О структуре рекурсивно перечислимых степеней генерической сводимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.51

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).35-41

О СТРУКТУРЕ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ СТЕПЕНЕЙ ГЕНЕРИЧЕСКОИ СВОДИМОСТИ (посвящается 70-летию профессора Виталия Анатольевича Романькова)

А. Н. Рыбалов

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления

17.11.2017

Дата принятия в печать

29.03.2018

Дата онлайн-размещения 25.06.2018

Ключевые слова

Генерическая сводимость, рекурсивно перечислимые степени

Аннотация. В 2003 г. И. Капович, А.Г. Мясников, В. Шпильрайн и П. Шупп предложили генерический подход к теории вычислимости и вычислительной сложности. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов. В 2012 г. К. Джокуш и П. Шупп ввели несколько видов сводимостей, которые сохраняют свойство генерической разрешимости. В данной работе изучается структура рекурсивно перечислимых степеней относительно генерической сводимости. Доказывается существование генерически полных рекурсивно перечислимых множеств. Строятся примеры несравнимых генерически неразрешимых рекурсивно перечислимых степеней (аналог теоремы Мучника -Фридберга). Доказывается, что не существует максимальных неполных и минимальных рекурсивно перечислимые степеней.

Финансирование

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00577

ON THE STRUCTURE OF C.E. GENERIC DEGREES

(paper dedicated to Professor Vitaly Anatol'evich Roman'kov on the occasion of his 70th birthday)

A. N. Rybalov

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Article info Abstract. In 2003 I. Kapovich, A.G. Myasnikov, V. Shpil'rain and P. Shupp proposed a generic

Received approach to the theory of computability and computational complexity. In the framework

17.11.2017 of this approach, the algorithmic problem is considered not on the entire set of inputs, but

on some subset of almost all inputs. In 2012 K. Jokush and P. Schupp introduced several

Accepted types of reducibilities, which preserve the property of generic solvability. In this paper we

29.03.2018 study the structure of c.e. degrees with respect to generic reducibility. We prove that there

are exist c.e. generically complete sets. Examples of incomparable generic undecidable c.e.

Available online degrees are constructed (an analog of the Muchnik - Friedberg theorem). It is proved that

25.°6.2°18 there are no maximal incomplete and minimal c.e. degrees.

Keywords

Generic reducibility, c.e. degrees

Acknowledgements

The reported study was funded by RFBR according to the research project № 16-01-00577

1.Введение

Важнейшим понятием классической теории вычислимости является понятие сводимости алгоритмических проблем. С его помощью можно сравнивать проблемы по вычислительной сложности и развивать богатую теорию. Здесь одним из основных методов исследования является метод приоритета, предложенный А.А. Мучником и Р. Фридбер-гом в 1956 г. для решения проблемы Поста. В этом методе строится вычислимая последовательность конечных множеств, которая в пределе дает рекурсивно перечислимое множество, обладающее нужными свойствами. Дальнейшее развитие этого и других методов в работах Д. Сакса, Д. Шенфилда, А. Лахлана, К. Ейтса, Р. Соара, Ю.Л. Ершова, С.С. Гончарова, М.М. Арсланова и других привело к значительному пониманию структуры рекурсивно перечислимых степеней относительно тьюринговой сводимости. В теории сложности вычислений понятие полиномиальной сводимости привело к выделению очень важного класса NP-полных проблем.

В последние десятилетия активно изучаются сводимости, которые сохраняют свойство разрешимости и легкоразрешимости для почти всех входов. В 1980-х гг. Л.А. Левин [1] и Ю.Ш. Гуревич [2] определили понятие полиномиальной сводимости в среднем и привели примеры NP-полных в среднем проблем. В 2003 г. И. Капович, А.Г. Мясников, В. Шпиль-райн и П. Шупп в работе [3] предложили генериче-ский подход к теории вычислимости и вычислительной сложности. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов, которые образуют так называемое ге-нерическое множество. Понятие «почти все» уточняется с помощью введения асимптотической плотности подмножеств. В 2012 г. К. Джокуш и П. Шупп в статье [4] ввели несколько видов сводимостей, которые сохраняют свойство генерической разрешимости. Некоторые вопросы о структуре степеней генерической сводимости исследовались в статьях [5; 6]. В работе [7] был рассмотрен некоторый частный случай генерической сводимости.

В данной работе изучается структура рекурсивно перечислимых степеней относительно генерической сводимости. Доказывается существование ге-нерически полных рекурсивно перечислимых множеств. Строятся примеры несравнимых генерически неразрешимых рекурсивно перечислимых степеней (аналог теоремы Мучника - Фридберга). Доказыва-

ется, что не существует максимальных неполных и минимальных рекурсивно перечислимые степеней.

