CC BY
27
2016, Т. 158, кн. 1 С. 51-65
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 510.5
2-СВОДИМОСТЬ И 1т-СВОДИМОСТЬ МНОЖЕСТВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ МНОЖЕСТВ
Д.Х. Зайнетдинов
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
В работе изучены предельно монотонные множества, пары множеств, а также последовательности, состоящие из бесконечных множеств. Исследованы основные свойства предельно монотонной сводимости между двумя множествами, между множеством и парой множеств, определенной в терминах £ -сводимости соответствующих семейств специального вида. Кроме того, получено описание £ -сводимости семейств специального вида в терминах 1т-сводимости и показана взаимосвязь понятий 1т-сводимости последовательностей множеств и £ -сводимости семейств специального вида для данных последовательностей множеств.
Ключевые слова: вычислимая функция, £ -сводимость, предельно монотонная функция, предельно монотонные множества, предельно монотонная сводимость, последовательность бесконечных множеств, семейство подмножеств натуральных чисел
Введение
Работа посвящена изучению основных свойств предельно монотонных множеств, пар множеств и последовательностей множеств, а также исследованию предельно монотонной сводимости (для краткости будем обозначать через 1т-сводимость) между последовательностями множеств. Рассмотрена взаимосвязь между понятиями 1т-сводимости на последовательностях множеств и £-сводимости на семействах специального вида для данных последовательностей. Таким образом, в настоящей работе будет дано полное описание 1т-сводимости в терминах £-сводимости.
В работе [1] введено кодирование семейств подмножеств N в алгебраические структуры с сохранением алгебраических свойств. И.Ш. Калимуллин и В.Г. Пу-заренко в совместной работе [2] ввели понятие £-сводимости семейств, которое соответствует £-определимости конечно-наследственных надстроек отвечающих этим семействам структур, а именно:
Определение 1. Семейство Т С 2м будет £ -сводиться к семейству 0 С 2м, если существуют такие оператор перечисления Ф и элементы У\,..., Ут € 0, что
Т и{0} = {Ф({(п,к)}фХ1ф^^^фХпфУ1ф^^^фУтфЕ(д)) : п,к € N & Х1,...,Хп € 0},
где
Е(0) = {2Х1 +2Х2 + ••• + 2Х : г € N & х1 < х2 < ••• < хг &
&(ЗХ €д)({хихъ...,хг}С X)}.
В связи с изучением предельно монотонного множества (см. [3]) возникло понятие 1т-сводимости на множествах. В настоящей работе 1т-сводимость между
51
множествами будет рассмотрена на основе £-сводимости соответствующих семейств начальных сегментов для этих множеств. Более того, данный результат будет обобщен на случай последовательностей множеств.
В первой части работы рассматривается понятие £-сводимости семейств подмножеств натуральных чисел, введенное в [2]. Кроме того, доказывается эквивалентность понятий £-сводимости и 1т-сводимости для двух множеств, определенной с помощью предельно монотонного оператора. Во второй части работы будут исследованы 1т-сводимость и £-сводимость множества к паре множеств. Здесь же будет доказана эквивалентность этих двух понятий. Кроме того, приводятся результаты, полученные при изучении 1т-сводимости между парами множеств. В третьей части понятия £-сводимости и 1т-сводимости будут обобщены на случай последовательностей, состоящих из бесконечных множеств. Основные сведения, полученные при изучении предельно монотонных функций, множеств и последовательностей, можно найти в работах [3-5]. Помимо этого, несколько интересных результатов, касающихся вопросов 1т-сводимости множеств, были получены в работе [6]. Что же касается основных обозначений, то мы будем придерживаться в основном работ [2] и [7].
В настоящей статье через N будем обозначать множество натуральных чисел. Запись будет обозначать первые п чисел натурального ряда. Через V(М) = 2х обозначим множество всех подмножеств множества X. Под семейством 5 будем понимать подмножество V(М). Малые греческие буквы ф, в используются для обозначения частичных функций. Для частичной функции и аргумента х записываем <^(х) {, если функция определена на аргументе х; в противном случае будем писать <^(х) |. Для множества А его характеристическую функцию обозначим через ха ; будем отождествлять А с его характеристической функцией, обозначая её в виде А(х). Ограничение функции / на аргументы у < х записываем в виде ] \ х; запись А \ х означает ха \ х. Для А, В С N под сочленением А ф В мы, как обычно, понимаем множество
{2х : х € А}и {2х + 1 : х € В}.
Пусть заданы подмножества натуральных чисел А1, А2,..., Ап, п > 2. Тогда А1 фА2ф- • фАп = А1 ф(А2ф- • фАп). Образ пары (х, у) относительно стандартной функции пары (х2 + 2ху + у2 + 3х + у)/2 обозначим через (х, у). Малыми греческими буквами р и т будем обозначать конечные строки из V(М). Для строки р через \р\ обозначим её длину. Для обозначения множества всех конечных последовательностей над множеством А используется запись А<м.
1. X-сводимость и 1т-сводимость множеств
В этом разделе покажем, что определение 1т-сводимости двух множеств эквивалентно определению £ -сводимости семейств начальных сегментов для данных множеств. Сначала приведём определения предельно монотонной функции, предельно монотонного оператора и 1т-сводимости двух множеств [7].
Определение 2. Функция в : N ^ N называется предельно монотонной, если существует такая частично вычислимая функция в : N х N ^ N, что для всех х и в выполняются следующие соотношения:
(1) Vг > в : в(х, в) I & в(х, г) в(х, в) < в(х, г); (п) в(х) = шах4 в(х,г) < ж> (считаем тах 0 = 0).
