CC BY
12
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Абрамов Н.Н. Надежность систем водоснабжения. - М. : Стройиздат, 1984. - 216 с.
2. Камерштейн А.Г. Мероприятия по сохранению пропускной способности водопроводных труб. - Л. ; - М. : Стройиздат, 1950.
3. Колискор Т.М., Корнопелев В.А., Колесов В.В. Периодичность гидромеханической очистки трубопроводов водоснабжения // Водоснабже-
4.
5.
ние и санитарная техника. - 1984. - №3. - С. 21-22.
Свешников И.П. О гидравлическом расчете водопроводных труб // Водоснабжение и санитарная техника. - 1955. - №3. - С. 25-26. Цейтлин А.С. Изменение потерь напора в водопроводах в процессе их эксплуатации // Водоснабжение и санитарная техника. - 1958. -№11. - С. 15-18.
УДК 519.688: 531.36 А.В. Банщиков,
к.ф.-м.н., доцент, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории
управления СО РАН. Тел.: (395-2) 45-30-53. E-mail: bav@icc.ru
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА С ГРАВИТАЦИОННЫМ СТАБИЛИЗАТОРОМ
A. V. Banshikov
PARAMETRIC ANALYSIS OF STABILITY CONDITIONS OF A SATELLITE WITH A GRAVITATIONAL STABILIZER
Аннотация. Исследован вопрос об устойчивости относительного положения равновесия неуправляемого спутника с гравитационным стабилизатором на круговой орбите. В пространстве введённых параметров выделены области с различными степенями неустойчивости по Пуанкаре. Предполагая неустойчивость потенциальной системы (степень неустойчивости чётная), рассмотрен вопрос о возможности её гироскопической стабилизации.
Ключевые слова: системы неравенств, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, компьютерная алгебра.
Abstract. The problem on stability of the relative equilibrium position of uncontrolled satellite with a gravitational stabilizer on the circular orbit is researched. In space of the entered parameters the domains with various degrees of instability by Poincare are chosen. Assuming instability of potential system (even degree of instability), the problem on possibility of its gyroscopic stabilization is considered.
Keywords: system of inequalities, degree of instability, gyroscopic stabilization, computer algebra.
Введение. Исследование вопросов устойчивости, стабилизации нелинейных или линеаризованных моделей механических систем часто приводит к задаче «параметрического анализа» полученных условий (неравенств). При параметриче-
ском анализе важно иметь возможность оценки области значений параметров, при которых обеспечивается требуемое состояние (свойство) системы. Правда, трудно надеяться на получение обозримых аналитических результатов для моделей, обладающих высокой размерностью и содержащих много параметров. На этом этапе анализа нам может помочь использование пакетов компьютерной алгебры (ПКА) и создание соответствующего программного обеспечения (ПО) на базе этих пакетов.
Ранее автором было разработано ПО PASI [1], предназначенное для нахождения решения систем многопараметрических неравенств. Алгоритм для графического представления решения систем алгебраических неравенств описан в [2]. Программное обеспечение представляет собой комплекс интерактивных пользовательских программ, выполняемых в режиме интерпретации в среде ПКА «МаШешайса».
Известно, что устойчивость вращения консервативных спутниковых систем твердых тел, наряду с вековой устойчивостью, может быть связана и с гироскопической стабилизацией [3, 4]. Цель работы - параметрический анализ полученных условий устойчивости и построение областей гироскопической стабилизации для достаточно известной модели [5, 6].
Современные технологии. Механика и машиностроение
Постановка задачи. Рассматриваются задачи об устойчивости и гироскопической стабилизации положения относительного равновесия в орбитальной системе координат неуправляемого спутника с гравитационным стабилизатором (рис. 1). Центр масс системы (точка О) совершает пассивное движение по кеплеровой круговой орбите радиуса Я с постоянной по величине скоростью. Стабилизатор представляет собой жесткий стержень с точечной массой т0 на его свободном конце. Стержень присоединен к спутнику в точке О2 с помощью двухстепенного подвеса. Оси поворота стержня совпадают с направлением осей тангажа и крена. Предполагается, что трение в шарнирах отсутствует. На систему действует гравитационный момент, предполагая, что остальные моменты пренебрежимо малы. В невозмущенном движении главные центральные оси инерции системы совпадают с осями орбитальной системы координат О1х0у0, а стержень направлен по радиусу орбиты.
Мх ¿¡1+ К1д1 = О М2 + С ¿12 + К2ц2 = 0 ,
( й\
(1)
Чх =
У
Кх = За1
(Ь - а / ^ / /.