2. Генерические алгоритмы

Пусть I - некоторое множество. Функция size: I ^N называется функцией размера, если для любого neN множество In =|хeI:size(x) = n} конечно. Например, если I = Z* - множество слов над конечным алфавитом Z, то функцией размера будет функция, определенная для любого слова w как его длина |w|. Для множества натуральных чисел N

функция размера сопоставляет любому натуральному числу длину его двоичной записи. Как обычно делается в теории вычислимости, мы будем под алгоритмическими проблемами понимать проблемы распознавания подмножеств из некоторого множества входов с определенной на нем функцией размера.

Пусть I есть множество всех входов для некоторой алгоритмической проблемы, а S - некоторое его подмножество. Рассмотрим последовательность

где /п - множество всех входов проблемы размера п . В данной статье мы будем иметь дело со множествами натуральных чисел, представленными двоичными строками, и под размером числа будем понимать длину его двоичной записи. Если случайно и равновероятно генерировать входы размера n, то вероятность попасть в S равна рп(S). Определим асимптотическую плотность множества S как предел (если он существует)

p(S) = limрп(S).

п^да

Если предела не существует, то считаем, что асимптотическая плотность не определена. Множество входов S с / называется генерическим, если p(S) = 1, и пренебрежимым, если p(S) = 0. Непосредственно из определения следует, что S является генерическим тогда и только тогда, когда / \ S пренебрежимо. Понятие генерического множества формализует интуитивное понятие множества «почти всех» входов в том смысле, что при увеличении размера входа вероятность того, что случайно сгенерированный вход попадет в генерическое множество, стремится к 1.

Алгоритм A с множеством входов I и множеством выходов J(?й J) называется генерическим, если

1. A останавливается на всех входах из I,

2. Множество |хеI:A(x) = ?} пренебрежимо.

Генерический алгоритм A вычисляет функцию

f: I ^ J, если для всех xе1 из A(x) = y е J следует f (x) = y. Ситуация A(x) = ? означает, что A не может вычислить функцию f для аргумента x. Но условие 2 гарантирует то, что A корректно вычисляет f на почти всех входах (входах из генериче-ского множества). Множество генерически разрешимо, если существует генерический алгоритм, вычисляющий его характеристическую функцию.

3. Генерические сводимости

Пусть A - произвольное множество натуральных чисел. Генерическим оракулом множества A называется функция рА : N^|ü,1,?} такая, что

1. Множество |xеI:рА(x) = ?} пренебрежимо.

2. VxeN рА(x) = 1 ^ xеA .

3. Vx eN рА (x) = 0 A x € A .

Множество A cN генерически сводится к множеству BcN, если существует машина М с командами обращения к оракулу такая, что для любого генерического оракула рв машина МРв есть генерический алгоритм, который вычисляет характеристическую функцию множества A. Обозначается это A < B. Легко показать, что если A < B и B

g ' g

генерически разрешимо, то и A генерически разрешимо.

Будем писать A = B, если A <g B и B<д A. Также будем писать A < B, если A <д B, но не B<д A. Определим генерическую степень множества A как dg(A) = {BcN:B =g a| . Генерическая

степень рекурсивно перечислима, если содержит хотя бы одно рекурсивно перечислимое множество. Степени традиционно обозначаются маленькими жирными буквами. Для степеней a и b будем писать a < b, если существуют Aea и Be b такие, что A <д B. Аналогично определяется отношение a < b.

Степень, состоящая из генерически разрешимых множеств, обозначается 0. Для любой степени a имеет место 0 < a.

Лемма 1. Пусть A - рекурсивно перечислимое множество и A = A u A,, где A, A - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества. Тогда

1. A1 <gA и A2 <gA .

2. Пусть В - произвольное множество. Если А < В и А < В, то А < В.

1 д ? д ' д

Доказательство. Докажем пункт 1. Машина М с обращениями к любому генерическому оракулу рА для А, которая будет генерически сводить А к А работает на входе х следующим образом. Сначала обращается к оракулу рА(х). Если рА(х) = ?, то выдает "'?"'. Если рА(х) = 0, выдает 0. Если рА(х) = 1, то перечисляет множества А и А до тех пор, пока не получит х. Если х получился при перечислении А , то выдает 1, иначе выдает 0. Легко видеть, что этот алгоритм является генерическим.

