CC BY
58
УДК 629.786.2.062
АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИИ СПУТНИКА ПРИ НАВЕДЕНИИ НА СОЛНЦЕ И ЗЕМЛЮ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯМИ
© 2007 С.Е. Сомов
Самарский научный центр РАН
Рассматриваются проблемы колебаний конструкции космического аппарата при дискретных алгоритмах широтно-импульсного управления реактивными двигателями в режимах наведения на Солнце и Землю. Представлены результаты динамического исследования в этих режимах спутника связи SESAT с крупногабаритными панелями солнечных батарей.
Введение
Колебания конструкции крупногабаритных космических аппаратов (КА) могут оказывать существенное влияние на их пространственное движение в режимах начальной ориентации на Солнце и Землю (РНОС и РНОЗ), которые выполняются последовательно после завершения режима начального успокоения [1]. Широтно-импульсная модуляция (ШИМ) управления реактивными двигателями (РД) в этих режимах имеет известные преимущества (например, в отношении затрат топлива) и применяется на многих КА. Спутник связи SESAT (Siberia Europe SATellite) с крупногабаритными панелями солнечных батарей (СБ) (рис. 1, [2]) разработан НПО ПМ им. акад. М.Ф. Решетнева, выведен на геостационарную орбиту в апреле 2000 г. и успешно решает целевые задачи. При полете этого спутника была экспериментально установлена квазимонотонная амплитудная зависимость декремента колебаний панелей СБ. Поэтому проблема нелинейного анализа динамики конструкции КА данного класса с малым декрементом колебаний панелей СБ в режимах начальной ориентации на Солнце и Землю является актуальной.
Системы координат
Инерциальные системы координат (СК), используемые для описания движения центра масс (ЦМ) и углового движения КА:
Iф (ОфXeY^) - инерциальная геоцентрическая экваториальная СК (ИСК) с началом в центре Земли Oф , осью xe, направленной в точку весеннего равноденствия у ,
и осью Ze, направленной на Северный полюс мира PN по оси суточного вращения Земли, рис. 1;
IS (OsXlYsIZl) - инерциальная солнечно-эклиптическая СК с началом в центре Солнца Os, осью XS также направленной в точку у и осями YS и ZS, которые получаются поворотом соответствующих осей YeI и ze на угол se относительно оси xe ( XS), причем угол s e между плоскостями Земного экватора Xe O0YeI и эклиптики XS OsYsI равен 0, 410152344 рад ( 23°27/ ), рис. 1. "
Положение плоскости орбиты КА определяется долготой восходящего узла Q° и наклонением i°, положение ЦМ КА на эллиптической орбите с большой полуосью a ° и эксцентриситетом e° - радиусом-вектором r° (t) и истинной аномалией v° (t), отсчитываемой от перигелия орбиты п, который находится на угловом расстоянии от ее восходящего узла в направлении движении ЦМ, рис. 2. Орбита КА считается известной, Q°,i°, a°,e°, - известные константы либо функции времени, как и момент времени прохождения ЦМ О перигея орбиты tn . Истинная аномалия v°(t) связана с аргументом широты u°(t) = + v 0 (t) и точно определяется в функции времени t как решение нелинейного дифференциального уравнения
V°(t) = ^°/2(1 + eoc°sv°(t))2/p°3/2 , (1) где - гравитационный параметр Земли, p0 = a0 (1 + e0) - фокальный параметр орбиты. Текущий радиус орбиты ro(t) определяется соотношением
Го (t) = Po /(1 + eo c°s Vo (t)).
Рис. 1. Инерциальные СК
Рис. 2. Орбитальная СК
Орбитальная система координат (ОСК) Ох°у°г° (базис О ) вводится на рис. 2. Стандартно вводятся также связная система координат (ССК) О хуг и связанный базис В = (Ьг.}, составленный из ортов Ьг.,I = 1,2,3 = 1 ^ 3 = х,у, г , направленных по соответствующим осям ССК О хуг . Здесь и далее символ {•} обозначает вектор-столбец.
Кинематика и модели ортов внешних ориентиров
При традиционном обозначении [а] { для матрицы элементарного поворота правого ортогонального базиса относительно / -ой оси на угол а, а именно
[а ] 1=
1 0 0 0
Са Sа
о _
3 а Са
. И
аи =
Са 0 _ S а
0 1
о С
[а]з =
Са Sа 0
_ Sа Са 0 0 0 1
Са = СОза; Sа = sinа.
