Научная статья на тему 'Періодичні ateb-функції і метод Ван-дер-Поля у дослідженні одночастотних коливань двовимірних нелінійно пружних систем'

Періодичні ateb-функції і метод Ван-дер-Поля у дослідженні одночастотних коливань двовимірних нелінійно пружних систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Х І. Ліщинська, А П. Сеник

З використанням періодичних Ateb-функцій, методів Ван-дер-Поля та усереднення розроблено методику дослідження коливних процесів у багатовимірних (двовимірних) нелінійно пружних системах. Отримано математичні залежності, які визначають вплив різної природи нелінійних сил на основні параметри динамічного процесу.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Periodic Ateb-functions and Van-der-Pole method in research of singlefrequency oscillations of two-dimensional nonlinearly elastic systems

With use of periodic Ateb-functions, methods of Van-der-Pole and averages it is developed a technique of research of oscillatory processes in many-dimensional (two-dimensional) nonlinearly elastic systems. It is received mathematical dependences which define agency of the different nature of nonlinear forces on key parameters of dynamic process.

Текст научной работы на тему «Періодичні ateb-функції і метод Ван-дер-Поля у дослідженні одночастотних коливань двовимірних нелінійно пружних систем»

Науковий вкник, 2007, вип. 17.6

Висновки. Запропонований нами Логiстичний центр мСигнiвкам дасть можливiсть:

• створити промислово складський комплекс;

• м1тм1зувати транспорты затрати з ус1х напрямшв;

• рацюнально використати земельну дшянку промислово! зони;

• забезпечити сощально-економ1чне зростання мюта.

Лiтература

1. Крикавський С. Економ1чний потеищал лопстичних систем. - Льв1в: Вид-во ДУ "Льв1вська полггехшка", 1997. - 168 с.

2. www.lfa.com.ua/territory_evaluation.html

3. www.21.com/ua/ukrainian/portfel/logis/logdnepr.html

УДК 534.111 Здобувач Х.1. Лщинська; доц. А.П. Сеник,

канд. фп.-мат наук - НУ "Львiвська полiтехнiка"

ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП I МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ У ДОСЛ1ДЖЕНН1 ОДНОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ ДВОВИМ1РНИХ НЕЛ1Н1ЙНО ПРУЖНИХ СИСТЕМ

З використанням перiодичних Ateb-функцш, методiв Ван-дер-Поля та усеред-нення розроблено методику дослiдження коливних процеав у багатовимiрних (двови-мiрних) нелшшно пружних системах. Отримано математичнi залежносп, якi визнача-ють вплив рiзноi природи нелiнiйних сил на основш параметри динамiчного процесу.

CompetitorK.I. Lishchynska; assoc. prof. A.P. Senyk-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"

Periodic Ateb-functions and Van-der-Pole method in research of single-frequency oscillations of two-dimensional nonlinearly elastic systems

With use of periodic Ateb-functions, methods of Van-der-Pole and averages it is developed a technique of research of oscillatory processes in many-dimensional (two-dimensional) nonlinearly elastic systems. It is received mathematical dependences which define agency of the different nature of nonlinear forces on key parameters of dynamic process.

Актуальшсть i постановка задачь Аналггичш методи дослщження коливних процеЫв у квазшншних системах 1з зосередженими масами i роз-подшеними параметрами розроблеш у достатнш м1р1 для теоретичних i прак-тичних цшей. Особливо ефективними методами !х використання е методи, в основi яких лежить теорiя збурень [1, 2], зокрема асимптотичш методи нель ншно! механiки [3-5]. Проблема значно ускладнюеться у випадку, коли нель нiйно-пружнi характеристики систем мають чiтко виражений нелiнiйних характер. Для таких систем тшьки в окремих випадках вдаеться анаштично описати процес, а значить дослщити вплив тих чи шших сил (параметрiв) на коливання. Зокрема, для систем зi степеневою нелiнiйнiстю або близьких до них на основi використання перюдичних Ateb-функцiй [6-7], вдалось узагаль-нити асимптотичнi методи КБМ на випадок одночастотних коливань у системах iз зосередженими масами [8-10] та одновимiрних систем iз розподшени-ми параметрами [11-14]. Метою ще! роботи е узагальнення вказаних аналь тичних методiв на бiльш складш системи, а саме, багатовимiрнi (двовимiрнi) системи iз розподiленими параметрами, нелшшно-пружш характеристики

яких можна апроксимувати близькою до степенево! залежшстю. Таким чином, предметом дослщження ще! роботи е коливнi процеси у системах, як описуються диференщальним рiвнянням

л

ut

a (ux) Uxx Р (lly) Uyy — S f (u, ut, Ux, Uxx, My, Uyy) .

