Оценка тригонометрических сумм с простыми числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина Том 12 Выпуск 1 (2011)

УДК 511.325

ОЦЕНКА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

Ф. 3. Рахмонов (г. Москва)

Аннотация

В работе изучено поведение тригонометрической суммы с простыми числами

Бт(а; х, к) = ^ Л(п)е(а(п + к)т), а = - + Л, (а,д) = 1,

га^х ^

|Л| < —, 1 < д < т,

дт

а

устанавливается связь с илотностными теоремами для нулей Ь - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

1 Введение

И.М.Виноградов [1, 2] в 1937 г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции ((в) или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

Б(а, х) = £ е(ар).

р^х

Полученная оценка для Б(а,х) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде

следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В том же 1937 г. И,М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г, Вейля получил оценку суммы

А в 1948 -1956 гг. И,М.Виноградов [1, 2], используя свой метод тригонометрических сумм вместо метода Г,Вейля, доказал общую теорему об оценке суммы

Ю.В.Линник [3] с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда, применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотноетых теоремах для пулей L- рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы S(а,х), Тем самым, Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы И,М.Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха), Н.Г.Чудаков

[4] также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(а, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение ко-

L

в критической полосе.

Обозначение: х - характер Дирихле по модулю q N (а, T, х) - число пулей р = в + iY функции Дирихле L(s, х) в области Res ^ а ^ 0, 5 0 ^ Ims ^ T, l = lnх, е(а) = exp(2nia), g = g(n) = (n + k)m, k - фиксированное натуральное число.

Определение. Пусть с ^ 2, в < 1 и В ^ 1 абсолютные постоянные, Т ^ Т0 > 0 Н ^ Тв, тогда, оценка вида,

называется, плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы, для, нулей Ь - рядов Дирихле по модулю д.

N = Р1 + Р2 + Рз,

S '(f).

І

1 ^ q ^ т,

£[N(ci.T + H,x) - N(а^.х)] « (qT)c<1-a>(lnqT)B (1)

X

Zhan Тао [5] доказал, что соотношение (1) имеет место при с ^ 8/3, в ^ 1/3 и В ^ 216. При произвольпом Н ^ 1 его можно представить в следующем удобном виде

(п,Т + Н,х) - N(п,Т,х)] « (ч(Н + Т 1/3)У(1-и>(\пдТ)в. (2)

X

Теорема 1. Пусть х ^ х0, т ^ хт-1 ехр(1п0,76 х), д ^ х3 ехр (— 1п0,76 х), Ь — произвольное фиксированное положительное число.

I ехр(- 1п41п х) есл ид ^ (1п х)ь,

|(1пх)в+4 если д > (1пх)ь..

Тогда справедливо равенство:

Бт(а; х,к) = —(х°7 9> ^ [ в(Х(п + к)т)йп + О (хГ(д,х) тах -—(X’ 9, ^-<р(д) к \ ХтаЛд <р(д)

Следствие 1. Пусть х ^ х0, т ^ хт-3 ехр(1п0,76х), д ^ х4 ехр (— 1п0,76х), Ь ^ (т + 1)(В + 6) — произвольное фиксированное положительное число. Тогда, справедливо равенство:

Бт(а;х,к) = — (х0,9,д') [ в(Х(п + к)т)йп + О (д1-т+г

'•р(д) Л V '-р(д)

д > (1п х) ь

1 справедлива оценка:

\Бт(а; х,к)\ « хд-“Т1 (1пх)в+4.

Доказательство теоремы 1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В. Линника [3] и Н.Г. Чудакова [6], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н.Чубарикову за постоянное внимание и помощь в работе.

