CC BY
12
УДК 510.51
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).42-46
ОБ ОДНОМ ТИПЕ ГЕНЕРИЧЕСКОИ СВОДИМОСТИ
(посвящается 70-летию профессора Виталия Анатольевича Романькова)
А. Н. Рыбалов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления
17.11.2017
Дата принятия в печать
29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Ключевые слова
Генерическая сводимость, рекурсивно перечислимые степени
Аннотация. И Капович, А. Г. Мясников, П. Шупп и В. Шпильрайн в 2003 г. предложили генерический подход к алгоритмическим проблемам, в рамках которого проблемы рассматриваются для почти всех входов (они образуют так называемое генерическое множество) и игнорируются на остальном множестве входов (они образуют пренебре-жимое множество). К. Джокуш и П. Шупп в 2012 г. начали изучение генерической вычислимости в контексте классической теории вычислимости. В частности, они ввели генерический аналог тьюринговой сводимости и обнаружили глубокую связь между классическими тьюринговыми степенями и генерическими степенями. В данной статье вводится генерический аналог т-сводимости как т-сводимости вычислимыми функциями, сохраняющими непренебрежимость множеств. Изучается т-сводимость рекурсивных и рекурсивно перечислимых множеств. Доказывается существование ге-нерически т-полных рекурсивно перечислимых множеств, несравнимых рекурсивно перечислимых множеств и т-степеней, которые содержат более одной генерической т-степени.
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00577
ON ONE TYPE OF GENERIC REDUCIBILITY
(paper dedicated to Professor Vitaly Anatol'evich Roman'kov on the occasion of his 70th birthday)
A. N. Rybalov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info Abstract. I. Kapovich, A. G. Myasnikov, P. Schupp and V. Shpilrain in 2003 developed generic
Received approach to algorithmic problems, which considers an algorithmic problem on "most" of
17.11.2017 inputs (a generic set) instead of all domain and ignores its on the rest of inputs (a negligible
set). In 2012 K. Jockusch and P. Schupp began the study of generic computability in the con-
Accepted text of classical computability theory. In particular, they defined a generic analog of Turing
29.03.2018 reducibility. In this paper we introduce a generic analog of $m$-reducibility as m-reducibility
by computable functions, which preserve the non-negligibility of sets. We study generic m-
Available online reducibility of computable and c.e. sets. We prove the existence of generically m-complete
25.°6.2°18 c.e. sets, incomparable c.e. sets and m-degrees, which contains more than one generic m-
degree.
Keywords
Generic reducibility, c.e. degrees
Acknowledgements
The reported study was funded by RFBR according to the research project № 16-01-00577
1. Введение
И. Капович, А.Г. Мясников, П. Шупп и В. Шпиль-райн в работе [1] предложили генерический подход к алгоритмическим проблемам, в рамках которого проблемы рассматриваются для почти всех входов (они образуют так называемое генерическое множество) и игнорируются на остальном множестве входов (они образуют пренебрежимое множество). Оказалось, что многие известные неразрешимые проблемы являются разрешимыми для большинства входов - на так называемых генерических множествах. Например, это было доказано для проблемы остановки для машин Тьюринга с однонаправленной лентой [2], для проблемы равенства во многих конечно определенных группах с неразрешимой проблемой равенства слов [1]. Но с другой стороны, существуют проблемы, которые остаются неразрешимыми и в генерическом случае [3].
К. Джокуш и П. Шупп в работе [4] начали изучение генерической вычислимости в контексте классической теории вычислимости. В частности, они ввели генерический аналог тьюринговой сводимости и обнаружили глубокую связь между классическими тьюринговыми степенями и генерическими степенями. Однако осталось несколько открытых вопросов о структуре генерических степеней. Например, до сих пор неизвестно, существуют или нет минимальные степени и минимальные пары ге-нерических степеней (см.: [5; 6]).
В данной статье вводится генерический аналог m-сводимости как m-сводимость вычислимыми функциями, сохраняющими непренебрежимость множеств. Изучается m-сводимость рекурсивных и рекурсивно перечислимых множеств. Доказывается существование генерически m-полных рекурсивно перечислимых множеств, несравнимых рекурсивно перечислимых множеств и m-степеней, которые содержат более одной генерической m-степени.
Напомним основные определения генерической вычислимости из работы [4]. Для множества ScN определим последовательность
. . |{х: х < n,х е S}| Рn (S) = ü---Д, n = 1,2,3,...