(1)

Це рiвняння охоплюе коливнi процеси широкого спектра двовимiрних середовищ i3 розподiленими параметрами, зокрема, коливання стрiчки транс-портерiв, пластини i т. д., i в ньому u(t, x, y) - вiдхилення перерiзу середовища з координатами x, y у довшьний момент часу t; a, fi,v, s - сталi, до того ж +1

v +1 —- tm, n — 0,1,2,...); s - малий параметр; f (u, ub Ux, Uxx, uy, Uyy) -

2m +1

вщома анаштична функцiя, яка, зрештою, описуе: вiдхилення нелiнiйно пружних характеристик системи вщ степеневого закону; рiзноl природи сили опору; дисипативнi сили й ш. Параметр s у правш частинi вказуе на малу величину найбiльшого значення цих сил порiвняно iз найбiльшим значенням

вщновлювально! сили - max a2 (ux)v Uxx << max s f (u, Ut, Ux, Uxx, Uy, Uyy), i

max в2 (uy ) Uyy << max sf (u, ut, ux, Uxx, Uy, Uyy ).

Методика розв'язування. Для визначення впливу нелшшних сил на коливний процес систем, як описуються рiвнянням (1), перейдемо до побу-дови його розв'язку. Вiдповiдно до методiв збурень [1, 2], розглянемо спочат-ку його незбурену (s — 0) модель, тобто рiвняння

Utt -a1 (ux J Uxx -в2 (uy ) Uyy — 0. (2)

Легко переконатись, що для побудови розв'язку рiвняння (2) можна використати метод вщокремлення змiнних [15], вiдповiдно до якого функщю utt, x, y) будемо шукати у виглядi

u(t, x, y) — T(t)V(x, y). (3)

Тодi функци T (t) i V (x, y) визначаються диференщальними рiвняннями

T (t ) + X(T (t ))v+1 — 0, (4)

a2 (Vx (x, y ))vVxx (x, y) + в2 (Vy (x, y )j'v„, (x, y) + XV (x, y) — 0, (5)

де X - невiдомий параметр, що буде визначено нижче.

Лшшно незалежш розв'язки рiвнянь (4) i (5) виражаються через перю-дичнi Ateb-функци у виглядi [16]

T (t) — T0

ca

v +1,1,

V

sa

v +1,1,

v + 2 2

V + 2

V

1 Л

Л 2

XTq t ,

1 Л

\ 2

XTV t

(6)

^укрвий вкник, 2GG7, вип. 17.б

V (x, y ) = Vq

ca

v +1

sa

v + 1

(v + 2 )Л

2V0v(a2 + Sv+2ß2 )

(v + 2 )Л

2V0v(a2 + Sv+2ß2 )

v+2

(x + Sy )

v+ 2

(x + Sy )

(7)

дe Tq, Vq, Л, S - cтaлi.

Для визнaчeння Л i S ввaжaтимeмo, щo y cфepi змiни нeзaлeжниx ль нiйниx змiнниx x, y пoмiщaeтьcя ц^ге чиcлo пiвxвиль. Тoмy iз влacтивocтeй пepioдичниx Ateb-фyнкцiй випливae

(v + 2 )Л

2V0v(a2 + Sv+2ß2 ) (v + 2) Л

v+2

(b + S y )

с

с

1,

2Vo(a2 + Sv+2ß2) дe k,m = 1,2,...; П| 1,

v+2

(x + Sc )

к П

v v

Í

x + mn

1

v +1

+ Sy

1

v

v + 1

(S)

(9)

уу

1 ^ nrfv +1 ^ 1 f 1 v + 1Л

v + 1

v + 2

Г-

v

2 + v + 2

- пiвпepioд Ateb-фyн-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у

кцiй, як oпиcyють пpoцec змiни xвилi вздoвж i впoпepeк cepeдoвищa. Сшв-вiднoшeння (S) i (9) визнaчaють пapaмeтpи Л i S y виглядi

mb

mb (10)

S =

kc

ЛЬп

2V0v(a2 (kc )v+2 + ß2 (mb )v+2 )

'k„ L 1 ^v+2

(v + 2 )(kc )

v+2

П

v b v

1,

v + 1

(11)

у

Пiдcтaвляючи (10) i (11) в (б) i (7), iз (3) oтpимaeмo мнoжинy oднoчac-тoтниx poзв,язкiв piвняння (2) ^a вкaзaниx вищe пpипyщeнь) y виглядi

u

(t, x, y ) = ak

v +1

ca ( +1,1, Djm (a )t + p ), sa ( +1,1, œM (a )t + p )

v v +1 v v +1 yv дe a i p CTani ( a = TQVQ), a Dkm ( a) визнaчaeтьcя зaлeжнicтю

ca

1,

1

sa

1,

v +1 1

v+1

Л

' 1 Y к m ^

1,

— x H— y b c

у

' 1 Y к m ^

1,

v +1

— x H— y

b c

у

,(12)

(km (a )

\

a2 (kc)v+2 + ß2 (mb)"' f к п

v+2 С

(Jc )

v+2

1,

1

v+2

vu v

v +1

a2 .

