CC BY
6
Науковий вкник, 2006, вип. 16.7
Табл. 1. Порiвняльний аналп виконання л'шос'чнихpo6im
Л1сос1чт операци Мехатзми та приспошблення
Швещя Укра1на
Звалювання Багатооперацшт лшозагспвельт машини (харвесте-ри) - 1 оператор Бензопила - 2 роб.
Обр1зування гшок Бензопила, сокира -1 роб.
Розкряжування -
Укладання у пакети -
Первинне транспортування (трелювання) Форвардер - 1 роб. Трактор, канатна установка - 3.4 роб.
Ввдвантаження та вивезення Самонавантажувальний автомобшь
Мшмальна кшьшсть зайнятих робгтнишв 2 роб. 6 ... 7 роб.
Лггература
1. Мартинщв М.П. Проблеми первинного транспортування деревини в прських умо-вах i шляхи 1х вирiшення// Науковi працi: Зб. наук. робiт Лювничо1 АН Укра1ни. - Львiв: НЛТУ Укра1ни. - 2005, вип. 3. - С. 114.. .117.
2. Библюк Н.1. Еколопчна сумiснiсть наявних технологiй лiсозаготiвлi з природшм се-редовищем: Свропейський досвщ i Украiнськi реалп// Науковi пращ: Зб. наук. роб^ Лшвни-чо1 АН Укра1ни. - Львiв: НЛТУ Укра1ни, 2005, вип. 3. - С. 118.132.
3. Генсирук С.А. Люи Укра1ни. - К.: Наук. думка, 1992. - 408 с.
УДК 534.111 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук; тж. Х.1. Лщинська -
НУ "Льв1вська полтехтка"; проф. Б.Р. Щж, д-р техн. наук - ЛНАВМ M. С.З. Тжицького
РЕЗОНАНСН1 ЯВИЩА В СИЛЬНО НЕЛ1Н1ЙНИХ СИСТЕМАХ, ЯК1 ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ ПОЗДОВЖН1М РУХОМ
Дослiджуeмо резонанснi явища, якi мають мiсце в сильно нелшшних однови-мiрних пружних системах, що характеризуються поздовжнiм рухом. В основi дослщ-жень лежать: а) принцип одночастотносп коливань у нелшшних системах з зосеред-женими масами i розподiленими параметрами; б) щея застосування перiодичних Ateb-функцiй для побудови розв'язюв звичайних диференцiальних рiвнянь iз степе-невою нелiнiйнiстю; в) узагальнення, на основi перiодичних Ateb-функцiй, методу Ван-дер-Поля на новi класи нелшшних динамiчних систем.
Prof. B.I. Sokil; eng. K.I. Lishchinska - L'viv commercial academy;
prof. B.R. Tsizh -LNAVM
The resonant phenomenon in strongly nonlinear systems, which are characterized by longitudinal motion
The resonant phenomenon, which occur in strongly nonlinear one-dimensional resilient systems which are characterized by longitudinal motion, are explored. In a basis of researches it is necessary: a) a principle of one-rate of oscillations in nonlinear systems with the concentrated masses and the distributed parameters; b) an idea of application of periodic Ateb-functions for construction of solutions of the usual differential equations with degree nonlinearity; c) generalization, on the basis of periodic Ateb-functions, to the Wander-Pol method on new classes of nonlinear dynamic systems.
Актуальнiсть i постановка задачi. Динамiчнi процеси, яю мають мю-це у нелшшно пружних системах iз розподiленими параметрами, що характе-ризуються поздовжнiм рухом, мають цший ряд особливостей. До них, насампе-ред, треба вщнести залежнiсть частоти коливань не тшьки вiд фiзико-мехашч-них властивостей системи, але й 11 амплiтуди та швидкост поздовжнього руху. Тому при дослщженш впливу рiзного вигляду перюдичних збурень нехтування кiнематичними параметрами 11 руху на динамiчнi процеси може привести як до юльюсних, так i до якiсних неточностей. Саме ж анал^ичне знаходження влас-них частот коливань рухомих систем iз розподiленими параметрами е складною математичною задачею, адже для побудови розв'язюв диференщальних рiвнянь з частинними похщними, яю е математичними моделями процесу, не можна застосувати таю класичш методи як метод Фур'е чи Д'Аламбера. Таким чином, дослщження динамiчних процесiв у рухомих суцшьних системах е актуальною задачею. У зв'язку iз наведеним, предметом дослщжень дано! роботи е динамiчнi процеси у одновимiрних рухомих нелшшно пружних системах, математичною моделлю яких е диференцiальне рiвняння
д2и _ г д2и т ~ д2и
Г я,. V я2,
+ + V2—т-а2
д^ дхд1 дх
ди 1дх.