Орт е3 (см. рис. 1), в проекциях на оси ОСК обозначаемый как е°(г) = К*(гX е0уСХ С(0} , имеет вид
е; (0 = ТО • [_ее ]! [_р)]з {1,0,0}, (2)
где ТО = КО)] 3 [¿^[П О]3 - матрица направляющих косинусов координатного перехода из базиса 1ф (нижний индекс) в базис О (верхний индекс матрицы); астрономическая долгота Солнца Р; (0 = р; +Ш; (г _ г о), Р0 =Рз(^), см. рис. 2, г0 - некоторый начальный момент
времени, ю з - средняя угловая скорость годового обращения Земли вокруг Солнца, ю з = 7,2921158 • 10 _5 с Л
При последовательности {у} ^-{0}3 ^-{ф}2 углов поворота рыскания у, крена ф и тангажа 0 ССК относительно ОСК матрица направляющих косинусов Т О координатного перехода от базиса О к базису в вычисляется по формуле
тот,}],t2,tз]=идам, (3)
где [•] - обозначение строки, здесь с компонентами в виде векторов-столбцов t J = {г, }. Наряду с кинематическими параметрами ориентации ССК относительно ОСК в виде углов Эйлера-Крылова у, ф, 0 и матрицы направляющих косинусов Т О, имеющих очевидный геометрический смысл, в дальнейших расчетах используется нормированный кватернион ЛО = (АО0,X0), с векторной частью XО = (АО, I = 1,2,3), также однозначно определяющий ориентацию базиса в относительно базиса О . Вектор абсолютной угловой скорости ОСК V 0 относительно инерциальной СК 1Ф в проекциях на оси базиса О имеет представление V О = {0,0, у О}, причем на круговой орбите V О = ®О = {0,0,юО}. При векторе абсолютной угловой скорости ССК ш , определенном в базисе в в виде вектора-столбца ш = {юх, ю у, юг}, решение кинематического уравнения с символом (о) кватернионного умножения
ЛО = }(л О о ш _ V °о Л О)
(4)
для кватерниона Л ° определяет ориентацию базиса в относительно ОСК О без какого-либо вырождения, в отличии от кинематичес-
0
3
а
ких соотношений для углов Эйлера-Крылова в используемой последовательности поворотов
у = (ю z sin ф+ю x cos ф-v ° sin у sin 9)/cos 0; ф = юу + ((юг sin ф + юх cos ф)sin ф-v ° siny)/cos0; (5) 0 = ю z cos ф-ш x sin ф - V ° cos у, и при 4 (минимально-избыточном числе) скалярных кинематических параметрах, связанных единственным условием нормировки, в отличии от 9 элементов матрицы направляющих косинусов Tob с шестью условиями ортогональности. Элементы матрица Tob выражаются по известным явным соотношениям через компоненты кватерниона дo, которые вычисляются в явном виде по значениям углов Эйлера-Крылова у, ф, 0 в указанной выше последовательности как
^0 = cic2c3 + sis2s3 ; =sic3c2 - cis3s2 ;
^2 = cic3s2 - sis3s2; ^3 = cis3c2 + sic3s2,
где cг = cos(aг/2); sг = sin(aг/2); a1 = у ; a2 =0 ; a3 = ф. Это позволяет легко определить начальные условия для интегрирования кватернионного кинематического уравнения (4) с соблюдением условий нормировки и однозначно определить текущую ориентацию ССК относительно ОСК. Решение кинематического уравнения Л = у Л ° ю для кватерниона Л определяет ориентацию базиса в относительно инерциального базиса Iф также без каких-либо сингулярностей. Направления ортов еЦ и eo в проекциях на оси ССК вычисляются по соотношению eo = Tob{1,0,0} = ti = {in> ti2. ti3}. При этом орт направления S из ЦМ КА на Солнце определяется как S = - es, а орт направления E на центр Земли - как E = -er, рис. 2.