(13)

1

1

Примтки:

1. Нижче, для простоти, за розв'язок незбуреного рiвняння будемо ви-

бирати

и

х, у) = аса (у +1,1, сщ (а) £ + р) ■

1,

1

у +1

,к П

1,

1

у +1

(х + 5у) , (14)

в якому а i р сталц

2. Для компактност запису, iндекс к, який вказуе на форму коливань, опускатимемо.

Маючи множину одночастотних розв,язкiв незбуреного рiвняння, роз-глянемо збурений його аналог (1). 1снують рiзнi шдходи знаходження розв,язкiв вказаного типу рiвнянь. Нижче зупинимось на тдхода, який побу-дований на узагальненнi методу Ван-дер-Поля [16] для так званих коротких систем, тобто систем, для яких довжина основно! хвилi е спiврозмiрною iз ге-ометричними розмiрами середовища. Тодi, як трактуе метод Ван-дер-Поля, сшввщношення (14) можна вважати i розв'язком збуреного рiвняння (1), тшь-ки для останнього випадку параметри а i р будуть вже функщями часу. З врахуванням вказаного, для випадку збуреного рiвняння маемо:

щ (х, у) = аса (у +1,1,^)' 2а ((а) + р)• ш(\у + 1,^)

1,

1

у +1

к П

1,

1

у +1

(х + 8у)

у + 2

ш

1,

1 1

(15)

V

У + 1

к П

1,

V

У + 1

(х + 8у)

У

У

Приймаючи до уваги, що для випадку незбуреного рiвняння

' 1 1 л Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

щ (х, у) =--^ с(а) • (1, у + 1,^)^а

1,

V

У + 1

к П

1,

V

У + 1

(х + 5у) .(16)

У

вщповщно до методу Ван-дер-Поля, iз (15) i (16) отримуемо перше диферен-цiальне рiвняння, яке зв'язуе невiдомi змiннi а (£) i рр (£)

аса ( +1,1,^)

у +1

к П

у +1

(х + 8у)

2а р(а)• 8а(\,у + 1,^)

у + 2

ш

У

/ 1 л л

(17)

У + 1

к П

у +1

(х + 5 у)

0.

Наступним диференцiюванням (16) отримуемо:

% = -

у + 2

1,

1 1 л

'у +1

к П

1,

'у +1

(х + 5у)

X

г

х<а

со + а-

V

dс da

(18)

(1, V +1,^) - ас(а )(со(а) + р) • сау+х (у +1,1,^)

Пщставляючи (10) в (1), з урахуванням того, що

HiiyK'QBiiii bíchhk, 2007, BHn. 17.6

u = kn

v +1

aca

v+1

v

V + 1

,1, k n

V + 1

(x + 8 y) ca(v + 1,1,y),

u,.

-k 2n2

v +1

-V í

1 —

a-caV+1

v +1

v +1

,1, k n

x sa

V

v +1

k n

V

\ A

V + 1

(x + 8y)

x

V + 1

uy = kn

\ 1

V Y -rij 1

(x + 8y) ca(v + 1,1,y)

(19)

Uyy = -k 2n

v +1 1

8 aca

V+1

V y -ríj

2tt2

V + 1

,1, k n

v +1

(x + 8y) ca(v + 1,1,y),

' 1 ^ 1

V

V + 1

8¿a-

v +1

■ca

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V+1

v +1

,1, k n

v +1

(x + 8 y)

x

r

x sa

1,

1

v +1

k n

1,

v +1

(x + 8y) ca(v + 1,1,y),

OTpHMycMO gpyre gn^epeH^antHe piBHaHHa, aKe 3B'a3ye HeBigoMi napaMeTpH a i p BHraagy

'.v + 2

a-

■a(a )sa (1,v + 1, y) + paa>caV+x (v + 1,1,^)

sa

v +1

,1, k n

1,

v +1

(x + 8y)

v + 2

(20)

f * (a,y, x, y),

ge f *(a, y,x,y) BÍgnoBÍgae 3HaneHHro ^yHK^i f (u, ut, ux, u^, uy, Uyy) 3a yMoBH,

rn,o u i 11 noxígm BroHanaroTtca BÍgnoBÍgHo go $opMy.n (14), (16), (19).

