CC BY
31
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 514. 114 Л. К. КУЛИКОВ
Омский государственный технический университет
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ПЛОСКОСТЕЙ И УСЛОВИЙ В Е
_п_
Рассмотрена взаимосвязь исчислительных характеристик подпространств в векторном пространстве и плоскостей в евклидовом пространстве. На основе зависимостей для нахождения постоянных чисел векторных подпространств и условий в векторном пространстве получены параметрические числа плоскостей и условий в евклидовом пространстве.
Ключевые слова: пространство, параметр, степень свободы, условие.
Число параметров, которое необходимо задать, чтобы определить плоскость в пространстве называется параметрическим числом множества плоскостей (или плоскости). Данное число часто называют постоянным числом плоскости или числом степеней свободы плоскости [1]. При задании плоскости начальной точкой и направляющим пространством £р(А; Ур) параметрическое число плоскости состоит из параметрического числа векторного пространства и параметрического числа точки.
В [3] получена зависимость для подсчета постоянного числа подпространства Ур в векторном пространстве Уп
С = р(п - р).
(1)
ОА = х1е1 +
+ х е
(2)
на. В качестве начальной точки может быть взята другая точка плоскости £ , и это не вызовет изменения
р
положения плоскости, т.е. часть заданных чисел несущественна. Этих чисел столько, сколько параметров у точки в плоскости £р, а именно р. Тогда постоянное число плоскости равно р(п — р) + п — р или
С = (п — р)(р + 1).
(3)
Тогда постоянное число плоскости £р(А; Ур) в п-мерном евклидовом пространстве Еп может быть найдено следующим образом. К числу, полученному по формуле (1), необходимо прибавить постоянное число точки в Еп. Точка в Еп будет задана, если известны ее координаты в системе координат Ое1^еп
Количество координат равно п. После задания этих п чисел, а также параметров, необходимых для задания Ур по формуле (1) плоскость будет задана. Однако при этом точка А играет особую роль, она выделе-
Зависимость (3) в [4] получена с использованием независимых точек.
В задачах, связанных с нахождением плоскости, перечисляются требования (условия), которым должна удовлетворять плоскость. На выполнение какого-либо условия уходит определенное число степеней свободы плоскости. Так, например, прямая линия (р = 1) в Е3 (п = 3) имеет 4 степени свободы. После выполнения требования прохождения ее через две точки, прямая становится вполне заданной, и не будет иметь степеней свободы. Число потерянных плоскостью параметров, при выполнении условия, называется постоянным числом условия или параметрическим числом условия.
Определим параметрическое число условия, наложенного на плоскость £р(А; Ур), и заключающегося в том, чтобы £р(А; Ур) пересекала данную плоскость Гч(Б; Уч) по плоскости Лг(С; Уг). Параметрическое число условия состоит из условия
наложенного на векторное пространство Ур (Ур п Уд = Уг) и условия на точку А. В [3] определено параметрическое число условия Ур п Уд = Уг
U = r(n — p — q + г).
(4)
Точка А в Еп имеет п степеней свободы. На выбор начальной точки в плоскости р уходит р параметров (число степеней свободы точки в плоскости, размерность которой равна р). Необходимо потребовать, чтобы точка А принадлежала Г . После этого £ п Г = А,
^ ^^ д р д г
так как пересечение векторных пространств уже существует. Точка в Гд имеет д степеней свободы. Таким образом, если задать р + д параметров, то точка А будет задана и £р п Гд = Аг. Но в данной ситуации можно менять точку А и при этом ничего не изменится. Сделать это можно меняя положение точки А в плоскости А.
г
Таким образом, г параметров, которые останавливают точку в Аг — лишние, их нужно вычесть из числа заданных параметров. Тогда, чтобы задать начальную точку плоскости £р(А; Ур) и вся ситуация бы определилась, необходимо задать (р + д — г) параметров. Это значит, что начальная точка имеет (р + д — г) степеней свободы, а имела п степеней свободы. Параметрическое число условия, наложенного на точку равно
U = n — (p + q — г) = n — p — q + r.
