Вплив імпульсних сил на нелінійні коливання консервативних систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946 Проф. М.П. Мартинщв, д-р техн. наук - Укр ДЛТУ;

доц. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук; М.Б. Сотл - НУ "Л.beiecbrn полшехшка"

ВПЛИВ 1МПУЛЬСНИХ СИЛ НА НЕЛ1Н1ЙН1 КОЛИВАННЯ КОНСЕРВАТИВНИХ СИСТЕМ

Розв'язуються задачi про аналггичне дослщження коливальних процеав сильно нелшшних консервативних систем з одним та багатьма ступенями вшьносп пiд дieю р1зно'1 природи iмпульсних сил. В основу дослщжень покладено: а) вдею використан-ня перiодичних Ateb-функцiй для описання коливальних процеав систем Í3 степене-вою нелiнiйнiстю; б) принцип одночастотносп коливань у нелiнiйних системах з багатьма ступенями вшьносп i розподшеними параметрами; в) узагальнення, на основi вказаних вище функцш, методу усереднення на новi класи нелшшних диференщаль-них рiвнянь.

Prof. M.P. Martynciv - USUFWT; doc. B.I. Sokil, M.B. Sokil-NU "Lvivs'kapolitekhnica"

Implosive force's influence on non-linear oscillation's of conservative forces

The tasks of analytical research of oscillatory processes of strongly nonlinear systems with the concentrated weights and allocated parameters under influence of a different nature pulse indignations are solved. In a basis of researches are: а) a principle of one-rate fluctuations; b) idea of periodic Ateb-functions use for the description of oscillatory processes of systems with nonlinear; c) application with use of the mentioned above functions, asymptotic method on new classes of nonlinear systems

Предметом дослщжень, як проведено у статп, е так зваш системи з 1м-пульсною д1ею. Природа 1мпульсних сил р1зна i вини можуть д1яти як у фжсо-ваш моменти часу, так i при проходженш системи через конкретш положення. У сво1й еволюцп iмпульснi сили характеризуються короткою тривашстю дп (удар, миттевий поштовх), а це в багатьох випадках дозволяе нехтувати трива-лiстю дп таких сил, i при опис процесу математичними сшввщношеннями (диференщальними рiвняннями) вважати 1х дда миттевою. Незважаючи на вказане, iмпульснi сили можуть бути причиною значних кшьюсних i яюсних змш у динамщ процесу, а розгляд таких задач зумовлений багатьма явищами та процесами, що мають мюце у фiзицi, техшщ, бюлогп та ш. Дослiдження ко-

ливальних процес1в таких дискретних чи дискретно-неперервних систем за л1-ншно! чи квазштйно! 1х математичних моделей проводились, наприклад, в [1-4]. Нижче, використовуючи метод усереднення [5] у поеднанш з Л1еЬ-фун-кщями [6], розглянуто математичш модел1 бшьш складних систем - систем 1з сильною нелшшшстю як з одним, так 1 з багатьма ступенями вшьность

1. Коливання нелшшних консервативних систем з одним ступе-нем вiльностi шд дieю iмпульсних сил, якi залежить вщ часу. Вщомо, що у консервативних системах вщсутня дисипащя енерги, а тому коливання у них вщбуваються з1 сталою ампл1тудою, яка визначаеться початковим станом системи. Що стосуеться частоти, то вона хоча й залежить вщ амплггуди, про-те залишаеться також незмшною для вказаного типу нелшшних систем при незмшних початкових умовах. Незважаючи на вказаш особливост коливаль-них процеЫв консервативних систем, нав1ть мал1 1мпульсш сили можуть бути причиною значних як кшьюсних, так { яюсних змш у динамщ процесу.

