CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2007, том 50, №6
ФИЗИКА
УДК 535.21: 536.48: 538:953
Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОПТОАКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ЗВУКОВ В Не-11, ГРАНИЧАЩЕМ С ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан С. Одинаевым 17.08.2007 г.)
Многочисленные экспериментальные работы по исследованию параметров оптоакустического (ОА) сигнала (см., например, [1,2] ) показали, что передаточная функция (ПФ) является весьма чувствительной и достаточно информативной величиной. Теоретическое исследование особенности ПФ ОА сигналов первого и второго звуков в Не-11, контактирующего со своим собственным паром, проведено в [3], где была обнаружена матричная форма ПФ. Последняя обусловлена наличием взаимодействия между волнами первого и второго звуков, которое приведёт к двухконтурному составу как спектра, так и временной зависимости возбуждаемых ОА сигналов. Настоящая работа посвящена теоретическому изучению формы ПФ этих звуков в Не-11, когда сверхтекучая жидкость контактирует с твёрдым телом.
Пусть падающий вдоль оси ъ лазерный луч, длина волны которого соответствует области поглощения Не-11, имеет интенсивность /0, а оптический коэффициент поглощения среды равен р. Здесь, как и в [3], исходим из системы взаимосвязанных волновых уравнений для возмущения давления и температуры в полупространстве г > 0, заполненным Не-11 [4]:
1 д2 Р А 2 кг ат /
— ■-тт -ДР -Роати2ДТ = 7“ > (!)
щ от Ср оХ
1 д2Т Т0ати\КГГ Т0ати2 _ 1 Т0ати2 д/
-(1 + _<^Х)дт-_^хдр =------- (1 + . (2)
и22 дХ2 Ср рСри\ рСри\ Ср дХ
Здесь /(Х, г) — р10врф(Х), ат - коэффициент теплового расширения, Ср - удельная теплоемкость, и, и2 - соответственно скорость первого и второго звуков, ф(Х) - функция, описывающая временную эволюцию лазерного луча. Для решения задачи также необходимо привлечение уравнения теплопроводности для контактирующего твердого тела:
р С — дТ г < 0
РтСРт Кт ^ 2 ’ < ° ‘
дХ дг
Применив интегралы Фурье ф(Х, г) — — [ в~шф(®, г)ёа, из (1)-(2) получим
2ж
д p о 2 5Г . _ т aT , . _п2
—т^ — p + p«TW2 ^гт = 1оР10^Т(P(°)e Р • (3)
oz щ oz Cp
d2T со2 ^ b d2p _ ia>fil0(p(m) ^_p2
----T +-------b---------T = e, (4)
dz u2(1 + b) paTu2(1 + b) dz pCpu2(1 + b)
где b = Ta2u2 / Cp. Рассматриваемый случай, когда He-II контактирует с твердым телом, соответствует случаю закрепленной границы [5]. Граничные условия, необходимые для решения (3)-(4), с учетом наличия температурного скачка на границе He-II -твердое тело, можно записать в виде [6-8]:
Ф| Л ,гт ^41 5Tm| . 2 , ^T| dTm
-Г- z=0 = 0 • aK (T - Tm ) z=0 =~Km— z=0 • ( ^ PCpU2 + z=0 = °Km^\z-0 • (5)
oz oz oz oz
где aK - коэффициент Капицы [7]. Третьи члены уравнения (3)-(4) обусловлены взаимодействием мод, и их вклад относительно основных членов составляет порядка 10%. Тогда, очевидно, для решения (3)-(4) можно воспользоваться теорией возмущения, то есть в нулевом приближении можно пренебречь этими вкладами. Выражения
p0 (о, z) = ^(о) р exp(/£iz) + io exp(-Pz)),
cp
T0 0 z) = —рт- l-^^^002o0-(G(o) exp(i'q2z) + o exP(-Pz)) pCp u
представляют собой решение (3) и (4), соответствующее этому приближениию, где
CV \ Р \ Р ni \ M+ IN oag(1 -2s) PpCpul
F'(o)=qrp • Fi°=• G (o)=ir^iL • = (rssvs+p°'N=oag --к, K = pCpu^ —ag (1 ^ 2s) , l =---------------ag---j , q1 = о/ щ, q =o/ u^\ + b ,
к^/TTb (1 -s)2 +s u2VT7b (1 -s)2 +s2’yi 1,42 2 ’
g = кт /к • s = akm / a • a = 1/u • u = (2%m /o)1/2 - длина тепловой диффузии в твердом теле, Х = k / pCp - коэффициент температуропроводности.