( с - Ь
К2 = а
Ч2 =
; М =
о
р
с /
/ а о ^
> 0;
0 4(с - а) 4/ ч 0 4/ 3/ + с (а 0 0 ^ ( 0
М2 =
0 Ь /
> 0; О = а
0 ^
-я 0 0
V 0 0 0 У
V0 / а у
где а - модуль орбитальной угловой скорости;
1 2
а = 3; Ь = + тг(I + г) +— т1 + т0(г +1)
3
с = Ь + ¿2 -
Я = 3 - -
Рис. 1. Положение относительного равновесия спутника со стабилизатором
Анализ динамики. По аналогии с работой
[7], с помощью программного комплекса LinModel
[8] построена символьная модель для исследуемой системы тел:
• введены геометрические и кинематические характеристики;
• получены кинетическая энергия и силовая функция приближённого ньютоновского поля тяготения;
• выписаны нелинейные уравнения движения в форме Лагранжа второго рода.
Линеаризованные в окрестности нулевого положения равновесия уравнения движения спутника со стабилизатором разбиваются на две подсистемы. Соответственно, в канале тангажа (в ) и в канале рысканья-крена (щ, р) :
С = (—т + т ) 12; / = (— т + т0) г1 + С ;
3 2
т, т0 - соответственно, массы стержня и точечного концевого груза; 1 > 0 - длина стержня; г > 0 - расстояние от центра масс системы до точки крепления стержня; сг1, о2 - углы поворота стержня относительно корпуса спутника; 3Х, 3у, ; а, Ь, с - главные моменты инерции,
соответственно, спутника и всей системы.
Уравнения (1) можно интерпретировать как уравнения колебаний некоторой механической системы, находящейся под действием потенциальных (с матрицами К, К ) и гироскопических
(с матрицей О ) сил. Эти силы определяются силами гравитационного притяжения и движением по орбите. Мх, М2 играют роль диагональных блоков матрицы кинетической энергии.
Введем четыре безразмерных параметра:
с-Ь Л - Л
У =
Ь - а
(2)
а /
р = т ; Р2 =
/
Физически реализуемые значения параметров лежат в интервалах:
|«|< 1; |у|< 1; 0 < рх < 1; 0 < < 1. (3) Вековое уравнение системы (1): А (А2) = А1 (А2) *А2 (А2) = 0 содержит Л только в
а
с
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
чётных степенях. Здесь характеристический определитель в канале тангажа
I2 + 3®2у р2 (Л2 + 3®2)
Л2 + Л2 p1 + 3^2
= Л (p -p2) +
+ 3Л2(1 + ур -2р2)ю2 + 9(у-р2)®4 и характеристический определитель Д2 в канале ысканья-крена
Л2 + ®2а Л®(а-1) 0
Л®(у-1)(а-1) Л2(1 + уа) + 4т2(а + у) рг{а + 1)(Л2+ 4®2) 0 Л2 + 4®2 Л2р + (3 + р )®2
= Л6 + Л4 + Л2 у2 + , где = Р1- Р2+а(ур\- Р2);
^ = ю2(3 + 3ау + (1 + а)(р (2 +а+3у) - р2 (8 + а))); у2 = ¿>4(3(1 + 3у + а(3 + а + 2у)) + + р (1 + 3у + а (3 + 5а + 6у)) - 8 р2 (1 + а)(2 + а));
^ = 4®ба((у+а)(3+ р) - 4р2(а+1)). Известно, что устойчивость в таких системах возможна только в случае, когда все корни многочлена Д относительно Л2 будут отрицательны и вещественны. Соответствующий критерий из работы [9] реализован в программном комплексе LinModel. Алгебраические условия, обеспечивающие требуемые свойства корней, соответственно, для каналов тангажа и рысканья-крена
Г А -Г2 >0, 1 + уд -2р2 >о, у-р2 >о, Г (4)
Гр12 у2 + (4р2(1-А) -2д)у + (1-4р2(1-А)) > 0
I v6 > 0, v4 > 0, v2 > 0, v0 > 0, Dis = v2 v2 -- 4 v2 v6 - 4v43 v0 + 18 v6 v4 V2 V0 - 27 v02 v62 > 0
(5)
определят соотношения между параметрами системы, при выполнении которых обеспечивается устойчивое движение спутника со стабилизатором.
Анализ устойчивости в канале тангажа.