2 Известные леммы

Лемма 1. Пусть 2 ^ Т ^ х, х~хаРактеР Дирихле поша&д, р = в + нетривиальные нули функции Ь(в,х)-Тогда,

хр

ф(х, х) = Е0х — ---+ Яг(х, Т, х), (х, Т, х) « хТ-112,

р

где Е0 = 1, есл и х = х0/ Е0 = 0, есл, и х = х0-Доказательство см, [7]

Лемма 2. Пусть действительная функция /(и) и монотонная функция д (и) удовлетворяют уело виям: / '(и) - монотон на, \/'(и)| ^ т > 0 и \д(и)\ ^ М. Тогда, справедлива, оценка:

Доказательство см, [1],

Лемма 3. Пусть д ^ 1-целое. При подходящем, сг > 0 функция Ь(в,х), в = а + й не имеет нулей в области

для всех характеров хто&д, за исключением,, быть может, простого действительного нуля у Ь-функции, определенной исключительным характером, Хг-Доказательство см, [8].

Лемма 4. Число нулей р функции Ь(в,х), хто&д, для которых Т ^ \71 ^ Т + 1, не превосходит с 1п дТ.

Доказательство см, [9].

Лемма 5. Для, любого £ > 0 существует с = с(е) такое, что еели, х~ действительный характер по модулю д и в -действительный нуль Ь(в,х), то

а ^ 1 — 5(д,і), 5(д, і)

(1п д, 1п3/4(\і\ + 3) 1п3/41п(\і\ + 3))’

тах

Доказательство см, [9].

3 Доказательство теоремы

Легко показать, что

Бт(а; х,к) = ^^Л(п)е(а(п + к)т) = Л(п)е(а(п + к)т) + 0(12)

(п,д) = 1

h=1 h=n + k(modq)

(n,q) = 1

Пользуясь свойством ортогональности характеров, имеем:

q /nhm\ 1

Sm(a; x,k)=Y^ e[-) ^2A(n)e (Kn+k)m) “тт X! X(h — k)x{n) + 0{l2)

h=1 ' q ' n4,x “(q) xmodq

1 _ q /nhm\

X J2x(h—k)e(—) J2A(n)x(n)e(x(n+k)m)+0(i2). (з)

“(q)

Xmodq h=l

q

n<x

Если к пробегает полную систему вычетов по модулю д, то к+к также пробегает полную систему вычетов по этому модулю. Поэтому

J2x(h - k)e

ahm

q

J2x(h)e(a(ih + krY)= C (x,g,q).

н=\ 4 / н=\

Подставляя найденное соотношение в (3), найдем

1

q

Sm(a; x,k) = “q) X C(.x,g,q)^24n)x{n)e(4n + k)m) + 0(l2). (4)

Xmodq

n<x

Применяя преобразование Абеля в интегральной форме, имеем:

рХ

X л(п)х(п)е(Х(п + к)т) = - ф(щ х)Ле(Х(и + к)т) + в(Х(х + k)m)ф(x, х).

n<x

Пользуясь леммой 1 о представлении ф(х, х) в виде суммы по нулям Ь(в,х) при Т0 = (1 + \Х\хт)д12Е-г(д,х), найдем:

г x

VA(n)x(n)e(A(n + k)m) = - /

n<x J2

Eu

----+ Ri(u; To, x)

p

IyKT)

de(A(u + k)m) +

E0x — У2 — + Ri(u; To,x) p

IyKT)

+ e(A(x + k)m)

= Eo —J ude(A(u + k)m)+xe(A(x + k)

— J Ri(u; To, x)2nimA(u + k)m-ie(A(u + k)m)du + e(A(x + k)m)Ri(x; To, x) =

+ E

x up xp

— de(A(u + k)m)-------------e(A(x + k)m;

2p

2

Eo

—xe(A(x + k)m) + 2e(A(2 + k)m) + J e(A(u + k)m)du + xe(A(x + k)m)

+

2P

—e(A(x + k)m)-------e(A(2 + k)m) — e(A(u + k)m)up-1du-----e(A(x + k)m)

+ E

IyKT)

+ O (|A|xm|Ri(x; To, x)|) + O (|Ri(x; To,x)|)

p

p

+

PX ___ fX

= Eo J e(A(u + k)m)du — J e(A(u + k)m)up-idu + O ((1 + |A|xm)|Ri(x; To,x)|) + R2,

IyKT

2Р 1

Я2 = 2е(Х(2 + к)т) — X -в(Х(2 + к)т) < 1+ ^ ^ <

|т|^То Р |7|<Го \Р\

1п т хГ (-,х)

1 + > ------< 1п2 То <--------------.