Моделлю коливального процесу консервативно! сильно нелшшно! системи з одним ступенем вшьност1, на яку ддать 1мпульсш сили у фшсоваш моменти часу, е р1вняння:

N

у + а2/+1 = е(у)+ е £/я(у,УЩ - *п), (1.1)

п=1

де: у0 = аЬ1еа(у + 1\,а>(а)Х + 6) 1 V - стал1, причому, V = +1)22^2 +1)-1,si = 0,1,2,...; i = 1,2 ; е[п(у(ХпУ(Хп)) - величина 1мпульсно! сили, яка д1е у моменти часу Хп; f (у) як { у0 (Х) - аналггичш функцп сво1х аргуменлв; 8(х) - дельта-функщя Д1рака; е - малий параметр.

Шд розв'язком р1вняння (1.1) будемо розумгги кусково-неперервну функщю ) з розривами першого роду при значеннях незалежно! змшно!

уг- = у0 (Х) + еи(Х,е), що вщповщають моментам ди на систему 1мпульсного збурення, тобто

х(( )+а2х(х )=ее (х(х)) (1.2)

при X Ф Хп й умовам розриву у вказаш вище моменти часу

х(п + 0)-х(Хп - 0)=еп (х(Хп ),х(Хп)). (1.3)

Для знаходження функци, яка задовольняе вказаним вище умовам (е розв'язком нелшшного р1вняння (1.1)), використаемо загальну щею асимпто-тичних метод1в нелшшно! мехашки [8]. Зпдно 1з останньою, розглянемо вщ-повщне йому незбурене, тобто р1вняння

у + а1 yV+1 = 0. (1.4)

Його перюдичш розв'язки виражаються через Л1еЬ-функцп у вигляд1:

/ч [са^ +1,1,1 ш)

у(()= а\ ( + ) (1.5)

[¿•а( +1,1,1 ш),

де стала 2п визначаеться з умови 2п - перiодичностi по {X (х)} використа-них Ateb-функцiй :бБ,(У1 , у2 ;

П( V + 1) = 4Лг(у + 2)-1 Г"1 (2-1 + (у + 2)-1) - 1х пiвперiод по аргументу I у, а параметри а i у (ампштуда i фаза коливань) зв,язанi сшввщношенням

17+2 "

у = апЛ-П 1 (1, V + 1)а 2 ? + 0 (0 - довшьна стала).

2

Стввщношення вигляду (1.5), згiдно iз загальними принципами теорп збурень [7], можна вважати наближенням асимптотичного розв'язку збурено-го рiвняння (1.1), тшьки для останнього випадку параметри а i 0 будуть вже змшними в часi величинами. Розвиваючи щею роботи [8], для знаходження закону змши амплiтуди i фази коливань отримуемо систему диференщальних рiвнянь:

— Б N -

а = -?-т 8а(,у +1,1 у) /п (а, у)з(( — ^),

со(а) п=1

у = с

(а )■

<у + 2)

2ас(а)

_ N _

/(а,у)+Х/п(а,у)д( — гп) са(у +1,1,1 у), (1.6)

п=1

в якiй

с(а )=апл-П 1(1,у + 1)а 2, / (а,у) = / [аса{у + 11,1 у)],

2

/п (а^)= /п

аеа(у + 1,1,1 у)— 1,/у)

у + 2

Зауважимо, тут i нижче за розв'язок незбуреного рiвняння (1.4) вибра-но перше зi сшввщношень залежностей (1.5). Отриманi залежностi показу -ють, що амплiтуда й частота коливань збурено! системи за один перюд змь

нюються на величину порядку Ь1 Xс^( 1 — Ь])у = ХСу(Ь1 — Ъ])у . Це дозволяе

7=0 7=0

диференцiальнi рiвняння (1.6) дещо спростити - усереднити правi 1х частини по швидкiй змiннiй у i записати у стандартнiй формi:

N

X

п=1

а = БХ А (ап—1 >¥п )

N

у

& = с(а) + Б В(а) + X Вп (ап—1, ¥п )

п=1

(1.7)

де:

А (ап—1 >¥п )

2

2псС (ап—1 )

/п (ап—1 )(,У + 1,уп )

0 при ? < 1п, 0,5 при ? =

1 при ? > 1п,

Вп (п-1 )= , ^2+2) (п-1 - V + 1,1,1 }

4 паю (ап-1)