Отметим, что первое из условий (4) выполняется в силу определенной положительности матрицы кинетической энергии М1. Нетрудно показать, что последнее неравенство в (4) также выполняется. Для этого выпишем дискриминант этого полинома по у : 16 (р1 -1)2р2 (р2 - р1) , который всегда отрицателен при р1 > р2 . В силу вышесказанного и
положительности коэффициента при у2 следует, что исследуемый полином принимает только положительные значения. Графически легко показать (рис. 2), что из двух оставшихся нерассмотренных неравенств в (4) выполнение условия
у- p2 > 0 обеспечивает выполнение неравенства 1 + У Pi - 2 P2 > 0 .
Рис. 2. Область устойчивости в канале тангажа
Итак, для устойчивости решения в канале тангажа необходимо и достаточно выполнение условия у - p2 > 0 . Последнее условие в исходных обозначениях системы (1) имеет вид: 2 1
J < J + ( m+m0) r + (— m+m0) rl. Как видно, за y 2
счёт наличия стабилизатора и изменения, например, длины его стержня можно легко обеспечить выполнение этого условия.
Прежде чем перейти к параметрическому анализу условий устойчивости в канале рысканья-крена, определим область реальных значений параметров а, у с учетом условий (3) и у-p2 > 0 . Обозначим к = а/Ь и после ряда несложных преобразований получим соотношение:
1 - к f
У = '—— , где 0 < к < 1 . (6) 1 + ка Ь
Анализ устойчивости в канале рысканья-крена. Заметим, что v6 = detM2, следовательно,
первое условие в (5) выполняется в силу определенной положительности матрицы кинетической энергии M2. Последнее неравенство в (5) также получено в аналитическом виде и выписано в форме явной зависимости от параметров (2). В силу его громоздкости не представлено. Чтобы подчеркнуть сложность анализируемого полинома, отметим, что максимальные степени параметров а , у, p1, p2 в выражении Dis равны, соответственно, 8, 4, 4, 3.
Анализ условий устойчивости (5) проведён с помощью функций Reduce, RegionPlot, Region-Plot3D пакета «Mathematica», предназначенных, соответственно, для решения систем алгебраических неравенств, а также для графического 2D и 3D представления решения этих систем.
Современные технологии. Механика и машиностроение
Получить аналитическое решение для системы неравенств (5) по всем четырём параметрам не представляется возможным. Поэтому в рамках параметрического анализа исходное четырехмерное пространство параметров рассекалось плоскостями из двух выбранных параметров при фиксированных значениях оставшихся. В результате было построено несколько интересующих нас двухпараметрических сечений («срезов»).
Например, зададим соотношения между параметрами, для которых выполняются условия
5
устойчивости в канале тангажа:
У = 4 р2;
р1 = — р2. Графическое решение системы нера-
V > 0
венств (5) с помощью функции RegionPlot[ { v4 > 0, у2 > 0.
{ а, -1, 1} , {р4 , 0, 4/52 ] по параметрам а, р2 представлено на рис. 3.
Ли > 0 },
(£■ 0.4
Рис. 3. Область устойчивости в канале рысканья-крена
- —/'
при значениях: у = у^ р2; р1 =
Р 2
д) а = 0, как и в предыдущем случае г) следует, что у0 = 0 и характеристический полином А2 имеет двойной нулевой корень.
Для рассмотренных случаев графически построены двух- и трёхпараметрические (функция RegionPlot3D) срезы, являющиеся решением системы неравенств (5).
Гироскопическая стабилизация. Теоремы Кельвина-Четаева [3] позволяют начать изучение вопроса об устойчивости тривиального решения с анализа матрицы потенциальных сил. Эта матрица в обозначениях (2) для канала рысканья-крена имеет вид:
С а 0 0 >
0 4(а + у) 4 р2 (а +1) ч 0 4 3 + р у
Чётность (нечётность) степени неустойчивости определяется положительностью (отрицательностью) определителя матрицы К2.
Заметим, что ёе! К2 = . Соотношения а = 0 и £ = (у + а)(3+р1) - 4р2(а +1) = 0 задают в пространстве параметров поверхности, разделяющие области с различными степенями неустойчивости. Например, на рис. 4 качественно изображены эти области при фиксированных значениях параметров р1, р2.
