CC BY
9
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №11-12_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Академик АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, О.О.Нозиров
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ С РАЗНОСТЬЮ, РАВНОЙ СТЕПЕНИ ПРОСТОГО ЧИСЛА
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
При х > х0, q = ра, р - простое число, k > 2 и а - фиксированные натуральные числа,
( 2 к+5 к+2 70 Л
Х^& ^ X ^ & ^ X ^ & ^
, (l, p) = 1, L = ln x, p > L , получена асимптотическая
q <C min
v
формула для числа решений сравнения
p + mk = l(modq), p < x, m < tfx,
следствием которой является оценка сверху для Hk (q, l) - наименьшее число Харди-Литтлвуда вида p + mk, лежащее в арифметической прогрессии с разностью q и начальным членом l.
Ключевые слова: числа Харди-Литтлвуда, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.
Харди и Литтлвуд [1] сформулировали гипотезу о том, что все достаточно большие натуральные числа n разлагаются на сумму простого и степени натурального числа в виде
n = p + mk,k >2.
Такие числа называют числами Харди-Литтлвуда. Г.Бабаев [2] опроверг эту гипотезу и показал, что существует бесконечное число натуральных чисел, не являющихся числом Харди-Литтлвуда. Отсюда, в частности, следует, что существуют l, 1 < l < q, для которых выполняется неравенство
Hk (q, l)> q, k > 2,
где Hk (q, l) - наименьшее число Харди-Литтлвуда вида p + mk, лежащее в арифметической прогрессии qt +1, t = 0,1,2,K , q - целое. Поэтому можно рассматривать следующие две задачи:
1. оценить сверху величину Hk (q, l) как можно лучше;
2. получить асимптотический закон распределения чисел Харди-Литтлвуда, лежащих в очень коротких арифметических прогрессиях.
В случае q - простое число и k > 2, эти две задачи исследовались в работах [3-6], в результате была получена асимптотическая формула для числа решений сравнения
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович, Нозиров Опокхон Окилхонович. Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АНРТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru ; nozirov92@bk.ru
( 2
р + т = 1(тоёд\ р<х, т<Цх, д<тт
к+5
к+2 70 Л
хк& & ъ\хък &
\
откуда, в частности, следует, что
2
Н2 (д, /) <С д21п35д, Н3 (д, /) <С д81пТ?.
Основной результат настоящей работы - обобщение приведенного выше результата на случай, когда q - разность прогрессии является степенью простого числа.
Теорема. Пусть х > х0, q = ра, р - простое число, к > 2 и а - фиксированные
натуральные числа, (1,р) = 1, С = 1п X, р> С,
Н 525
Н (х; д, 1)= X Л(п).
п<х,т <х п+ тк =1 (тойд)
Тогда справедлива формула
Нк(х; g, 1 ) =
к+1
ф(д)
г г
1 + о
V V
& 1 + х кд2&3 + х 5 кд&34 + х 2 кд2&34
113 ЛЛ ))
где постоянная под знаком О зависит от к и а.
Отметим, что эта формула становится нетривиальной, если
х3& 3 , при к = 2;
к+5
х5к&~35, при к = 3,4,5; х2!к&-\ при к >6.
к
х
2 -70
Следствие. Пусть д = ра, р - простое число, а - фиксированное натуральное число, (I, р) = 1. Тогда
д2 (1п д)35, при к = 2;
5 к
дк+5 (1п д)
175к
к+5
д2(1п д)
4к
при к = 3,4,5; при к > 6.
При доказательстве воспользуемся следующими леммами.
Лемма 1. [7]. Пусть f (х) = а0 + а1 х + К + акхк - многочлен степени к, к > 2, с целыми
коэффициентами а0,а:,К ,ак, причем (а0,а:,К ,ак,р) = 1, х - примитивный характер модуля
к
р3, /3> 2, р - нечетное простое число, %(f (х)) Ф 0;1, рТ° - наивысшая степень р, делящая (а1,2а2,К ,как), то есть рТ° || (У/,,2а К. ,как), ¿¡¡,К - все корни сравнения
р-Т0/'(£) —0(тойр), 1 р с соответствующими кратностями т1,т2,К ,т , тогда
п 1-
(рп )|< ф) р
где т = тах(т1,т2,К ,т ), с1(к) - положительная постоянная, зависящая от к, су(к) < к71; при этом 0 <у1 < 2 , если р > к; 0< ух < 2,5, если р < к, г0=0 и 0< ух < 3, если р < к, г0 >0. Лемма 2. [5]. При х > 2 и д > 1 имеет место оценка
X тах | у/(х,х) х(\пхд)ъ + х4,5д1,2(1пхд)34 + У/2д(1пхд)34. Схема доказательства теоремы. Разбивая в Нк (х; р", I) сумму по п и т на три части,
имеем
Нк (х; ра, I) = £Л(п) 2 1+ ^ ра) + ^(х, ра),
п< х
(п, р )=1
к а
п — I - т (тойр )
ЯДх,ра) = 2 Л(п) 2 1 <к
п<х тк<х
(П, р)= р к а
т — I - п(тойр )
+1
V ра У
С2
Л2(х,ра) = 2 Л(п) 2 1 = 0.
п< х
(п, р)=1
ка
п — I - т (тойр )
Далее, пользуясь свойством ортогональности характеров, найдем
Нк(х;ра,I) =-1— 2 Их,Ж(к/х,%) + О
^ %той ра
( (кТх ^ ^
+1
V V
У У
х %=2Л(n)%(n), V (и %=2%(/ - тк)-
п<х т<и
Разбивая последнюю сумму по % на две части, находим
к4х
Нк (х; ра, I) = £ (х, ра) + ЯД х, ра) + О ,_¥( ^ %0)^к (x, %0)
к
V V 1
+1
Г"
У У
£(х, ра)= — %, Яз(х, р—) = _1_2^(х, %)Ук (х, %).