у + т-1 (у + 1)уу X-Ь])

1=0

-]/ •> ап аупп V п

0 при £ < 1п, 0,5 при £ = £п,

1 при £ > £п,

(п ), V = ¥(*п

Отримана система диференцiальних рiвнянь (1.7) набагато простiша за вихщну: до не! легко застосувати яюсш методи дослiдження диференцiальних рiвнянь, до того ж, у багатьох випадках iз не! вдаеться отримати у квадратурах закони змши у чаш амплiтудно-фазовi характеристики коливань системи. Дшсно, зiнтегрувавши перше рiвняння системи (1.8), знаходимо для першого наближення закон змши в час амплiтуди а({) i частоти ) коливань:

N

а(( )= ао + 4Х Ап (ап-1 ,Уп Х( - £п )

ю((^)=ап}^-+2П \1,у + 1)

+ 4 в(ао )+ТВп (ап-1 ,¥п Л

п=1

' V N

а02 + бХ

п=1

( у-2 V

~а02 Ап (ап-1 >¥п ^ - £п Х

2

V

+

(1.8)

та значення ампл^уди коливань системи в момент ди на не! iмпульсних сил:

Г

аг = а0 + 4Х Ап (ап-1 Vп Х - К ) Г = 1,2Д- , (1.9)

п=1

де а0 - початкова ампл^уда.

Залежностi (1.7), (1.8) показують, що iмпульснi збурення, якi дiють на консервативну систему, приводять як до кшьюсних, так i якiсних змш у часi амплiтуди коливань i вона на окремих вiдтинках часу ^ж дiями двох сусiд-

Г

шх iмпульсiв) може зростати при XА(ап-1 )>0 (£ +1)), спадати при

п=1

X А (ап-1 )< 0 (£ е((г,^г+1)) або навггь залишатись незмiнною при

п=1

ХА (п-1 0 (£ е(?г,?г+1 )).

п=1

Резонансний випадок. Пiд головним резонансним випадком ди на консервативну коливальну систему iмпульсного збурення, яке залежить вiд часу, розумiють випадок, для якого: а) перюд по часу розв'язку рiвняння (1.1) до-рiвнюе величинам iнтервалiв мiж двома сусщшми iмпульсами; б) знак iм-пульсно! сили спiвпадае iз знаком швидкост руху системи; в) кшьюсть iм-пульсних сил е злiченою (N ^ да). Якщо не виконуеться друга умова, то таке iмпульсне збурення буде вщгравати роль сили опору. Нижче для дослщжу-вано! системи пiд резонансним випадком будемо розум^и бiльш простий випадок - випадок, для якого перюд головно! частини розв'язку рiвняння (1.1) у

першому наближенш сшвпадае з вiдповiдним мiжiмпульсним часом. Зазначимо, що вказанi величини вiдрiзняються на величину порядку е1, про-те методика дослiдження резонансного явища в останньому випадку суттево спрощуеться. З урахуванням вказаного, умови 2п -перiодичностi по у розв'язку незбуреного рiвняння, а також сшввщношень (1.6), (1.8) - пiд го-ловним резонансом будемо розумiти випадок, для якого моменти ди iм-пульсних сил визначаються системою алгебрашних рiвнянь:

í г V

)+Х Bn (ап-1 Уп ) +

2П((,у + ll^J^' Т

a0 + s

+ SVao2 An(an-1 Wn )( -tn)

n=1 v-2 2

v n=i2

а також y(tn) та fn (y(tn )y(tn)) одного знаку, тобто

dt.