д 2и
е/
^ ди ди д2и д2и ^
ч дх ' дt' дxдt' дх1'
У = Ц, (1)
дх2
де: и (х, t) - поздовжне перемiщення перерiзу середовища з координатою х в до-
втьний момент часу t (для гнучких систем - канат, нитка i iн.; и (х,t) - попереч-
не перемщення); V - швидкiсть поздовжнього руху; у,а, ц, е - сталi:
2т +1 л-,,-. 1 • •
у +1 =-, т,п = 0, 1, 2, ..., а - виражаеться через фiзико-мехаmчш пара-
2п +1
метри середовища, ц - частота перюдичного збурення, е - малий параметр,
^ ди ди д 2и д 2и ^ . _ . ...
- вщома 2п - перiодична до у функцiя, яка виражае
/
кдх ' дt' дxдt' дх2 ,
апроксимацiею перiодичних, дисипативних i шшо1 природи сил системи.
Для рiвняння (1) будемо розглядати крайовi умови
и ( х,t )|х=0 = и ( х,t )|х=/ = 0, (2)
их (х, t )|х=0 = их (х, t )х=1 = 0, (3)
яю вiдповiдають умовам вiдсутностi перемщення у фшсованих точках (крайовi умови (2)), чи зусиль (крайовi умови (3)).
Методика до^дження. Дослiдження динамiчних процесiв систем, яю характеризуються поздовжшм рухом, пов'язане насамперед iз розробкою нових чи обгрунтованим використанням (за тих чи шших обмежень щодо юнематич-них i силових чинниюв) вiдомих аналiтичних методiв. Для широкого спектра динамiчних систем виникае необхiднiсть дослiдити вплив перiодичних збурень за незначних (обмежених) швидкостей !х руху. Саме такий клас систем розгля-датимемо нижче. Для !х дослщження можна використовувати методи, яю базу-ються на загальнiй ще! теорй збурень [1, 2]. Вiдповiдно до не! необх^о знайти розв'язок незбурених крайових задач (розв'язок рiвняння (1) при е = 0 i V = 0), який виражаеться через перюдичш А!еЬ-функцй [3, 4] у виглядг
Науковий iticiiiiK, 200б, вип. 1б.7
u ( х, t ) = aX ( х ) ca (v +1,1, у), (4)
де: a - амплпуда одночастотного динамiчного процесу; р - стала (початкова фаза); у = а>(a)t + р -його фаза; X(х) - функци, яю описують форму коливань,
X (x ) =
X (x ) =
sa
ca
1 кП x
v + 1' l
. 1 кП x
x
v +1 l
x
- для крайовж умов (2)
- для крайовж умов (3),
П x = П
v +11 г-1 ( 1 v + 1
V
v + 2
У
V
2 + v + 2
у
- швперюд фyнкцiй, яю визначають форму ко-
ливань, c ( a ) - власна частота коливань струни i вона нaбyвae такого вигляду :
c
(a ) =
а
к П.
~Т
a 2 .