Моделирование движения деформируемой конструкции КА
Для получения приближенных моделей движения упругих КА используется метод конечных элементов, представляющий собой локализованный метод предполагаемых форм колебаний. Применяемый здесь подход заключается в представлении упругих колебаний элементов конструкции КА в виде конечного числа тонов. При этом вычисляются матрицы коэффициентов взаимовлияния движений всех подконструкций КА как абсолютно твердых тел, включая корпус КА, так и
деформируемых тел. Собственные формы и парциальные частоты колебаний каждой панели СБ КА Sesat рассчитаны с учетом пч = 10 низших тонов в стандартной нормировке, значения парциальных частот колебаний панелей представлены в [1,2]
Модель динамики углового движения КА с упругими неподвижными панелями СБ, составленная при упрощающих предположениях [2], имеет вид
Aс
ю F®
_q _ Fq
Fffl "- II - ю x G + Moo + Mo"
Fq -D q-Wq
; (6)
Ao =
"J(y )
(Dq)x
Dq I
2nq
Здесь q = q2} - вектор обобщенных координат упругих колебаний панелей СБ, где q eR"", к=1, 2 - вектор обобщенных координат упругих колебаний к-й панели СБ; F4 = F2} - вектор-столбец обобщенных сил, соответствующих колебаниям панелей СБ, где Fq =-(5/л)Ок (к-О2 qк ; диагональная матрица 0к = diаg{Qks} составлена из парциальных частот , s = 1 ^ П и 5 - логарифмический декремент колебаний панелей СБ, матрица собственного демпфирования D = (5 /л) О, причем матрицы О = diag{ 0О2} , W= О2; G = J(y)ю + Н+ Dq(y) ( - вектор кинетического момента (КМ) упругого КА с гироскопическим стабилизатором (ГС), где н - вектор собственного кинетического момента ГС, причем вектор н = 0 в режимах наведении КА на Солнце и Землю; М 0 = М 0 + М 0 - суммарный вектор возмущающих моментов относительно полюса О, где М 0- вектор гравитационного момента и М 0 - вектор момента возмущающих сил солнечного давления, остальные внешние возмущающие моменты на геостационарной орбите пренебрежимо малы; М 0° - вектор моментов двигательной установки ориентации (ДУО). Прямоугольная матрица Dq ( у) инерционного взаимовлияния движений панелей СБ и корпуса КА представляется матрицей-строкой Dq = Dq(у) = ^(у), D2(у)], при-
чем структура матриц и Б ^ инерционного влияния упругих панелей СБ такова:
- матрица Б1 = {Б^Б^2,Б13} представляется столбцом, составленным из строк,
- БЦ, - строки матриц влияния, , = 1,2,3 - номер строки; к = 1,2 - номер панели.
Тензор инерции КА J в полюсе О при произвольном положении панелей СБ, определяемом углом у, вычисляется по формуле J = J(у ) = JО + 2Jр(у ) , причем тензор инерции Jр (у ) каждой панели СБ рассчитывается по соотношениям
J P(Y) =
jxC' + jpsy
ypdc S 0
jPdC S
Jxy^ y0y
0
JXsy + Jpcy о
0
JP
Jxy = JP - Jp; CT= cosy ; Sy = sin y, где y = 3 л /2 для положения панелей СБ при завершении режима успокоения, когда спутник вращается в ИСК с вектором угловой ско-
c í С С С "i
рости ю - ЮС, где ю = (шх,шу,oz) - вектор-столбец, составленный из командных угловых скоростей по осям ССК Oxyz . Для
спутника Sesat принято
ю
= ю! = 0 0/с;
Pn(t, 4) =
1 tk < t < tk
0 tk +< <t < tk+i
^d=<
0
Tk xm
T,,
Tk <Tm
< Tk < f
<^k < Tu
Tk > Tu
Здесь Рп (г, <) е {0,1}, к е N0 - [0,1,2...) -сигнал включения реактивного двигателя, t е [гк,гк + хйк), тк = тк(гк) - длительность включения; тк - командный входной сигнал, поступающий в моменты времени гк = к Ти, где Ти - период управления. Изменение нормированной тяги Рап (г) каждого РД с учетом временную запаздывания Та описывается дифференциальным уравнением ТЙРп +Рап =Рп(г_Т^, тк) с начальным условием Рап (г0) = 0, где тй - постоянная времени, причем Т = Т+, если Рп = 1; иначе Т = Т_. Для последовательности командных импульсов Рп (г, т^ ) с длительностями т^ на полуинтервалах времени г е [гк, гк+1) начальные условия для этого уравнения в моменты вре-
мени t = t, + Td
и t = tk + T2
юу = 0.2 О/с , поиск направления на Солнце осуществляется вращением КА относительно оси Оу ССК.