' т -

т4,Т0

Отсюда, пользуясь соотношением Я1(х; Т0,х) ^ х12Т-1, получим следующую формулу:

Л(п)х(п)е(Х(п + к)т) = Е0 е(Х(и + к)т)Ли —

П^Х

Х

X I е(Х(и + к)т)ир-1Ли + 0,хГ(а,х

2

(5)

Подставляя найденное соотношение (5) в правую часть (4), получим:

Бт(а-, х, к) = С(х°’д,-) [ е(Х(и + к)т)Ли — Ш — Ег£1 + (6)

—(-) Л

+ о(хГ(‘гх>тах \С(х,д,я)\) ,

\ - Хтойд J

1 СХ

Ш = —т-т X С(х,д,а) X иР-1е(Х(и + k)m)du,

—(-) Х=Х1 М<То ^2

1 р х

£1 =С (хг,д,-) ив1-1е(Х(и + к)т)Ли,

—(д) 2

Е1 = 1 д х1

ЧТО Ь(в, хг) имеет действительныЙ нуль вь в1 ^ 1 — с/ 1п - и Е1 = 0 в противном случае.

Оценка £г. Тривиально оценивая, имеем:

ив1 1е(Х(и + k)m)du

< \С(х1;д'-)1 х*'. (7)

— (-)

Оценка Ш. Отрезок интегрирования [2, х] в интеграле по и разобьем па не более чем 1п х интервалов в идя, [у, 2у]. Получим

Ш <1 х ^ £р ^ ««

Х=Х1 |т|^То

Г2у 1 х

I(р) = у ив-1е (/(и)) Ли, /(и) = Х(и + к)т + 2^71пu, 2 ^ У ^ 2.

2

Для интеграла I (р) справедлива следующая тривиальная оценка

Г 2у

|1 (р)1 ^ / пв-1йп ^ ув.

у

Интеграл I (р) оценим также и при помощи леммы 2 полагая М = ув-\ т = шт /1 (п). Имеем

ув—1 ув

II(р)1 < ,« у

min lf'{u)l min lyf'(u)l

Полагая F(u) = 2nXmu(u + k)m-1, F'(u) ^ 0 и пользуясь соотношением

|yf '(u)|

7 + 2nXmu(u + k)

m— 1

y

2nu

|y+f (u)| 2^ ^ 4Пlj+F (u)

для найденной оценки для интеграла I (р) с учетом тривиальной оценки находим:

11 (р)1 < ув шт(\ . . ( ^ < ув шт(\ . . + Ь( ^ , (9)

у шт |у/'(п)и \ шт |7 + Ь (п)у

Рассмотрим два возможных случая: 1.А ^ 0 2, А ^ О,

Случай 1.А ^ О, Все нули р = в + с условием |^| ^ Т0 разобьем на множества П1; П2 и П3 следующим образом:

П = {р : -То ^ ^ < -Ь(2у) - 1},

D2 = {р D3 = {р

-F(2У) — 1 ^ 7 ^ -F(У) + ^, -F(2У) < -F(У),

-F(У) + 1 <Y < To}.

Прибавляя ко всем трем членам неравенства, с помощью которых определяются множества Пи 02, °э, слагаемое Ь (п), у < п ^ 2у, получим

Di = {р D2 = {р

-To + F(u) ^ y + F(u) < -F(2у) + F(u) — 1},

— F(2y) + F(u) — 1 ^ y + F(u) ^ F(u) — F(y) + 1},

D3 = {р : F(u) — F(y) + 1 <y + F(u) ^ To + F(u)}.