(1.11)

ansa(l,V + 1,lWn )fn

2a l

a

ca(v +1, 1, l^n )-— co(an )sa(1, v +1, l^n)

v + 2

< 0. (1.12)

При виконанш сшввщношень (1.11), (1.12) друге рiвняння системи (1.7) можна записати у виглядi (при t &(tr,tr +1)):

2e__s(v+2)(tr+1- tr)

tr+1 tr

4n

r

f (a, w)ca(y +1,1 lw)+X An (an-1)

n=1

(1.13)

Таким чином, у випадку резонансу ди на консервативну сильно нель ншну систему iмпульсного збурення, яке залежить вiд часу, динамiчний про-цес системи описуеться залежностями (1.8), (1.13) у яких параметри tr визначаються системою алгебрашних рiвнянь (1.11). Аналопчш спiввiдношення можна отримати i для випадку демулътиплкацшного чи резонансу на обер-тонi зовншнъо1 частоти для яких tr повиннi задовольняти вщповщно ств-вiдношенням

p 2н(1,у+Т

, ч lv + 2 tr+1

2n(1,v +1)-J"

at

at

+ st An (an-1)(-tn)

n=1

dt, p Ф1

+ st An (n-1 )( - tn )

n=1

dt, q Ф1.

Першi наближення залежностей, якi визначають вплив на АЧХ дина-мiчного процесу iмпульсних сил показують: а) якщо iмпульснi сили дiють на систему у моменти максимальних вщхилень вiд рiвноважного положення (sa(\,v + 1,lwn )= 0), то вони спричиняють лише змiну частоти (перюду) коли-вань; б) якщо iмпульснi сили дiють у моменти проходження через рiвноваж-ний стан (ca(v + 1,1,lwn )= 0), то 1хня дiя проявляеться у змт амплiтуди процесу. У випадках, коли запропонована методика не забезпечуе необхщну точ-нiсть розрахункiв, то для визначення впливу на динамжу процесу iмпульсних

r

V

r

r

сил слщ використати бiльш тонкi анаштичш методи дослiдження сильно не-лшшних систем (методи, якi дають розв'язки поставлених задач для другого i наступних наближень), наприклад, метод, в основу якого покладено узагаль-нення и -методики на сильно нелшшт системи.

2. Вплив iмпульсного збуренням, яке залежить ввд положення на коливання нелшшних консервативних системи. У випадку ди на консер-вативну сильно нелшшну коливальну систему з одним ступенем вшьносп iм-пульсного збурення, величина якого значно менша вщ нелшшно! вщновлю-ючо! сили, а моменти дп його залежать вiд положення системи, математич-ною моделлю И руху може бути диференщальне рiвняння:

у + = е/(у ) + еТ0 (у,у )3(у - у0), (2.1)

де: у0 - положення системи, при проходженш через яке на не! дiе iмпульсне збурення величини /0 (у0 ,у0).

Слiд зауважити, що: а) функцi!, якi входять у правi частини рiвняння (2.1) задовольняють умовам аналогiчним, як i у випадку рiвняння (1.1); б) iз фiзичних мiркувань випливае, що iмпульсне збурення буде дiяти на систему тшьки у випадку, коли тах\у\ > |у0|, у противному випадку динамiчний про-

цес вiдбуватиметься iз сталою амплiтудою i для його описання можна використати загальну для розглядуваного класу автономних систем методику.

Представляючи розв'язок рiвняння (2.1) аналопчно як i для (1.1) формi (1.5), отримуемо вiдносно нових змшних Ь1 i у систему диференцiальних рiвнянь у виглядг . -е

(а =

а

(а)

[/(а,у) + /о (а,у)з(аса(у +1,1,/у)- Уо )])а(1, V +1,1 у),

у = а(а)- е( + 2)[/(а,у/) + /0(а,у)>(аса(у +1,1,/у)-у0)]са( + 1,1,/у).(2.2) 2аа(а)

Нехай розв'язки рiвняння ап-1са(у + 1,1,/у)-у0 = 0 мають вигляд: у = уп1 i у = уп 2 (ап-1 - амплггуда коливання системи, яке передуе дi! на не! г - того iмпульсу, а0 - початкова ампл^уда коливань). 1снування розв'язкiв указаного рiвняння забезпечуеться умовою б), якш задовольняють правi частини рiвняння (2.1).

