Динамічні процеси у сильно нелінійних двовимірних системах і ateb-функції в їх дослідженні Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лггература

1. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. - М.: Мир, 1966. - 286 с.

2. Семенов В.В. Смена парадигмы в теории транспортных потоков// Препринт № 46 Ин-та прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2006.

3. Семенов В.В. Математическое моделирование транспортных потоков мегаполиса// Препринт № 34 Ин-та прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2004.

4. Neumann von J. Theory of Self-Reproducing Automata (Urbana: University of Illinois Press, 1966).

5. Wolfram S. Rev. Mod. Phys. 55 601 (1983).

6. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 280 с.

7. Ванаг В.К. Исследование динамических систем методами клеточного автомата// УФН, т.169, № 5. - С. 481-505.

8. Nagel K. and Schreckenberg M. A cellular automaton model for freeway traffic, J. Physique I 2, 2221 (1992).

9. Barlovic R., Santen L., Schadschneider A. and Schreckenberg M. Metastable states in cellular automata for traffic flow, Eur. Phys. J. B 5, 793 (1998).

10. Маковейчук О.М. Моделювання транспортних потоюв методами кштинкових автома-■пв// Наук. вюник НЛТУУ: Зб. наук.-техн. праць. - Лыав: НЛТУУ. - 2007, вип. 17.4. - С. 269-271.

11. Zhan, F. B. and Noon, C. E. 1998. Shortest Path Algorithms: An Evaluation Using Real Road Networks. Transportation Science 32, 1 (Jan. 1998), 65-73.

УДК 534.111 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук; Х.1. Лщинська -

НУ "Львiвська полтехтка"

ДИНАМ1ЧН1 ПРОЦЕСИ У СИЛЬНО НЕЛШШНИХ ДВОВИМ1РНИХ СИСТЕМАХ I ATEB-ФУНКЦП В IX

ДОСЛ1ДЖЕНН1

Розроблено методику дослщження коливних процеав сильно нелшшних двови-мiрних систем обмежених розмiрiв. Вперше використано перюдичш Ateb-функцп при побудовi одночастотних розв'язюв рiвнянь з частинними похщними, що описують ди-намiчний процес вказаних систем. Це дало можливють отримати залежнють частоти вщ геометричних розмiрiв, фiзико-механiчних параметрiв i амплiтуди коливань.

Prof. B.I. Sokil, Kh.I. Lishchyns'ka-NU "L'vivs'kapolitehnica"

Dynamic processes in strongly nonlinear bivariate systems and Ateb-functions in their research

It is developed a technique of research of oscillatory processes of strongly nonlinear bi-variate systems of restricted sizes. For the first time it is used periodic functions at construction of single-frequency solutions of the equations with partial derivatives which describe dynamic process of the indicated systems. It has enabled to receive association of frequency on geometrical sizes, physicomechanical parameters and amplitudes of oscillations.

Актуальшсть i постановка задачь Реально iснуючi у коливних системах is багатьма ступенями вшьност та розподшеними параметрами сили опору, в'язко-пружш та шшо! природи сили приводять до швидкого заникан-ня коливань iз вищими частотами та встановлення у них динамiчного проце-су iз частотою, яка близька до частоти зовшшнього перюдичного збурення (за наявносл такого) або першо! основно! частоти частотного спектру систе-ми. Таю задачi для випадку, коли нелшшш характеристики системи прийма-

ють максимальш значення, як1 е малими пор1вняно з л1н1иними вщновлюваль-ними силами, розглядались як для систем 1з зосередженими масами, так 1 роз-подшеними параметрами (див., наприклад [1-5]). Проблема значно усклад-нюеться у випадку, коли пружш характеристики системи мають ч1тко вира-жениИ нелшшний характер. Деяк найпроспш1 модел1 таких систем 1з зосередженими масами 1 одновим1рних 1з розподшеними параметрами були предметом дослщжень робгг [6-10] 1 ш. У цш статл проведено спробу узагальнити деяк найпростш1 результати робгг [8, 9] на випадок багатовим1рних систем (точшше кажучи - двовим1рних) за умови, що пружш властивост 1х матерь алу мають ч1тко виражений степеневий закон.

Методика дослвдження. Математичною моделлю коливань таких систем е диференщальне р1вняння з частинними похщними

,2 /

Щг -а(их ) Ыхх -в2 (иу ) Ыуу = 0, (1)

г > 0,0 < х < Ь, 0 < у < с, в якому а, в,у, Ь, с - стал1, причому у +1 = = ( 2т +1)/( 2п +1), т, п = 0,1,2,...

Легко переконатись, що для побудови розв'язку р1вняння (1) можна використати метод вщокремлення змшних, вщповщно до якого функщю и (г, х, у) будемо шукати у вигляд1

и (г,х,у) = Т(г)у (х,у), (2)

де Т(г) { V(х,у) - перюдичш вщповщно по г \ х,у функци.

Пщставляючи останне у р1вняння (1) для знаходження невщомих фун-кцш Т(г) { V(х, у) отримуемо диференщальш р1вняння

Т (г ) + Л(Т (г ))'+1 = 0, (3)

а2 (Vx (х, у ))'>„ (х, у) + в2 (Vг (х, у))" Vyy (х, у ) + ЛV (х, у) = 0, (4)

де Л - невщомий параметр, що буде визначений нижче.