В отрезке y < u ^ 2y функция F(u) монотонно возрастает, поэтому — F(2y) +

F(u) — 1 ^ —1, F(u) — F(y) + 1 ^ 1. Следовательно, если р принадлежит D1; D2

или D3, то соответетвенно, y + F(u) < —1, —1 ^ y + F(u) ^ 1 ми y + F(u) > 1. Поэтому для монотонной возрастающей функции y + F (u) в отрезке y ^ u ^ 2у справедливы следующие соотношения

min |y + F(u)| = — max (y + F(u)) = —7 — F(2y) ^ 1, если р e D1,

y^u^2y y^u^2y

— 1 ^ 7 + F(u) ^ 1, если р e D2, (10)

min |y + F(u)| = min (7 + F(u)) = 7 + F(y) ^ 1, если р e D3.

y^u^2y y^u^2y

Обозначим через Б\, $2 и $3 соответственно суммы модулей интеграла I(р)по нулям принадлежащим множествам Д1; Д2 и Д3, т.е.

X II (Р)1 = $1 + $2 + $3. (И)

ІтКТо

Для $1, $2, и Б3 пользуясь оценкой (9) и имея в виду соотношения (10), находим

>1 < £ ' $2 « £ Ув, $3 « £ ^

рЄОі 1 К рЄ-02 рЄ-Оз 1

Каждую сумму оценим отдельно.

Оценка Бг, Пусть Н = 1 + 1А1ут. Все нули из множества

П = {р : -То * ^ < -Ь(2у) - 1} = {р :1 < -7 - Ь(2у) * То - Ь(2у)},

разобьем на классы А0, Аг,..., Лг, г « 1п Т0 следующим образом: в класс Ап отнесем те нули р, для которых выполняется условия: пН < -^ - Ь(2у) * (п + 1)Н, если 1 * п * г и 1 < -^ - Ь(2у) * Н, если п = О. Поэтому

Г цв г у,в

* < Е Е * Е ^+Е Е ПН *

п=0реАп р€Ао п=1ре Ап

1 Г 1

* Е ув + “1 шах Е ув Е1«

^-—/ Н 1*п*г —/ —/ П

реАо реАп п=1

« (1 + — ) шах ув « I шах ув.

\ Н |Т |*То ^ |Т |*То ^

4 7 1 1 Т<гу*Т+Н 1 1 Т<^*Т+Н

Б2

П2 = {р : -Ь(2у) - 1 * 7 * -Ь(у) + 1} =

= {р : Т * 1 * Т + Ь(2у) - Ь(у) + 2}, Т = -Ь(2у),

^ (2у) - ^ (у) + 2 = 2п\ш^ 3-,ут-і к3 (2т-3 - 1) + 2 =

3=0

= 2тп\шут (1 + О (у-1)) +2 х 1 + \ут = Н.

Следовательно промежуток суммирования в $2 имеет длину порядка Н. Поэтому

2

$2 < ув < тах ув

' |Т|<То ^

реО2 1 1 Т<~(^Т+И

Оценка $3, Все пули из множества

Д3 = {Р : -Р(у) + 1 <7 < То} = {р : 1 <7 + ^(у) < То + ^(у)}.

разобьем на классы А0, Аг,..., Аг, г « 1п Т0 следующим образом: в класс Ап отнесем те нули р, для которых выполняется условия: пН < 7+Ь(у) * (п+1)Н, если 1 * п * г и 1 <7 + Ь(у) * Н, если п = О, Поэтому

Случай 2.Х ^ 0, Все нули р = в + 27 с условием |y | ^ Т0 разобьем на множества Db D2 и D3 следующим образом:

Прибавляя ко всем трем членам неравенства, с помощью которых определяются множества П2 и П3, слагаемое Ь(и), у < и * 2у, получим

Функция F(и) на отрезке y < и ^ 2у монотонно убывает, поэтому F(и) — F(у) — 1 ^ — 1, F(и) — F(2у) + 1 ^ 1. Следовательно, если р принадлежит Di, D2 или D3, то соответственно 7 + F(и) < —1, —1 ^ 7 + F(и) ^ 1 ми 7 + F(и) > 1.