(5)
С учетом (4), параметрическое число условия £р п Гд = Аг будет
и = г(п — р — д + г) + (п — р — д + г) =
= (г + 1)(п - р - д + г). (6)
Параметрическое число условия — плоскость £р(А; Ур) к-параллельна плоскости Гд(В; Уд), вычисляется по формуле (4). Поскольку к-параллельность заключается только в появлении Уг, то на начальную точку плоскости £р дополнительных условий не накладывается. При г
k =
q (q < p), где г — размерность Vr = Vp n Vq.
Формула (4), с учетом величины k, имеет вид U = kq(n — p — q + kq).
несобственных элементов и абсолюта пространства.
В качестве примера применения формулы (9) в векторном пространстве рассмотрим случай, когда р = = д = 1, п = 3. Тогда по формуле (1) получим, что постоянное число У1 в У3 равно С = 1(3 — 1) = 2. Пусть Ур 1 -ортогонально Уд. Тогда параметрическое число условия 1-ортогональности по формуле (9) равно и = 1-1(1 — 1 + 1-1) = 1. Если задать два таких условия, т.е. Ур = У1 1-ортогонально У1 и 1-ортогонально второму У1, не совпадающему с первым, то Ур= = У1 потеряет все степени свободы и будет вполне заданное, т.е. существует конечное число направлений ортогональных двум направлениям в У3, как известно такое направление одно. При тех же условиях для У1 в У4 постоянное число С = 1(4 — 1) = 3, параметрическое число условия и = 1 (не зависит от п). Тогда в У4 подпространство У1 1-ортогональное двум разным У1 не потеряет все степени свободы и существует бесконечное множество направлений 1-ортогональных двум данным направлениям. Если заданных направлений три, то Ур = У1 потеряет все степени свободы и будет вполне задано, т.е. существует конечное число направлений 1-ортогональ-ных данным различным трем направлениям, как известно такое направление одно.
В случае к-параллельности и z-ортогональности в формулах степени параллельности и степени ортого-
нальности (
) в знаменателе стоит значе-
ние меньшей из размерностей р или д, а именно д. Если р < д, то в формулах (7) и (9) необходимо поменять местами р и д. Тогда параметрическое число условия к-параллельности, наложенного на £р, равно
U = kp(n — q — p + kp),
(10)
параметрическое число условия z-ортогональности, наложенного на Vp в Vn или на Zp в En, равно
U = zp(q - p + zp).
(11)
(7)
Приведенные зависимости позволяют проводить анализ условия задачи и устанавливать корректность ее постановки, что особенно важно для многомерных векторных и евклидовых пространств.
Параметрическое число условия — плоскость 2p(A; Vp) z-ортогональна плоскости rq(B; Vq) может быть получена следующим образом. Аннулятором Vp является векторное пространство NVp (dim NVp = n — p). Сте-
пень ортогональности
(q < p), где m — размер-
ность пространства пересечения ЫУр и Уд. Необходимо определить параметрическое число условия — пространство ЫУр в Уп пересекает Уд по Ут. По формуле (4) получим
и = т(п — (п — р) — д + т) =
= т(р — д + т). (8)
Формулу (8), с учетом величины z, можно записать в виде
и = zq(p — д + 7д). (9)
Так же как при к-параллельности, при z-ортого-нальности на начальную точку плоскости не накладывается никаких условий. По формулам (8) и (9) вычисляется параметрическое число условия z-орто-гональности как для векторных подпространств в векторном евклидовом пространстве, так и для плоскостей в Еп. Формула (6) в [4] и формулы (7), (9) в [2] получены в проективной схеме с использованием
Библиографический список
1. Волков В.Я. Геометрическое моделирование в курсе начертательной геометрии : учеб. пособие / В.Я. Волков, Л.К. Куликов. — Омск : ОмГТУ, 1995. — 58 с.
2. Куликов Л.К., Волков В.Я. Основные понятия ис-числительной геометрии // Материалы Межзон. науч.-метод. конф. вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикладной геометрии и инженерной графике. — Новосибирск : Новосиб. инж.-строит. ин-т, 1976. — С. 64 — 68.
3. Куликов Л.К. Параметризация векторного пространства // Материалы Международного конгресса «Машины, технологии и процессы в строительстве». — Омск : СибАДИ, 2007. — С. 368 — 370.
4. Commerville D.M.Y. An introduction to the geometry of n dimensions. — London, 1929.
КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
Дата поступления статьи в редакцию: 28.10.2008 г. © Куликов Л.К.
и
этом
