CC BY
13
УДК 510.51
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).51-55
О СТУКТУРЕ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ СТЕПЕНЕЙ ГЕНЕРИЧЕСКОИ И ГРУБОЙ СВОДИМОСТЕЙ
(посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова)
А. Н. Рыбалов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 17.09.2018
Дата принятия в печать 17.10.2018
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Генерическая сводимость, рекурсивно перечислимые степени
Аннотация. В 2003 году И. Капович, А.Г. Мясников, В. Шпильрайн и П. Шупп предложили генерический подход к теории вычислимости и вычислительной сложности. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов. В 2012 году К. Джокуш и П. Шупп ввели понятия генерической и грубой сводимостей, которые сохраняют свойство разрешимости для почти всех входов. В данной работе изучается структура рекурсивно перечислимых степеней относительно этих сводимостей. Также доказывается, что §т-сводимость, введенная А.Н. Рыбаловым в 2018 году, является неплотной для рекурсивно перечислимых множеств.
Финансирование
Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта №18-41-550001
ON THE STRUCTURE OF C.E. DEGREES OF GENERIC AND COARSE REDUCIBILITIES (paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion of his 80th birthday)
A. N. Rybalov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. In 2003 I. Kapovich, AG Myasnikov, V. Shpil'rain and P. Shupp proposed a generic approach to the theory of computability and computational complexity. In the framework of this approach, the algorithmic problem is considered not on the entire set of inputs, but on some subset of almost all inputs. In 2012, C.Jockush and P. Schupp introduced several types of reducibilities, which preserve the property of generic solvability. . In this paper we study the structure of c.e. degrees with respect to these reducibilities. Also we prove that gm-reducibility, introduced by A.Rybalov in 2018, is not dense for c.e. sets.
Keywords
generic reducibility, c.e. degrees
Article info
Received
17.09.2017
Accepted
17.10.2018
Available online 14.12.2018
Acknowledgements
The reported study was funded by Russian Basic Research Foundation according to the research project 18-41-550001
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 51-55
-ISSN 1812-3996
1.Введение
Капович, Мясников, Шупп и Шпильрайн в [1] предложили генерический подход к алгоритмическим проблемам, в рамках которого проблемы рассматриваются для почти всех входов (они образуют так называемое генерическое множество) и игнорируются на остальном множестве входов (они образуют пренебрежимое множество). Джокуш и Шупп в [2] начали изучение генерической вычислимости в контексте классической теории вычислимости. В частности, они ввели генерический аналог тьюрин-говой сводимости и обнаружили глубокую связь между классическими тьюринговыми степенями и генерическими степенями. Однако осталось несколько открытых вопросов о структуре генериче-ских степеней. Например, до сих пор неизвестно, существуют ли минимальные пары генерических степеней [3; 4]. Также они ввели понятие грубой (coarse) сводимости, которое в дальнейшем изучалось Хиршфельдом, Джокушем, Куйпером и Шуп-пом [5].
В данной работе изучается структура рекурсивно перечислимых степеней относительно генери-ческой и грубой сводимостей. Доказывается существование генерически полных рекурсивно перечислимых множеств. Строятся примеры несравнимых ге-нерически (грубо) неразрешимых рекурсивно перечислимых степеней (аналог теоремы Мучника-Фрид-берга). Доказывается, что не существует максимальных неполных и минимальных рекурсивно перечислимых степеней. Аналогичные результаты об эффективной генерической сводимости были получены Ры-баловым в [6]. Также доказывается, что gm-своди-мость, введенная Рыбаловым в [7], является неплотной для рекурсивно перечислимых множеств.
2. Предварительные сведения
Напомним основные определения генерической вычислимости из [2]. Для множества ScN определим последовательность
. . |{х: х < n, х е S}|
Р n ( S )=ü-Д, n = 1,2,3,...
n
Асимптотическая плотность множества ScN есть следующий предел (если он существует) Р( S)= lim„ _р„ ( S).
Множество ScN называется генерическим, если р(S) = 1, и пренебрежимым, если р(S) = 0 .
