждого fc. Более того, для любой строки a ak С a С ak+1, имеем

Se+1 к; n, |afe |) < Se+1(a; n, |a|) < Se+1 (afc+1; n, |afc+11),

и поэтому

Se+1 (a; n, |a|) = F(n).

Отсюда для любого n существует путь Yn = Ukak £ Pe такой, что

F (n) = S e+1 (Yn; n).

Теперь для любого n верно F(n) > n и F(n) £ S, поскольку случаи 1 и 2 не имеют места. По предложению 1 множество S предельно монотонно. Противоречие. □

Известно, что существуют непустые П1 классы, содержащие только 1-случайные множества. Поэтому следующее утверждение немедленно следует из теоремы 1.

Следствие 1. Если спектр предельной монотонности множества содержит 1

Покажем теперь, как строить примеры непредельно монотонных множеств, спектр предельной монотонности которых содержит все 2-случайные множества.

Теорема 2. Существует непредельно монотонное А^-множество S, спектр которого содержит, П°(0')-класс ненулевой меры.

Доказательство. Фиксируем биекцию c : ш ^ 2<ш , определенную следующим образом:

c(n) = а ^ 1а является двоичной записью n +1.

Легко видеть, что если строка а относительно лексикографического порядка меньше строки р, то с-1 (а) < c-1(p).

Для данной частично вычислимой функции y>e(x, s) определим

xe = pxzls [|c(max (x, t))| ^ e + 2],

i^s

ye = max^e(xe, s).

s

Отметим, что xe и ye могут быть и неопределенными. Определим А2-дерево T С 2<ш и А2-множество S, полагая

T = 2<ш — {а : 3e [ye определено & c(ye) ^ а]},

S = c-1(T). S

бесконечно, и если xe определено, то max^e(xe, s) G S.

s

Рассмотрим П1(0')-класс P = Paths(T). Множество S предельно монотонно относительно каждого X G P, так как c-1(X \ n) G S для всех п. Покажем, что P имеет ненулевую меру. Для этого рассмотрим возрастающую последовательность открытых множеств

Ue = U[c(y<)].

i^e

Легко видеть, что P = 2W — |J& Ue. По определению величин ye имеем

AUe < ^ 2-|c(yi)| < ^ 2-(i+2).

i^e i^e

Отсюда A(|J £/е) < 2~(i+2) = 1/2. Следовательно, АР >1/2. □

e

Из теоремы 2 немедленно следует недавний результат Валбаума [о], показывающий, что предельная монотонность и предельная монотонность относительно почти всех оракулов не одно и то же.

А2 S

спектр которого имеет меру 1.

В силу результата Каутца [6, 7] в каждом П°-классе ненулевой меры P содер-

n

А2 S

Из приведенной ниже теоремы следует, что теорему 2 нельзя усилить, предъявив класс меры 1, относительно которого множество S предельно монотонно с помощью фиксированного функционала Ф, то есть множество S, построенное в теореме 2. можно назвать почти предельно монотонным, но не равномерно предельно монотонным.

Теорема 3. Пусть дано множество S и класс C С 2Ш меры 1. Если существует вычислимый оператор ; х, s) такой, что для всех X е C функция Ф (X) тотальна и S = гапФ (X), то S предельно монотонно.

Доказательство. Так как S е Eg(X) для всех X е C и A(C) = 1, то S е Eg SC можно выбрать оператор S„ = S, удовлетворяющий условиям (i)-(iii) для каждого X е C. Нашей целью будет определить такую частично вычислимую функцию ф, что функция F(х) = maxs ф(х, s) тотальна, ran F бесконечно и ran F С S. Обозначим

AX,S = {X :S(X; х, s) > у}

и определим

ф(х, 0) = 0,

(у +1, если ф(х, у) I & 3sA(AX,s) > 1/2,

ф(х,у + 1) = <

I ие определено в противном случае.

Определенная таким образом функция ф частично вычислима согласно предложению 3. На самом деле, в определении ф вместо 1/2 можно взять любое рацио-(0, 1)

Покажем, что для всех х maxф(х, s) < ж. Поскольку

s

1 = A(C) ^ A{X :Ф(X; х) = у},

y

то можно выбрать уо, для которого A{X : ¡B(X; х) < уо} > 1/2. Таким образом,

maxф(х, у) < уо.

y

Покажем теперь, что ran F С S. Предположим противное, то есть F(х) е S для некоторого х. Выберем наибольшее у, для которого значение ф(х, у) определено. Тогда F(х) = ф(х, у) = у и для всех z < у существует такое s, что A(AX,s) > 1/2. Отсюда A{X : ¡B(X; х) = у} > 0. Это противоречит условию A(C) = 1 и выбору S.

