CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 511
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ КОРОТКОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Пусть N /\х _ - число нулей р- [5+іу /.-функции Дирихле по модулю с/ в области Ые.? > а > ОД 0 < Іт.V < Т. Если у главный характер, тогда N^^/J\x 3= N^г,7' _ - число нулей функции Римана ф) в указанной области.
Определение. Пусть с>2, В>1 абсолютные постоянные, Т >Т0 >0, Нс > Т, тогда оценки вида
£ N а,Т + Н,х -N а,Т,х « чТ с(1_“) 1п <?Г В (1)
называются плотностными теоремами в коротких прямоугольниках критической полосы.
Основным результатом работы является теорема, устанавливающая связь плот-ностных теорем для нулей L-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы, с оценками квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из коротких интервалов, т.е. с суммами вида:
£2 а,х,у = V А(п)е ап2 , а = — + Я, \Я\<—, 1 <д<г.
х-у<п<х $ ЦТ
Теорема. Пусть х>х0>2,И<х^с, у > Их' |/с ехр(1пх)" 7' , т >у2!к,
1 = \пх, а = а/д + Я, (а, д) = 1, 1 < д < /г, \Я\ < 1/дг, Ь - произвольное фиксированное неотрицательное число,
ч
Т2 %,<* к е
Ы\
ак2 ^
,Р(Я,х) = <
1 Я )
ъ
ехр — 1п 1п х если д< 1пх ,
ь
1 если \пх .
Тогда справедливо равенство:
^ ак2^1
а,х,у ----------- е ------------ \е Я х—1у 2 & + 0
2 ^ <р{ч) £ " '
Ґ і і уів+2 л
шах т2 %,а \-—-Р^х)
Хтойд' 1 (рЩ)
\Я 70
(*,<?)=1
Из плотностной теоремы Zhan Тао [1] для нулей £-рядов Дирихле в коротких промежутках критической полосы следует, что в с<8/3, 5=216.
Лемма 1. Пусть 2 < Т < х, % - характер Дирихле по пияк), р - /3 + г/ - нетривиальные нули функции Ь(я, х )■ Тогда
уР
х,х =Е0х— + кг х,Т,х , ^1 Х,т,х «л-Г1/2,
~ Р
где Е0 = 1, если % = х0; Е0=0, если х * Хо-
Доказательство см.[2].
Лемма 2. Пусть действительная функция - /(и) и монотонная функция - §(ы) удовлетворяют условиям: /'(и) - монотонна, |/'(м) >т>0 и |^(м)|<М. Тогда справедлива оценка:
’ М
\Е{и)е{/(и))йи
т
Доказательство см.[3].
Лемма 3. Пусть д>1 целое. При подходящем с1 >0 функция Ь(я, х ), ^=а +и не имеет нулей в области
с
<у>\-8^,х\ 3(д,х) = - 1
шах 1п д, 1п3/4 |^| + 3 1п3/4 1п |^| + 3
для всех характеров х 110 тоск[, за исключением, быть может простого действии-тельного нуля Д у Ь-функции, определенной исключительным характером Х\ Доказательство см. [4].
Лемма 4. Для любого е>0 существует с=с(е) такое, что если х - действительный характер по модулю с/ и (3 действительный нуль Ь ($,%), то
Р<\-С 8
Ч
Доказательство см. [5].
Лемма 5. Для любого х тойч при Т>2, д>1 имеет место соотношение:
ЩТ, х) = -1п Т + А(д)Т + 0( 1п дТ),
7Г
при этом A(q) - действительная константа, зависящая от q и Л(д) ^ 1п2д. Доказательство см. [4]
Лемма 6. Пусть f(u) диффереренцируемая функция на интервале (а,Ь), /'(и) - монотонна и /'(и) < 8 <1. Тогда
ь Ъ
Е е(/<») = \</(и))ёи + 0( 1).
а а
Доказательство см. [3].
Доказательство теоремы.
Легко показать, что
4 ( ак2 ^
Б2 а,х,у - А(п)е ап2 +0(/2)= ^ е ----------------- ^ А(п)е ап2 + 0(12).