Модели компонентов
системы ориентации
Приборный состав системы управления ориентацией КА в РНОС и РНОС состоит из ДУО на основе шести термокаталитических реактивных двигателей (РД) с широтно-им-пульсной модуляцией (ШИМ) тяги, приборов ориентации на Солнце (ПОС) и Землю (ПОЗ), блока трех одноосных датчиков угловой скорости (ДУС), а также БЦВМ, реализующей алгоритмы фильтрации дискретных измерений и цифрового управления.
Математические модели ДУО и блока ДУС подробно представлены в [1,2], поэтому здесь приводятся только необходимые соотношения. Модель ШИМ нормированного сигнала Рп (г, тк) включения РД принята в виде
припасовыванием по непрерывности решения
Каждомуj-му РД D j, j = 1 ^ 6, сопоставляется вектор текущей реактивной тяги P;. (t) = PmPdny (t) • pj с фиксированным ортом pj и началом в точке Od, где pm - одинаковое для всех РД значение текущей максимальной тяги. Расположение точки Od относительно полюса O определяется радиусом-вектором р j. Управляющие моменты ДУО относительно осей Ox, Oy и Oz ССК создаются парами РД (Dj,D2), (D3,D4) и (D5, D6) соответственно, причем РД с нечетным номером в /-ой паре создает управляющий момент положительного знака относительно соответствующей /-ой оси, i = x, y, z. Логика формирования команд тjk включения каждого j-го РД в составе ДУО учитывает знак командного входного сигнала vik по соответствующему каналу управления i = x, y, z и для значений индекса k е N0 описывается следующим алгоритмом:
ч =lv-kI; Sk = sign Vk; i = x,y,z;
% = Txk, T2k = 0 sxk >0;
[T1k 0, T2k Txk,
s xk < 0;
+ t, получаются
I ^ = v, T4k = 0 syk >0;
=0, = *yk, syk <0;
^5k = ^zk, k = 0, 1 ^5k = 0, ^6k = ^zk,
szk > 0; szk < 0.
Вектор управляющего момента М0°, формируемого ДУО относительно полюса О, в проекциях на оси ССК вычисляется по формуле 6
М0°={М°°,М°°,М°°}=Х Р; хР; . (7)
] =1
Используются обозначения М ® для максимальных значений модулей моментов ДУО по каналам управления и стандартные функции: • ограничения
Sat(a, x) =
Sats(a, k, x) =
x
[a sign x Ik x
|x| < a |x| > a
a sign x
x < a/k Ixl > a/k ;
• релейная гистерезисная функция общего вида
Relh(a,b, x(t)) =
f signx(t) |x| > A,b
0 IX < b
Relh(a, Ь, X, х(>0)) = а е{-1,0,1} • функция "генерации" импульсов длительностью т < Ти, начиная с момента tk:
Puls(tk,T,Xk) =
xk tk < t < tk [0 tk +x<t < tk+i
Модель блока измерителей скорости (БИС) корпуса КА ю0) = {шх(0,шу(0,ш2(0} представляет совокупность трех однотипных каналов измерения угловой скорости шг(V), г = х,у,7 одноосными ДУС, каждый из них описывается соотношениями Т шсс ) + ) = ш^); ш^) = Sаts(bы,kш, ш^) + шь); ш^ш^) + шП; ш? = Qntr(dы, ), где Т - период квантования измеряемого сигнала по времени, и>1 - дискретный выходной сигнал и все параметры описаны в [2].
Выходными сигналами оптико-электронного ПОС являются признак наличия Солнца N в его поле зрения и сферические угловые координаты ^, у орта S направления на Солнце относительно орта Ь1 (оси Ох) ССК. Рабочее поле зрения ПОС составляет 2Л5 = 184° в плоскости В*ОС* и 2В5 = 64° в плоскости А*ОВ* - см. рис. 3, где представлена привязка приборных осей ПОС к осям ССК и связь углов а^ и ропределяющих положение орта S в приборной СК, с углами 9*, у *.
В моменты времени = ^ - Т* по значениям проекций орта 8(0 = (V), sy (V)} в базисе в вычисляются угловые координаты а ,Р s этого вектора в приборной СК, признак наличия Солнца N в поле зрения ПОС, и далее в дискретные моменты времени ts = * Т формируются дискретные значения измеренных углов 91, у 1 с учетом методических погрешностей, дискретного шума измерения и дискретизации сигналов по уровню:
• функция фиксации сигнала на периоде Tu: Zh(Tu,Xk) = Pulsfe Дл);
• функция квантования по уровню y = Qntr(a,x) = aE[(x / a) + 0,5 sign x], где a -шаг дискретизации и E[-]- символ целой части числа [•].