Як було наголошено вище, поздовжнiй рух системи е причиною змiни частоти ïï власних коливань. Останне, а також перюдичш та шшо1 природи нелiнiйнi сили е причиною того, що амплпуда i фаза коливань стають для збуреноï системи змiнними в час величинами. Вiдповiдно до методу Ван-дер-Поля [5], для нелшшних систем параметри a i у будуть вже функцiями часу, i визначаються iз системи диференцiальних рiвнянь
а
i = sA(a), у = c(a) + sB(a)-
c
(a )
V2
(S)
для нерезонансного випадку (pœ(a) Ф qß, деp, q - взаемно проел числа)
а
i = sA(a,в),в = co(a) - j--—V2 + sB(а,в)
c
(a )
(б)
Пт
i для випадку головного резонансу (a(a ) «-ß,
п
Пт = л/пГ
1 I ( 1
— |Г-1 1
v + 2
у
1
л
V
2 + v + 2
). Прaвi частини диференцiaльниx рiвнянь
У
(S), (б) визначаються сшввщношеннями
1 l 2Пт 2п
A(a) = 4Пгт cP íí í sa(iv + yX(x)) ( u
4Ж VT^>P 0 0 0
,uxy, uxx-,Y)
ux(x,t)=cX'(x)ca(v+11y),
dydy/dx,
t (x,t)=
2c(c
-cX (x)sa(l,v+1,y),
v+2
uxx (xt)=cCX'(x)ca(v+\Xw)
B(a ):
v+2 12Пт 2п
J í í ca(v+Цу)X(x)X (щ
8апПтсР
uxy-, uxx-,
-т^Г 0 0 0
Y
ux(x,t)=aX(x)ca(v+1,1,y),
dydy/dx,
t (x,t)=
2c(c
-aX (x)sa(l,v+1,y),
v+2
uxx (xt)=cCX'(x)ca(v+1Xw)
2. Лicoекcплyaтaцiя
ll
1 12п
А(а,в) = 11 ((+\в+у)Х(х) ) (,щи^п^у)
0 0
их(х^)=аХ (х) са(у+1,1,в+/), ц(х^)= аХ (ху-а(\у+\в+г),
с1усСх,
иxx(x,í )=аХ"(х)оа(у+1Хв+у)
у+2
I 2п
В(а,в) = ^--р11 са(+Цв+ у)Х(х)X (пПхуПхх,у)
0 0
их(х^)=аХ'(х)са(у+1Хв+г),
с1усСх,
lt (x,í )=
2—а у+2
■аХ (х)ха(1,у+1,в+/),
ихх (х,г)=аХ"(х)са(у+1,1,в+у)
у + 2
р = Г Х2 (х С =—^ I, Ъ
V + 2 I 2Пг
Г Г Х"(х)Х(х) са2 (у +1,1,у)схСу.
4ПР 0 0
Таким чином, динамiчний процес розглядуваного класу сильно нель нiйних систем з розподшеними параметрами, якi характеризуются поздов-жнiм рухом описуеться залежшстю (4), в якiй параметри а i у чи а i в виз-начаються вiдповiдно iз системи диференцiальних рiвнянь (5) чи (6).
Як приклад, дослщимо вплив фiзико-механiчних характеристик системи, швидкост 11 руху i перiодичного збурення у випадку, коли
I
ди ди д2и д2и
ч дх ' д1' дхд1' дх2 1з диференщальних рiвнянь
= щ (Ъ - Ь2и2) + Еооб¡М, де Ь1, Ь2, Е - сталi.