Отсюда для монотонной возрастающей функции 7 + F(и) на отрезке у ^ и ^ 2у

справедливы следующие соотношения

min |y + F(и)| = — max (7 + F(и)) = —7 — F(у) ^ 1, если р Е Di,

y^u^2y y^u^2y

— 1 ^ 7 + F(и) ^ 1, если р Е D2, (13)

min I7 + F(и)| = min (7 + F(и)) = 7 + F(2у) ^ 1, если р Е D3.

y^u^2y y^u^2y

Обозначим через Si, S2 и S3 соответственно суммы модулей интеграла I(р) по нулям принадлежащим множествам Di; D2 и D3, т,е.

Подставляя в (11) полученные оценки для Si; S2 и S3, имеем:

(12)

Di = {р : —То < 7 < —F(у) — 1},

D2 = {р : —F(у) — 1 ^ 7 < —F(2у) + 1},

D3 = {р : —F(2у) + 1 <7 ^ То}.

Di = {р : —То + F(и) ^ 7 + F(и) < F(и) — F(у) — 1},

D2 = {р : F(и) — F(у) — 1 ^ 7 + F(и) ^ F(и) — F(2у) + 1}, D3 = {р : F(и) — F(2у) + 1 <7 + F(и) ^ То + F(и)}.

X II(р)1 = Si + S2 + S3.

IyKto

Для $2, и $3 пользуясь оценкой (9) и имея в виду соотношения (13), находим

ув ув

S « Е ’ S2 « Е ув ■ S3« Е

—y — f(у) ~2 "" ^ у ’ ~3 ^y + F(2у)'

pe-Di ' КУ' peD2 peD3 ’ К

Оценивая эти суммы аналогично как в случае Л ^ 0, получим оценку (12), Затем в этой оценке заменим у на х, в том числе и для выражения H (т.е. H = 1 + |Л|хт), Получим

V II(р)1 « l max хв, —Т0 ^ Т ^ Т0 — H.

^ |т кто

IyI^To 1 1 т ^Y<T+H

Подставляя найденную оценку в формулу (8), найдем:

W « l2max 1C(x’9’q) max Wi, Wi = V E xe. (14)

X=Xi V(q) lTl«To X=Xi W+H

W1

никах критической полосы для пулей L - рядов Дирихле по модулю q. Имеем

,в

l х I хийи + 1

X=Xi т^Y^T+H

Wi = Е Е (ln х1

X=Xi T^T+H 4 J 0

Е Е lnх[ х'иf(и,в)^'и + Е[N(Т+H,x) — N(T,x)},

, тт J0 ,,,,,

X=Xi T^Y^T+H 0 X=Xi

где

n\ I 1, еслИ 0 ^ и ^ в,

f (и,в) = \(л .

I 0, если в < и ^ 1.

Из определения f (и, в) следует равенство

Е f (и,в) = N (и,Т + H,X) — N (и,Т,Х).

T ^Y^T+H

Поэтому

*1

Wi = ln х I хи^ [N (и, Т + H,x) — N (и, Т, x)} йи+

0 X=Xi

+ Е [N(Т + H,x) — N(Т,х)] «

X=Xi

« l [ хи Е [N(и,Т + H,x) — N(и,Т,х)]Ли+

J0’5 X=Xi

+ х1/2 Е [N(Т + H,x) — N(Т,х)}.