Асимптотическая плотность множества ScN есть следующий предел (если он существует)
р( S ) = limn ^Рп ( ^ ).
Множество ScN называется генерическим, если р(S) = 1 и пренебрежимым, если р(S) = 0.
Очевидно, 5 является генерическим тогда и только тогда, когда его дополнение 5 пренебрежимо.
Пусть 5 - подмножество с характеристической функцией х5. Частичная функция ф: N^{0,1} называется генерическим описанием 5, если фх) = х5(х) в том случае, если ф(х) определена. Множество 5 называется генерически разрешимым, если существует частичная вычислимая функция ф, которая является генерическим описанием 5 . В противном случае 5 называется генерически неразрешимым.
2. Генерическая т-сводимость
Множество АcN генерически m-сводится к ВcN (обозначается А<дт В), если существует вычислимая функция /такая, что
1. Ухе N хе А «/(х)еВ.
2. У5 cN 5 непренебрежимо ^ / (5) непренебрежимо.
Как обычно, А =дт В означает, что А <дт В и
В <дт А . Также будем писать А <дт В, если А <дт В, но не В<дт А . Определим gm-степень множества А как dgm(A) = {ВcN:В =тА}.
Теорема 1. Для любых множеств А,В,СcN выполнено
1. А <дтА .
2. А <дтВ ^ А <т В .
3. А <дтВ и В <дтС ^ А <дтС .
4. Если А <дт В и В генерически разрешимо,
то А генерически разрешимо.
Доказательство. Пункты (1) и (2) очевидны. Для доказательства (3) допустим, что А <дт В с помощью вычислимой функции / и В<дт С с помощью вычислимой функции д . Тогда А <дт С с помощью д(/), так как для любого 5cN множество 5 непренебрежимо тогда и только тогда, когда /(5) непренебрежимо тогда и только тогда, когда д(/(5)) непренебрежимо.
Для того чтобы доказать (4), предположим, что А <дт В с помощью вычислимой функции / . Так как В генерически разрешимо, то существует генерическое описание ф множества В . Тогда ф(/) будет генерическим описанием множества А. Действи-
тельно, предположим противное, что область определения ф(/) не есть генерическое множество. Тогда C = |хeN:/(x)édomfy)} непренебрежимо. Но /(C)çN\dom(ф) пренебрежимо - противоречие с определением генерической m-сводимости. Теорема доказана.
Лемма 1. Пусть A< B с помощью вычислимой монотонно возрастающей функции / такой, что существует константа C > 0 такая, что /(x) <Cx для всех x > 0 . Тогда A <gm B.
Доказательство. Пусть S çN - непренебре-жимое множество. Тогда существует константа s>0 такая, что для любого натурального N найдется n > N такое, что
|{k : k < n, k e S}|
Pn (S) =
■ >s.
Нам нужно доказать, что /(Б) непренебрежимо. Так как / монотонно возрастающая, то „ (/(Б)) |{ / (к): / (к) < / Щ е 5}| _
р , (п)( г(Б)) _ г (П) _
_\{к1к<п,кеЗ} ^
/(п) Р(Б) /(п) .
n 1
Но -> —, поэтому P„ .
/ (n) C f (n]
(/(S))>s . Из этого
следует, что /(Б) непренебрежимо. Лемма доказана.
3. Генерическая m-сводимость рекурсивных множеств
Теорема 2. Пусть А, В с N - рекурсивные множества, А,В ^N,0 и существуют р(А), р(В). Тогда
1. Если р(А) _р(В)_1, то А =дтВ.
2. Если р(А) _р(В)_0, то А ^ В.
3. Если р(А),р(В) Ф 0 и р(А),р(В) Ф 1, то А^В. Доказательство. (1) Легко видеть, что
А <дт В с помощью следующей функции
х, х е А л х еВ, х, х й А л хйВ, Ь, х е А л х йВ, а, х й А л х еВ, где аеА и ЬеВ. Аналогично доказывается, что В < А.
дт
Пункт (2) следует из (1).