Наконец, ranF бесконечно, поскольку E!(X; х) > х для всех х и всех X е C. Таким образом, S предельно монотонно. □

2. Нулевые спектры предельной монотонности

Целью настоящего раздела является построение Д2 множества, мера спектра предельной монотонности которого равна нулю.

Предложение 3. Пусть предикаты Р, Q С w3 х Q+ определены следующим, образом:

Р(n, х, у, J) ^ A{X : 3s S„(X; х, s) > у} > J, Q(n, х, у, J) ^ A{X : §„(X; х) = у} > J. Тогда Р е Е° u Q е Eg.

P

P(n,x,y, J) ^ 3 конечное D С 2<ш[ Д 2„(а; x, |а|) > y & A[D]X > J].

Поэтому P G . Покажем, что Q G Е2. Для этого установим равносильность предиката Q со следующей Е2-формулой:

Q(n, x, y, J) ^ 3e > J[P(n, x, y, e) & Ve' > 0 P(n, x, y + 1, e') ^ e — e' > J] ^

^ 3[E? & П?] ^ E2,

где все кванторы берутся по рациональным числам. Определим классы

C = {X :S„(X; x) = y}, Co = {X : 3s S„(X; x, s) > y}, Ci = {X : 3s S„(X; x, s) > y + 1}.

Заметим, что AC = AC0 — ACi. Теперь если для некоторого e > J верно AC0 > e и

e' > 0

AC1 > e' ^ e — e' > J,

то для каждого e' G (0, AC1) выполняются неравенства

AC = AC0 — AC1 > e — AC1 > e — e' > J.

Отсюда AC > e — AC1 > J. Следовательно, значение Q(n, x,y, J) истинно.

Обратно, пусть Q(n, x,y, J) истинно. Выберем какое-нибудь рациональное e G (AC1 + J, ACo) • Легко видеть, что истинно P(n, x,y, e). Выберем произвольное e' > 0 со свойств ом P (n, x, y + 1,e'). Тогда AC1 > e', и следовательно, e — e' > > e-ACi > 6. □

Теорема 4. Существует А2 -множество S, спектр которого имеет нулевую меру.

Доказательство. Согласно теореме Лебега о плотности (см. [3, § 1.9]) доста-

А2 S e

требованию

Re : A{X : Se(X) тотальна & VxSe(X; x) > x & ranSe(X) С S} < 1/2.

Чтобы выполнить одно требование Re, будем поступать следующим образом: xe = 1 + max S max 0 = 0

2. Если не верно условие

A{X : 3s S e(X; xe,s) >ie} > 1/2, (1)

то отмечаем Re выполненным. В этом случае Re действительно удовлетворено, поскольку

A{X : VxSe(X; x) > x} < A{X : 3s Se(X; xe, s) > xe} < 1/2.

3. Выберем такое b > xe, что либо Re выполнено, либо

A{X : Se(X; xe) G St & Se(X; xe) = b} > 1/2, (2)

где £ — это текущий шаг в построении £, и положим ^ Ниже мы покажем, что такое Ь всегда существует и его можно выбрать с помощью оракула 0'.

Построим теперь требуемое множество £. Пусть £0 = 0. Предположим, что £( определено, найдем £(+1 • Обозначим х( = 1 + тах £(. Если условие (1) при е = £ не верно, то отмечаем ^ выполненным. Выберем такое Ь ^ х(, что для каждого е ^ £ выполнено л ибо либо (2). Полагаем £(+1 = £( и (Ь}. Пуст ь £ = У £(.

То, что £ удовлетворяет условиям теоремы, следует из следующих лемм 1-3.

Лемма 1. £ бесконечно.

Доказательство. Достаточно доказать, что для каждого £ и каждого е < если не отмечено выполненным, то найдется такое а, что каждое Ь > а удовлетворяет условию (2). Допустим, что для некоторых £ и е ^ £ это неверно. Выберем наименьшие такие £ и е ^ Отметим, что

А(Х : 2е(Х; хе) £ £(} > 1/2 + е

для некоторого е > 0. Согласно предположению существует бесконечно много Ь, для которых А(Х : 2е(Х;хе) = Ь} > е, что невозможно, поскольку

^ А(Х : 2е(Х; хе) = Ь} < 1.