х-у<п<х к-1 \ Ч ) х-у<п<х
(«,(5,)=1 (к,д)=1 п=к(то(Хд)
Пользуясь свойством ортогональности характеров, имеем:
<*,х,у =—^~ ^ Xя 2 Мп)х(п)е Лп2 + 0(/2), (2)
Т\Ч) х-у<п<х
Применяя преобразование Абеля в интегральной форме, имеем:
а
х-у<п<х
х
X К(п)х(п)е Лп2 = | і//(и,х)-і//(х-у,х) (їе Ли2 +е Ах2 ц/{х, х) ~щ(х - у, х)
х-у
х
Г 2 2 2
= - \1/{и,х)^е Ли +е Лх ц/(х,х)~е к х-у 4х(Х~У,Х)
х-у
Пользуясь леммой 1 при Т0=хд1 К (д,х)тах(у ,\Л \х), найдем:
х-у<п<х
х-у
Е0и~Т; —
\Л\<Т0 Р
сіє Ли2 +е Лх2
Е0Х~Т; —
\л\<т0 Р
-е Л х-у
Е0 Х~У - X
х-у
и|<г0 Р
X
| Л*, (и;У'гп х)4ліЛііе Ли2 сіп
+
+е 1х2 В1(х-,Т0,х)~е Л х-у 1{(х-у,Т0,х).
Применяя к первому интегралу формулу интегрирования по частям и пользуясь оценкой для 1<, (и;Т0, х ), найдем:
X А(п)х(п)е Лп2 =Е0\е Ли2 ёи- ир 1е Ли2 йилО
х-у<п<х х—у \^\~х—у
Отсюда из (2) и (3) для 8(а;х,у) найдем следующее выражение:
ур{д,х)
ч
<р(я)
\е(Ли2уіи-]¥-
-У V
УЕ(д,х)
шах г,
X тосі д '
(Х«)|
(3)
(4)
Г = —X Ж(я>2 (х) X І иР~1е(иЛ)сіщ X = Жі^2^ ] иА 1е(иЛ)с1и,
<р(я) X кИохі <р(я) х-у
где Е, = 1, есть по модулю д существует действительный характер Х\ такой, что Л(\,Х\) имеет действительный нуль Д Д >1-с/1пд и Е1 = 0 в противном случае.
Оценка Е1. Тривиально оценивая, имеем:
У*1*1'1 і , ч|
Хі-^гта,хт2(^а);
(рщ) Хто^Ч
Оценка IV. Имеем
|7Ср)|, 7(^)= Х\и^е\Ли2+^-у1пи
т) г и|<т„ Л \ 2л-
Рассмотрим два возможных случая: 1. Л > 0; 2.Л < 0.
ёи.
Случай 1. Л > 0. Все нули р - (5 + гу с условием \у\ < Т0 разобьем на множества Д, Д и Д следующим образом:
Д = р : -Т0 < у < -АпЛх2 —х/у ,
Д = ^ : -АлЛх2 - х/у < у < -4тгЛ(х - у)2 + х/у .
Д= -{р: -4лгЛ(х-у)2 +х!у < у < Т0 .
Обозначим через £1, £2 и £3 соответственно суммы модулей интеграла 1(р) по нулям, принадлежащим множествам Д, Д и Д, т.е.
2
£|ад|=5;+5г+5,
ИИ
Каждую сумму оценим отдельно.
