Научная статья на тему 'Періодичні ateb-функції у дослідженні коливань сильно нелінійних рухомих середовищ'

Періодичні ateb-функції у дослідженні коливань сильно нелінійних рухомих середовищ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
нелінійні коливання / динамічний процес / рівняння руху / амплітудно-частотна характеристика / nonlinear oscillations / dynamic process / the equation of motion / an amplitude-frequency characteristic

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Б І. Сокіл, Х І. Ліщинська

Запропоновано методику дослідження коливних процесів однорідних одновимірних нелінійно пружних середовищ, які характеризуються поздовжнім рухом. В основу досліджень покладено узагальнення, на основі застосування Ateb-функцій, методу усереднення на деякі класи диференціальних рівнянь з частинними похідними.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Periodic Ateb-functions in research of oscillations of strongly nonlinear moving mediums

It is offered a technique of research of oscillatory processes homogeneous unidimensional nonlinearly elastic mediums which are characterized by a longitudinal motion. In a basis of researches generalization on a foundation of use of Ateb-functions, an averaging method on some classes of the differential equations in fractional derivatives is necessary.

Текст научной работы на тему «Періодичні ateb-функції у дослідженні коливань сильно нелінійних рухомих середовищ»

УДК 534.111 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук; Х.1. Лщинська -

НУ "Львiвська полтехтка"

ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП У ДОСЛ1ДЖЕНН1 КОЛИВАНЬ СИЛЬНО НЕЛ1Н1ЙНИХ РУХОМИХ СЕРЕДОВИЩ

Запропоновано методику дослщження коливних процесiв однорiдних однови-м1рних нелiнiйно пружних середовищ, якi характеризуются поздовжнiм рухом. В основу дослщжень покладено узагальнення, на основi застосування Ateb-функцiй, методу усереднення на деякi класи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.

Ключов1 слова: нелшшш коливання, динамiчний процес, рiвняння руху, ам-плiтудно-частотна характеристика.

Prof. B.I. Sokil; K.I. Lishchinska - NU "L'vivs'ka Politekhnika"

Periodic Ateb-functions in research of oscillations of strongly nonlinear moving mediums

It is offered a technique of research of oscillatory processes homogeneous unidimensional nonlinearly elastic mediums which are characterized by a longitudinal motion. In a basis of researches generalization on a foundation of use of Ateb-functions, an averaging method on some classes of the differential equations in fractional derivatives is necessary.

Keywords: nonlinear oscillations, dynamic process, the equation of motion, an amplitude-frequency characteristic.

Багато прикладних задач мехашки вимагають вивчення коливних про-цеЫв у середовищах, що рухаються з постшною чи змшною швидкостями (буров1 установки вентиляцшних ствол1в шахт i нафтових промисл1в, трубоп-роводи, якими транспортуеться рiдина, струна або волокно при намотуванш чи технологiчному процес й iн.). Математичними моделями динамiчних про-цесiв у таких системах е диференщальш рiвняння з частинними похщними, якi для свого дослщження не дають змоги застосовувати класичш методи Фур'е чи Д'Аламбера [1]. Тому таю задачi вивченi, певною мiрою, за припу-щенням найпростших фiзико-механiчних властивостей матерiалу середови-ща [2-4]. Проте найпростiшi (лшшш) моделi руху середовищ не можуть дати вщповщь на цiлий ряд практичних i теоретичних питань, яю виникають тд час вивчення реальних динамiчних систем. У зв'язку з цим виникае необхщ-нiсть розгляду бiльш складних, нелiнiйних аналогiв цих систем, що рухаються вздовж свое! ось Нижче, на прикладi поздовжшх коливань рухомого су-цшьного одновимiрного середовища, розглядаеться така модель середовища, пружш властивостi матерiалу якого значною мiрою вiдмiннi вiд лшшного закону. Для отриманого диференщального рiвняння руху середовища (за пев-них обмежень щодо швидкостi його руху), розроблено методику дослщження. В 11 основу покладено щею використання перюдичних Ateb-функцiй [5-8] для побудови розв'язюв звичайних диференцiальних рiвнянь iз степеневою нелiнiйнiстю i узагальнення методу усереднення на нелшшш рiвняння iз частинними похiдними, яю описують рух середовища. Це дае змогу в межах прийнятих припущень дослщити вплив юнематичних i фiзико-механiчних параметрiв на основнi характеристики руху середовища.