Далее, подставив p(o, z) = p(0) (о, z)+p(1) (о, z) и T(о, z) = T0) (о, z) + T1} (o, z) в уравнениях (4) и (5), получим следующие уравнения для определения вкладов, обусловленных взаимодействием мод:
д2 pm 32 Гго,
-г?- + q^d) + PaTu2^~T = 0 • (6)
oz oz
9 b d 2prm
---(r1 + q22T(1) +-5------piTL = 0. (7)
dz paTu2 (1 + b) dz
Решения (6)-(7), обеспечивающие граничные условия (5), можно написать в виде
Р(1) (» г) = Р(1,1) (» г) + Р(1,2) (» г) + Р(1,3) (» г)
Т(1) (», г) = Т(\,\) (» г) Л ^(1,2) (», г) Л ^(1,3) (» г) '
Здесь использованы следующие обозначения:
^УоФОЖИг*С(ю) 02г,„^_______ ,ат 1оФ(^)Р2(д)С(д)________________________^ _Л
Р (1,1) = ^ У ~ <, р Л(»)]еХр(^1г), Р(1,2) = I Г, я еХР(г^2г) :
( ) Ср и2о Ср о
Ср рСрЩ о
= !Щ£(а) —1]ехр(;^2г), Т(, „ — К(»№(» еХр(-рг),
, рСи ^^2 0 , рСрй2
где 0 — 1-(и2 /и)2, и2 — и241 + Ь . Величины р(11 }(», г) и ^12}(», г) являются поправками к вышевыписанным решениям р(0}(», г) и То}(», г). Функции р(12)(», г) и Т(1:(», г) соответственно подтверждают наличие акустического колебания давления на частоте второго звука и колебания температуры на частоте первого звука.
Пренебрегая членами с в~рг, которые описывают нагрев среды, выполнив обратное преобразование Фурье от величин р(», г) = р(0) (», г) + р(1) (», г) и
Т(», г) — То) (», г) + Т) (», г) и используя обозначения тх— Х - г / и и т2 — Х - г / и2>/1 + Ь , будем иметь
- +ад .« +ад
р(тхт2,г) = — Г Кп(»)10(р(а)в~ючй(о л-I" Кг(®)10ф(®)в~'ЮТ2с1® ,
’ 2ж J 2 ж J
-ад -ад
- +ад +ад
Т(X ^2 , г) = — | К21(») 1оФ(»)в-4 Л» + — | К22 (» )70Ф (» )в- 2 •
2 ж ^ 2 ж ■*
-ад -ад
С учетом взаимодействия мод величины Кп (») и К22 (») могут быть записаны в виде К (») — K(0) +Д^у , где К^0) соответствует приближению невзаимодействующих мод, а ДК является поправкой. Тогда для искомых ПФ можно записать выражения
ки (»)—к1(0) + ДК!, К(10) — а'''и ' Р1' 1 »», ДК1 ——У ^2(»)а(») - р2 ^ (»Ж (»)],
С Ср й2 о
К» — _,аТ5»5(»), Кг1(»)—, К22(»)—а™ +да-22 ,
Ср о рСрих о
(о)_ гР2{а)0{а)
ьррх{р) 1д2и]Г2(д) 1
и£
/~1 2 ' ^ 22 /-г
рсрЩ рС-рИ^
Поскольку К (®) = -К(1) + К(2), тогда амплитуды и фазы ОА сигналов определяются выражениями \Кг] (щ)| =(К"(1) + Кг^(2))1/2 и (щ) = агаап(Ку{1)!Ку^. Если также представить
АК^ (®) = ^Ку(\) + *АКур), тогда результаты численных расчетов и проведенных оценок покажут, что |АК11(1}/ К11(1) | <х 102 и |АК22 / К22 |к Ю-4. Следовательно, величинами АК^ всегда можно пренебречь. Также оказалось, что К^2^ / К(1) << 1, то есть Чу Щ) гс 0. Результаты численных расчетов амплитуды ОА сигналов для Т0 = 1 К, когда ат = 0.33-10~3Кч, р = 150 кг / ж3, и = 237.6 ж / с, и = 18.7 ж / с [9], Ср = 105 Дж / кг • К, к = 0.58 Вт/ж • К [10] - для жидкого гелия и Срт = 0.0025Дж/кгК, кт =0.03Вт/ж-К [11], ак= 17.4В/ж2..К [12] - для кварцевого
стекла, представлены на рисунках 1 и 2. Из рисунков виден двухконтурный состав спектра
ПФ и в данном случае, благодаря чему ПФ становятся богатым полезной информцией. Спра-
ведливости ради заметим, что амплитуда величины К21 (а), по сравнению К22(а), значительно меньше и, по-видимому, могут быт определенные трудности при ее детектировании.