Применяются также стандартные обозначения для значений скалярного дискретного сигнала y(tk) = yk и y(ts) = ys соответственно в моменты времени tk = kTu и в кратные им моменты времени ts = sTq с периодом измерения Tq, причем кратность nq = Tu / Tq - целое положительное число, где целые числа k,s е N0.
Рис. 3. Схема ПОС
р, (г;) = агсзт(;2 (г;)); а, (г;) = л_ аг^(;у (г;)/^ (г;)); N; = N;(г;) = па (г;) пр (г;);
У;; = У;; (г; ) = Р; К )N; ; 0;; =01 (г;) = (я_а; (г;)) N;;
хк = Qntr(кx, х; + хь + хП), х = у; Д
Здесь Пх (г) = , Ъх , Ах , X(г)), х =а; ,р; ,
релейная гистерезисная характеристика наличия ориентира
№(а, Ъ, А, х) = 1 _ Relh(a, Ъ, А,| х |) графически представлена на рис. 4; уЪ ,0Ъ -квазипостоянные погрешности ПОС, обусловленные неточностью привязки приборной СК к ССК; уп;; ,0П; - дискретные шумы измерения, которые считаются гауссовскими независимыми стохастическими процессами с нулевым математическим ожиданием и сред-неквадратическим отклонением а;; к0 = ку = к; - шаг квантования выходных сигналов по уровню.
Прибор ориентации на Землю (ПОЗ) предназначен для определения отклонения оси минус Ох ССК по углам тангажа и крена от направления на центр Земли. Принятая математическая модель описывает формирование выходных дискретных сигналов ПОЗ 0^, ф^ об углах отклонения КА по тангажу и крену и признак наличия Земли N в поле зрения прибора.
Схема привязки приборной СК ПОЗ к ССК представлена на рис. 5. В моменты времени t3 = г; - Т2е по значениям проекций орта Е(г) = {ех(г),еу(г),ег(г)} в базисе В вычисляются угловые координаты ае, Ре этого вектора в приборной СК, признак наличия Земли N в поле зрения ПОЗ, и в моменты времени гз = ;ТЧ формируются значения измеренных углов 0^, ф^ с учетом методических погрешностей, дискретного шума измерения, ограничения и дискретизации сигна-
Рис. 5. Схема ПОЗ
лов по уровню:
Ре (г;) = агсзт(_е2 (г;)); ае (г;) = аг^(еу (г;)/ех (г;));
Nе = ^(г;) = Па (г;) пр (г;);
;;
пх (г) = Ъх , Ах, х(г^ х = ае , ре
ф; =ф ; а; ) = _Ре № ) • N
Г •
;
Рис. 4. Характеристика наличия ориентира
0; =0; &;) = а е а;) • К;
хк = Qntr(dх, Sat(ax, х;; + хЪ + х;и)), х = ф, 0 .
Здесь фь ,0ь - квазипостоянные погрешности ПОС, обусловленные как неточностью привязки приборной СК к ССК, так и дрейфом точки отсчета статической характеристики из-за несферичности Земли; фЗ1,0п -дискретные шумы измерения, которые считаются гауссовскими независимыми стохастическими процессами с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением ае; аф, а0 - уровни ограничения выходных сигналов; к0 = кф = ке - шаг квантования выходных сигналов по уровню.