Диференщальне рiвняння коливань. Розглянемо поздовжш коливання рухомого одновимiрного середовища на прикладi прямолшшно! однорщно!

с^чки (стрижня, канату, труби й ш.). Вважатимемо, що вона рухаеться вздовж свое! геометрично! оЫ з1 сталою швидьастю V. У

..с!х,.

V

Э 5 + Д5 *

Рис. 1. Схема сил, як дють на елемент рухомо! прямолшшно! стрiчки

Позначимо: и (х, t) - поздовжне перемщення перерiзу з координатою

х у довшьний момент часу t, — = ех - вiдносну деформацiю. Будемо вважа-

дх

ти, що у перерiзах стрiчки виникають лише поздовжш зусилля, якi визнача-

^ ди диЛ . „(ди ди^

емо залежнiстю Б (х, t ) = /

що i функцiя /

, „ . характеризуе

V дх ' дt ) ^ V дх ' дt )

в,язко-пружнi властивостi матерiалу стрiчки. Будемо вважатимемо, що 1х з достатнiм степенем точностi можна апроксимувати залежнiстю

/

ди ди дх' дt

= Е'

дх

+ Л

\ил /

ди ди

дх дt

(1)

де: Е * - "модуль пружностГ' матерiалу стержня; ^о - площа поперечного пе-

рерiзу (стала величина), V + 1 - стала вигляду V +1

2т +1

т, п = 0,1,2,....

2п +1

¡л - малий параметр, який вказуе на незначне вдаилення пружних власти-востей матерiалу вiд степеневого закону. Спираючись на рiвняння кшетоста-тики, умова динамiчноl рiвноваги елементу стрiчки набирае вигляд

й 2и

И2

(рРо )-1

'дБ (х, t)' дх

(2)

де р- маса одиницi довжини матерiалу стрiчки.

З врахуванням того, що стрiчка здiйснюе поздовжнiй рух iз сталою швидкiстю, мають мiсце сшввщношення [9]

А д Тд — = — + V — А дt дх

А2 д:

+ 2V

д2

+ V2

д2

(3)

А2 дt2 дхдt дх2 Останш спiввiдношення дають змогу диференщальне рiвняння руху середовища записати у виглядi

д2 и дt2

+ 2V

д2 и дхдt

+ V:

д^и дх х

= а

'дил vдх )

^ 2

ди

дх2

ди ди д 2и д2и

дх ' дt' дхдt' дх2

(4)

2 (V + 1) * _

де а = ±--±—, а /1

Р0

о

ди ди д2и д2и дх' д?' дхд?' дх2

в1домим чином виражаеться через

функщю /

ди ди

у . Зауважимо, при V = 0 (матер1ал середовища задоволь-

V дх' д?)

няе вимоги квазшншного закону пружност1) задача розглядалась в [10], при V = 0 - в [7, 8].

Методика дослщження. Легко переконатись, що навггь у лшшному випадку (V = 0, ¡л = 0) виникають проблеми 1з побудовою розв'язку отримано-го р1вняння. Тому будемо дослщжувати його як припущення мало! швидкост руху середовища. Це дае змогу р1вняння (4) записати у вигляд1

(5)

-а' (их Уихх (их ,

их , и , их?, ихх

)- 2Vuxt - V

и

В отриманому р1внянш 1 надал1 для бшьш компактного запису вщпо

ди ди д 2и д 2и

в1дних вираз1в уведен! позначення: и{ =

-, их = —, и.. = —- ,

д? х дх я д?2

ихх дх2 '

и=

д2 и дхд?

. 1з прийнятих припущень випливае, що найбшьше значення право!

його частини е значно меншим в1д максимального значення виразу а2 (их )ихх. Це дае змогу при побудов1 розв'язку р1вняння використати голов-ну щею метод1в збурень [11, 12]. Згщно 1з останшми припущеннями, розгля-немо спочатку незбурене р1вняння

ип -а(их У ихх

0.

