CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.956
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 7
ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Артыков Аамат Жакышович, к.ф.-м.н., доцент
aamat62@mail. ru
ЗулпукаровЖакшылыкАлибаевич, к.ф.-м.н., доцент
zulpukarov66@,mail. ru Ошский технологический университет
Ош, Кыргызстан
Аннотация: В работе исследован что, если функция f (t, x,u,s) аналитическая ффункция по аргументам U,S, то применяя вычетный метод показана что, при О >1 n-мерный вектор С имеет малое решение. Тогда задача (1) либо имеет единственное периодическое решение, либо множество периодических решений с периодом 2к по t разлагающихся по целым и дробным степеням параметра £.
Ключевые слова: нелинейных дифферециальных уравнений в частных производных второго порядка, аналитическая функция, периодическое решение.
ЭКИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ЖЕКЕ ТУУНДУЛУ СЫЗЫКТУУ ЭМЕС ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫНЫН МЕЗГИЛДYY
ЧЫГАРЫЛЫШТАРЫ
Артыков Аамат Жакышович, ф-м. и. к., доцент Ош технологиялык университеты aamat62@mail. ru
Зулпукаров Жакшылык Алибаевич, ф-м. и. к., доцент
zulpukarov66@mail. ru Ош технологиялык университети Ош, Кыргызстан
Аннотация: Илимий иште изилденген, эгерде f (t, x,u,£) функциясы U,£, аргументтери боюнча аналитикалык функция болсо, вычет методун колдонуп кврсвтYлдY, О >1 болгон учурда n-влчвмдY вектор С кичинекей чыгарылышка ээ болот. Ошондуктан берилген (1) маселе t аргументи боюнча 2ж мезгилге ээ болгон жана £ параметри боюнча бYтYн жана бвлчвктYY даражалуу ажыратылган жалгыз мезгилдYY чыгарылышка, же чексиз мегилдYY чыгарылыштарга ээ болот.
Орунтуу свздвр: экинчи тартиптеги жеке туундулуу сызыктуу эмес дифференциалдык тецдемелер, аналитикалык функция, мезгилдYY чыгарылыш.
BRANCHING OF PERIODIC SOLUTIONS TO SYSTEMS OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Artykov Aamat Zhakyshovich, can.ph. math. sc. docent
aamat62@mail. ru
Zulpukarov Zhakshylyk Alibaevich, cand.ph.math sc., docent
zulpukarov66@mail. ru Osh technological university Osh, Kyrgyzstan
Abstract: In this work, it was investigated that if the function f (t, x,u,s) is analytical in terms of the arguments u,£,, then using the residue method it is shown that, for О >1, the unknown n-dimensional vector C has a small solution. Then the problem (1) either has a unique periodic solution, since the set of periodic solutions with period 2л in t expands in integer and fractional powers of the parameter £.
Key words: nonlinear partial differential equations of the second order, analytic function, periodic solution
Рассмотрим системОу уравнений в частных производных второго порядка
utt - uxx = f (x, t, u,£) ф
u(0, t) = 0, ux (0, t) = ju(t), где f (x, t, u,£) - n-мерная вектор-функция, непрерывные совокупности аргументов, 2 л -периодические по аргументу t, j(t) — n-мерная вектор -функция, причем j(t + 2 л) = j(t). Подстановкой u = С + V(x, t) где C-произвольная постоянная,п -мерный вектор, тогда из (1) имеем
v« — v« = f (x, t, C + v(x t),£X (2)
v(0, t) = 0, v (0, t) = j(t, x). Теорема. Пусть функция f (x, t, C + V, £) определена в область D = | 0 < x < л, t e R, |v| Z7, 0A£A£0} непрерывна по (x, t), 2л -периодическая по
переменной t и f (x,t,C + v,£) e Lipv (K0,D) = const), и для каждой нечетной
функции v(x t) по переменной t, функция f (xt, C + V,£) - нечетная по переменной t.
2л -периодической функции j(t), v(л, л) = Jv(0, s)ds — Jds J f (s, r, C + v(s, r), £)dr = Ф(С, £) = 0 , (3)
Тогда для каждой непрерывной нечетной и -периодической функции удовлетворяющей уравнению
2л л 2л—э
„ (э,т, С + V
0 0 э
задача (2) при достаточно малых £ имеет единственное периодическое решение у(х, I) непрерывно зависящее от одного произвольного вектора С и параметра £. Доказательство.