ь

Лемма 2. £ £ Д2.

Доказательство. Покажем, что (1) и (2) являются Е®- и Е^-условиями соответственно. Пусть Р и Q - предикаты из предложения 3. Условие (1) равносильно Р(е,хе,хе + 1,1/2). Покажем, что (2) является Е^-условием. Для данных е, £ и Ь > тах £( выполнено (2) в том и только в том случае, если существует такое конечное множество рациональных чисел , что

к

1) 3у1... £ [0, Ь) - £([ Д Q(e, хе, у», ¿¿)];

¿=1

2) Р(е,хе,Ь + 1,5о);

к

3) > 1/2.

¿=о

Поэтому (2) является Е[]-условием. По доказательству леммы 1 искомое Ь всегда существует, поэтому последовательность (£(}(еш является равномерной Д^-последовательностью. Кроме того, если Ь £ £(+1 — £(, то Ь > Следовательно, £ £ До. □

Лемма 3. Каждое удовлетворено.

Доказательство. Пусть не отмечено выполненным. Тогда для каждого £

А(Х :2е(Х; хе) £ £(} < 1/2.

Следовательно,

А(Х :2е(Х; хе) £ £} < 1/2.

Этим завершается доказательство леммы и теоремы в целом. □

3. Категорные свойства спектров предельной монотонности

Построенные в предыдущих разделах множества принадлежат уровню Д2 арифметической иерархии. Как мы видели, меры спектров предельной монотонности этих множеств могут быть как нулевыми так и ненулевыми. Теперь мы покажем. что с токи зрения категорной классификации такие спектры имеют одинаковый характер.

Теорема 5. Пусть S G S2. Существует такая возрастают,ая функция f 0', что для каждого множества X если g X и f не доминирует g, то S предельно монотонно относительно X.

Доказательство. Пусть S -бесконечное S2-множество. Не ограничивая общности, будем считать, что S G Д2, в противном случае вместо S можно рассматривать его бесконечное Д2 -подмножество. Выберем равномерно вычислимую последовательность {St}iew такую, что S = lim St и max St ^ t. Определим функцию

f 0', полагая

if (0) = pt Зж Vv > t [ж G Sv],

\f (s + 1)= pt Зж > f (s) Vv > t [ж G Sv]. f

Пусть g X и Зтож g(x) > f (ж). He ограничивая общности, будем считать, что g возрастает. Определим функцию h X такую, что функция H(ж) = max ^(ж, s)

s

тотальна, ranH С S и H(ж) > ж для всех ж. Полагаем

ж +1, если s ^ ж,

/г.(ж, s) = ^ py > ж [y G Sg(s) & y > h(ж, s — 1)], если s > ж и такое y существует,

/г.(ж, s — 1), если s > ж и такого y те существует.

По определению h для каждого ж верно: либо H(ж) те определено, либо H(ж) > ж.

Покажем, что maxs Л.(ж, s) < то для всех ж. Для данного ж выберем наименьшее s > ж такое, что f (s) < g(s). Если s = ж + 1, то

ж < f(ж) < f(ж +1) < g^ + 1).

Если s > ж + 1, то

g(s — 1) < f (s — 1) <f (s) < g(s) и ж < f (s — 1).

По определению f существует такое y > f(s — 1) > ж, что y G St для каждого t > f (s). Тогда max Л.(ж, s) ^ y.

s

Покажем, что ran H С ^^ли H(ж) = y, то существует такое t, что y G Sg(s) для всех s > t. Следовательно, y G S.

SX пню 1. □

Следствие 4. .Если S G S2, mo спектр S имеет ко-первую категорию.

Доказательство. Пусть дано Я^-множество S, f - возрастающая функция из теоремы 5.

Для каждого i рассмотрим класс L, состоящий из всех таких бесконечных множеств

X = {жо < жх < ж2 < ...} С w,

что xfc ^ f (k) для всex k ^ г. Каждое Lj замкнуто и имеет пустую внутренность. В самом деле, если X G L^ то существует такое k ^ г, что f(k) < xk. Тогда базовая окрестность [X \ xk+1] целиком содержится в дополнении £j. Если дана произвольная базовая окрестность [а], то любое конечное множество X G [а] не принадлежит Lj. Следовательно, множество

L = U L<U FIN,

j

где FIN - класс всех конечных множеств, имеет первую категорию.