X=Xi

Согласно лемме 3 N (и, Т + Н,х) — N (и, Т, х) = О, есл и х = Х1 11 и ^ 1 — 8(д, Т0), где

0) тах{1п д, (1пТ01п1п Т0)3/4}, ^ ^

кроме того, согласно лемме 4 N(Т + Н,х) — N(Т,х) « Н 1п дТ0. Поэтому

Г 1-$(я,То)

W1 « I хиУ] N (и, Т + Н,х) — N (и,Т,х)^и + х1/2р(д)Н Ь дП.

Л,5 Х=Х1

Применяя к последней сумме соотношение (2), находим

Г 1—$(Я,Т0 )

Wl « I хи(д(Н + Т 1/3))<1-и)1Бв,и + х1/2р(д)Н1 «

и0,5

« х^Г^) ( Ш + Т 1/3))С\^ 4и + ^ «

10,5 V X ) Х1/2

д{я,то) ( / тт I 'Т'1/^\с \ 0,5

« xlB+i( ((q(H + Т 1/3))<-у^°> + ШЯЧГ^Л^ + ql \Д х ) \ х ) х1!

<#» (i;q(^^i{q'n)+2 (q^f). <*>

Пользуясь явным видом величин Т0 = q(1 + 1Л1хт)1 F 1^,х), H = 1 + |Л|хт и условиями

т ^ хт-i exp(ln0,76 х), q ^ х^ exp (— ln0,76 х) , последовательно получим

qH + q^/3 = q + ^хт + q ((q + q^Iхт) l2F-i(q, х))1/3

^ q + q1Л1хт + q ((q + q^^m l2 exp(ln4 lnх))1/3 ^

^ q + хтт-i + q ((q + хтт-i) l2 exp(ln4 lnх))1/3 =

q + хтт-i + q3 exp[ 1 ln4 lnх^ 13 + qxmт-3 exp (1 ln4 lnх J 13 ^ ,.т-~ i , „4 „__I 1 4,„Л Л , „ I_____________f1, 4, \,2

^ хтт + q3 exp ( - ln ln х 1 l 3 + qx 3 т 3 exp ( - ln ln х)1 3 ^

^ хт [хт- "с exp(ln0,76 х)) 1 + q4 exp (^1 ln4 ln х^ l3 + + qxmm (хт-1 exp(ln0,76 х) j 3 exp ^ ln4 lnх^ l3 =

= хс exp(— ln0,76 х) + q3 exp у- ln4 lnх^ l3 +

+ qx^ exp ^ —1 ln0,76 х + 1 ln4 ln х^ l3 ^

< хc exp(- In0,76 х) + (хi exp (- In0,76 х)) 3 1У ь ^ 13 +

2 i ( 1 1 \ 2

+ х ^ exp (— ln0,76 х ■ х 315 exp ( — - ln0,76 х + - ln4 ln х j l 3 <

< 2хi exp(— ln0,76 х) + х 98 exp I — 4 ln0,76 х + 1 ln4 ln х ) l 2 <

< 3х с exp(— ln , х). Следовательно,

q(H + Т1/3) 0-6 ,

~Yj-c-----« exp(— ln , х).

х1

Отсюда имея в виду, что в (16) выполняется неравенство с5^,Т0) < 0,5, получим

Wi « х1в+1 (q{H+l'Г‘] УЩ’Т°° « х1в+1 (exp(— ln0,76 х))^™ «

« х1в+1 exp(—c5(q, Т0) ln0,76 х).

Подставляя найденную оценку для Wi в формулу (14), найдем:

W « х1в+3 max IC(x,,9,q) . exp(—c6(q, Т0) ln0,76 х), (17)

X=Xi p(q)

Подставляя полученные оценки (7) и (17) в (6), находим:

S2(а; х,к) = —^x°., 99 ^ [ е(Л(и + к)2)д,и + Я(а,х), (18)

'•P(q) J 2

Я(а,х) « хЯ1(а,х) max ^(x’9’ q^ \,

Xrnodq <^(q)

Я1(а, х) = lB+3 exp(—c6(q, Т0) ln0,76 х) + х131-1 + F(q, х).