Пусть S - подмножество с характеристической функцией Xs. Частичная функция ф: N^{0,1} называется генерическим описанием S, когда
ф(х) = (х), в том случае, если ф(х) определена и область определения ф(х) есть генерическое множество. Всюду определенная функция ф: N^{0,1} называется грубым описанием Б, если множество {х: ф(х) = х5 (х)} генерическое. Всюду определенная
функция ф:N^{0,1} называется полугрубым описанием б , если множество {х: ф(х) = %5(х)} генерическое и для любого х если ф(х) = 1, то хеБ .
Множество Б называется генерически разрешимым, если существует частичная вычислимая функция ф, которая является генерическим описанием Б. Множество Б называется (полу)грубо разрешимым, если существует вычислимое (полу)грубое описание Б.
Оператор перечисления - это рекурсивно перечислимое множество W кодов пар (п,й), где
nеN и йcN - конечное подмножество (его канонический индекс). Для подмножества XcN определим
WX = {п: (3 й )[(п, О) е М & й с X ]}.
Заметим, что из любого алгоритма перечисления множества X можно эффективно получить алгоритм перечисления множества Шх . Для частичной функции 9 обозначим у(9) = {(о,Ь):9(а) = Ь} - множество кодов графика функции 9 .
Множество ВcN генерически сводится к множеству АcN (обозначается В< А ), если существует оператор перечисления М такой, что для любого генерического описания 9 множества А имеет место Му(9) =9(5) для некоторого генерического описания 5 множества В. Другими словами, по любому генерическому описанию множества А оператор W алгоритмически получает некоторое генерическое описание множества В.
Множество ВcN (полу)грубо сводится к множеству АcN (обозначается В<с А(В<5 А)), если существует машина М с командами обращения к оракулу такая, что для любого (полу)грубого описания ф множества А машина МфА вычисляет некоторое (полу)грубое описание множества В.
Будем писать В, если А<д В и В<д А . Также
будем писать А< В, если А<д В, но не В<д А . Определим генерическую степень множества А как (А) = {ВcN:В =д А}. Генерическая степень ре-
курсивно перечислима, если содержит хотя бы одно рекурсивно перечислимое множество. Степени традиционно обозначаются маленькими жирными буквами. Для степеней a и b будем писать a < b, если существуют A е a и B е b такие, что A<gB . Аналогично определяется отношение a < b. Степень, состоящая из генерически разрешимых множеств, обозначается 0. Для любой степени a имеет место 0 < a. Аналогично даются эти определения для грубой и полугрубой сводимостей.
Лемма 1. Пусть A - рекурсивно перечислимое множество и A = A ^ A, где A, A - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества. Тогда
1. A < A и A2 <g A .
2. Пусть B - произвольное множество. Если A <gB и A <gB, то A <gB .
3. A < A и A <s A.
4. Пусть B - произвольное множество. Если A < B и A < B, то A <s B.
Доказательство. Докажем пункт 1. Оператор перечисления W, осуществляющий сводимость A <д A , работает следующим образом. Пусть 9 -
любое генерическое описание множества A . Тогда W получает функцию 8 , которая работает на любом входе x eN следующим образом. Сначала вычисляется 9(x). Если 9(x) определено и 9(x) = 0, то 8(x) = 0. Если 9(x) определено и 9(x) = 1, то поочередно запускаются процедуры перечисления множеств A и A : если x появился при перечислении A, то 8(x) = 1, иначе 8(x) = 0. Если 9(x) не определено, то 8(x) тоже не определено. Легко видеть, что функция 8 является генерическим описанием A. Аналогично для множества A.
Докажем пункт 2. Пусть A <д B с помощью оператора W1 и A <д B с помощью оператора W . Оператор W , который генерически сводит A = A ^ A к B для любого генерического описания 9 множества B, получает функцию 8 , которая работает на любом входе x eN следующим образом. Сначала вычисляет генерические описания 8г = W19 и 82 = W20 в точке x . Если хотя бы одно из значений 8(x) и 8(x) не определено, то 8(x) не определено. Иначе, если 8(x) =8(x) = 0, то 8(x) = 0. В любом другом случае 8(x) = 1. Легко видеть, что функ-
ция 8 является генерическим описанием множества А = А ^ А.