Покажем, что £ предельно монотонно относительно каждого X G L. Выберем произвольное

X = {xo < xi < X2 < ...} G L.

Существует бесконечно много k, для которых f (k) < xk. Тогда функция g(k) = = xfc вычислима относительно X и не доминируется функцией f. Таким образом, S предельно монотонно относительно А" по теореме 5. □

Приведем другие следствия теоремы 5. Для каждой функции f 0' нетрудно построить функцию g низкой степени, не доминируемую функцией f.

Следствие 5. Если S G то спектр S содержит низкую степень.

Отметим, что рассматриваемые спектры содержат не только некоторую низкую степень, но и все не обобщенно 2-низкие степени.

Следствие 6. Если S G Е2 и X G GL2, то S предельно монотонно относи-X

Доказательство. Если X G GL2 , то для каждой функции h 0' существует функция g X, которая не доминируется функцией h (см., например, [3]). Пусть f 0' - функция из теоремы 5. Тогда f не доминирует некоторую функцию 9<тХ. □

Доуни, Каш и Турецкий [1] показали, что вычислимо перечнслнмое множе-X

S X предельно монотонно. Используя этот результат, можно увидеть, что в классе оракулов X 0' предыдущее следствие нельзя улучшить.

Следствие 7. Множество X 0' не являет,ся 2-низким тогда и только тогда, когда X принадлежит спектру каждого множества S G £2.

Доказательство. Если X 0' не 2-низкое, то X G GL2 , и тогда S предельно монотонно относительно X. Пусть теперь X 0' 2-низкое. Поскольку X'' 0''> то согласно упомянутому выше результату из [1] существует множество S 0', не предельно монотонное относительно А". □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 10-01-00399 и 12-01-97008), гранта для поддержки ведущих научных школ НШ-5383.2012.1, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятия 1.2.1 и 1.2.2), а также гранта Президента РФ МК-6106.2012.1. Второй автор поддержан ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (госконтракт 14.740.11.1142).

Summary

I.Sh. Kalimullin, M.Kh. Faizrakhmanov. Limitwise Monotonic Spectra of E^-Sets. In this paper, we study classes of Turing degrees, contained in limitwise monotonic spectra. In particular, we prove that limitwise monotonic spectra of E2 -sets are co-meager. Moreover, we construct a E^-set whose limitwise monotonic spectrum is co-null.

Key words: computable functions, E^-sets, limitwise monotonic functions, Turing degrees.

Литература

1. Downey R.G., Kach A.M., Turetsky D. Limitwise monotonic functions and their applications // Proceedings of the llt.li Asian Logic Conference. River Edge, N. J.: World Sci. PuU., 2011. P. 59 85.

2. Khoussainov В., Nies A., Shore R. Computable models of theories with few models // Notre Dame J. Formal Logic. 1997. V. 38, No 2. P. 165 178.

3. Nies A. Computability and randomness. N. Y.: Oxford Univ. Press, 2009. 420 p.

4. Jockusch C.G. Jr., Soare R.I. П1 -classes and degrees of theories // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 173. P. 33 56.

5. Wallbaum J. Computability of algebraic structures: PhD Thesis. Notre Dame, Indiana: University of Notre Dame, 2010.

6. Kautz S.M. Degrees of Random Sets: PhD Thesis. Ithaca, N. Y.: Cornell University, 1991.

7. Kautz S.M. An improved zero-one law for algorit.hmically random sequences // Tlieor. Comput. Sci. 1998. V. 191, No 1 2. P. 185 192.

8. Stillwe.ll J. Decidability of the "almost all" theory of degrees // J. Symbolic Logic. 1972. V. 37, No 3. P. 501 506.

9. Kechris A. Classical Descriptive Set Theory. N. Y.: Springer-Verlag, 1995. 428 p.

10. Oxtoby J.C. Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. N. Y.: Springer-Verlag, 1980. 124 p.

Поступила в редакцию 24.01.12

Калимуллин Искандер Шагитович доктор физико-математических паук, доцент кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: ikalim.uiegm.ail.сот.

Файзрахманов Марат Хайдарович кандидат физико-математических паук, ассистент кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: mMrat.faizrahm.anoveym.ail.com.