(6)

Для дослщження р1вняння (6) можна використати метод вщокремлен-ня змшних, згщно 1з яким, як показано в [7, 8], його одночастотш розв'язки виражаються за допомогою перюдичних Л1еЬ-функцш у вигляд1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Щ?) = акХк(х )°аУ +1,1, ®к(а) + . (7)

Треба вщзначити, що функци Хк (х), як визначають форми коливань, залежать вщ способу закршлення середовища (крайових умов для р1вняння (7)). Зокрема, у випадку закршлень стр1чки, як вщповщають крайовим умо-вам

и^ ?)х=0 = u(x, ?)х=1 = 0, (8)

чи

и

( х ? )х=0 = их ( х ? ^х=1 = 0

(9)

вони також виражаються через перюдичш Л1еЬ-функци вщповщно у вигляд1

Хк (х ) =

яа

1

1 кП,

х

яа

' 1' 1 V +1 1

1 (2к + 1)П х

(10)

' V +1

21

х

У + 1

у + 2

Г-1

1 у +1

+

2 у + 2

У сшввщношеннях (7), (10) П х = 4пГ

ук т ¿.у у

од функцш, якi визначають форму коливань, ак,вк - сташ, к = 1,2 власна частота коливань с^чки i вона набирае вигляд

у

швперь

Щ (ак) -

сЩ (ак)

а

яП

Л1_ 2 V а2.

(11)

до того ж, ^ = к для крайових умов (8) i я =

2к +1 2

- для крайових умов (9).

Використовуючи принцип одночастотност коливань у нелшшних системах з багатьма ступенями вшьносп та розподшеними параметрами [12], а також загальну iдею методу Ван-дер-Поля для нелшшних систем, залеж-ностi (7) можна вважати i розв'язком розглядуваних збурених крайових задач. Рiзниця полягае у тому, що у збуреному випадку параметри а i в будуть вже функцiями часу i вони визначаються iз системи диференцiальних рiвнянь

а = яа (1, у +1 у/к )) (^) /Г (х)

сщР '

( + 2)са ( +1,1, Ук )Хк (х )/* (ау, х)

2ащР

а =-

в = е-

(12)

де /1 *(а,У х ) = (-л/(

их> uxt, ихх

) + 2^ + V Чхх)

и=аХк (х)са(у+1,1,у"к), ихх=аХк{х)еа(у+\Хщк)

щ =щк (а ) + в, Р = } Х2к (х )х .

0

Дослщжувати закони змiни ампл^уди параметрiв ак i вк за допомо-гою отримано! системи диференщальних рiвнянь е, взагалi кажучи, також не простою задачею. Щоб спростити И використаемо наступне:

• прав1 частини сп1вв1дношень (11) е перюдичними по ук \ х функциями з

перюдами в1дпов1дно

2Пт { 2П х (П т =4лГ

1

у + 2

Г-1

1

1 +-

2 у + 2

• максимальт !х значения (через прийнят! припущення) е порядку ¡1;

• точтсть системи диференщальних р1внянь першого порядку 1з малими пра-вими частинами не змшиться, якщо у правих !х частинах зробити похибку вищого порядку шж л.

Вказане вище дае змогу для системи рiвнянь (12) застосувати метод усереднення [14], зпдно iз яким вона, для розглядуваного наближення, еквь валентна наступнш

ак = ¡А (ак),

ук = щ(ак ) + лБ (ак )-

Щ

(ак)

V2

(13)

-1

2П1

де А (а) = | \Хк (х)) (оЛсо(+Ц щ),..., оХра^+ХХ Щ ))) ^+1, щ ))щ

Ъгш 0 0

У + 2 2П<1

в(ак)=---¡^Т— I \хк(х)/(окХкСа(у+ХХщ),-,аХкра(у+ХХщ))са(+Цщ))щ 41 \тРак® 0 0

Ь =

sп v + 4 И У + 2

Г2

У +1

у + 2

Г

-1

1

у + 2

л (3 Г-1 3

у

V

+

2 у + 2 у

Таким чином, як показують останнi формули, у першому наближеннi швидкiсть руху середовища впливае тiльки на частоту його власних коли-вань, причому iз збiльшенням швидкостi руху середовища - власна частота коливань зменшуеться. Вказане явище особливо актуальне при дослщженш резонансних явищ у вказаного типу одновимiрних систем.

Як приклад, розглянемо поздовжш коливання рухомого стрижня, ма-терiал якого задовольняе iстотно вимогам нелшшного закону пружностi

а = Е*бух +1 + Ебх, (14)

де Е - стала.