Пустое множество и множество, являющееся областью значения предельно монотонной функции, называются предельно монотонными.
Определение 3. Отображение © : P(N) ^ P(N) называется предельно .монотонным оператором, если существует частично вычислимая функция в : N<n х х N ^ N, удовлетворяющая для всех р G N<n и s G N условиям
(i) Vг > р, Vt > s : в(р, s) I & в(т, t) в(р, s) < в(т, t);
(ii) в(р) = max e(p,t) < ж;
(iii) VX С N : ©(X) = {в(р) : р G X<N}.
Определение 4. Множество A назовём lm-сводимым к множеству B (обозначается как A B), если A = 0 или A = ©(B) для некоторого предельно монотонного оператора ©.
Рассмотрим подробнее понятие £ -сводимости для семейств множеств. Пусть даны два произвольных множества A и B. Возьмём в качестве семейств для множеств A и B специальные семейства начальных сегментов S (A) = {N \ a : a G A} и S(B) = {N \ b : b G B}. Для заданного семейства S(B) множество E(S(B)) из определения 1 является вычислимо перечислимым. Кроме того, элементами семейства S(B) являются только вычислимо перечислимые множества. Следовательно, для семейства S(B) в определении 1 в S-кортеже можно опустить множества Y и E(S(B)). Тогда £-сводимость между семействами начальных сегментов множеств A и B можно записать с помощью оператора перечисления Ф в виде
{N \ a : a G A} = {Ф({(п, к)} 0 Xi 0---0 Хп) | п,к G N}, (1)
где Х4 = {N \ bi : bi G B}, i G N„.
Равенство (1) перепишем в виде
{N \ a : a G A} = {Ф({п} 0 N \ bi 0---0 N \ bn) | n G N; bu...,bn G B}. (2)
Заметим, что x G S(A) тогда и только тогда, когда существует конечное множество F, для которого выполнено условие [(x,F) G W & F С S(B)]. Здесь множество F отождествляется с его номером в канонической нумерации всех конечных множеств, а (x, F) - упорядоченная пара. Если зафиксировать некоторое вычислимо перечислимое множество Wn,n G N, то условие [(x,F) G W & F С S(B)] при W = Wn будет определять такой оператор перечисления Фп, что S(A) = = Фп^(B)). Тогда для семейств S(A) и S(B) имеем, что S(A) S(B), если и только если S(A) = Фп^(B)) для некоторого п G N. Элементы Wn называются также аксиомами оператора Фп . Поскольку задание множества аксиом эквивалентно заданию соответствующего оператора перечисления, будем отождествлять множество Wn и оператор Фп .
Следующая теорема устанавливает взаимосвязь между понятиями lm-сводимо-сти двух множеств и £ -сводимости между специальными семействами для данных множеств.
Теорема 1. A B тогда и только тогда, когда S(A) S(B).
Доказательство. Необходимость. Пусть A B. Это означает, что A = = © (B) для некоторого предельно монотонного оператора ©. В силу приведенных выше определений предельно монотонного оператора и предельно монотонной функции имеем
A = ©(B) = {в(р) : р G B<N} = {maxe(fj,t) < ж : р G B<N, t G N},
где в является предельно монотонной функцией.
Покажем, что S(А) Cs S(B), то есть докажем справедливость равенства (2).
Определим оператор перечисления Ф:
Ф = {((ж, {n}0 N Г bi 0 •••& N Г Ьп)) | в(Ь1Ь2 ...Ьп) = max в(Ьф2 ...bn,t) > x}, (3)
где bi € B, i € Nn. Отметим, что предикат max в(Ьф2 .. .bn,t) ^ x является вычислимо перечислимым. Покажем, что определенный в (3) оператор Ф задает семейство начальных сегментов множества А.
Предположим, что А = 0 .В силу условия теоремы следует, что для любого элемента a € А верно представление a = maxt в(Ьф2 .. .Ьп ,t), где bi € B, i € Nn. Другими словами, a есть значение максимума частично вычислимой функции в для некоторой строки р = ЬЬ ... Ьп, bi € B, i € Nn.
Тогда N \ a = Ф({n}eN \ bi0^ • 0N \ bn), где N \ bi € S(B), i € Nn . Таким образом, элементы семейства S (А) задаются с помощью оператора Ф с использованием кортежей, составленных из элементов семейства S(B) .
Обратно, рассмотрим произвольное множество X = Ф({n}фN \ bi0- • 0N \ bn), где bi € B, i € Nn. Тогда X = N \ a и a = maxt в(Ь1Ь2 .. .bn,t). Таким образом, S(А) Cs S(B).
Достаточность. Пусть S(А) S(B). Тогда S(А) U {0} = {Ф(Х) | X € KS(B)} для некоторого e -оператора Ф. Е-сводимость между семействами начальных сегментов для множеств А и B можно записать с помощью оператора перечисления Ф в следующем виде:
{N \ a : a € А} = {Ф({(п, к)} 0 Xi 0 — 0 Xn) | n,k € N}, (4)
где Xi = {N \ bi : bi € B} для i € Nn.
Покажем, что А B. Пусть - вычислимое перечисление множества
Ф, то есть Ф = U и С Фт.
t
Рассмотрим некоторую строку р € B<N длины m € N, то есть р = bib2 .. .bm, bi € B, i € Nm. Тогда длину строки можно раскодировать на левую l(m) = n и правую r(m) = к компоненты.