Докажем пункт 2. Пусть А — В с помощью машины М и А — В с помощью машины М2. Машина М, которая генерически сводит А = А и А к В для генерического оракула р, работает на х следующим образом. Вычисляет Мр(х) и М2р"(х). Если хотя бы одно значение равно "'?"', то выдает "'?"'. Иначе, если оба значения равны 0, выдает 0. В любом другом случае выдает 1. Лемма доказана.

Напомним, что множество АсИ называется иммунным, если оно бесконечно и не содержит бесконечных рекурсивно перечислимых подмножеств. Множество ВсИ называется простым, если В рекурсивно перечислимо и N\В иммунно.

Лемма 2. Любое простое негенерическое множество генерически неразрешимо.

Доказательство. Допустим, что простое негенерическое множество ШсИ генерически разрешимо с помощью некоторого генерического алгоритма А . Тогда множество |хёИ: А(х) = 0} является непренебрежимым, а следовательно, и бесконечным рекурсивно перечислимым подмножеством иммунного множества N\Ш Противоречие.

Следующая теорема показывает, что тьюрин-гова сводимость и генерическая сводимость отличаются уже для рекурсивно перечислимых множеств.

Теорема 1. Существуют рекурсивно перечислимые множества А и В такие, что А =Т В, но не А <дВ.

Доказательство. Пусть А - простое негене-рическое множество. Существование таких множеств было доказано в работе [4] (см. доказательство предложения 2.15). Рассмотрим множество

В = Л2 ={о2: а е а} . Очевидно, А =т В . Но А гене-

рически неразрешимо по лемме 2, а В генерически разрешимо. Действительно, генерический алгоритм для В на входе хеК работает следующим образом: проверяет, является ли х квадратом натурального числа, если нет, то выдает ответ 0, иначе - "?"'. Поэтому не А < В.

Следующее утверждение представляет самостоятельный интерес.

Теорема 2. Пусть W с К - любое рекурсивно перечислимое множество с ненулевой асимптотической плотностью. Тогда И/ = \Ып, где И/п - рекурсивно перечислимое множество с ненулевой асимптотической плотностью.

Доказательство. Пусть Wс К - рекурсивно перечислимое множество и р(Ш)>е>0, где е - рациональное число. По основной теореме о рекурсивно перечислимых множествах существует всюду определенная инъективная вычислимая функция /: К^-К такая, что множество W совпадает с множеством значений /, т. е.

М = { / (0), / (1), / (2),...,/(п),...} .

Обозначим через 1/У(/) множество, состоящее из первых / элементов М, перечисленных функцией / , т. е. М1'1 = {/(0),/(1),...,/(/)}. Напомним, что

множество Мсостоит из всех элементов М' размера к.

Определим вычислимую функцию Е: КхК^К следующим образом. Чтобы вычислить Е(/,у) при />0, перебираем значения /(0), /(1),... до тех пор, пока у +1 раз не найдем такое / (к), что

Е £ <р. М (к)т ,

5=1 ^ 5=1 2-

где т = Б'1е(/(к)). В случае / = 1 левую границу полагаем равной 0. Положим Е(',у) = /(к). Чтобы вычислить Е(0,у) перебираем значения f(0),/(1),... до тех пор, пока у +1 раз не найдем такое / (к), что

Рт К'т )>8 , где т = 5'ге(/(к)). Положим Е(0,у) = /(к).

Определим теперь №п ={Е(п,к):ке К}. Из

построения функции Е видно, что \Л/ = \^У°о\Л/п. Также из построения функции Е следует, что

р(М)>Р(М-е>0 и р(Мпри п >0 .

4. Генерическая теорема Сакса о разложении

Следующее утверждение является генерическим аналогом классической теоремы Сакса о разложении.

Теорема 3. Пусть A - генерически неразрешимое рекурсивно перечислимое множество. Тогда A = B0 uB1, где B0,B1 - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества такие, что не A <g Bo и не A < B.

Доказательство. Мы будем строить множества B ,' = 0,1 так, чтобы A было генерически невычислимым на машинах с оракулами (обычными всюду определенными, а не генерическими) для множеств B,' = 0,1. Так как условие A < B(. означает, что A генерически вычислимо на машине с любым генерическим оракулом для ß(. ,' = 0,1 (в том числе и всюду определенным), то из этого будет следовать, что не A <д B,i = 0,1.

Пусть Me ,e eN - эффективная нумерация машин с командами обращения к оракулу, причем все машины могут выдавать только выходы из {0,1,?}.

Для построения будем использовать метод приоритета, добиваясь того, чтобы любая машина M,eeN с оракулом ß(.,' = 0,1, в том случае, если она реализует некоторый генерический алгоритм, ошибалась на некотором входе при вычислении A .