Теперь оценим две последние слагаемые в Я(а,х) в зависимости от порядка величины q. Рассмотрим два случая: a)q ^ (lnх)ь] б)q > (lnх)ь. а) Случай q ^ (ln х)ь. Согласно лемме 5 при е = 1/2b имеем:

1 ^ ^ q£> ^—= exp(—с(е) Vlnх) « exp(— ln4 lnх). (19)

хв ^ х qS ^ exp — --------~ь = exp(—c(e)y\nх) « exp(— ln lnх

Имея в виду, что в этом случае F(q,х) = exp(— ln4lnх), оценим Т0 сверху Т0 = (q + q1Л1хт) l2F-i(q, х) < (q + хтт-i) l2F-\q^) ^

^ (1Ь + хтТ ^ 12 ехр(1п41п х) ^

,0,76

^ (1Ь + хс ехр(— 1п0,76 х)^ ехр(1п41п х + 21п 1пх) ^

^ 2х1/с ехр(— 1п0,76 х + 1п41п х + 21п 1п х) ^ х1/с ехр(— 1п0,75 х) ^ х1/с.

Пользуясь этой оценкой, найдем

с8( Т)____ СС1 > СС1 >

С У’ 0 тах{1п д, (1пТ01п1пТ)3/4} тах{1п(1пЬх), (1пх1/с 1п1пх1/с)3/4}

> -----^_ с2 (1пх 1п1пх)~°’7Ъ , с2 _ с1с7/4.

тах < Ь 1п1пх, (с-11п х 1п1п х)3/А \

Поэтому

1Б+3 ехр(—с6(д,Т0)(1п х)0,76) ^ 1Б+3 ехр(—с2 (1пх 1п1пх)-0,75 (1пх)0,76) _

_ 1Б+3 ехр(—с21п0,01 х 1п-0,751п х) ^ ехр(— 1п41п х).

Отсюда, а также из (19) в случае д ^ (1п х)Ь, получим

Я1(а,х) ^ ехр(—(1п1пх)4) _ Т(д,х). (20)

в) Случай д ^ (1п х)Ь. В этом случае тривиально имеем:

К1(а, х) _ 1Б+4 ехр(—с5(д, Т0) 1п0,76 х) + 1хв1-1 + Т(д, х) ^ 1Б+4 _ Т(д, х).

Отсюда и из (20) следует, что

„/ ч „ г,/ ч 1с(х,д,д)1

л(а, х) ^ хг (д, х) тах----------—-,

\modq ф(д)

Подставляя найденную оценку для Я(а,х) в (18), получим утверждение теоремы.

Следствие 1 следует из теоремы 1 применением оценки для суммы 1С(х,9,д)1 которая получена в работе [10], Следствие 2 непосредственно вытекает из следствия 1,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Виноградов И.М. Избранные труды, М: изд-во АН СССР, 1952,

[2] Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм, М.: Наука, 1976,

[3] Линник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха - Виноградова // Мат, сборник, 1946, т, 19, вып. 1, стр, 3-8,

[4] Chudakov N.G. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math,,1947, 48, p,515-545,

[5] Zhan Tao. The mean square value of Diriehlet L-functions // Chinese ADv. Math. 2(1989).

[6] Chudakov N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 - 814.

[7] Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. Москва, Наука, 1971.

[8] Прахар К. Распределение простых чисел,—Москва, Мир, 1967.

[9] Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел, Москва, Наука, 1983, 2-ое изд.

[10] Todd Cochrane and Zhiyong Zheng. Pure and mixed exponential sums. Acta Arithmevica XCI.3 (1999), p.249-278

Московский государственный университет им М.В. Ломоносова.

Поступило 5.07.2011