Пусть (n, к) - номер пары (n, к) в канторовской нумерации всех пар натуральных чисел. Тогда для любого m € N существует такая пара (n,k), n,k € N, что m = (n, к) .
Определим функцию в(Ьф2 ...bm,t), bi € B, i € Nm, как максимальное значение x, для которого (x,F) € Фt - такая аксиома, что {(n,k)} 0 N \ bi 0 • • • 0 N \ bn С F. Таким образом, n - число первых элементов bi,b2,... ,bn из строки b\b2 ...bnbn+i ...bm. Следовательно, функция e(bib2 ...bm,t) зависит лишь от первых n элементов строки bib2 ... bnbn+i .. .bm и не зависит от элементов bn+i,... ,bm . Кроме того, функция e(bb ... bm,t) является возрастающей.
Проверим, что А = Q(B) = {в(р) : р € B<N} для некоторой предельно монотонной функции в. Пусть a € А. Тогда N \ a € S(А). В силу того, что S (А) S (B), имеем {N \ a : a € А} = Ф({(^к)} 0 N \ bi 0 ••• 0 N \ bn), где N \ bi € S(B) , bi € B, i € Nn , n € N. Пусть m = (n, к) . Доопределим строку bi Ьъ ...bn до bib2 ...bnbn+i ...bm, полагая bi = bn для i = n +!,...,m. Тогда a = в(Ьф2 .. .bm) = max в(Ьф2 .. .bm,t), где bi € B, i € Nm. Отсюда следует, что
a € Q(B). _
Обратно, пусть bi € B, i € Nm и e(bb ... bm) = a, то есть a € &(B). Поэтому в силу Е-сводимости между S(А) и S(B) получим, что N \ a = Ф({(п, к)} 0 N \ bi 0 • • • 0 N \ bn) и N \ a € S(А). Следовательно, a € А.
Итак, A m B посредством предельно монотонной функции в, то есть для любого элемента a G A (все начальные сегменты x ^ a которого перечислены посредством оператора Ф() существует такая строка р = bib2 .. .bm, bi G B, i G Nm, что a = e(bib2 ... bm). Теорема 1 доказана. □
2. S-сводимость и lm-сводимость множества к паре множеств
В данном разделе изучаются вопросы lm-сводимости множества к паре множеств и £ -сводимости между семействами начальных сегментов для множества и пары множеств. Основным результатом этой части работы является получение ответа на вопрос о том, как соотносятся между собой понятия lm -сводимости множества к паре множеств и £ -сводимости семейств начальных сегментов для множества и пары множеств. Сначала приведём основные определения, которые потребуются нам в дальнейшем.
Определение 5. Функция в : N х N ^ N называется предельно монотонной, если существует такая частично вычислимая функция в : N х N х N ^ N, что для всех x, y и s выполняются следующие соотношения:
(i) V t > s : e(x,y,s) e(x,y,s) < e(x,y,t) [;
(ii) e(x,y)=max e(x,y,t) < ж (считаем max 0 = 0).
Определение 6. Отображение © : P(N) x P(N) ^ P(N) называется предельно монотонным оператором, если существует частично вычислимая функция
в : N<n x N<n х N ^ N, удовлетворяющая для всех р G N<n , т G N<n и s G N следующим условиям:
(i) V С > р, V п > т, V t > s : в(р,т,s) в(р,т, s) < в(С,п,t) [ ;
(ii) в(р,т) = max в(р,т,t) < ж;
(iii) VX С N, VY С N : ©(X,Y) = {в(р,т) : р G X<^,т G Y<N}.
Пусть {ве}ееи - эффективная нумерация всех трехместных частично вычислимых функций, удовлетворяющих условию (i) определения 6. Для каждого e через ©e обозначим предельно монотонный оператор, действующий из P(N) x P(N) в P(N) , задаваемый для каждого множества X С N и Y С N равенством
©е(X, Y) = {ве(р, т): р G X<N, т G Y<N}.
Определение 7. Множество A будет lm-сводиться к паре множеств (B, C) (обозначается как A ^im (B,C)), если A = 0 или A = ©e(B,C) для некоторого предельно монотонного оператора ©e.
Перейдем теперь к рассмотрению £ -сводимости специальных семейств начальных сегментов для множества и пары множеств. Пусть даны произвольные множество A и пара множеств (B, C). Определим для них следующие семейства начальных сегментов:
S(A) = {N \ a : a G A}
и
S(B, C) = {{0} 0 N \ b : b G B}0 {{1} 0 N \ с : с G C}.
Следующее определение задаёт £-сводимость между семействами S (A) и S(B, C).
Определение 8. Будем говорить, что семейство S(А) Е-сводится к семейству S(B,C) (и обозначать как S(А) CS S(B,C)), если
{N \ a : a € А} = {Ф({п} 0 ({xi} 0 N \ di) 0 • • • 0 ({xri} 0 N \ dn))|
| n € N, xi € {0,1}, i € Nn} (5)
для некоторого оператора перечисления Ф и функции di, i € Nn , определяемой по формуле
di = bi € B, если xi = 0, i 1 ci € C, если xi = 1.
Эквивалентность определений Im-сводимости множества к паре множеств и Е -сводимости между семействами начальных сегментов для данного множества и пары множеств устанавливает следующая
Теорема 2. А (B, C) тогда и только тогда, когда S(А) Cs S(B, C).