С 1 ис
Рис.1. Зависимость величин —— Кп (а) (кривая 1) и-~^^^г (®) (кривая 2)
аТ щ 1 1 ™ \ I
от щ =а/Рщ при Т = 1К .
100,
Рис.2. Зависимость величин рСри2 |K22 (ю)| (кривая 1) и
10 рСрщ Ь
|К21 (ю)| (кривая 2)
от частоты со2=ю/ /Зй2 при Т = 1К .
Таким образом, полученные выражения для ПФ и результаты их численных расчетов показывают, что:
1) коэффициент оптического поглощения Р для Не-11 может быть определен из всех
Ку (а);
2) возможно одновременное определение акустических и теплофизических параметров Не-11, а также теплофизических параметров твердого тела по результатам измерения
К11(а) , К22(а) ;
3) принципиально возможно оптоакустическое определение величины коэффициента Капицы из обработки измерения амплитуд К12(®), К22(а) .
Таджикский государственный национальный университет, Поступило 17.08.2007 г.
Кохатский Университет Науки и Технологии, Ки8Т, Кохат, Пакистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. М.: Наука, 1991, 342 с.
2. Лямщев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. М.: Наука, 1989, 240 с.
3. .Одилов О.Ш, Салихов ТХ. - ДАН РТ, 2005, т. XLVIII, №5-6, с. 24-32.
4. Салихов Т.Х. - ДАН РТ, 1999, т. XLII, №9, с. 29-36.
5. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973, 496 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика,1986, М.: Наука, 1986, 733 с.
7. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.: Наука, 1971, 320 с.
8. Паттерман C. Гидродинамика сверхтекучей жидкости, 1978, 520 с.
9. Есельсон Б.Н., Григорьев В.Н., Иванцов В.Г., Рудавский Э.Я. Свойства жидкого и твердого гелия. М.: Изд-во Стандартов, 1978, 128 с.
10. Зиновьева К.Н.- ЖЭТФ, 1956, т. 31, вып.16, с.31-36.
11. Frank Pobell. Matter and Methods Low temperatures, Springer, 1996, 250 p.
12. Аметистов Е.В., Григорьев В.В. Теплообмен с He-II М. Энергоатомиздат, 1986, 144 с.
Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ФУНКСИЯИ ТАБДИЛДИХ,ИИ СИГНАЛ^ОИ ОПТОАКУСТИКИИ САДОХ,ОИ ЯКУМ ВА ДУЮМ ДАР He-II- И БО Ч,ИСМИ САХТ ^АМСАР^АД
Функсияи табдилдихии сигналхои оптоакустикии садохои якум ва дуюм дар He-II-и бо чисми сахт хамсархад ёфта шуааст. Нишон дода шудааст, ки ин функсияхо аз характеристикахои мухитхои хамсархад вобастаанд.
T.Kh.Salikhov, O.Sh.Odilov TRANSFER FUNCTIONS OF THE OPTOACOUSTIC SIGNALS OF FIRST AND SECOND SOUNDS IN THE He-II WHICH BOUNDARY WITH SOLIDS
The spectrum of transfer functions of optoacoustic signals of the first and second sounds in superfluid helium - II which boundaries with solids is investigated. Showed, that these functions are dependences from properties of both mediums.
