CC BY
46
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ф.З.Рахмонов
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПРОБЛЕМЫ ВАРИНГА-ГОЛЬДБАХА СО СДВИНУТЫМИ ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 14.11.2012 г.)
Доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел р +1, I = 1,5.
Ключевые слова: тригонометрическая сумма с простыми числами - асимптотическая формула -арифметическое условие - нули Ь-рядов Дирихле.
В 1938 г. Хуа Ло Ген [1] доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = 5(той 24) является суммой пяти простых квадратов. В работе рассматривается аналог этой задачи, когда простое число р заменяется на его сдвинутое р +1, а именно, доказывается асимптотическая формула для количества таких представлений и найдено арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N . Постановка этой задачи принадлежит профессору В.Н.Чубарикову.
Теорема 1. Для числа 12 (N,1) представлений N суммой пяти квадратов сдвинутых простых чисел р +1, I = 1,5 справедлива асимптотическая формула:
1 ~ 3 / 3 \
7 (ni) = 4"6( N) N 1 + о f N1'
3L5 + 0 L6
L = ln N'
где &(N) - особый ряд абсолютно сходится и справедливо соотношение
\е(N), если N = 0(тоё 4); 10 ^
6(N) = \ ( * ( ); > 2^1 1--.
[ 0, если N = 0(тоё 4), рр ^ (р2{р))
Основу доказательства теоремы 1 составляют публикации автора [2-4], которые в этой работе приведены в виде лемм 1, 2, 3 и соответственно посвящены: • исследованию особого ряда
<»i q
S( N)Е
q=1 Р (q) a=0
(aq )=1
Г V
q ( „(„ ,
a(n +1)2
q j
V (nq )=1 j
с N
q j
Адрес для корреспонденции: Рахмонов Фируз Заруллоевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: rakhmonov.firuz@gmail.com
и нахождению арифметического условия, при выполнении которого этот особый ряд больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N ; • поведению тригонометрической суммы с простыми числами
когда а приближается рациональным числом с малым знаменателем и устанавливается её связь с плотностными теоремами для нулей Ь -рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;
• оценке У2 (а; х,1), когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем. Лемма 1. Справедливо соотношение
(а, д) = 1, \Л\<—, 1 < д <т, дт
1
с(если N = 0(mod 4); 0, если N Ф 0(mod 4),
где с(N) - абсолютная положительная постоянная, зависящая только от N, и
Доказательство см. [2].
Лемма 2. Пусть х > х0, т> х" 8 ехр(1п0,76 х), д < х4 ехр1п0'76 х), Ь > 222(т +1) - произ■
т—
вольное фиксированное положительное число, к - фиксированное натуральное число,
Тогда справедливо равенство:
к)=^к) Щ)р (д,х) )•
2
Доказательство см. [3].
Лемма 3. Пусть х > х0, тогда справедлива оценка
Доказательство см. [4].
Лемма 4. При х > х0 > 0 имеет место оценка
1
| V (а; х,1)| dа
^ х .
Доказательство см. [1].
Доказательство теоремы. Пусть т = N6, 8 = N2, 3Вт = 1. Имеем
1-ш
/2 (N, 1) =| V5 (а; 1)e(-аN)dа,
а 1
а = — + Л, (а, д) = 1, 1 < д <т, \Л\<—. д дт
Через М обозначим те а, для которых д < Q , Q =
З112 . Через т обозначим оставшиеся а. Множество М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество М на множества М и М :
а
а —
д
М = |а: д < Q М = 1 а: д < Q, 8 <
<8!
а
а — д
<
дт
Обозначим через I () , I (М2) и I(т) соответственно интегралы по множествам , М2 и т . Будем иметь
12 (N, 1) = I (М) +1 (М) +1 (т).
Вычисление интеграла I(М)) . По определению интеграла I(М)) , имеем:
д-1 г (п ,— \
ДМ = | V5 - + Л;4ы,1 <
я<q а=0 \л\<8 Vд )
(а ,д )=1
- + Л N
V V
д )
dЛ.