Лшшно незалежш розв'язки р1внянь (3) { (4) виражаються через перь одичш Л1еЬ-функци [11, 12] у вигляд1

( 1 Л

са

т (г ) = Т

8а

у +1,1, (( + 2 )/2 • ЛТТ)2 г

у

1 л

v +1,1, (( + 2 )/2 • ЛТТ)2 г

(5)

V (х, у ) = Vo

са

sa

1/(V +1) ,1, [( + 2)лЛ( (а2 + 8^+1в1 ))+2 (х + 8 у)

' -

1/(V +1),1, [( + 2)лЛ( (а2 + 8у+1в2 ))+2 (х + 8у)

(6)

де Т0У0 - сталь

Перейдемо до визначення сталих Л \ 8. Для цього вважатимемо, що в област змши незалежних лшшних змшних х, у помщаеться цше число шв-хвиль. Тому 1з властивостей перюдичних Л1еЬ-функцш випливае

( + 2 )Л

де к, т = 1,2,..., П| 1

2У0у(а2 + 8У+2 в2) ' ( + 2 )Л

2¥о(а2 + 8 у+2в2) 1

+2

(Ь + 8 у)

к П

1

+2

(х + 8с)

с

V + 1

г

+ 8 у

V + 1

л/лГ

V + 1

х + тП

V V

Г 1 ,, , 1 Л

V + 1

(7)

(8)

/у

Г-

V

1 V + 1

+

2 V + 2 у

швперюд перюдич-

V + 2 у

них Л1еЬ-функцш, як описують процес змши хвил1 по довжиш 1 впоперек область Сшввщношення (7) 1 (8) визначають параметри Л \ 8 у вигляд1

тЬ

(9)

8=

кс

Лкт

2Уо(а2 (кс )+2 + в2 (тЬ )+2) ( + 2 )(кс)

2

к п

Ь

1,

V + 1

Л Л

/у

v+2

(10)

Шдставляючи (9) 1 (10) в (5) 1 (6) 1з (2) отримаемо множину одночас-тотних розв'язюв р1вняння (1) за вказаних вище припущень у вигляд1

и

(, х, у)

а

са ( +1,1, а>кт (а )t + 0) 8а ( +1,1, а>кт (а) + 0)

са

sa

1

v +1

,1, П

1, П

1,

1

V +1

V +1

к т —х +— у Ь с

к т —х +— у Ь с

\\

\\ ))

(11)

де а \ 0 стал1 (а = Т0У0), а й)кт(а) визначаеться залежшстю (Окт (а)

а2 (кс)+2 + в2 (тЬ )

v+2 /

(кс )

v+2

к п

Ь

v+2

1,

V + 1

а

(12)

у у

Як 1 варто було чекати, 1з останньо! формули граничним переходом при а ^ 0 (чи в ^ 0) маемо частоту коливань одновим1рного середовища (див., наприклад, [8]).

Нижче на рис. 1 представлено залежшсть частоти коливань вщ пара-метр1в а 1 V, 1 вщ параметр1в V 1 а - на рис. 2.

Висновки. 1з представлених залежностей випливае:

а) з1 зростанням параметру V (при фшсованому значент ампл1туди а) частота коливань спадае для малих значень ампл1туди \ зростае - для великих 11 значень;

б) з1 зростанням параметру а: для -1 <v < 0 - частота коливань спадае; при V > 0 - частота коливань зростае;

1

1

в) зi зростанням параметру а (при фшсованих V i а) частота коливань зростае, причому швидюсть зростання найбiльша при V 1.

г) зi зростанням параметру V (при фшсованих а i а) частота коливань спадае.

Рис. 1

Рис. 2

Необхщно зауважити, на основ1 викладеного та загально! ще! асим-птотичних метод1в КБМ можна отримати 1 результати, як стосуються дина-м1чних процеЫв систем близьких до розглядуваних.

Лггература

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища шк., 1976. - 592 с.

2. Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возмущением. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

3. Дейл Дж. Колебания в нелинейных системах. - М.: Мир, 1966. - 229 с.

4. Писаренко Г.С. Колебания упругих систем с учетом рассеяния энергии в материале. - К.: Изд-во АН УССР, 1970. - 379 с.

5. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища шк., 1976. - 592 с.

6. Сенник П.М., Смерека И.П., Сокил Б.И. Асимптотический метод и периодические Л1еЬ-функции в теории существенно нелинейных колебаний// В сб.: Асимптотические и качественные методы в теории дифференц. уравнений. - К.: Изд-во Ин-та математики, 1977. -С.143-156.

7. Сокш Б.1., Кузьо 1.В. Одночастотш ("нормальш") коливання у нелшшних системах 1з скшченою кшьюстю ступешв вшьносп// Тр. Одесского политехнического ун-та. - 2000, № 2(11). - С. 193-198.

8. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982, т. 34, № 6. - С. 803-805.

9. Сокш Б.1. Про один споаб побудови одночастотних розв'язюв для нелшшного хвильового р1вняння// Укр. мат. журн. - 1994, т. 46, № 6. - С. 782-785.

10. Филимонов А.М. Периодические решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными// Дифференц. уравнения. 1976. - 12, № 11. - С. 2077-2084.

11. Сеник П.М. Про Л1еЬ-функци// Доп. АН УРСР. - 1968, № 1. - С. 23-26. 12.Се-ник П.М. Обернення неповно! Ве1а-функци// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. - С. 325-333.