а
1 = ва[Ъ - Ъ2а2], у = —(а)-
—
(а)
Ъ = Ъ,-
V
У + 1
У
V
У + 1 у + 2
У
'3 — +
V 2
1
л
У + 1
л '
Ъ2 = Ъ2
Г/2 Пг
К2--
п
Г 3 +1л
г|- г -
VV + 2) V 2у
(7)
+
у + 2 ) V2 V + 2 у
3
+
V 2
л
5 у +1
л '
+
V + 2 ) V2 V + 2 у
як визначають закони змши амплiтуди i частоти коливань у нерезонансному
випадку, випливае (див. рис. 1): а) у системi через незначний промiжок часу
незалежно вщ початкового стану системи встановлюеться динамiчний процес
iз амплiтудою аст; б) iз зростанням параметра V на iнтервалi (-1, 0] стащонар-
не значення амплггуди спадае, а на iнтервалi [0, 2) зростае; в) що стосуеться
перiодичного збурення, то його вплив на змшу величини амплггуди у першо-
му наближенш не проявляеться. 2.6г
Рис. 1. Залежшсть стацюнарного
значення амплтуди вiд параметру V
а„
Науковий вкчшк, 2006, вип. 16.7
Що стосуеться головного резонансу (p=q), то функцй, якi визначають закони змiни амплiтуди i рiзницi фаз приймають вигляд
— — E' Ъ
а = ес[Ъ\ - Ъ2а2] + е——— соБв, у = —(а)--——
—(а) —(а)
Е 1— '
V2 - П*.¡ + е. —
Е *
а ■ —
(а)
БШв,(8)
Е' = Г са| 1,V +1,П-(в + фоБвсСв
2п
Е
0 2—
Е*=—Г sa| у + 1,1,— (в+у)ътвсСв
2— 0 I "ПН }
0 V
Нижче на рис. 2-3 показано закони змши в чаш ампл^уди коливань при переходi через головний резонанс
0123456789 10
Рис. 2. Залежностi амплтуди коливань вiд часу при v=0,3: V=0, V=5 I /=10 м/с
Рис. 3. Залежностi амплтуди коливань вiд часу при v=0,7: V=0, V=5 I /=10 м/с
1з представлених залежностей випливае:
• з1 зростанням швидкост руху середовища резонансне явище наступае за ко-ротший промiжок часу;
• при переход! через резонанс ампл1туда коливань для бшьш жорстких систем е меншою.
2. Лiсоексплуатацiя
79
На завершення треба вiдзначити, як окремий випадок i3 викладеного, при v=0, V=0 отримаемо результати, якi стосуються нерухомих квазшншних середовищ [3].
Л1тература
1. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
3. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: ВШ, 1974. - 592 с.
4. Сеник П.М. Обернення неповно! Beta-функцп// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.
5. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.
6. Wan der Pol. A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations// Radio Review, 1920, № 1. _
УДК 534.111 Проф. €.В. Харченко, д-р техн. наук;
acnip. М.Б. СокЬл - НУ "Льв1вська Пол1техшка"
ВПЛИВ СПОСОБУ ЗАКР1ПЛЕННЯ НА КОЛИВАННЯ ОДНОГО КЛАСУ РУХОМИХ ОДНОВИМ1РНИХ СЕРЕДОВИЩ
Дослщжуемо вплив способу закршлення (крайових умов) на коливання одного класу рухомих одновимiрних середовищ. В !х основу покладено принцип одночас-тотносп коливань нелшшних систем iз багатьма ступенями вшьносп i розподшени-ми параметрами та узагальнення методу Д'Аламбера на крайовi задач^ як описують динамiчнi процеси розглядуваних середовищ. Останне дае змогу отримати залежнос-т для визначення частоти процесу, а також хвильовi числа прямо!' i зворотно'1 хвиль.
Prof. Ye.V. Kharchenko;post-graduateM.B. Sokil-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Influence of method of fixing on oscillation one to the class of mobile
homogenous environments
Influence of method of fixing (regional terms) is explored on oscillation of one class of mobile homogeneous environments. In their basis principle is fixed the same thing to frequency of vibrations of the nonlinear systems with many degrees of liberty and generalization of method d'Alembert is fixed on regional tasks which describe the dynamic processes of the examined environments. The last allows toget dependences for determination of frequency of wave process, and also number of direct and reverse waves.
Актуальшсть i постановка задачь Аналггичне дослщження динам1ч-них процеЫв, що мають м1сце у нелшшних системах 1з розподшеними параметрами пов'язане 1з значними труднощами насамперед через вщсутшсть ма-тематичного апарату побудови розв'язюв крайових задач для диференщаль-них р1внянь з частинними похщними, яю описують щ процеси. У випадку малих за величиною нелшшних сил (так званих квазшншних систем) дослщ-ження у багатьох випадках можна проводити на основ! метод1в збурень [1]. Що стосуеться рухомих систем, то проблема ютотно ускладнюеться, адже на-в1ть для !х лшшних аналопв не можна застосувати таю вщом1 класичш мето-ди побудови розв'язюв р1внянь з частинними похщними як метод д'Аламбера
