CC BY
11
Науковий вкник, 2007, вип. 17.6
Висновки. Запропонований нами Логiстичний центр мСигнiвкам дасть можливiсть:
• створити промислово складський комплекс;
• м1тм1зувати транспорты затрати з ус1х напрямшв;
• рацюнально використати земельну дшянку промислово! зони;
• забезпечити сощально-економ1чне зростання мюта.
Лiтература
1. Крикавський С. Економ1чний потеищал лопстичних систем. - Льв1в: Вид-во ДУ "Льв1вська полггехшка", 1997. - 168 с.
2. www.lfa.com.ua/territory_evaluation.html
3. www.21.com/ua/ukrainian/portfel/logis/logdnepr.html
УДК 534.111 Здобувач Х.1. Лщинська; доц. А.П. Сеник,
канд. фп.-мат наук - НУ "Львiвська полiтехнiка"
ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП I МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ У ДОСЛ1ДЖЕНН1 ОДНОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ ДВОВИМ1РНИХ НЕЛ1Н1ЙНО ПРУЖНИХ СИСТЕМ
З використанням перiодичних Ateb-функцш, методiв Ван-дер-Поля та усеред-нення розроблено методику дослiдження коливних процеав у багатовимiрних (двови-мiрних) нелшшно пружних системах. Отримано математичнi залежносп, якi визнача-ють вплив рiзноi природи нелiнiйних сил на основш параметри динамiчного процесу.
CompetitorK.I. Lishchynska; assoc. prof. A.P. Senyk-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Periodic Ateb-functions and Van-der-Pole method in research of single-frequency oscillations of two-dimensional nonlinearly elastic systems
With use of periodic Ateb-functions, methods of Van-der-Pole and averages it is developed a technique of research of oscillatory processes in many-dimensional (two-dimensional) nonlinearly elastic systems. It is received mathematical dependences which define agency of the different nature of nonlinear forces on key parameters of dynamic process.
Актуальшсть i постановка задачь Аналггичш методи дослщження коливних процеЫв у квазшншних системах 1з зосередженими масами i роз-подшеними параметрами розроблеш у достатнш м1р1 для теоретичних i прак-тичних цшей. Особливо ефективними методами !х використання е методи, в основi яких лежить теорiя збурень [1, 2], зокрема асимптотичш методи нель ншно! механiки [3-5]. Проблема значно ускладнюеться у випадку, коли нель нiйно-пружнi характеристики систем мають чiтко виражений нелiнiйних характер. Для таких систем тшьки в окремих випадках вдаеться анаштично описати процес, а значить дослщити вплив тих чи шших сил (параметрiв) на коливання. Зокрема, для систем зi степеневою нелiнiйнiстю або близьких до них на основi використання перюдичних Ateb-функцiй [6-7], вдалось узагаль-нити асимптотичнi методи КБМ на випадок одночастотних коливань у системах iз зосередженими масами [8-10] та одновимiрних систем iз розподшени-ми параметрами [11-14]. Метою ще! роботи е узагальнення вказаних аналь тичних методiв на бiльш складш системи, а саме, багатовимiрнi (двовимiрнi) системи iз розподiленими параметрами, нелшшно-пружш характеристики
яких можна апроксимувати близькою до степенево! залежшстю. Таким чином, предметом дослщження ще! роботи е коливнi процеси у системах, як описуються диференщальним рiвнянням
л
ut
a (ux) Uxx Р (lly) Uyy — S f (u, ut, Ux, Uxx, My, Uyy) .
(1)
Це рiвняння охоплюе коливнi процеси широкого спектра двовимiрних середовищ i3 розподiленими параметрами, зокрема, коливання стрiчки транс-портерiв, пластини i т. д., i в ньому u(t, x, y) - вiдхилення перерiзу середовища з координатами x, y у довшьний момент часу t; a, fi,v, s - сталi, до того ж +1
v +1 —- tm, n — 0,1,2,...); s - малий параметр; f (u, ub Ux, Uxx, uy, Uyy) -
2m +1
вщома анаштична функцiя, яка, зрештою, описуе: вiдхилення нелiнiйно пружних характеристик системи вщ степеневого закону; рiзноl природи сили опору; дисипативнi сили й ш. Параметр s у правш частинi вказуе на малу величину найбiльшого значення цих сил порiвняно iз найбiльшим значенням
вщновлювально! сили - max a2 (ux)v Uxx << max s f (u, Ut, Ux, Uxx, Uy, Uyy), i
max в2 (uy ) Uyy << max sf (u, ut, ux, Uxx, Uy, Uyy ).