Дискретные алгоритмы фильтрации и управления
Оператор осреднения с одинаковыми весами только пч последних измерений у3 сигнала с получением оценки ук, оптимальной по методу наименьших квадратов, называемый обычно алгоритмом осреднения координаты (АОК), имеет описание
ук = МЯ( у; ) - ( ¿у; )/п, ;
;=к-п„ +1
^ = Ти^; к = Е[./^], к,. е Н0. Для КА Sesat принято Т = 1с и Ти = 4с, поэтому здесь кратность периодов ^ = 4. АОК используется для многократной дискретной фильтрации выходных дискретных сигналов ш?. БИС, 9ds, у ПОС и 91, ф? ПОЗ:
Ск = MS(шds), г = х,у,г;
9.к = MS(9fs) ; у.к = MS(у ); (8)
Фк = М^) ; 9к = MS(9d). В РНОС на спутнике Sesat используется канальный алгоритм формирования дискретных команд vik включения пар РД в составе
ДУО:
по каналу тангажа
= кДкЖсз^) - к С Ск), (9)
V
гк
где
8.к = [
9е - 9.к N' Кп = 1;
2 (шг; Ти) N. Кп = 0;
1=0
1 NN. = 1
К. = [
п [0 N пш N. = 0;
^ш^1 (|у.к <у,п )&(|сук |<ш уп); п =[0 (|у.к |>у .п) V (| Сук |> ш уп);
кр - коэффициент компенсации вариации тяги РД, см. [1,2], кгг и ка - коэффициенты усиления, 9.. = 95 = 7/12л - командное значение угла ориентации КА относительно орта 8, рис. 3, у .п = 3°, ш уп = 1 угл. мин/с и С3 -некоторая константа; по каналу крена Vук = кр(кру ф.(с21,с22Х,вУк) - к;шук), (10)
где
ф. (а, Ъ^., х):
Sat(а, х) N. = 1;
- Ъ
N. = 0;
еук = ф^ - у.кс0* 9.к; К и кш - коэффициенты усиления, фс = 0 - командное значение
угла крена и с21, с22 - некоторые константы;
по каналу рыскания
Vхk = кр(кр вХк) - к ш шхк), (11)
где
ус -у.к 9
.к
N. = 1;
Sаt(c1,2 (®хк Т)) N. = 0,
1 =0
кр и к ш - коэффициенты усиления, у С -постоянное командное значение угла рыскания и с1 - ограничение сигнала по модулю.
С целью наведения КА на Солнце по кратчайшему пути после попадания Солнца в поле зрения ПОС (т.е. при N * = 1) предлагается дискретный векторный алгоритм управления. Согласно этому алгоритму сначала формируется предварительный дискретный сигнал
V* = -кр(крРгк + к"Щк),г = х,у,2 -1,2,3, (12) где при постоянном векторе ь. требуемого положения орта направления на Солнце в ССК и обозначениях (V.) = ..,г = х,у,г ;
.гк = ) ; 8к = {.к} компоненты Ргк вектора Рк = {Р1к , Р2к , Р3к} вычисляются по соотношению рк = Ь. х 8к . Далее вычисляется
значение ~кк = тах(| ~гк |,г = х,у, г) и при условии > Ти результирующие дискретные команды включения ДУО по каналам приводятся к масштабу максимальной длительности работы РД на такте управления по простой формуле
V г к = Т ~ гк к ,г = х, у, г . (13)
В РНОЗ дискретное управление Vгк по каналу тангажа формируется в соответствии с алгоритмом управления (9) по этому каналу в РНОС. Одновременно ПОЗ при наличии Земли в его поле зрения (т.е. при Nе = 1) выдает дискретные сигналы ф.. и 9^, которые после осреднения с помощью АОК принимают в моменты времени tk значения фк, 9к (8). При выполнении условия (| фк |< 1°) & (| 9к |< 1°) координата 9.к в (9) заменяется на координату 9к. Алгоритм управления по каналу крена в этом режиме имеет вид
V = кр(кр фе (с2,^, вук) - к ш шук), (14)
где ^ук = Фк- Фк ;
Фе М е, х )=.
х
Nе = 1;
- Ъ Nе = 0;
кРр и к" - коэффициенты усиления; фк = 0 -
^у и ку
командный сигнал по углу крена и с2 -поисковая уставка. Наконец, алгоритм управления по каналу рыскания в РНОЗ представляется соотношением
= кр(крSat(c11,вхк) - кш шХк), (15)
хк
где
С12 - у.
.к
Nе = 0;
у С + у° - у .к Nе = 1;
к; =
(|фк!< 1° )&(|Шхк!<ю°)
&(|Шук!<ю°)&(| Юк |<ю°);
|(|фк|> 1°) л (| Юхк |>ю°) Л (| Йук |>Ю°) л (| ®гк |>ю°);
кр и кЮ - коэффициенты усиления; у°°к = агсзт(зт(р;(гк) sinве) - командный сигнал на отработку солнечного склонения; р; (г) - астрономическая долгота Солнца, см. рис. 1; ус - командное значение угла рыскания; параметр ю° = 1 угл. мин/с; сп , с12 - соответственно ограничение сигнала по модулю и поисковая уставка.