ы
Оценка &. Если ре Д, то для функции / (и) = Ли2 + у 1п —, х - у < и < х выпол-
2 п
няются условия:
/(и) = 1±^£-4ж^+4^<о> Пи)=^~Г>0
2 т 2т 2т
Поэтому
™ |/'0)| = - тах /'(“) = -/'(*)•
л;-_у<гг<л; х-у<и<х
Следовательно, для оценки интеграла 1(р), применяя лемму 2, найдем:
-/'(•*) ^-у-АлЛх
Все нули Д, т.е. нули с условием х/у < —у - АжЛх2 <Т0 -АлЛх2, разобьем на классы А,, А2,...,Ак, k<scy следующим образом: в класс Ап 1 <п<к отнесем те нули р , для которых выполняются условия: пН< -у - АлЛх2 < (п +1 )Н, Н = xh/yq. Поэтому
^<УУ 2яхр < —У — У хр «—max V хр «—шах У ^
И=1 рел -/ - 4л-/ьЛ' Я И=1 и ^ xh ^ р^Ап х НИ ГЙ/ЙГ+Я
Оценка Si. Имеем: Д = {р :Т < у < Т + 8лЯху-АлЛу2 + 2х/у, Т =- АлЛу2 - х/у}. Так как Я<1/дг, т>у2/к,то 8лЛху-АлЛу2 +2х/у «Н, H = xh/qy. ЕЕоэтому, пользуясь тривиальной оценкой для интеграла \( р), найдем:
У1,
Ss = S 17(^)1 - Z >^~1<<с—її<ах Z х/?-
reD, peD, Х ‘Т'~Т° Т<уТ+Н
Оценка Бз. Если ре Д, то для функции /(и) = Ли2+у\пи/2л,х-у<и<х выполняются условия:
п, ч у + Ал Ли2 - АлЛ(х - у)2 + х/у + 4тгЛм2 х „
/'(и) = 1-------->-----------—-----—---------->------> О,
2 ли 2 ли 2 ту
4тг/1
/"(и) =-----— >0 если у < АлЛ(х-у)2, /"(и) меняет знак из “+” в в точке
2 ли
и =
у] у/АлЛ, если у е ^АлЛ(х - у)2, АлЛ х2 , /"(и) < 0 если у > АлЛ х2. Поэтому ™ |/'0)| = ™ /\и) = шт {/'(х),/'(х-у)}
х-у<и<х х-у<и<х х-у<и<х
Применяя лемму 2 для оценки интеграла 1( р), р е Д имеем:
/?-1
уеОз з
Применяя прием, который был использован при оценке 51, найдем:
<5>, <&: тах л:
X \т\^то т<у<Т+Н
Р
Подставляя в (5) полученные оценки для 8, 82 и 83, имеем:
£|/(/?)|«^тах £ хр . (6)
|^|<Г0 Х !' !' 0 Т<у<Т+Н
Случай 2. Я < О. Все нули р с условием Щ < Т0 разобьем на множесва Д, Д и Д следующим образом:
А = й ■ _Т0 <у < -4 тгЯ(х-у)2-х/у Д = ^ : -4ят1(.х - х)2 - х / у < у < -АттЛх2 + х!у.
Д= {р: -АяЯх2 +х/у <у< То}, обозначим через ^, £2 и £3 соответственно суммы модулей интеграла 1(р) по нулям,
принадлежащим множествам Д, Д и Д. Оценивая эти суммы аналогично, как в случае
Я > 0, получим оценку (6). Поэтому отсюда для ]¥найдем:
ЕГ «I ^ тах V \т2(х,а)\ 'У' х'6 < ^ тах \т2(%,а)\тах У У 1пх \хис1и + \ =
хср(д) х т<у<т+н хср(д)х™^ |г|<г0 х т^т+ну > )
^-тах|г2(Ж,а)|тах
Х<р(д) Х™йд \Т\<Т0
Р Г1
х т<у<Т +Н о
И
1п X |х“/(м, Р)ёи + [ #(Г + Н,д)~ ЩТ, д)\
где
(I еслиО<и<В,
Л“’^= П /I <М
[О еслир <и<\.
Из определения /(г/, /?) следует равенство
Е Е Щи,Т + И,4)~N (и,Т, ф, N (и, Т,ф = £>(и, Г,*).
^ Т<у<Т+И х
Поэтому
Уг I I
Ж«:---------тах г,(у,а) тах
х(р{д)хшо^ 2ЧЛ’ 1 |г|<г0
1
| х“ [Щи, Т + Н,д)~ Ы{и, Т, д)]Ои + [ЩТ + Н,д)~ N(1, д)]
—1—— тах I г, (у, а)| та?