Методика розв'язування. Для визначення впливу нелшшних сил на коливний процес систем, як описуються рiвнянням (1), перейдемо до побу-дови його розв'язку. Вiдповiдно до методiв збурень [1, 2], розглянемо спочат-ку його незбурену (s — 0) модель, тобто рiвняння
Utt -a1 (ux J Uxx -в2 (uy ) Uyy — 0. (2)
Легко переконатись, що для побудови розв'язку рiвняння (2) можна використати метод вщокремлення змiнних [15], вiдповiдно до якого функщю utt, x, y) будемо шукати у виглядi
u(t, x, y) — T(t)V(x, y). (3)
Тодi функци T (t) i V (x, y) визначаються диференщальними рiвняннями
T (t ) + X(T (t ))v+1 — 0, (4)
a2 (Vx (x, y ))vVxx (x, y) + в2 (Vy (x, y )j'v„, (x, y) + XV (x, y) — 0, (5)
де X - невiдомий параметр, що буде визначено нижче.
Лшшно незалежш розв'язки рiвнянь (4) i (5) виражаються через перю-дичнi Ateb-функци у виглядi [16]
T (t) — T0
ca
v +1,1,
V
sa
v +1,1,
v + 2 2
V + 2
V
1 Л
Л 2
XTq t ,
1 Л
\ 2
XTV t
(6)
^укрвий вкник, 2GG7, вип. 17.б
V (x, y ) = Vq
ca
v +1
sa
v + 1
(v + 2 )Л
2V0v(a2 + Sv+2ß2 )
(v + 2 )Л
2V0v(a2 + Sv+2ß2 )
v+2
(x + Sy )
v+ 2
(x + Sy )
(7)
дe Tq, Vq, Л, S - cтaлi.
Для визнaчeння Л i S ввaжaтимeмo, щo y cфepi змiни нeзaлeжниx ль нiйниx змiнниx x, y пoмiщaeтьcя ц^ге чиcлo пiвxвиль. Тoмy iз влacтивocтeй пepioдичниx Ateb-фyнкцiй випливae
(v + 2 )Л
2V0v(a2 + Sv+2ß2 ) (v + 2) Л
v+2
(b + S y )
с
с
1,
2Vo(a2 + Sv+2ß2) дe k,m = 1,2,...; П| 1,
v+2
(x + Sc )
к П
v v
Í
x + mn
1
v +1
+ Sy
1
v
v + 1
(S)
(9)
уу
1 ^ nrfv +1 ^ 1 f 1 v + 1Л
v + 1
v + 2
Г-
v
2 + v + 2
- пiвпepioд Ateb-фyн-
у
кцiй, як oпиcyють пpoцec змiни xвилi вздoвж i впoпepeк cepeдoвищa. Сшв-вiднoшeння (S) i (9) визнaчaють пapaмeтpи Л i S y виглядi
mb
mb (10)
S =
kc
ЛЬп
2V0v(a2 (kc )v+2 + ß2 (mb )v+2 )
'k„ L 1 ^v+2
(v + 2 )(kc )
v+2
П
v b v
1,
v + 1
(11)
у
Пiдcтaвляючи (10) i (11) в (б) i (7), iз (3) oтpимaeмo мнoжинy oднoчac-тoтниx poзв,язкiв piвняння (2) ^a вкaзaниx вищe пpипyщeнь) y виглядi
u
(t, x, y ) = ak
v +1
ca ( +1,1, Djm (a )t + p ), sa ( +1,1, œM (a )t + p )
v v +1 v v +1 yv дe a i p CTani ( a = TQVQ), a Dkm ( a) визнaчaeтьcя зaлeжнicтю
ca
1,
1
sa
1,
v +1 1
v+1
Л
' 1 Y к m ^
1,
— x H— y b c
у
,П
' 1 Y к m ^
1,
v +1
— x H— y
b c
у
,(12)
(km (a )
\
a2 (kc)v+2 + ß2 (mb)"' f к п
v+2 С
(Jc )
v+2
1,
1
v+2
vu v
v +1
a2 .
(13)
1
1
Примтки:
1. Нижче, для простоти, за розв'язок незбуреного рiвняння будемо ви-
бирати
и
х, у) = аса (у +1,1, сщ (а) £ + р) ■
1,
1
у +1
,к П
1,
1
у +1
(х + 5у) , (14)
в якому а i р сталц
2. Для компактност запису, iндекс к, який вказуе на форму коливань, опускатимемо.