Пусть {A} n - вычислимое перечисление множества A без повторений, т. е. такое, что A = 0 и |AS+1 \ As| = 1 для всех s. Будем строить

вычислимые перечисления {ß( s} , i = 0,1, удовлетворяющие положительному требованию

р : х e As+1 \ As ^ х e B0,s+1 v x e B1,s+1

и отрицательным требованиям

N(e/A генерически не вычислимо машиной MeBi

для любых e eN,/ = 0,1.

Шаг s = 0. Полагаем B/0 =0,i = 0,1.

Шаг s +1. По Bs определим вычислимую функцию длины

/,. (e,s) = max{x : (x < s) л{ Vy < xM /,s (у)

= As (y) v Me/i,s (y) ¿= ?))}.

Здесь через MesB ,s (y) ^ обозначается результат работы машины Me с оракулом Bis на входе y , если

машина остановилась за не более чем s шагов и не определено иначе. Через A(y) обозначено значение характеристической функции конечного множества A ■ Также определим вычислимую функцию r (e, s) = max^u(B s,e, x, s): x < | (e, s)}.

Здесь через u(Bs,e,x,s) обозначено 1 плюс максимальное число, используемое в вычислении машины M при обращении к оракулу Bs на входе

x, если M останавливается за не более чем s шагов и выдает результат, отличный от "?"', и 0 иначе.

Пусть x e As+1 \ A. Выбираем (e',i') как наименьшее в лексикографическом порядке (e,i) такое, что e < s и x <ri(e,s), и перечисляем x в B . Тем самым мы выбираем требование N с наивысшим приоритетом, которое нарушается перечислением x в B,, и перечисляем x в другую часть B^r. Если такого (e',i') нет, то перечисляем x в B . Предельные множества B,i= 0,1 в этом процессе и будут искомыми.

Будем говорить, что требование W(ei) нарушается на шаге s +1 элементом x, если x < r (e,s) и xeB/s+1 \Bis. Докажем по индукции, что для любого (e,i) существует lims r (e,s) и он конечен. Пусть это так для любого (k, j) <(e,i). Выберем t так, что r. (k, s) = r. (k) для всех (k, j) < (e,i) и любого s > t ■ Пусть r больше, чем все такие r (k). Существует такое v > t, что первые r членов множества A совпадают с первыми r членами множества A . Теперь требование N никогда не нарушается после шага v , поэтому существует lims r (e,s) и он конечен.

Докажем, что A не является генерически вычислимым на машине MeBi,i = 0,1 для любого e ■ Допустим противное, что MeBi генерически вычисляет A . Заметим, что найдутся x такие, что MeBi(x)Ф?. Тогда limsl,(e,s) = <x>. Выберем s' так, что требование W(ei) после шага s' никогда не нарушается. Построим теперь генерический алгоритм для множества A, что будет противоречить генери-ческой неразрешимости A. Для вычисления A(n) для любого neN ищем наименьшее s>s', такое,

что l(e,s) >n . Докажем индукцией что для любого t >s имеем |(e,t) >n. Для t = s это очевидно. Пусть это неравенство выполняется для некоторого t, докажем его для t +1. Из определения r(e,t) и условия s > s ' следует, что первые z членов множеств A+1 и A совпадают для всех z , использованных в вычислении MeB ' (x) для всех x < n . Поэтому Me,t+1 ,t+1(x) = m/'' (x), так что либо l(e,t+1) >n, либо A+1 (x) Ф A (x) для некоторого x < | (e,t). Но если A (x) Ф A (x) для t > s и минимального x < n, то A (x) ф MB" (x) для любого t, причем MeB" (x) ф ?. То есть A(x) фMeB' (x) и Mf' генериче-ски не вычисляет A .

Таким образом, для любого t >s имеем | (e,t) > n, откуда следует, что r (e,t) > > maxju(B s;e, x, s): x < n}.

Поэтому Mj's (n) = MeB's (n) = MeB' (n) = A(n).

Так как множество n, на которых данный алгоритм выдает неопределенный ответ "'?"', совпадает с множеством jn : Mj3' (n) = ?}, то A генерически разрешимо. Полученное противоречие доказывает теорему.

5. Структура перечислимых степеней генери-ческой сводимости

Рекурсивно перечислимое множество A будем называть генерически полным, если для любого рекурсивно перечислимого B имеет место B<д A.

Соответствующая степень называется полной.

Теорема 5. Существуют полные генерические рекурсивно перечислимые степени.

Доказательство. Пусть Sa,S,...,S,-. - эффективная нумерация всех рекурсивно перечислимых множеств. Рассмотрим следующее рекурсивно перечислимое множество:

C = {2*(2m +1):meSk,k = 0,1,...} .