/ (x) =
Рассмотрим пункт (3). Пусть A = {a(i):ieN},
A = {a (i): i eN}, B = {b (i): i eN}, B = {b (i): i eN} -эффективные нумерации множеств в возрастающем порядке. Так как A и B рекурсивные, не конечные и не ко-конечные, то A< B с помощью вычислимой функции /, которая переводит a (i) в b (i) и a2 (i) в Ь(i). Так как p(A) > 0, то существуют константы C > C2 > 0 такие, что для достаточно больших n имеет место
IfcW: ai(k) < ^il = < 2 м ) ain °1) 1
Отсюда n < C1a1 (n). Аналогично, так как p(B) > 0, мы можем оценить b (n) < Cn для некоторой константы C > 0 . Из этих двух неравенств следует, что b (n) < Ca (n) для некоторой константы C > 0. Аналогично мы можем оценить Ь(n) < Csa2(n) с некоторой константой Cs > 0 . Теперь из леммы 1 следует, что A <дт B. Аналогично доказывается, что B <дт A . Теорема доказана.
Следующая теорема утверждает, что существуют несравнимые относительно < рекурсивные множества, лежащие в одной 1-степени.
Теорема 3. Существуют рекурсивные множества A,BçN, такие, что A^ B, но не A<дт B и не B < A.
—gm
Доказательство. Пусть A - любое рекурсивное пренебрежимое бесконечное множество и B -любое рекурсивное генерическое множество, не являющееся ко-конечным.
Очевидно, A ^ B. Но если предположить, что A <дт B с помощью какой-либо вычислимой функции / , то / переводит генерическое множество A
в пренебрежимое множество B, что противоречит определению генерической m-сводимости. Обратно, если предположить, что B <дт A с помощью некоторой вычислимой функции / , то / переводит генерическое множество B в пренебрежимое множество A, что опять противоречит определению генерической m-сводимости. Теорема доказана.
n
4. Генерическая m-сводимость рекурсивно перечислимых множеств
Как и в классическом случае, рекурсивно перечислимое множество S называется gm-полным, если для любого рекурсивно перечислимого множества A имеет место A <дт S .
Теорема 4. Существует gm-полное рекурсивно перечислимое множество.
Доказательство. Рассмотрим эффективную нумерацию S0, S ,■■■, S '■■■ всех рекурсивно перечислимых множеств. Определим следующее рекурсивно перечислимое множество
C = {2*(2m +1):meSk,k = 0,1,-} .
Теперь из леммы 1 следует, что St < C с помощью функции f (x) = 2k (2x +1). Теорема доказана.
Для того чтобы построить несравнимые генерически неразрешимые рекурсивно перечислимые множества, необходимо использовать несколько более сложную технику, чем в доказательстве теоремы 3, так как любое генерическое рекурсивно перечислимое множество является генерически разрешимым ([4], Следствие 2.3). Напомним, что множество IçN называется иммунным, если I бесконечно и не содержит никакое бесконечное рекурсивно перечислимое подмножество. Множество S çN называется простым, если S рекурсивно перечислимо и S иммунно.
Лемма 2. Любое простое негенерическое множество является генерически неразрешимым.
Доказательство. Пусть S - простое негенерическое множество. Допустим, что S генерически разрешимо и ф является его генерическим описанием. Тогда множество {x : ф(х) = 0} не пренебре-жимое (а потому бесконечное) рекурсивно перечислимое подмножество иммунного множества S. Противоречие.
Теорема 5. Существуют генерически неразрешимые рекурсивно перечислимые множества A,ßçN такие, что не A<дт B и не B<дт A .
Доказательство. Пусть S - пренебрежимое простое множество. Существование таких множеств было установлено в [4] (см. доказательство предложения 2.15). По лемме 2 S генерически неразрешимо. Рассмотрим следующие множества: A = S ^{2n : neN} и B = 2S = {2x : x e S}. Ясно, что
множество A тоже простое, непренебрежимое и негенерическое. По лемме 2 множество A генери-чески неразрешимо. Из леммы 1 следует, что S <sm B с помощью функции f (x) = 2x. Поэтому
множество B также генерически неразрешимо. Теперь докажем, что множества A и B несравнимы относительно порядка < .
Допустим, что A <дт B с помощью некоторой вычислимой функции f . Тогда f (A) ç B. Но B пренебрежимо, так как S пренебрежимо. Поэтому f (A) пренебрежимо. Но A не пренебрежимо, что противоречит определению генерической m-сводимости.
Обратно, допустим, что B <дт A с помощью некоторой вычислимой функции g.
Заметим, что непренебрежимое рекурсивно перечислимое множество C = {2k +1:keN} является подмножеством множества B . Таким образом, рекурсивно перечислимое множество f (C) является
подмножеством A. Но A иммунно, поэтому f (C ) конечно и потому пренебрежимо. Снова имеем противоречие с определением генерической m-своди-мости. Теорема доказана.