Використовуючи вказане вище, а також властивють дельта-функцп

Дiрака 5((х)) = X - Х) (я(хк)= 0), систему рiвнянь (2.2) запишемо у к '(хк )

виглядi:

а

е( + 2)уа(1у +1,/у) х/0(а ) + 3{у-Щп2)

2/то(а) п=1 ' |уа(l,v + 1,/уп1) |уa(l,v + 1,/уп2)

(2.3)

= а(а)- е( + 2)ca(v +1,1,/у) 2аа(а)

/ X /0 (а,у)

2/п п=1

+

|уа( + 1,уп2 )

Для останньо! системи диференщальних рiвнянь можна використати математичний апарат усереднення i привести !! до стандартного вигляду:

' е(Д2) X [/01 (ап-1 у ) + /о2 (ап , ¥п1)],

а

4/П

п=1

де:

= а(а)- е(]^ + ^ 1(Т/)(а) - X [ (ап-1, уп1 ) + )2 (ап , ¥п2 )] 1 (2.4) 4п [аа(а) 2/п п=1

7 (а .„ )= Уa(l,V + М^п ) /0 (ап-1 уп1 )

а(ап-1 ) |уа(1^ + )

7 (а ,„ )= Уа(1У + 1,/¥п 2) ./0 (ап^п2)

а(ап ) |уа(( + 1,/^п2 )

2п

/ (а )= I са(^^ + 11,/у)/ (a,у)dу, /о1 (ап-1 ,уп1)

ca(v + 1Х,/уп1 ) /0 (ап-1 ^п1 ) ап-1а(ап-1 ) |уа(1^ + 1,/¥п1 Г

!о 2 (ап^п 2 )

ca(v + 1,1 / у2 ) /0 ((п , ¥2 )

апа(ап ) |уa(1,V + 1,уп2 Г

Система диференцiальних рiвнянь (2.4) за своею структурою та методами дослщження аналогiчна до системи диференщальних рiвнянь (1.7), тшь-ки для розглядуваного випадку моменти ди iмпульсних збурень tn е розв'яз-

ками рiвнянь а^а^/ +1,1,/ (а(ап-1 ))п + в) = у0.

3. Одночастотш (мнормальнiм) коливання нелiнiйних консерва-тивних систем iз багатьма ступенями втьносп пiд дieю iмпульсних збурень. Аналггичне дослiдження коливальних процесiв мехашчних систем iз багатьма ступенями вшьносп пов'язане зi значними труднощами у випадку, якщо вони вiдмiннi вщ квазiлiнiйних. Нижче запропоновано метод дослщ-ження певних типiв нелiнiйних систем iз багатьма ступенями вiльностi, на як дiють iмпульснi збурення. Вш базуеться на знаходженнi частинних розв'язюв вигляду "нормальних" коливань, якi не вщповщають системам лшеаризова-них диференщальних рiвнянь, але, тим не менше, !х вдаеться знайти у замкнутому виглядь Такий аналiтичний шдхщ до дослiдження коливальних про-цеЫв сильно нелiнiйних систем з багатьма ступенями вшьносп е найбiльш прийнятним у випадках, коли лшеаризащя вихщних рiвнянь е принципово недопустимою, а побудувати загальний !х розв'язок е, взагалi кажучи, задачею, яку розв'язати не вдаеться.

Розглянемо консервативну систему з обмеженим числом ступешв вшьносп. Нехай: потенщальна енергiя системи являе собою близьку до одно-

рщно1 функцiю узагальнених координат у,,у2,...,уБ iз показником однорщ-ност V + 2 (£ - число ступешв вiльностi системи)

р(у, -У2 ,-,уб )=Е сГ„2...г5уГ1 у22 + е (У1 -У2 ,-уб ); (31)

кшетична енергiя - додатньо визначена квадратична форма

Т(1 ,у2 '■■■' уБ ) = Г ЕЩ^г , (3-2)

2 ;=1

де: е¥(уГ,у2,...уБ) - анаштична функцiя, яка характеризуе вiдхилення потен-

п

щально1 енерги системи вщ однорщно1 функци; = v + 2- показник одного

рiдностi головно! частини функци Р(уГ,у2,...,уБ), с; т; - сталi.