Доказательство проведено для случая ^ (0, г) = 0.
Для того, чтобы задача (1) имела периодическое решение u(x,t), достаточно определить вектор С.
Вернемся к (3). Пусть вектор-функция /(х, г,и,£) аналитичны по u, £ в окрестности точки и=0, £=0, /(х, г,0,0) = 0. Разлагаем функцию ф(С,е) в ряд Тейлора по степеням С:
где
фп(£)=
Ф(С, £) = Фс (£) + Ф1 (£)C + Ф2 (£)C2 +... + фп (£)Cn +... , (4)
1 дпф(0,£)
п' dCn ,
л 2л—s
Ф0 (£) = J ds J f (s,r, v(s,r,0),£)dr,
0 s
л 2л—s
! " £) = f ds if, (s,r, v(s,r,0),£)
Фа (0,£) = J ds J fu (s,r, v(s,z,0),£)(1 + vc (s,r,0))dr,
0 s
л 2л—s
ФС (0,£) = J ds J (fuu (s,r, v(s,r,0),£)(1 + vc (s,r,0))2 + fu (s,r,0)vcc (s,r,0))dr
0 s
фо (е) _ N х 1 -вектор, ф1 (е) - N х N -матрицы, фп (е) - п - линейные формы в Евклидовом пространстве Еи, причем фп (е) в свою очередь аналитичны по е, в частности,
ф(е) = Т (0) + £21(0) + £2Т2(0) +... + е% (0) +... = Т0 +£21 + е2(~ (5)
С учетом обозначений (4),(5) уравнение (3) перепишим в виде
(Т +£Т1)С = ф0 (£) + £2(~1 (£)С + ф2 (£)С2 +... + фп (£)Сп +... (6)
Теперь применяем вычетный метод в [2],[3] для системы (6). В данном статьи изложение ведется для случая Ко = 1.
Воздействуя на обе части (6) оператором (матрицей) Н(е) , получим
где
Д0 (£)С = елН (£)ф0 (£) + £Н (е)~(е) +£~х Н (е)ф (е)С2 +... (7)
(Т +£21)-1 = ^ = 4т\ , и(0) Ф 0, Д(£) = ёе^ + Т) Ф 0, ^ = 1 Д(£) £Д 0(£)
ёе! Т = 0, Д(е) = £*° Д0 (е), Д0 (0) Ф 0.
Дале поступим так,
С = С(е) = е"у(£) = £ау(0) + 0(е") , " >0, (8)
произвольно фиксированное малое решение (6).
Подставив (8) в (7) и разделив обе части полученного тождества на е" , получим
Д 0 (е)у(е) = £-("+1) и (£ф (£) + £Н (е)щ (е)у(е) + £-хН (еф (е) у2 (е) +... (9)
Выводы о существовании малых решений делаются на основе анализа (9), как это делается в [1].
Если ">1, то имеем
До(0)У (0) = Ыше<а+1)Н(е)ф0(е) , " >1,
Из [1] известно, что в случае Д!(0) ф 0 для существования у уравнения (6) малого решения с некоторым о >1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Ь = 1 [Н (е)ф0 (е)]^ = 0, г = 0,1,2. (10)
/
" -определяется из условий ь, = 0, г = 0, а, Ьа+1 ф 0 .
Отсюда определяется произвольный вектор С.
Таким образом доказана следующая
Теорема. Если вектор-функция f(л,г,ы,е) аналитичны по и, е. Тогда задача (1) либо имеет единственное периодическое решение, либо множество периодических решений с периодом 2ж по X разлагающихся по целым и дробным степеням параметра е.
Литература
1. Боташев А.И. Периодические решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Москва:Изд-во МФТИ, 1998. - 90 с.
2. Боташев А.И., Артыков А.Ж. Метод выделения особенностей в теории возмущений .// Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям. - Бишкек: Илим,1994. - Вып.25. - С. 211-221.
3. Артыков А.Ж. Вычетный метод для линейных интегральных уравнений Фрегольма. // Вестник Кыргызск.гос.нац.ун-та, Серия естественно-тех. науки. -Бишкек,1997. - Вып.1. - С. 214-216.
е