За припущенням Е*^1 >>Еех i крайових умов, якi узгоджуються iз (8), отримуемо: амплiтуда коливань стрижня залишаеться сталою (система консервативна), що стосуеться частоти власних коливань, то вона залежить вiд амплiтуди коливань та швидкост руху стрижня i визначаеться залежнiстю

^,(15)

(3v+4)(+1) 4Пг (v+1 1 Г ( 1 1 Г ( з 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а1 Vv+2 у Vv+2 у Vv+2 У

со(ак) ¡2(+2) Г[ 1 +^±1|Г|1+.

1

V

2 у+2

Г

V

1 _

2 + у+2

л

(ак)

у

2 у+2, де а1 = Е/р¥.

Нижче на графжу (рис. 2) показано залежност частоти власних коливань вщ швидкостi при рiзних значеннях параметру V .

О, с"

200

150

100

50

V+\ = \/3 /

1-5/3 v+l=3

1шшшшшмшштш ■■■■■■■■■И, .......... ™ ™ ™ ^ ъ 4....... ..........

V, м/с

10

Рис. 2. Залежшсть частоти власних коливань стрижня вiд швидкостiруху

Отримаш результати показують: i3 зростанням швидкост власна частота коливань зменшуеться, до того ж швидкiсть спадання частоти менша для бiльш м'яких матерiалiв. Це особливо актуально при дослщженш резо-нансних явищ у вказаних системах.

Лггература

1. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

2. Горошко О.А. О продольных колебаниях балки с подвижным экипажем// Прикладная механика. - 1978. - 14, № 8. - С. 70-78.

3. Тарме М., Моут Л. Свободные периодические нелинейные колебания полосы, движущейся в осевом направлении// В кн.: Тр. Американского общества инженеров-механиков. Прикладная механика. - М.: Мир, 1969. - 36, № 1. - С. 87-98.

4. Моут М., Нэгюльсуорен Л. Теоретические и экспериментальные исследования вибраций ленточных пил// В кн.: Тр. Американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. - М.: Мир, 1966. - 88, № 2. - С. 27-32.

5. Сеник П.М. Про Ateb-функцп// Доп. АН УРСР. - 1968, № 1. - С. 23 -26.

6. Сеник П.М. Обернення неповно! Beta-функцп// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.

7. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.

8. Сокш Б.1. Про застосування Ateb-функцш для побудови розв'язюв деяких р1внянь, яю описують нелЫйш коливання одновим1рних середовищ// Доп. НАН Укра!ни. - 1997, № 1. -С. 55-58.

9. Волосов В.М. Нелинейные волны в неоднородных средах. Асимптотические методы исследования с приложениями к задачам океанологии// В сб.: Колебания нелинейных систем. - К: Изд-во Ин-та математики. - 1976. - С. 3-141.

10. Мартинщв М.П., Сокш Б.1., Сокш М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нель ншно пружних системах i методи !х дослщження// Люове госп-во, люова, паперова i д/о пром-сть. - Львiв: УкрДЛТУ- 2003, вип. 28. - С. 81-89.

11. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

12. Митропольский Ю.А. Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища школа, 1976. - 592 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 501 с.

14. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. -К.: Наук. Думка, 1966. - 467 с. _

УДК 630.37 Доц. Л. О. Тисовський, канд. фiз.-мam наук;

acnip. 1.М. Рудько - НЛТУ Украти

РОЗРАХУНОК НЕСУЧОГО КАНАТА НЕЗАВАНТАЖЕНО1 ДВОПРОМ1ЖНО1 УСТАНОВКИ

Розроблена методика для визначення форми прогину несучого каната тдвюно'1 системи з двома промiжками. Проведено числовий аналiз трелювально'1 установки для конкретного випадку. Стверджуеться, що запропоновану методику можна засто-совувати i для канатних трелювальних установок з довшьним числом промiжкiв.

Doc. L.O. Tysovskyj; doctorateI.M. Rud'ko -NUFWTof Ukraine Calculation of a bearing cable of not loaded plant with two runs

The technique of definition of the form of a deflection of a bearing rope of pendant system with two runs is developed. It is lead the numerical analysis of pendant plant for a concrete case. It is certain, that the resulted technique can be applied and to transport plant with any number of runs.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.