^тос!?1 1 |Г|<Г(
| х“ [#0, Т + Н,д)~ N{4, Т, д)]Ои + х(>’5 [ЩТ+Н,д)~ N(7, д)]
0,5
Согласно лемме 3, Ы(ы,Т+Н,д)-М(ы,Т,д)=0, если
с
и>\-8(д,х), 5(д,х) =---- --- 1 —-тт-, (7)
тах{ 1п <:/, (1п х 1п 1п х)3^4 }
и, кроме того, согласно лемме 5, N (Т+Н,д)-М (Т,д) < <р(д)Н1. Поэтому, пользуясь соотношением (1), найдем:
о
i2
W «с---------max I г, (r, a) I
X0>(?)/"W 2V^’
>’/B+2 I / M «с-------max \rJy,a)\
<p(q) /mod,1 2 '
l-<S(g,x)
I xu {qH)c(lu>lBdu + xll2(p{q)Hl
V 0.5 /
l~S{q’x)f {qH)c^U)
\
0,5
X
du +
^/B+2 I л M «с-------max \тлу,а)\
(р{д) *nW 2V^’
(ft тт\с
+
(p{q)Hl
V х У
х
Д/2
jB+2
У1' I / м
«с--------max \тлу.а)\
<p{q) 1
ах(сЧ)/^
V
У
+
У
У
£7<?(д,д:) Л
Поэтому, учитывая, что у > hxc ’ с ехр(1п х) ’ и с > 2, найдем:
VIB+2 , ,
W «с —-------max т2(/,а) exp -(lnx)0,76 +ехр -cS(q,x)( lnx)0,76 «с
(p(q) /fmodg1 1
yiB+2 i i
<sc—------max r2 (x, d)\ exp -cS(q, x)(ln x)0’76 .
(p(q) Xrnodq
Подставляя полученные оценки для ^ и И7 в (4), находим:
£2 (а; х,у)= ^ V е ак2 / q [е Л(х-(у)2 dt + R(a;x,y).
<Р(Я) *=1 о (8)
Я(а;х,у)<^ ^ х) + х^-1+/в+2 ехр -с8(д, х)(1пх)0’76 тах |г2(^,а)|.
^>(</) /т<х!д
Теперь оцениваем два последних слагаемых в Я(а ;х,у) в зависимости от порядка величины q. Рассмотрим два случая: а)</ < (1п х)ь; б)с/>(1п х)ь. а) д <( 1п х)ь; Согласно лемме 4 при е = \!2Ъ имеем:
хр 1 < х<єУч < ехр
^с(^)1пхЛ
v(lnx> J
1В+2 exp -cS(q, х)(1п х)0’76 «с 1В+2 ехр
exp -c{s)^jh\ х «: ехр -(In In х)4 . (In х)°
Ьє
J
f „\0,76 Л
v (lnx)34 (In lnx)34 у
«с exp -(In In x) .
а) д > (1п х)ь; в этом случае тривиально имеем:
лА-1+/В+2ехр -сз(д,х)(\пх)0’76 «/в+2.
Отсюда следует, что
I I у1в+2
К(а;х, у) «стах т2(х, а)\----х).
/Гтой? (Р{4)
Подставляя найденную оценку, для К ( а ;х,у) в (8), получим утверждение теоремы.
Институт математики Поступило 13.04.2006 г.
АН Республики Таджикистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Zhan Tao. The mean square value of Dieichlet L-functions. Chinese ADv. Math. 2, 1989.
2. Дэвенпорт. Мультипликативная теория чисел. М.: Наука, 1971.
3. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: изд-во АН СССР, 1952.
4. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
5. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.
З.Х.Рахмонов ФОРМУЛАИ АСИМПТОТИКИ БАРОИ СУММАИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И КВАДРАТИ БО АДАД^ОИ СОДДА
Дар кор барои суммаи тригонометрии квадратй бо ададхои содда, ки тагийрёбандаи суммирониашон аз интервали кутох к;имат кабул мекунанд, дар мачмуи нук;тах,ои синфи якум формулаи асимптотикй гирифта шудааст.
Z.Kh.Rakhmonov THE ASYMPTOTICAL FORMULA FOR THE SHORT SQUARE EXPONENTIAL SUM WITH PRIME NUMBERS
In the given work the asymptotical formula for the square exponential sum with prime numbers which variable of summation accepts values from short intervals, in set of points of the first class is received.