Следующая теорема утверждает, что существуют рекурсивно перечислимые m-степени, содержащие более одной gm-степени.
Теорема 6. Существуют генерически неразрешимые рекурсивно перечислимые множества A,BçN такие, что A B, но A <grn B.
Доказательство. Пусть S - пренебрежимое простое множество. Рассмотрим множества A = S и B = 2S = {2x : x e S}. По лемме 2 множество A генерически неразрешимо. A <дт B с помощью функции f (x) = 2x. Поэтому множество B тоже генерически неразрешимо. Более того, B<m A с помощью следующей функции
\x /2, x - четное,
f ( x) =
c, x - нечетное,
где сй 5 . Но не В <дт А, потому что непренебрежи-мое рекурсивно перечислимое множество {2к +1: ке^ содержится в В, а иммунное множество А не содержит каких-либо бесконечных рекурсивно перечислимых подмножеств. Поэтому А <дт В. Теорема доказана.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 42-46
-ISSN 1812-3996
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. Vol. 264, no 2. P. 665-694.
2. Hamkins J. D., MiasnikovA. The halting problem is decidable on a set of asymptotic probability one // Notre Dame J. Form. Log. 2006. Vol. 47, no. 4. P. 515-524.
3. Myasnikov A., Rybalov A. Generic complexity of undecidable problems // J. Symb. Log. 2008. Vol. 73, no. 2. P. 656-673.
4. Jockusch C., Schupp P. Generic computability, Turing degrees, and asymptotic density // J. London Math. Soc. 2012. Vol. 85, no. 2. P. 472-490.
5. Cholak P., Igusa G. Bounding a density-1 and quasiminimality in the generic degrees // J. Symb. Log. 2017. Vol. 82, iss. 3. P. 931-957.
6. Igusa G. The generic degrees of density-1 sets and a characterization of the hyper-arithmetic reals // J. Symb. Log. 2015. Vol. 80. P. 1290-1314.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра компьютерной математики и программирования, ИМИТ (Институт математики и информационных технологий), Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, the Department of Computing Mathematics and Programming, IMIT (the Institute of Mathematics and Information Technologies), Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Рыбалов А. Н. Об одном типе генерической сводимости // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 42-46. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).42-46.
FOR QTATIONS
Rybalov A.N. On one type of generic reducibility. Vest-nik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 42-46. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).42-46. (in Russ.).
УДК 512.54
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).47-52
О ФРАГМЕНТАХ ТЕОРИЙ НЕКОТОРЫХ РАЗРЕШИМЫХ ИЛИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП
Е. И. Тимошенко
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 17.02.2018
Дата принятия в печать 29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Аннотация. Пусть G - свободная группа F ранга 2 или свободная метабелева группа М ранга 2, Р - множество примитивных элементов группы G. Во-первых, указаны счетные множества экзистенциальных формул, определяющих множества Р в каждом из двух случаев. Отмечено, что никакое конечное подмножество указанных множеств формул не определяет Р. Во-вторых, показано, что два элемента из коммутанта [М, М] тогда и только тогда автоморфно сопряжены в М, когда они удовлетворяют одним и тем же экзистенциальным формулам. В-третьих, установлено, что частично коммутативные нильпотентные группы являются ЦА-группами.
Ключевые слова
Экзистенциальная формула, свободная группа, свободная метабелева группа, свободная нильпотентная группа, примитивный элемент, формульность подмножества, автоморфная сопряженность, однородность, ЦА-группа
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00100
ON FRAGMENTS OF THEORIES OF SOME SOLVABLE OR NILPOTENT GROUPS
E. I. Timoshenko
Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
Article info Abstract. Let G be the free group F of rank 2 or free metabelian group M of rank 2, and P
Received be the set of all primitive elements of G. First, we prove that there is a countable set of
17.02.2018 existential formulas that determines P, however no finite subset of these formulas does.
Second, it is shown that two elements of the [M, M] conjugate by some automorphism of Accepted M if and only if they satisfy the same existential formulas. Third, we establish that partially
29.03.2018 commutative nilpotent groups are QA-groups.
Available online 25.06.2018
Keywords
Existential formula, free group, free metabelian group, free nilpotent group, primitive element, definability of a subset, automorphic conjugacy, homogeneity, QA-group