К2
Проведён также параметрический анализ в некоторых частных, в том числе «пограничных» случаях для значений введённых параметров (2):
а) Р1 = 1, это справедливо при г = 0 (т.е. точка крепления стержня находится в точке О);
б) а = 1, в этом случае отсутствуют гироскопические силы (т.е. я = 0);
в) у = -а, это соотношение возможно, например, при ¿х = ¿2 + 3(т.е. эллипсоид инерции спутника имеем вид диска) или при а = с (т.е.
3 = + тг (1 + г) +1 т12 + т (г +1 )2 );
г) а = -1, в этом случае легко проверить, что у = 1;
-1 о 1
Рис. 4. Области с различными степенями неустойчивости
Здесь, соответственно, области неустойчивости: I - с чётной степенью; II , IV - с нечётной степенью; III - с нулевой степенью. Заштрихованная область ограничена линиями, которые получены
из (6) при подстановке предельно возможных зна-
/
чений к = 0 и к = 1 - —. В области I подсистема
рысканья-крена потенциально неустойчива, но в ней возможна гироскопическая стабилизация. В области III добавление к потенциальным силам гироскопических сил сохраняет свойство устойчи-
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
вости исследуемого движения. В областях II, IV гироскопическая стабилизация невозможна.
Как известно, стабилизация одного спутника возможна только в двух случаях соотношений между главными моментами инерции:
1) Jz > Jx > Jy ; 2) Jx > Jy > Jz.
Рассмотрим вопрос о возможности гироскопической стабилизации спутника со стабилизатором при выполнении следующего условия на моменты инерции спутника: Jy > Jx > Jz (т.е. ось
наименьшего момента инерции совпадает с бинормалью к траектории, ось наибольшего момента инерции ориентирована по направлению к центру притяжения, а ось промежуточного момента инерции - по трансверсали к траектории).
Отметим, что в этом случае а < 0 и, следовательно, подсистема рысканья-крена потенциально неустойчива (т.е. К2 не является определенно-положительной матрицей). Очевидно, что область гироскопической стабилизации с четной степенью неустойчивости определяется как решение системы неравенств:
а < 0, ( у+а )(3 + р) - 4 р2(а + 1) < 0. (7) Для обнаружения свойства гироскопической стабилизации необходимо выяснить, в какой части области (7) выполняются неравенства (5). Для примера, зафиксируем параметры стабилизатора
4 5 т>
следующими значениями: р = —, р2 =— . Результат работы функции
RegionPlot[ { v4 > 0, v2 > 0, v0 > 0, Dis > 0 },
{ a, -1, 0 } , { y, 5/7, 1 } ] показан на рис. 5.
y
1.0 г
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0
Рис. 5. Область гироскопической стабилизации
Как видно из рис. 5, гироскопическая стабилизация возможна не во всей области I (см. рис. 4), а только в ее заштрихованной «иглообразной» части.
Заключение. Подчеркнем, что проблемы достоверности, точности вычислений, а также вопросы ускорения и наглядности исследовательского процесса могут быть частично сняты, если в
качестве инструментального средства выбран ПКА. Наряду с использованием ПКА в качестве калькулятора для решения конкретной задачи, более значимым представляется подход, когда на базе внутреннего языка программирования ПКА (в рассмотренном случае «МаШешайса») разрабатывается ПО для решения определенного класса задач. Фактически весь анализ, представленный выше, был проведен с помощью такого программного обеспечения.
Работа выполнена при частичной поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1676.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Банщиков А.В. Программное обеспечение для параметрического анализа систем алгебраических неравенств (ПО PASI) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2000611004. РОСПАТЕНТ. 5 октября 2000 г.
2. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А. Об алгоритмах символьных вычислений при исследовании устойчивости // Программирование. - 1997. -
№ 3. C. 72-80.
Гос-
3. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М. техиздат, 1946. - 204 с.
4. Давыскиб А., Самсонов В.А. О возможности гироскопической стабилизации вращения системы твердых тел // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 3. - С. 385-390.
5. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. -М. : ВИНИТИ, 1978. - Т. 11. - С. 5-223.
6. Потапенко Е.М. Динамика космического аппарата с прямым активным управлением гравитационным стабилизатором // Космические исследования. - 1988. - Т. 26, вып. 5. - С. 699-708.
7. Банщиков А.В. Анализ динамики механических систем большой размерности средствами компьютерной алгебры // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009. - Т. XII, №3(39). - С. 15-27.
8. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Программный комплекс LinModel для анализа динамики механических систем большой размерности // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008610622. ФГУ ФИПС, 1 февраля 2008 г.
9. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // Прикладная математика и механика. - 1997. - Т. 61, вып. 3. - С. 390-397.