Доказательство. Необходимость. Пусть А (B, C). Это значит, что А = = ©(B, C) для некоторого предельно монотонного оператора ©. В силу приведенных выше определений 6 и 7 имеем
А = ©(B, C) = {в(р, т): р € B<N, т € C<N} =
= {max e(bi ...br ,ci... cs ,t) < ж : bi € B, i € Nr & Cj € C, j € Ns & t € N},
для некоторой предельно монотонной функции от двух аргументов в.
Покажем, что S(А) Cs S(B, C), то есть докажем справедливость равенства (5). Определим оператор перечисления Ф :
Ф = {((x, {n}0({O}0N \ bi0 • 0({O}0N \ br)0({1}0N \ ci0 • 0({1}0N \ Cs)))| | в(Ь1.. .br ,ci ... cs) = max в(Ь1.. .br ,ci .. .cs,t) ^ x}, (6)
где bi € B, i € Nr; cj € C, j € Ns и n = r + s. Покажем, что определенный в (6) оператор Ф задает семейство начальных сегментов множества А.
Предположим, что А = 0. Так как А (B, C), то для любого элемента a € € А имеем, что a = maxt в(Ь1 .. .br ,ci... cs, t) для некоторых строк р = bi .. .br и т = c1 . .. cs, где bi € B, i € Nr и cj € C, j € Ns .
Тогда N \ a = Ф({п} 0 ({0} 0 N \ bi) 0 • • • 0 ({0} 0 N \ br) 0 ({1} 0 N \ ci) 0
• • • 0 ({1} 0 N \ cs)), где N \ bi € S(B), i € Nr и N \ cj € S(C), j € Ns. Таким образом, элементы семейства S(А) задаются оператором Ф с помощью кортежей, составленных из элементов семейств S(B) и S(C).
Обратно, рассмотрим произвольное множество X = Ф({п} 0 ({0} 0 N \ bi)0
• • • 0 ({0} 0 N \ br) 0 ({1} 0 N \ ci) 0 • • • 0 ({1} 0 N \ cs)), где N \ bi € S(B), i € Nr и N \ cj € S (C), j € Ns. Тогда X = N \ a, где a = maxt в(Ь1 ...br ,c1 ...cs,t).
Таким образом, S(А) Cs S(B, C).
Достаточность. Пусть S(А) Cs S(B, C). Е-сводимость между семействами начальных сегментов для множества А и пары (B, C) можно записать с помощью оператора перечисления Ф в виде
{N \ a : a € А} = {Ф({(п, к)} 0 ({xi} 0 N \ di) 0 • • • 0 ({xri} 0 N \ dn)^
| щк € N, xi € {0,1}, i € Nn}, (7)
где
¿г
Ъг € В, если хг = 0, сг & С, если хг = 1
для г € .
Покажем, что А (В, С). Пусть {Фг- вычислимое перечисление множества Ф, то есть Ф = У Фг и Фг С Ф4+1. Рассмотрим некоторую строку р € В<м
г
длины р € N: р = ЪЪ .. .Ър, где Ъг € В, г € N.
Пусть р = (к, {х\х2 . .. хп)), где (Х1Х2 . .. хп) - номер строки Х1Х2 . . .хп . Определим функцию 9(ЪЪ .. .Ър, С1С2 .. .сч ,Ь), Ъг € В, г € N, са € С, ] € N, как максимальное значение х, для которого (х,Е) € Фг - такая аксиома, что {(п, к)} © ({хх} ф N С ¿1) © • • • © ({хп} ® N С ¿п) С ^, где
¿г =
Ъг € В, если хг = 0; сг € С, если хг = 1
для г € Nn.
Таким образом, п = г + в - сумма числа первых г элементов Ъх,Ъ2,... ,ЪГ строки ЪЪ ...ЪгЪг+1 ...Ър и числа первых в элементов сх,с2,...,ся строки С1С2 .. . с8с8+1 ...сч .
Поэтому, имея все элементы последовательности х1, х2,... ,хп, можно определить функцию 9(^1 .. .Ър,с1 .. . сч ,Ь). Функция 0(Ъ1 .. .Ър,с1.. . сч ,Ь) зависит лишь от первых г элементов строки Ъ1Ъ2 ... Ъг Ъг+1 .. .Ър и от первых в элементов строки сс ...с8с8+1 ...сч . _
Проверим, что А = О(В,С) = {9(р,т) : р € В<п,т € С<м} для некоторой предельно монотонной функции 9. Пусть а € А. Тогда N С а € S(А). В силу того, что 5 (А) & (В, С), имеем
^ С а : а € А} = {Ф({(п, к)} ф ({х1} © N С ¿1) ©•••© ({хг} © N С ¿п))\
\ п,к € N хг € {0, 1}, г € (8)
где
для г € ^ . Пусть р
N С ¿г
N С Ъг € 5(В), если хг = 0; N С сг € 5(С), если хг = 1
(к, (х1х2 ... хп)). Доопределим строку Ъ1 .. .Ъг до Ъ1 ... Ъг Ъг+1.. .Ър, полагая Ъг = Ъг для г = г + 1,... ,р. Аналогично доопределяем строку с1 ... с3 до
с1
. сяся + 1
полагая са = сь для ] = в + 1,... ,д.
Тогда а = 9(Ъ1.. .Ър,с1... сч) = тах 9(Ъ1 .. .Ър,с1 ... сч ,Ь), где Ъг € В, г € Np
и с^ € С, ] € N . Таким образом, а € О (В, С).