Тодi диференцiальнi рiвняння руху системи приймають вигляд:

у + т?", Е с„„„УГ уг-у^ ур "1у;++1,...уББ = е (у,./2-у), (3.3)

де /,(,у2,.у ) = т- .

дуг

Вважатимемо, що на дослщжувану консервативну систему, точнiше кажучи на И у -у точку, ддать iмпульснi збурення в моменти часу tn, а !х величина залежить вiд положення системи. Нехтуючи величинами порядку е1, диференщальш рiвняння руху системи з врахуванням останнього приймають вигляд:

у + т-1" Е ст...ппуГ1 у22 ..у-Г ^ -1у;++Г1 ...уБ5 =е ( у ....уб ) при ; ф у, (3.4)

у у + т1 " Е сГг2 ...Гп уГ1 у22 ...у у у/ у У+++1 ...уББ = еу (у,. у2 - .уб )+

, ~ ■Гп

N

+ еЕ ёуп (1 ^2 ....Уб )(( - tn )

п =1

де ет^уп(у1п,у2п,...уБп) - величина iмпульсного збурення, яке дiе в момент

часу ^ .

У сильно нелшшних консервативних системах, рух яких описуеться диференцiальними рiвняннями (3.4) при е = 0 iснують одночастотнi коли-вальнi процеси, описати якi можна за допомогою перюдичних Ateb-функцiй. Не зменшуючи загальностi, вважатимемо, що у системi вiдбуваються нель нiйнi коливання, як спiвпадають за формою з першою узагальненою координатою ("модою"), тобто у; = Ь;у,,; = 2,3,...,Б. Модальш сталi Ь зв,язанi системою алгебрашних рiвнянь

Ь Е^сл„..л 1(Ь2 (Ь, У'ЛЬб =

ГП- ГБУ 2' " 5 . (3.5)

•„г,..^ 1(Ь2)2 (Ь)"'■■■(Ьу-, ■) " -'(ЬГ)' -'(Ьу+1.)"'+1 ...(Ь8)"Б

Отже, питання юнування нормальних форм коливань у сильно нель нiйних механiчних системах iз Б ступенями вiльностi пов'язане iз пробле-

мою юнування дiйсних розв,язкiв системи нелiнiйних алгебра!чних рiвнянь (3.5). Вказаного типу системи мають [9] у випадку цших додатних у не мен-ше нiж V + 2 розв'язюв. Таким чином, нормальнi моди (форми) коливань нез-бурено! системи (3.1) описуються за допомогою перiодичних А1еЬ-функцш у виглядi:

у1 = аса(у +1,1, /ц), у = аЬ1еа{у +1,1,/ц), (3.6)

де: y = c{a)t + 6, a,6 - сталц cofa) = д/2 l(v + 2)a2, bi - розв'язки piB^Hb

(3.5). ... . . .

Аналопчно як i для механiчних систем Í3 одним ступенем вiльностi, з (3.4), врахувавши (3.5), (3.6), отримуемо систему дифеpенцiальних piвнянь для знаходження закошв змiни амплiтуд i частот коливань системи у формах, яю близью до "нормальних" коливань незбурено! системи:

a¡ sa(v +1,1 у)) {a,b2 ,b3 ,...,bs,y),

c{a)

aj =s—¡\sa{\,v + Vy) fj{a,b2,b3,...,bs,y)+Xgjn{a,b2,b3,...,bsy)s{t - tn) c{a) l J n=i

,(3.7)

4&i = c{a)- ^{l/+{2)ca{v +U ly)fi{a,b2,b3,...,bs,y\ 2ac{a)

Vj = co{a)- ^ф)^ +1,1,1 v} fj{a,b2,b3,-,bs,w)+ Tgjn{a,b2,b3,...,bs,w)s{t-tn) де: fi {a,b2 ,b3 ,...,bs,y)= f {aca{v +1,1, l y), ab2ca{v +1,1, l y)..., absca{v +1,1, l y));

gn {a,b2 ,b3 ,---,bs,y)= gn {aca{v +1Д,l ab2ca{v + 1,1, l y),-- ,absca{v + 1,1, l y)).