CncTeMa gH^epeH^antHHx píbhahb (17), (20) BH3Hanae 3aKOHH 3míhh a (t) i <p( t) 3ane^HOCT3MH

2n b c

-rn

a = —

íí f *(yx,y)sa(v +1y)

sa

1

v +1

,1, k n

1,

1

V +1

(x + 8y) dydxdy

b c

a^íísa2

o o

V + 1

,1, k n

1

<P =

v + 2

2nb c

í í í f * (a, y x, y) ca((, v +1, y)

V v + 1 y ' 1

sa

(x + 8 y)

dxdy

0 00

V +1

,1, kn 1,- (x + 8y) dy/dxdy

V v+1r y

2

b c #

/

^ J sa

00 V

1

V +1

,1, k n

1,

1

V + 1

(x + 8y) dxdy

Bhchobkh

TaKHM hhhom, po3po6^eHa MeTogHKa gae 3Mory o^hhth Bn^HB $Í3hko-MexaHÍHHHx xapaKTepHCTHK cepegoBHrn,a Ha AOX ñoro Ko^HBaHb. BoHa noKa3ye, rn,o B^e gra He36ypeHoro BHnagKy nepiog (nacTOTa) ñoro KO^HBaHb íctotho 3ane-^HTb Big aMnmTygn, a BHKnagem y crarn pe3y^BTaTH Mo^yTt 6yTH y3arantHem Ha BHnagoK HeaBToHoMHHx CHCTeM, a aK nacTKoBHñ BHnagoK npu v = 0 (3a ge-

5. Iii(|)()|)Maiiiiini TexHO^orii" ra^y3i

279

яких обмежень щодо середовища) отримуемо вiдомi результати [4], як стосу-ються коливань квазшншних двовимiрних середовищ.

Лiтература

1. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. - М.: Мир, 1972. - 272 с.

2. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 501 с.

4. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: ВШ, 1976. - 592 с.

5. Рабинович М.И. Об асимптотическом методе в теории нелинейных колебаний распределенных систем// ДАН СССР. - 1971. - 191, № 6. - С. 1253-1256.

6. Сеник П.М. Про МеЬ-функци// Доп. АН УРСР. - 1968, № 1. - С. 23-26.

7. Сеник П.М. Обернення неповно! Ве1а-функци// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.

8. Сеник П.М., Смерека И.П., Сокил Б.И. Асимптотический метод и периодические Л1еЬ-функции в теории существенно нелинейных колебаний// В сб.: Асимптотические и качественные методы в теории дифференциальных уравнений. - К.: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1977. - С. 143-156.

9. Сокил Б.И. Об асимптотическом представлении решения одной нелинейной системы при резонансе// Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 3. - С. 390-392.

10. Смерека И.П. Стационарные колебательные процессы в существенно нелинейных автономных системах, возбуждаемых мгновенными силами// Укр. мат. журн. - 1981. - 53, № 1. - С. 112-115.

11. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.

12. Сокш БД. Про один споаб побудови одночастотних розв'язюв для нелшшного хвильового р1вняння// Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 6. - С. 782-785.

13. Лщинська Х.1. Застосування А1еЬ-функци для дослщження нелшшних коливань одновим1рних систем// Вюник Хмельницького НУ. - 2006, № 4. - С. 62-65.

14. Сокш БД., Лщинська ХД Асимптотичний метод 1 перюдичи А1еЬ-функци у достджен-т коливних процеав рухомих нелЫйно пружних одновимрних систем// Вюник НУ " Льв1вська по-лггехика": Динамжа, мщнють та проектування машин 1 прилад1в. - 2006, № 556. - С. 57-64.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука. -1977. - 736 с.

16. Сокш Б.1., Лщинська Х.1. Динам1чш процеси в сильно нелшшних двовим1рних системах 1 А1еЬ-функци у !х дослщженш// Наук. вюник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: НЛТУУ. - 2007, вип. 17.5. - С. 213-217.

УДК517.39:519.872.6 Доц. Р.В. Зтько, канд. техн. наук;

О.М. Маковейчук1 - НУ "Львiвська полiтехнiка"

ПРИНЦИПИ ФОРМУВАННЯ ШТЕЛЕКТУАЛЬНО! ТРАНСПОРТНО1 СИСТЕМИ

Запропоновано принципи формування штелектуально! транспортно! системи для великих мют. Зокрема, наведено приклад для мюта Львова.

Assoc.prof. R.V. Zinko; O.M. Makoveychuk1 -NU "L'vivs'kaPolitekhnika" Principle of creating of Intelligent Transportation Systems

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

There is the Principle of creating of Intelligent Transportation Systems for a big city. Also the example for the Lviv city is represented.

1 проввдний шженер-програм1ст - ТзОВ "Б1Т" (leading eng. - "BIT" Ltd.)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.