Обратно, пусть Ъг € В, г € Np, са € С, ] € N . Пусть 9(Ъ1 .. .Ър,с1 ... сч) = а, то есть а € О (В, С). Тогда в силу £-сводимости между 5 (А) и 5 (В, С) получим N С а = Ф({(п,к)}© ({0}© N С Ъ1) ©•••© ({0}© N С Ъг) © ({1}© N С с1) ©•••© ({1}© ©N С с8)) и N С а € 5(А). Следовательно, а € А.
Итак, А (В, С) посредством предельно монотонной функции 9, то есть для любого элемента а € А (все начальные сегменты х ^ а которого перечислены с помощью оператора Фг) существуют такие строки р = Ъ1.. .Ър, Ъг € В, г € ^ и
т = с1 .. .сч, са € С, ] € ^, что а = 9(Ъ1 Ъ2 .. .Ър,с1с2 .. .сч). Теорема 2 доказана.
□
с
ч
Далее определим предельно монотонную сводимость между двумя парами множеств через £-определимость заданных для них семейств специального вида. Пусть даны две произвольные пары множеств (А, В) и (С, В). Зададим для этих двух пар следующие семейства начальных сегментов:
5(А, В) = {{0} 0 N С а : а £ А} 0 {{1} 0 N С Ь : Ь £ В},
Б (С, В) = {{0} 0 N С с : с £ С} 0 {{1} 0 N С й : й £ В}.
При этом нетрудно заметить, что 5 (А, В) С^ Б (С, В) тогда и только тогда, когда 5 (А) С^ Б (С, В) и 5 (В) С^ Б (С, В). Из теоремы 2 можно заключить, что 5 (А) С^ Б (С, В) и 5 (В) С^ Б (С, В) тогда и только тогда, когда А (С, В) и В (С, В). Кроме того, сводимости А (С, В) и В (С, В) выполнены тогда и только тогда, когда (А, В) (С, В). Отсюда немедленно
вытекает следующее
Определение 9. Будем говорить, что (А, В) ^т (С, В), если и только если Б (А, В) СЕ Б (С, В).
В работе [7] было установлено существование такой пары множеств (А, В), что для любого множества С выполнено соотношение (А, В) С. Используя этот результат, можно доказать, что класс рассматриваемых семейств множеств является собственным. Таким образом, имеет место
Следствие 1. Существуют такая пара множеств (А, В), что для любого множества С выполнено соотношение Б (А, В) = ^Б (С).
Вопрос о существование такой тройки множеств (А, В, С) , что для любой пары множеств (В,Е) было бы справедливо соотношение (А, В, С) (В,Е), остается открытым. Следовательно, вопрос о £-эквивалентности соответствующих семейств для данных множеств также пока остается открытым.
3. X-сводимость и 1т-сводимость последовательностей множеств
Этот раздел начнём с рассмотрения предельно монотонной сводимости между последовательностями множеств Л = {Ат}тек и В = {Вп}пеN, определенной с помощью предельно монотонного оператора.
Определение 10. Пусть В = {Вп}пещ - последовательность, состоящая из бесконечных множеств Вп, п £ N. Текстом над последовательностью В назовем такую последовательность строк р, элементы которой представляют собой строки, принадлежащие В<м, то есть рЭ = (р\, р2,..., рч), где ръ £ В<, % £ N, ч £ N.
Пусть дана последовательность В = {Вп}пем, состоящая из бесконечных множеств. Пусть также имеются два текста рэ и т над В. Тогда рЭ = (р\, р2,..., рч), где ръ £ В<14, % £ N5 и Э =(т1,Г2,...,Гг), где ^ £ В<14, 3 £ N .
Пусть строка ръ £ В<, % £ N имеет вид ръ = р\р1... рЦ*, где рк £ для всех 1 ^ к ^ щ . Аналогично, строка т^ £ В<п, 3 £ N будет иметь вид т^ = т^т^ ... т^3, где тт £ В ^ для всех 1 ^ т ^ V ^ .
Введём для текстов рЭ и т над В отношение порядка. Будем говорить, что р ^ т, если последовательно выполнены следующие условия:
(!) Ч = г;
(п) щ = VI, % £ N5 ;
(ш) рк > тк для всех 1 < к < щ, % £ N.
В противном случае будем говорить, что тексты э и р, определенные над последовательностью В, несравнимы.
Определение 11. Функция в : N х ..., ^ N называется пре-
дельно монотонной, если существует такая частично вычислимая функция в : N х х ..., х N ^ N, что для всех т £ N, Р £ ..., и в £ N
выполняются соотношения
(1) V£ ^ в : в(т, х, в) в(т, х, в) ^ в(т, х,1) [ ; (п) в(т,х) =тах в(т,х,Ь) < ж> (считаем тах 0 = 0).
Определение 12. Отображение в : (Р (Щ,..., Р ^ (Р (Щ,..., Р (N)) называется предельно монотонным оператором, если существует частично вычислимая функция
в : N х ,..., х N ^ N,
удовлетворяющая для всех т £ N, р £ ..., N<N) и в £ N следующим усло-
виям:
(I) VР > р, V£ > в : в(т,р,в) в(т,р,в) < в(т,г,Ь) [;
(II) в(т,р>) = тах в(т,р>,Ь) < ж>;
(III) VB = {Вп}пт : в {В) = (в1(В), в2 (В),..., вт{В),...),
где вт (В) = {в(т,р) : р = (рг,р*2, ■■■,рч) & ръ £ В<ь\ % £ N3} для всех т £ N.