Докажем пункт 3. Машина М с обращениями к любому полугрубому описанию фд для А, которая будет полугрубо сводить А к А, работает на входе x следующим образом. Сначала обращается к оракулу ф(х). Если фА(х) = 0, выдает 0. Если фА(х) = 1, то перечисляет множества А и А до тех пор, пока не получит x. Если x получился при перечислении Аг , то выдает 1, иначе выдает 0.
Докажем пункт 4. Пусть А В с помощью машины М и А В с помощью машины М2. Машина М, которая полугрубо сводит А = А ^ А к В для полугрубого оракула фв работает на х следующим образом. Вычисляет МФв (х) и М2фв(х). Если оба значения равны 0, выдает 0. В любом другом случае выдает 1. Лемма доказана.
Заметим, что пункты 3 и 4 леммы, вообще говоря, неверны для грубой сводимости.
Напомним две полезных конструкции из [2]. Для любого кеИ определим следующее множество Rk = {шеИ:т делится на 2к, но не делится на 2к+1}. Теперь для любого множества 5сИ опреде-
лим
R(S) = {jRk. В [2] было доказано (лемма 4.6), что
для любых множеств A, B имеет место A <Т B тогда и только тогда, когда R(A) < R(B). Кроме того, в [6] было доказано, что для любого A имеет место A < R(B).
Для любого k eN определим следующее множество Ik =[k!,(k + 1)i). Теперь для любого множества SçN определим = . В [5] было дока-
keS
зано, что для любых множеств A, B имеет место A<т B тогда и только тогда, когда I(A)<. I(B).
3. Структура перечислимых степеней генери-ческой и грубой сводимостей
Следующее утверждение является аналогом классической теоремы Сакса о разложении.
Теорема 1. Пусть A - генерически неразрешимое рекурсивно перечислимое множество. Тогда A = B0 ^B, где B0- непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества такие, что не A <g B0 и не A <gB1.
Доказательство. Мы будем строить множества B,i = 0,1 так, чтобы для A не существовало генерического описания при подстановке в любой оператор перечисления характеристических функций (которые сами тоже являются генерическими описаниями соответствующих множеств) для множеств B,i = 0,1. Так как условие A <д Bi означает, что какое-то генерическое описание A получается с помощью некоторого оператора из любого генериче-ского описания для B,,i = 0,1 (в том числе и из его характеристической функции), то из этого будет следовать, что не A < B, i = 0,1. Пусть We,eeN - эффективная нумерация операторов перечисления. Для построения будем использовать метод приоритета, добиваясь того, чтобы для любого такого оператора W,eeN на характеристической функции B ,i = 0,1, в том случае, если она является генерическим описанием, ошибалась на некотором входе при вычислении характеристической функции A . Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям из доказательства теоремы 3 в [6].
Также могут быть доказаны аналоги этой теоремы для грубой и полугрубой сводимостей.
Теорема 2. Пусть A - генерически неразрешимое рекурсивно перечислимое множество. Тогда A = B0 ^B, где B0, B - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества такие, что не A < 3, и не A <61.
Теорема 3. Пусть A - генерически неразрешимое рекурсивно перечислимое множество. Тогда A = B0 ^B1, где B0,B1 - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества такие, что не A <SB0 и не A <sB1.
Рекурсивно перечислимое множество A будем называть генерически (грубо, полугрубо) полным, если для любого рекурсивно перечислимого B имеет место B<д A ( B <с A, B<s A ). Соответствующая степень называется полной. Будем называть рекурсивно перечислимую степень a максимальной, если не существует неполной рекурсивно перечислимой степени b такой, что a < b. Ненулевая рекурсивно перечислимая степень a называется минимальной, если не существует такой рекурсивно перечислимой степени b, что 0 < b < a.
Теорема 4. Для генерической, грубой и полугрубой сводимостей имеет место следующее:
1. Существуют полные рекурсивно перечислимые степени.
2. Существуют несравнимые рекурсивно перечислимые степени.
3. Не существует максимальной рекурсивно перечислимой степени.