Для любого k имеет место S <д C . Действительно, пусть имеется генерический оракул фс для множества C . Тогда генерический алгоритм, вычисляющий характеристическую функцию множества S с оракулом ф, работает на входе x следующим образом. Вычисляется значение f (x) = 2k(2x +1) и

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 35-41

-ISSN 1812-3996

выдается ответ оракула фс ( f (х)) в качестве выхода алгоритма. Теорема доказана.

Нам понадобится некоторая конструкция из работы [4]. Для любого keN определим следующее множество:

Rk = jmeN : m делится на 2k,

2k+1i }.

Легко видеть, что p(R) = 24k+1] и Rk nRm =0 для всех kфm. Теперь для любого множества SçN определим

R(S) = {jRk.

keS

В работе [4] было доказано (лемма 4.6), что для любых множеств A, B имеет место A <т B тогда и только тогда, когда R(A) < R(B). Кроме того, в статье [6] было доказано, что для любого A имеет место A < R(B).

Теорема 6. Существуют несравнимые генери-ческие рекурсивно перечислимые степени.

Доказательство. Пусть A, B - рекурсивно перечислимые множества, несравнимые относительно тьюринговой сводимости. Тогда рекурсивно перечислимые множества R(A) и R(ß) будут несравнимы относительно генерической сводимости. Несравнимыми будут и их степени. Теорема доказана.

Будем называть генерическую рекурсивно перечислимую степень a максимальной, если не существует неполной генерической рекурсивно перечислимой степени b, такой, что a < b.

Теорема 7. Не существует максимальной генерической рекурсивно перечислимой степени.

Доказательство. Пусть a - неполная генери-ческая рекурсивно перечислимая степень. В ней найдется рекурсивно перечислимое множество A, которое не является генерически полным. По теореме Сакса о плотности полурешетки тьюринговых рекурсивно перечислимых степеней существует такое неполное рекурсивно перечислимое множество B, что A <Т B . Теперь A <д R(A) <д R(B). Таким образом, для генерической степени b множества R(B) будет выполняться a < b. Это означает, что степень a не может быть максимальной. Теорема доказана.

Ненулевая генерическая рекурсивно перечислимая степень a называется минимальной, если не существует такой генерической рекурсивно перечислимой степени b что 0 < b < a.

Теорема 8. Не существует минимальной генерической рекурсивно перечислимой степени.

Доказательство. Пусть a - ненулевая генери-ческая рекурсивно перечислимая степень. В ней найдется рекурсивно перечислимое множество A, которое не является генерически разрешимым. По теореме 3 и лемме 1 имеет место A = A u A, где A,A - непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества, такие, что A <д A и A < A . По крайней мере одно из них (для определенности пусть это будет A ) должно быть генерически неразрешимым, так как иначе объединение двух генерически разрешимых множеств A = A u A будет тоже генерически разрешимым. Обозначим через b генерическую степень множества A . Теперь имеет место 0 < b < a. Таким образом, минимальной генери-ческой рекурсивно перечислимой степени не существует. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Levin L. Average case complete problems // SIAM J. Computing. 1987. Vol. 15. P. 285-286.

2. Gurevich Y. Average case completeness // J. Com. Syst. Sci. Int. 1991. Vol. 42. P. 346-398.

3. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. Vol. 264, no 2. P. 665-694.

4. Jockusch C., Schupp P. Generic computability, Turing degrees, and asymptotic density // J. London Math. Soc. 2012. Vol. 85, no. 2. P. 472-490.

5. Cholak P., Igusa G. Bounding a density-1 and quasiminimality in the generic degrees // J. Symb. Log. 2017. Vol. 82, iss. 3. P. 931-957.

6. Igusa G. The generic degrees of density-1 sets and a characterization of the hyper-arithmetic reals // J. Symb. Log. 2015. Vol. 80. P. 1290-1314.

7. РыбаловА. Об одном генерическом отношении рекурсивно перечислимых множеств // Алгебра и логика. 2016. Т. 55, № 5. С. 587-596.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра компьютерной математики и программирования, ИМИТ (Институт математики и информационных технологий), Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Рыбалов А. Н. О структуре рекурсивно перечислимых степеней генерической сводимости // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 35-41. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).35-41.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Scienses, Docent, the Department of Computing Mathematics and Programming, IMIT (the Institute of Mathematics and Information Technologies), Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.

FOR QTATIONS

Rybalov A.N. On the structure of c.e. generic degrees. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 35-41. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).35-41. (in Russ.).