Пусть {ве}еек - эффективная нумерация всех таких частично вычислимых функций, удовлетворяющих условию (1) определения 12. Для каждого е обозначим через ве предельно монотонный оператор, отображающий последовательность множеств (Р..., Рв последовательность множеств (Р..., Р и определенный для каждой последовательности В = {Вп}правенством
ве(В) = (в1(В), в2(В),..., вт(В),...), где вт(В) = \ве(т,р) : р = (р1, р2,..., рч) & ръ £ В<14,% £ N5} для всех т £ N.
Определение 13. Последовательность Л = {Ат}тек будет 1т-сводиться, к последовательности В = {Вп}п(обозначается как Л В), если Ат = 0 для любого т £ N или Л = ве(В) для некоторого предельно монотонного оператора
ве .
Перейдем к рассмотрению £ -сводимости между семействами специального вида для последовательностей множеств. Пусть Л = {Ат}тек и В = {Вп}п-последовательности, состоящие из бесконечных множеств. Определим для них следующие семейства начальных сегментов:
Б (Л) = {{т} 0 N С а : а £ Ат, т £
Б (В) = {{п} 0 N С Ь : Ь £ Вп, п £
Определение 14. Семейство Б (Л) будет £-сводиться к семейству Б (В) (обозначается как Б (Л) Б (В)), если
{{т}0N С а : а £ Ат, т £ N = {Ф({(/,,г)}0({Ж1}0N С Ь1)0---0 ({хг}0N С Ъ))\
\ 1,г £ N хъ £ N £ Вх., % £ (9)
для некоторого оператора перечисления Ф.
Следующая теорема показывает, что приведенные выше понятия ¡т-сводимости последовательностей множеств и £-сводимости специальных семейств начальных сегментов для этих последовательностей эквивалентны.
Теорема 3. Л В тогда и только тогда, когда Б (А) 5 (В).
Доказательство. Необходимость. Пусть Л В. Тогда Л = О (В) для некоторого предельно монотонного оператора О. В силу приведенных выше определений 12 и 13 имеем
Ат = От (В) = {9(т, р) \ р = (р1, р2,..., рч), рг € В<, г € N & т,д € N1 = = |т;ах 9(т, р,г) < ж \ р = (р1, р2,. .., рч), рг € В<, г € N & т,г,д € N1
для предельно монотонной функции 9 и частично вычислимой функции 9.
Покажем, что 5(Л) 5(В), то есть докажем справедливость равенства (9) для некоторого оператора перечисления Ф .
Пусть Ф - оператор перечисления, содержащий все аксиомы такого вида
(х, {(¡, 0)}© Л ©^ ©•••©Тч), что выполнены следующие соотношения:
(1) Т1 = ({1}© N С р1) ©•••© ({1}© N С р1), Т2 = ({2}© N С р1) ©•••© ({2}© N С р22),
Тч = ({д}© N С р\) ©•••© (Ы© N С рЧ),
э1) © -----N с р 1
где ¡г - длина строки рг для всех г € N5;
(11) 9(т,р) = тахг 9(т,р,г) > х, где р = (р1, р2,..., рч), рг = р] ... р'Ц , г € N5 , г € N;
(ш) I = ¡1 + • • • + ¡ч, где I - сумм длин всех строк рг, г € N.
Покажем, что определенный таким образом оператор Ф задает специальное семейство для последовательности Л = {Ат}теи. Так как Л В, то для любого элемента а € Ат выполнено равенство а = тахг 9(т, (р1, р2,..., рч),г) для некоторых строк рг € В<\ г € N. При этом р1 = р1 ... р1; р2 = р2 ... р122; ...; рч = = р1... рч и рА € Вг для всех 1 ^ у ^ ¡г и г € N. Тогда
{т} © N С а = Ф({(1, 0)} © Тх © Т2 © • • • © Тч),
где Тг, г € Nч задаются в соответствии с (1). Таким образом, элементы семейства 5(Л) задаются с помощью оператора Ф с использованием кортежей, составленных из элементов семейств Тг, которые, в свою очередь, принадлежат семейству 5(В). Обратно, рассмотрим теперь произвольное множество
Ф({(1, ¿)} © ({х1} © N С Ъ1) © • • • © ({х1} © N С Ъ1))\
\ ¡,г € N хг € N, Ъг € ВХъ, г € N. (10)
Из определения оператора Ф получаем, что параметр г = 0 и множество из (10) будет иметь вид
Ф({(1,0)}0 (({1} 0 N С Ь1) 0 — 0 ({1} 0 N С Ь;1 ))0
0 (({2} 0 N С Ь,1+1) 0 — 0 ({2} 0 N С Ьк+12)) 0—0
0 (({д} 0 N С Ь,1+,2+...+1) 0 ■ ■ ■ 0 ({д} 0 N С Ь^^^^))),
где I, д £ N Ьъ £ Вх*, % £ N , I = 11 +-----+ .
Обозначим это множество через X. Тогда X = {т} 0 N С а, где а = = тах в(т, (р1 ,р^,...,рч ),Ь) и
р1 = Ь1 ...Ь(1, р2 = Ь11+1 . . . Ь11+12 ,
р5 = Ьг1+г2+-+г,-1 + 1... Ьг1+г2+-+г,-1+г,.
Таким образом, Б (Л) Б (В).