Для генерической и полугрубой сводимостей имеет место следующее:
4. Не существует минимальной рекурсивно перечислимой степени.
Доказательство. Аналогично доказательствам теорем 5-8 из [6] с использованием конструкций R(A) и I(A), теорем 1,3 и леммы 1. 4. Генерическая m-сводимость Множество AçN генерически m-сводится к
B çN (обозначается A<gm B ), если существует вычислимая функция f : N^N такая, что
1. Vx eN х е A « f(x)eB,
2. VS çN S непренебрежимо « f (S ) непренебрежимо.
Как обычно, A =gm B означает, что A <gm B и
B <gm A . Также будем писать A <gm B, если A <gm B,
но не B <gm A .
Напомним, что множество IçN называется иммунным, если I бесконечно и не содержит никакое бесконечное рекурсивно перечислимое подмножество. Множество S çN называется простым, если S рекурсивно перечислимо и S им-мунно.
Теорема 5. Существуют такие рекурсивно перечислимые множества A и B, что A <gm B, и если
для некоторого рекурсивно перечислимого множества C имеет место A< C< B, то либо C = A ,
gm gm ' gm '
либо C = B .
gm
Доказательство. Пусть A - пренебрежимое простое множество, а B = 2A = {2х : х е A} . Тогда
A <gm B с помощью сводящей функции f (х) = 2х. Но
не B <gm A, так как в дополнении B есть непренебре-
жимое рекурсивное множество D = {2n +1: n eN}, а
в дополнении A нет непренебрежимых (даже бесконечных) рекурсивно перечислимых множеств.
Пусть теперь для некоторого рекурсивно перечислимого множества С имеет место A <дт C<дт B.
Допустим, что сводимость A <дт С осуществляется функцией g, а сводимость C <дт B осуществляется функцией f. Рассмотрим множество f 1 (D). Возможны два случая.
Случай 1. Множество (о) пренебрежимо. Тогда С <дт А с помощью следующей вычислимой функции h:
h(x) =
\f (x)/2, x g f -1(D), |c, x e f -1(D),
где c eD. Нетрудно проверить, что h осуществляет
сводимость C <дт A.
Случай 2. Множество / 1 (о) непренебрежимо. Тогда В<дт С с помощью следующей вычислимой функции 5:
(д(х /2), х го, |г(х), х еО,
где функция г осуществляет сводимость двух рекурсивных негенерических и непренебрежимых множеств О< / х(О) [8]. Теорема доказана.
s(x) =
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. Vol. 264, no. 2. P. 665-694.
2. Jockusch C., Schupp P. Generic computability, Turing degrees, and asymptotic density // Journal of the London Mathematical Society. 2012. Vol. 85, no. 2. P. 472-490.
3. Cholak P., Igusa G. Bounding a density-1 and quasiminimality in the generic degrees // Journal of Symbolic Logic. 2017. Vol. 82, issue 3. P. 931-957.
4. Igusa G. The generic degrees of density-1 sets and a characterization of the hyper-arithmetic reals // Journal of Symbolic Logic. 2015. Vol. 80. P. 1290-1314.
5. Hirschfeldt D., Jockusch C., Kuyper R., Schupp P. Coarse reducibility and algorithmic randomness // Journal of Symbolic Logic. 2016. Vol. 81, issue 3. P. 1028-1046.
6. РыбаловА. Н. О структуре рекурсивно перечислимых степеней генерической сводимости // Вестн. Ом. ун-та. 2018. № 2. С. 35-41.
7. RybalovA. N. A generic m-reducibility // Lecture Notes in Computer Science. 2018. Vol. 10936. P. 359-364.
8. Ishkuvatov R. Every computable set is generically reducible to every computable set that does not have density 0 or 1 // https://arxiv.org/abs/1810.00449.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Рыбалов А. Н. О структуре рекурсивно перечислимых степеней генерической и грубой сводимостей // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 51-55. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).51-55.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Scienses, Docent of the Department of Computing Mathematics and Programming, Dosto-evsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: alexander.rybalov@gmail.com.
FOR QTATIONS
Rybalov A.N. On the structure of c.e. generic and coarse degrees. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 51-55. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).51-55. (in Russ.).