Маючи множину одночастотних розв,язкiв незбуреного рiвняння, роз-глянемо збурений його аналог (1). 1снують рiзнi шдходи знаходження розв,язкiв вказаного типу рiвнянь. Нижче зупинимось на тдхода, який побу-дований на узагальненнi методу Ван-дер-Поля [16] для так званих коротких систем, тобто систем, для яких довжина основно! хвилi е спiврозмiрною iз ге-ометричними розмiрами середовища. Тодi, як трактуе метод Ван-дер-Поля, сшввщношення (14) можна вважати i розв'язком збуреного рiвняння (1), тшь-ки для останнього випадку параметри а i р будуть вже функщями часу. З врахуванням вказаного, для випадку збуреного рiвняння маемо:
8а
щ (х, у) = аса (у +1,1,^)' 2а ((а) + р)• ш(\у + 1,^)
1,
1
у +1
к П
1,
1
у +1
(х + 8у)
у + 2
ш
1,
1 1
(15)
V
У + 1
к П
1,
V
У + 1
(х + 8у)
У
У
Приймаючи до уваги, що для випадку незбуреного рiвняння
' 1 1 л Л
2а
щ (х, у) =--^ с(а) • (1, у + 1,^)^а
1,
V
У + 1
к П
1,
V
У + 1
(х + 5у) .(16)
У
вщповщно до методу Ван-дер-Поля, iз (15) i (16) отримуемо перше диферен-цiальне рiвняння, яке зв'язуе невiдомi змiннi а (£) i рр (£)
аса ( +1,1,^)
8а
у +1
к П
у +1
(х + 8у)
2а р(а)• 8а(\,у + 1,^)
у + 2
ш
У
/ 1 л л
(17)
У + 1
к П
у +1
(х + 5 у)
0.
Наступним диференцiюванням (16) отримуемо:
% = -
у + 2
-ш
1,
1 1 л
'у +1
к П
1,
'у +1
(х + 5у)
X
г
х<а
со + а-
V
dс da
(18)
8а
(1, V +1,^) - ас(а )(со(а) + р) • сау+х (у +1,1,^)
Пщставляючи (10) в (1), з урахуванням того, що
HiiyK'QBiiii bíchhk, 2007, BHn. 17.6
u = kn
v +1
aca
v+1
v
V + 1
,1, k n
V + 1
(x + 8 y) ca(v + 1,1,y),
u,.
-k 2n2
v +1
-V í
1 —
a-caV+1
v +1
v +1
,1, k n
x sa
V
v +1
k n
V
\ A
V + 1
(x + 8y)
x
V + 1
uy = kn
\ 1
V Y -rij 1
(x + 8y) ca(v + 1,1,y)
(19)
Uyy = -k 2n
v +1 1
8 aca
V+1
V y -ríj
2tt2
V + 1
,1, k n
v +1
(x + 8y) ca(v + 1,1,y),
' 1 ^ 1
V
V + 1
8¿a-
v +1
■ca
V+1
v +1
,1, k n
v +1
(x + 8 y)
x
r
x sa
1,
1
v +1
k n
1,
v +1
(x + 8y) ca(v + 1,1,y),
OTpHMycMO gpyre gn^epeH^antHe piBHaHHa, aKe 3B'a3ye HeBigoMi napaMeTpH a i p BHraagy
'.v + 2
a-
■a(a )sa (1,v + 1, y) + paa>caV+x (v + 1,1,^)
sa
v +1
,1, k n
1,
v +1
(x + 8y)
v + 2
(20)
f * (a,y, x, y),
ge f *(a, y,x,y) BÍgnoBÍgae 3HaneHHro ^yHK^i f (u, ut, ux, u^, uy, Uyy) 3a yMoBH,
rn,o u i 11 noxígm BroHanaroTtca BÍgnoBÍgHo go $opMy.n (14), (16), (19).