Достаточность. Пусть Б (Л) Б (В). £-сводимость между семействами начальных сегментов для последовательности множеств Л = {Ат}тем и последовательности множеств В = {Вп}пзададим с помощью оператора перечисления Ф в виде
{{т}0N С а \ а £ Ат, т £ N = {Ф({(1,г)}0({х1}0N С Ь1)0-0 ({хг}0N С Ь1))\
\ I, г £ N хъ £ N, Ьъ £ Вх*, % £ (11)
Докажем, что Л В. Пусть {Фг}гем - вычислимое перечисление множества Ф, то есть Ф = уФг и Фt С Фг+1. г
Определим частично вычислимую функцию в(р, т,Ь) для произвольной последовательности строк р = (р1, р2,..., рч) и для произвольных параметров т, Ь £ N,
где ръ = р1 ...р?, % £ N5, д £ N.
Пусть д = (г, (х1х2 .. .х;),р) - длина определяемого текста, где (х1х2 .. .х;) -номер последовательности (х1, х2,... ,х1), г £ N - некоторое фиксированное число и р £ N. Здесь мы ввели дополнительный параметр р £ N для того, чтобы длина определяемого текста р была достаточно большим числом, большим, чем значение тах{хъ}. Таким образом, параметр р обеспечит нам нахождение текста нужной
длины при задании функции в .
Зададим функцию в(т, (р1 ... р^1, р\ ... р22,..., р^ ... р%ч ),Ь), как максимальное значение х, для которого (х,Г) £ Фг - такая аксиома, что {(1,г)}0 ({х1}0N С Ь1)0 ■ ■ ■ 0 ({х;} 0 N С Ь) С Г и Ьъ, % £ N , определяются следующим образом:
(I) Ь1 равен первому элементу строки рх1 ;
(II) затем для каждого % = 2,... ,1 полагаем:
если хъ = х2 для всех 3 < %, то Ьъ равен первому элементу строки рх*,
иначе, если хъ = х^ для некоторых 3 < %, то Ьъ равен первому элементу строки рхз, идущему после элемента, который соответствует такому Ь^ с наибольшим номером 3, что = хъ.
Если для некоторой строки рг = р1 ... р* , г € Nч из некоторого определяемого текста р = (р1, р2,..., рч) значение ¿г будет меньше, чем количество хь = г, к € N1, то функция 9(т,р,Ь) не определена для такой последовательности строк.
Для каждого г € N определим через ¡г количество хь, где к € N1 для которых х^ = г, то есть ¡г является длиной строки рг. Таким образом, I = ¡1 + • • • + ¡ч - количество первых ¡1, ¡2,... ,1ч элементов, взятых соответственно из строк р1, р2,..., рч, где д € N.
Поэтому, зная все элементы последовательности (х1,х2,... ,х.), определим значение частично вычислимой функции 9(т, (р1 ... р*1, р2 ... р*2,..., р^ ... р*4), Ь). Функция 9 будет зависеть лишь от первых ¡г элементов в каждой из строк рг.
Для последовательностей Л = {Ат}теи и В = {Вп}пеN, состоящих из бесконечных множеств, проверим, что Л В. Другими словами покажем, что
Ат = От(В) = Щт,р) \ р = (р1, р2,..., рч), рг € В<\ г € N & т,д € N1
для некоторой предельно монотонной функции 9 .
Пусть а € Ат. Покажем, что а € От(В). Так как а € Ат, то {т} © N С а € € 5(Л). В силу того, что 5(Л) Ее 5(В), имеем
{т} © N С а = Ф({^, г)} © ({х1} © N С Ъ^ © • • • © ({хг} © N С Ъ1)\
\ ¡, г € N, хг € N, Ъг € ВХъ, г € (12)
Пусть д = (г, (хух2 .. .х\),р) - длина определяемого текста для функции 9, где (х1х2 ... хр) - номер последовательности х1, х2,... ,х..
Определяем строки р1, р2,..., рч из текста р:
(I) р1 - первый Ъг, при котором хг = 1; р1 - второй Ъг, при котором хг = 1, и так далее определяем все элементы строки р1, где длина р1 - количество
хг = 1 .
(II) р2 - первый Ъг, при котором хг = 2; р2 - второй Ъг, при котором хг = 2, и так далее продолжаем определять элементы строки р2, где длина р2 -количество хг = 2 .
Продолжаем этот процесс для всех остальных строк рг.
Затем доопределим строку р1р2 ... р? до р1р2 ... р.? ... р* , в тех случаях, где это необходимо для г € N, полагая р\ = р1? для в = ¡г + 1,... .В итоге получим
а = 9(т,р) = 9(т, (р1 .. . р*1, р2 .. . р*2, ..., р\ . .. )) =
= тах 9(т, (р1 ... р*1, р2 ... р*2 ,...,р1... р*> ),Ь).
Отсюда следует, что а € От (В).
Обратно, пусть а € От(В). Покажем, что а € Ат. Пусть рг = р1 р2 ... р*", где рI € Вг для всех 1 ^ ] ^ , г € N. Пусть справедливо равенство а = = 9(т, (р1 ... р*1, р1 ... р*2,..., р1... р*4)) для некоторой предельно монотонной функции 9. Тогда в силу £ -сводимости между 5 (Л) и 5(В) получим
{т} © N С а = Ф({^, г)}©Т1 © ©•••© Тч),
где
= ({1}© N С р1) ©•••© ({1}© N С р1),
F = ({2}е N г р!) Ф---Ф ({2}е N г р2),
= ({</}ф N г р1) ({9}ф N г р£)
и р1 € ВI для всех 1 ^ ] ^ ^ и г € N. Тогда {т} ф N [" а € Б(Л). Отсюда следует, что а € Ат .