Динамические свойства упругого объекта
Выполняя линеаризацию пространственной упругой модели КА (6) при постоянном значении вектора Н КМ ГС, совпадающего по направлению с ортом Ь3 ССК относительно некоторого состояния КА в инерциальном базисе при произвольном векторе вращения КА шс, М = МО°, q = <1 = 0 и векторе невязки §ш = ш _ шс по угловой скорости КА получаем линейную непрерывную модель.
В РНОС вектор кинетического момента ГС Н = 0 и поисковое движение для захвата Солнца ПОС выполняется относительно оси Оу ССК, т.е. вектор шс = {0,юу,0}, где юу = 0,2 О/с. При практически диагональном тензоре инерции КА с панелями СБ в парковом положении движение КА по каналу крена отделяется от взаимосвязанных движений
по каналам рыскания и тангажа. Отсюда следует, что влияние упругости конструкции КА по каналу крена в РНОС будет точно таким же, как и в режиме успокоения, причем частотные характеристики по каналам рыскания и тангажа будут изменяться только в их низкочастотной части за счет гироскопической взаимосвязи каналов поисковой угловой скоростью юу =0,2 О/с=0,0035р/с вращения спутника относительно оси крена. В режиме поиска Земли уже все три канала взаимосвязаны поисковой угловой скоростью, что четко проявляется на частотных характеристиках каналов. Также как и в РНОС, при заданном значении командной угловой скорости поиска Земли завязка каналов в РНОЗ является слабой , поэтому вполне обоснованно можно автономно проводить параметрический синтез дискретных алгоритмов управления по отдельным каналам при наведении КА как на Солнце, так и на Землю.
В режиме предварительной ориентации на Землю, который реализуется после завершения РНОЗ, выполняется разгон ротора ГС [3] до величины его КМ Н = 85 Нмс. Для анализа собственных динамических свойств упругого КА, как непрерывного объекта управления, при разгоне ротора ГС в этом режиме были построены частотные характеристики по каналам для трех фиксированных значений модуля КМ в парковом состоянии ГС. В качестве примера на рис. 6 представлена логарифмическая частотная характеристика по каналу рыскания. Здесь явно видно, что при наличии КМ ротора ГС появляется дополнительный резонансный пик, соответствующий
Рис. 6. Канал рыскания: a) H=0; Ь) H =40 Нмс; ф H =85 Нмс
1
0
нутационным колебаниям КА из-за наличия собственного кинетического ГС. Этот резонансный пик последовательно сдвигается вправо с возрастанием значения КМ Н, как параметра. Тем не менее, при номинальном значении Н= 85 Нмс среднечастотный участок имеет наклон 40 1ВМек, что вполне соответствует условиям автономного параметрического синтеза дискретных алгоритмов управления по отдельным каналам также и в этом режиме.
Анализ устойчивости дискретных моделей каналов
Если не учитывать запаздывание при измерении и дискретную фильтрацию, выполняемую АОК, то при векторе состояния xk = {5ак, 5шк} упрощенная нелинейная дискретная модель любого канала имеет вид Xk+1 = A „ Xk + (Ь „ +5Ь „ (Тк )^а^Ти ,v к), (16)
где
vк = K d xk ; Kd = [k a k ю ];
ik = Sat(T ,|vk |) и при dJ = Mm / J использованы обозначения
"1 Tu 1 Гт 1
A d = 0 u 1 ; bd =-dj u 1
0
§b d (lk ) = dj Введем обозначения | = 1 - dJk
X = к ffl+ к a Tu; |дсе= 1 - djX/2;
M,Se = (dj/2^4ka T /dj-x2 при условиях 0 < | < 1 и x< 2д/к"
T / d,
Асимптотическая устойчивость положения равновесия xk = 0 нелинейной дискретной модели (16) доказывается с помощью дискретной функции Ляпунова
Vk = v(xk) = (xkVxk)1/2 ; V = (TTT)-1, (17) где матрица
" TuMCe
T
MCe — 1
TuMSe MSe .