CncTeMa gH^epeH^antHHx píbhahb (17), (20) BH3Hanae 3aKOHH 3míhh a (t) i <p( t) 3ane^HOCT3MH
2n b c
-rn
a = —
íí f *(yx,y)sa(v +1y)
sa
1
v +1
,1, k n
1,
1
V +1
(x + 8y) dydxdy
b c
a^íísa2
o o
V + 1
,1, k n
1
<P =
v + 2
2nb c
í í í f * (a, y x, y) ca((, v +1, y)
V v + 1 y ' 1
sa
(x + 8 y)
dxdy
0 00
V +1
,1, kn 1,- (x + 8y) dy/dxdy
V v+1r y
2
b c #
/
^ J sa
00 V
1
V +1
,1, k n
1,
1
V + 1
(x + 8y) dxdy
Bhchobkh
TaKHM hhhom, po3po6^eHa MeTogHKa gae 3Mory o^hhth Bn^HB $Í3hko-MexaHÍHHHx xapaKTepHCTHK cepegoBHrn,a Ha AOX ñoro Ko^HBaHb. BoHa noKa3ye, rn,o B^e gra He36ypeHoro BHnagKy nepiog (nacTOTa) ñoro KO^HBaHb íctotho 3ane-^HTb Big aMnmTygn, a BHKnagem y crarn pe3y^BTaTH Mo^yTt 6yTH y3arantHem Ha BHnagoK HeaBToHoMHHx CHCTeM, a aK nacTKoBHñ BHnagoK npu v = 0 (3a ge-
5. Iii(|)()|)Maiiiiini TexHO^orii" ra^y3i
279
яких обмежень щодо середовища) отримуемо вiдомi результати [4], як стосу-ються коливань квазшншних двовимiрних середовищ.
Лiтература
1. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. - М.: Мир, 1972. - 272 с.
2. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
4. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: ВШ, 1976. - 592 с.
5. Рабинович М.И. Об асимптотическом методе в теории нелинейных колебаний распределенных систем// ДАН СССР. - 1971. - 191, № 6. - С. 1253-1256.
6. Сеник П.М. Про МеЬ-функци// Доп. АН УРСР. - 1968, № 1. - С. 23-26.
7. Сеник П.М. Обернення неповно! Ве1а-функци// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.
8. Сеник П.М., Смерека И.П., Сокил Б.И. Асимптотический метод и периодические Л1еЬ-функции в теории существенно нелинейных колебаний// В сб.: Асимптотические и качественные методы в теории дифференциальных уравнений. - К.: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1977. - С. 143-156.
9. Сокил Б.И. Об асимптотическом представлении решения одной нелинейной системы при резонансе// Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 3. - С. 390-392.
10. Смерека И.П. Стационарные колебательные процессы в существенно нелинейных автономных системах, возбуждаемых мгновенными силами// Укр. мат. журн. - 1981. - 53, № 1. - С. 112-115.
11. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.
12. Сокш БД. Про один споаб побудови одночастотних розв'язюв для нелшшного хвильового р1вняння// Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 6. - С. 782-785.
13. Лщинська Х.1. Застосування А1еЬ-функци для дослщження нелшшних коливань одновим1рних систем// Вюник Хмельницького НУ. - 2006, № 4. - С. 62-65.
14. Сокш БД., Лщинська ХД Асимптотичний метод 1 перюдичи А1еЬ-функци у достджен-т коливних процеав рухомих нелЫйно пружних одновимрних систем// Вюник НУ " Льв1вська по-лггехика": Динамжа, мщнють та проектування машин 1 прилад1в. - 2006, № 556. - С. 57-64.
15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука. -1977. - 736 с.
16. Сокш Б.1., Лщинська Х.1. Динам1чш процеси в сильно нелшшних двовим1рних системах 1 А1еЬ-функци у !х дослщженш// Наук. вюник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: НЛТУУ. - 2007, вип. 17.5. - С. 213-217.
УДК517.39:519.872.6 Доц. Р.В. Зтько, канд. техн. наук;
О.М. Маковейчук1 - НУ "Львiвська полiтехнiка"
ПРИНЦИПИ ФОРМУВАННЯ ШТЕЛЕКТУАЛЬНО! ТРАНСПОРТНО1 СИСТЕМИ
Запропоновано принципи формування штелектуально! транспортно! системи для великих мют. Зокрема, наведено приклад для мюта Львова.
Assoc.prof. R.V. Zinko; O.M. Makoveychuk1 -NU "L'vivs'kaPolitekhnika" Principle of creating of Intelligent Transportation Systems
There is the Principle of creating of Intelligent Transportation Systems for a big city. Also the example for the Lviv city is represented.
1 проввдний шженер-програм1ст - ТзОВ "Б1Т" (leading eng. - "BIT" Ltd.)