Таким образом, Л В посредством предельно монотонной функции в. Для любого элемента а € Ат (все начальные сегменты х ^ а которого перечисляются с помощью оператора ) существуют такие строки р\ = р}... р^1; р2 =
= р2 .. .Р22;...; Pq = р\ . ..р\ч, что а = в(т, р>), где р = (ри Р2,..., Pq). Теорема 3 доказана. □
Благодарности. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю И.Ш. Калимуллину за постановку задач, постоянное внимание к работе и плодотворные беседы на протяжении всего времени написания статьи.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты № 1541-02507, 15-31-20607, 15-01-08252) и за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности (проект № 1.2045.2014).
Литература
1. Goncharov S., Harizanov V., Knight J., McCoy C., Miller R., Solomon R. Enumerations in computable structure theory // Ann. Pure Appl. Logic. - 2005. - V. 136, No 3. - С. 219246. - doi: 10.1016/j.apal.2005.02.001.
2. Калимуллин И.Ш., Пузаренко В.Г. О сводимости на семействах // Алгебра и логика. - 2009. - T. 48, № 1. - С. 31-53.
3. Kalimullin I., Khoussainov B., Melnikov A. Limitwise monotonic sequences and degree spectra of structures // Proc. Amer. Math. Soc. - 2013. - V. 141, No 9. - P. 3275-3289.
4. Khoussainov B., Nies A., Shore R. Computable models of theories with few models // Notre Dame J. Formal Logic. - 1997. - V. 38, No 2. - P. 165-178.
5. Downey R.G., Kach A.M., Turetsky D. Limitwise monotonic functions and their applications // Proc. 11th Asian Logic Conf. - Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2011. -P. 59-85. - doi: 10.1142/9789814360548_0004.
6. Зайнетдинов Д.Х., Калимуллин И.Ш. О предельно монотонной сводимости -множеств // Учeн. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 154, кн. 1. -С. 22-30.
7. Faizrahmanov M., Kalimullin I., Zainetdinov D. Maximality and minimality under limit-wise monotonic reducibility // Lobachevskii J. Math. - 2014. - V. 35, No 4. - P. 333-338. -doi: 10.1134/S1995080214040155
Поступила в редакцию 24.12.15
Зайнетдинов Дамир Хабирович, аспирант кафедры алгебры и математической логики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: damir.zh@mail.ru
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 1, pp. 51-65
£-Reducibility and Im-Reducibility of Sets and Sequences of Sets
D.Kh. Zainetdinov
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: damir.zh@mail.ru
Received December 24, 2015 Abstract
Limitwise monotonic sets, pairs of sets, and sequences consisting of infinite sets are studied in the paper. The main properties of limitwise monotonic reducibility between two sets, as well as between the set and a pair of sets defined in terms of £-reducibility of the corresponding families of a special form, are considered. In addition, description of £-reducibility of the families of a special form in terms of Im -reducibility is obtained. The relationship between the concepts of Im-reducibility of the sequences of sets and £-reducibility of the families of a special form for the sequences of sets is demonstrated.
Keywords: computable function, £ -reducibility, limitwise monotonic function, limitwise monotonic sets, limitwise monotonic reducibility, sequence of infinite sets, family of subsets of natural numbers
Acknowledgments. I am grateful to I.Sh. Kalimullin, my scientific adviser, for formulation of the research problems, consistent attention to the work, and fruitful discussions during the preparation of the manuscript.
This work was funded in part by the Russian Foundation for Basic Research (projects nos. 15-41-02507, 15-31-20607, and 15-01-08252) and by the subsidy allocated to Kazan Federal University for the state assignment in the sphere of scientific activities.
References
1. Goncharov S., Harizanov V., Knight J., McCoy C., Miller R., Solomon R. Enumerations in computable structure theory. Ann. Pure Appl. Logic, 2005, vol. 136, no. 3, pp. 219—246. doi: 10.1016/j.apal.2005.02.001.
2. Kalimullin I.Sh., Puzarenko V.G. Reducibility on families. Algebra Logic, 2009, vol. 48, no. 1, pp. 20-32.
3. Kalimullin I., Khoussainov B., Melnikov A. Limitwise monotonic sequences and degree spectra of structures. Proc. Am. Math. Soc, 2013, vol. 141, no. 9, pp. 3275-3289.
4. Khoussainov B., Nies A., Shore R. Computable models of theories with few models. Notre Dame J. Formal Logic, 1997, vol. 38, no. 2, pp. 165-178.
5. Downey R.G., Kach A.M., Turetsky D. Limitwise monotonic functions and their applications. Proc. 11th Asian Logic Conf., Hackensack, NJ, World Sci. Publ., 2011, pp. 59-85. doi: 10.1142/9789814360548_0004.
6. Zainetdinov D.Kh., Kalimullin I.Sh. On limitwise monotonic reducibility of -sets. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2014, vol. 154, no. 1, pp. 22-30. (In Russian)
7. Faizrahmanov M., Kalimullin I., Zainetdinov D. Maximality and minimality under limitwise monotonic reducibility. Lobachevskii J. Math., 2014, vol. 35, no. 4, pp. 333-338. doi: 10.1134/ S1995080214040155.
/ Для цитирования: Зайнетдинов Д.Х. Т -сводимость и lm-сводимость множеств и ( последовательностей множеств // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -\ 2016. - Т. 158, кн. 1. - С. 51-65.
/ For citation: Zainetdinov D.Kh. Т -reducibility and lm-reducibility of sets and sequences ( of sets. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, \ 2016, vol. 158, no. 1, pp. 51-65. (In Russian)