составлена из собственных векторов матрицы A0 = Ad + bdKd замкнутой линейной дискретной системы для ее собственных значений z12 = |(Ce ± jSe), j = V—1 . Первая разность такой функции Ляпунова в силу системы (16) удовлетворяет неравенству vk+1 < д/д2 + avk + bv2 vk, где постоянные положительные параметры a и b появляются в процессе мажорирования. Используя данный результат, несложно рассчитать положительные значения коэффициентов kа, k ю, а, следовательно, значения коэффициентов kip и k® в законах управления (9) - (15), при которых будет обеспечена не только асимптотическая устойчивость каждого канала в соответствующем режиме, но и приемлемые показатели качества как переходного процесса, так и точностные характеристики.
Параметрический синтез дискретных алгоритмов управления
Окончательный параметрический синтез алгоритмов управления слабо демпфированным спутником (декремент упругих колебаний панелей СБ § = 0.005 ) выполнен на основе тщательного имитационного моделирования в среде Matlab.
На рис. 7 - 9 представлены процессы наведения КА на Солнце с применением канального дискретного алгоритма управления при захвате Солнца ПОС в начальный момент времени с условиями e = 980, у =310.
0.3
0.
-S5 0.1
ст ф
■О
-0.1
-0.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t, s
Рис. 7. Угловые скорости в РНОС при канальном алгоритме управления
ю
150 г
100
ст ф
тз
ш 50
сэ
у.
-50_1
х 10'
100
200
300
400
500 в
600
700
800
900
1000
Рис. 8. Углы в РНОС при канальном алгоритме управления
5 10 15 20 25 30 35 40
^ в
Рис. 9. Упругие колебания первой панели СБ при канальном алгоритме управления
0.3
со та
3 01
-0.1
100
200
300
400
500 в
600
700
800
900 1000
Рис. 10. Угловые скорости в РНОС при векторном алгоритме управления
Выполненные численные исследования показали вполне приемлемое влияние упругих колебаний панелей СБ, рис. 9. При тех же параметрах и начальных условиях эффективность применения векторного дискретного алгоритма управления демонстрируется на рис. 10: условие окончания РНОС для векторного алгоритма выполняется на 303 сек раньше. Обоснован также выбор параметров дискретных алгоритмов широтно-импульсно-го управления РД слабо демпфированным КА Sesat в РНОЗ (рис. 11) и в режиме предвари-
тельной ориентации на Землю с выполнением разгона ротора силового гироскопического стабилизатора.
Заключение
Рассмотрены основные проблемы колебаний слабо демпфированной конструкции космического аппарата при дискретных алгоритмах широтно-импульсного управления РД в режимах наведения на Солнце и Землю, а также в режиме предварительной ориентации на Землю с разгоном ротора силового
0
в
0
0
0
0.3
0.2
.со
О 0.1
тз
-0.1
-е-
Ийпишмпаяммр
nMlMimiWwww!)!*«
là
w x
о w
y
* w
z
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t, s
Рис. 11. Угловые скорости КА в РНОЗ
гироскопического стабилизатора. Выполнен анализ устойчивости процессов управления с применением метода функций Ляпунова. В среде Matlab создано программное обеспечение, с помощью которого выполнен окончательный параметрический синтез дискретных алгоритмов управления ДУО во всех указанных режимах, представлены некоторые численные результаты.
Работа поддержана РФФИ (гранты 0401-96501 и 07-08-97611), Президиумом РАН (программа фундаментальных исследований 22), Отделением энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН (программа 15) и Министерством образования и науки Самарской области (Конкурс 2007 г., грант № 340T3.11K)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сомов С.Е. Нелинейная динамика упругого спутника при начальном успокоении // Известия Самарского научного центра РАН. 2005. Т. 7. № 1.
2. Сомов С.Е. Динамика успокоения упругого спутника при широтно-импульсной модуляции управления двигателями // Известия ВУЗов. Сер. "Авиационная техника". 2005. № 4.
3. Сомов С. Е. Динамика начальных режимов упругого геостационарного спутника с широтно-импульсным управлением двигателями и разгоном ротора силового гироскопического стабилизатора // Навигация и гироскопия. 2006. № 4 (55).
ANALYSIS OF THE SATELLITE STRUCTURE OSCILLATIONS AT GUIDANCE ON THE SUN AND THE EARTH WITH WIDTH-PULSE MODULATION OF JET ENGINES
© 2007 S. Ye. Somov
Samara Science Centre of Russian Academy of Sciences
Original methods for analysis of the spacecraft weak damping structure oscillations and for designing the spacecraft attitude control system wit width-pulse modulation of jet engines at initial modes, are presented.