Усереднеш диференщальш piвняння, якi вiдповiдають системi (3.7) iз врахуванням того, що система без ди iмпульсного збурення е консервативною, приймають вигляд:

aii = 0,

Wi =c{a)+ sBi {a,b2 ,b3 ,...,bs ^ (3.8)

aj = SHAjn {an-1 ,b2 ,b3 ,-,bs,yn l

n=1

y/j =c{a)+ SBj {a, b2 ,b3 ,...,bs )+sY,Bjn {an-1 ,b2 ,b3 v-AW ),

n=1

в яких правi частини визначаються та дослiджуються подiбним чином як i для диференщального рiвняння (1.1).

У випадку ди на консервативну систему з багатьма ступенями вшь-ностi, рух яко! описуеться автономними рiвняннями (3.3) iмпульсного збурення, яке залежить вщ положення у -о! точки системи, диференщальш рiв-няння, якi описують закони змiни в часi амплпуди й фази коливань у формах близьких до нормальних форм коливань незбурено! системи, можна привести

також до вигляду (3.8), тшьки правi частини цих рiвнянь визначаються подiб-но як i для диференщального рiвняння (2.1). Саму ж методику можна уза-гальнити i на деяк iншi класи сильно нелшшних консервативних систем iз багатьма ступенями вшьносп, зокрема на системи, математичними моделями руху яких е рiвняння

у, + т;\" + 2)ЕСу(у;+1 - у;+1) = е(у,,у2...у) (3.9)

у=0

при ди на них малих iмпульсних сил, що залежить вщ часу або положення системи. Нормальш форми коливань, якi вiдповiдають незбуреним рiвнянням (3.9), можна описати також залежностями (3.6), тiльки параметри для ос-таннього випадку е розв'язками системи алгебра1чних рiвнянь

Ь Е С;( 1 - Ьу)" = Е С;у (Ь; - Ьу)" . (3.10)

у=0 у=0

Таким чином, дослщження коливальних процесiв сильно нелшшних консервативних систем з багатьма ступенями вшьносп, потенщальна енергiя яких е близькою до однорщно1 функцй узагальнених координат, на якi ддать iмпульснi сили, можна проводити на основi методики, яка викладена у пп. 1, 2.

Лггература

1. Гащук П., Зор1й Л. Лшшш модел1 дискретно-неперервних мехашчних систем. -Льв1в: Украiнськi технологи, 1999. - 372 с.

2. Мышкис А.Д., Самойленко А.М. Системы с толчками в заданные моменты времени. - Мат. сб., 1967. - № 2. - С. 202-208.

3. Самойленко А.М., Перестюк Н.П. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием// Дифференц. уравнения, 1978. - 14, № 6. - С. 1034-1045.

4. Перестюк Н.П. Периодические и почти-периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. - IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Ч.1. - К.: Наук. думка, 1984. - С. 301-304.

5. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища школа, 1976. - 592 с.

6. Сеник П.М. Обернення неповнох' Вeta-функцii// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, №3. -С. 325-333.

7. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

8. Сеник П.М., Сокш Б.1. Про застосування и -методики для одного класу коливних систем// Доп. АН УРСР. - 1977. - А, №1. - С. 12-16.

9. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. - М.: ГНТИ, 1939. - 237 с._

УДК 634.31 Астр. В.В. Бариляк1 - УкрДЛТУ

АНАЛ1З КОНСТРУКТИВНИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ I КЛАСИФ1КАЦ1Я ПРИВОД1В Л1СОВИХ МАШИН З КАНАТНОЮ ТЯГОЮ

Зроблено загальний огляд та наведено класиф1каци юнуючих привод1в ванта-жотдшмальних та люотранспортних машин з канатною тягою, що застосовуються в люовш промисловосп, розглянуто окрем1 елементи та зроблено класиф1кащю приво-

1 Наук. кер1вник: проф. М.П. Мартинщв, д-р техн. наук - УкрДЛТУ