р—
?( р")
%ф%0
В этой формуле Я(х,ра) дает предполагаемый главный член Нк(х,д,/), а R3(х,ра) входит в его
остаточный член.
Вычислим главный член. Из теоремы Ш. Валле-Пуссена, получим
¥( х, Хо) = ^Л(п) + О(& 2) = х + О( х ехр(-с>/^)).
Рассмотрим теперь
Поэтому
V(x, Х0)= X 1= X 1 - X 1 = хк + о
т<кх т<кх т<^х
(/-тк,р)=1
(/-т ,р)= р
( 1 >
х^+1 р
V
к+1
Г г
Я (х, ра) =
х
ср( ра)
1 + О
V V
ехр(-с )+-
1
+ х
))
(2)
Оценим остаточный член R3(х, ра) . Переходя к примитивным характерам, имеем
а „ _
^(х, ра) =—— ХТИх, хУк (х, х) (Р(Р ) 1=12
<Р( Р—) 1-1
а _ _»
Хтах1 Ук(x, х)1 X 1 ^ Х) |,
'=1 х
" 3
где Хх означает, что суммирование ведется по всем примитивным характерам по модулю р .
Сумму Ук х) оценим воспользовавшись леммой 1. Сравнение / - ик = 0(тойр3) не имеет кратных корней, к < р, (а0,а:,К ,ак,р) = (/, 1) = 1, (а:,2а2,К,как) = к , то есть г0=1, поэтому согласно этой лемме при ¡3 > 2 и теореме А.Вейля при ¡3 = 1 для полной суммы Ук (р3, х)
имеем
IV, (р3, х)|< к2 р2.
3 2—2
Следовательно,
!^(х, р—)1 <
к2 — , . , к2 — I
<Р(. ра) 31
Хр2X ¡и^х)<——Хр2 X |^(x,хН
Кр —) 3=1 хтойр3
Применяя к последней сумме лемму 2, найдем
р а Р_(
к2 а ^
4 3 1
х*3 + х5 р2 *34 + х2 р3*34
1 3а Л
<
хр2 * 3 + х5 ра&34 + х2р 2 * 34
Подставляя в (1) правую часть формулы (2), последнюю оценку для | Я3(х,ра)| и имея в виду, что к и а - фиксированные натуральные числа и р > С, имеем
Hk (x; pa, l) =
x k
k+1
f f 1 a 11 1 1 3a ЛЛ
L 4 + X kp2L 3 + X 5 kpaL34 + X 2 kp 2 L 34
1 + O
V V J J
Поступило 19.10.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to theory of numbers. - Oxford at the clarendon press, 1954.
2. Бабаев Г.Б. Замечание к работе Дэвенпорта и Хейлброна. - УМН, 1958, т. 13, т. 84, в. 6, с. 63-64.
3. Рахмонов З.Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях. - Изв. АН СССР. Сер. матем, 1989, т. 53, с. 211-224.
4. Рахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышева. - Докл. АН России, 1993, т. 331(3), с. 281282.
5. Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении у/(x, х) и ее приложения. - Известия РАН. Сер. матем., 1993, т. 57, 4, с. 55-71.
6. Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения. - Труды МИРАН, 1994, т. 207, с. 286-296.
7. Исмоилов Д. Оценки полных сумм характеров от многочленов. - Труды МИАН СССР, 1991, т. 200, с. 171-184.
З.Х.Рахмонов, О.О.Нозиров
ТАЦСИМШАВИИ АДАД^ОИ ХАРДИ-ЛИТТЛВУД ДАР ПРОГРЕССИЯМИ АРИФМЕТИКИИ ФАРЦАШОН БА ДАРА^АИ АДАДИ СОДДА БАРОБАР
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
Хднгоми x > x0, q = pa , p - адади содда, k > 2 и a - адади соддаи фиксиронидашуда,
{l,p) = \, _S? = lnx, р>£, g<Cmin мукоисаи
( 2 к+ 5 к+ 2 70 ^
барои микдори х,алх,ои
хк & ^ х^к & X 3к & 3
p + mk = l(modq), p < x, m < ^x,
формулаи асимптотикй гирифта шудааст, ки натичаи он бах,о аз боло барои Hk (q, l) -хурдтарин адади Харди-Литтлвуди дар прогрессияи арифметикии фаркаш ба q ва аъзои аввалаш ба l баробар буда, мебошад.
Калима^ои калиди: адади Харди-Литтлвуд, суммаи кутоуои характерно, суммаи тригонометри бо ададуои содда.
Z.Kh.Rakhmonov, O.O.Nozirov THE DISTRIBUTION OF HARDY-LITTLEWOOD NUMBERS IN ARITHMETIC PROGRESSIONS WITH A DIFFERENCE EQUAL TO THE POWER OF A PRIME
NUMBER
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan For x > x0, q = pa, p - prime number, k > 2 and a - fixed natural numbers,
q <C min
f 2 k+5 k+2 70 ^
V
, (I, p) = 1, L = ln x, p > L the asymptotic formula for the
number of solutions of the congruence, has been derived
p + mk = l(modq), p < x, m < tfx,
the consequence of which is the upper bound for Hk (q, l) - the least Hardy-Littlewood number of the form
p + mk, lying in the arithmetic progression with the difference q and the initial term l. Key words: Hardy-Littlewood numbers, shorth sum of characters, exponential sums with prime numbers.