)
5 13 I) 76
В лемме 2 при д < Q , полагая т = 2 , к = 1 и имея в виду, что т = N > ехр З0, ,
У2(а;4^ ,1) - ^^ Г(Л;4М ,1) = О Ш ехр(- 1п4 3)), откуда, с учётом неравенства а5 - Ь5 < 5 \ а - Ь \ (\ а \4 + \ Ь \4), следует, что
имеем
(
V
а + Л;4Ы ,1 V д
Л Т5
2
72 (ад ^л^ ,1)+л,
<РЧя )
Я ехр(- 1п4 З)
(
V
а+л-4ы ,1
V д
^ КЛ;^ ,1) <р(д)
(1)
0
Поэтому
I (M) = S(N, Q) J (N) + (R + R )>/N exp(- ln4 L),
9-1
S( N, Q) =
(2)
725(a, q) -N
q<Q a=0 (- ,q )=1
r(q)
q
J(N) = J y5(X\4n,1)e(-AN)dX
\\<S
q-1 <•
*«ZZ J
q<Q a=0 \A\<ä
(- ,q )=1
f
V
-+\4n ,1 v q
dX,
R «1(N)D(N), D(N) = Z 2 \ 72 (- q)
q<Q -=0 ^4(q)
(a,q )=1
i(N) = J |ka;VN,1)
dX.
\ \<ä
Имея в виду, что состоит из непересекающихся отрезков и, пользуясь леммой 4, находим
q-1
R - 2 2 i
q<Q -=0 \\<s (a Д )=1
V
— „ I—
- + X;V N ,1
v q
dX <
£ V2 (^,1)
da « N.
Оценим Я2. Отрезок интегрирования \2,^[Ы] в интеграле , 1) разобьём на не более & ин-
тервалов вида \ у, 2 у ] и, оценивая каждый из них по величине модуля производного первого порядка, найдем
y(X;4N,1) « L max • min
2<уln y
Отсюда для интеграла 1( N) получим соотношение
4
I(N) « L4 max— • В(у,£),
2<у<jN ln у
\ 1 ^
v
X \ у2
(3)
3
B( у,ä) = min(ä, у-2) + —
У
1
1
min(ä3, у-6) ä
Если 2 < у < 8 172, то шт(8, у 2) = 8 и, следовательно, 5(у, 5) = 8 . Соответственно, если 8172 < у , то шт(8, у~2) = у 2 и В(у, 8) < -4-, поэтому
I(N)«
N
L12 .
4
4
4
Применяя оценку Г2 (а, q) < >/2е2^21п9 Лд (см. [3]), найдем
V2e
D(N)« Е-—г-
q <Q р (q)
« L, R « 1(N)D(N) « N.
Для интеграла 3 (N) справедлива следующая формула
J (N) =
-+о
N2 ln L
т i i 3 Л
4^2N2 f
V ^ j
Вычислим теперь двойную сумму ©(N, 0). Воспользовавшись опять
т>, д) ,
оценкой
имеем
V 1 ^ rs, , f aN )
Е r2(a' q)e —
q>Q P (q) a=0 V q J
(a '9 )=1
<
4le 2^2ln q^/q
q^Q P4(q)
« L-20.
Поэтому
S(N' Q) = S(N) + о Lr20).
Подставляя найденные оценки для и значения 3(N) , ©(N, О) в соотношение (2), найдем
1 ^ 3 / 3 \
7 (M) = 4*6( N) N' + оf N
V L8 j
(4)
Оценка интеграла I(^2) • В лемме 2, полагая т = 2 , к = 1, переходя к оценкам и пользуясь (3), найдем
| V2(a-4N, 1) |« 1 Tl(a'q) 11 7(^4n, 1) | +4Nexp(-ln4 L)
р( q)
«с
y
« L ma^ — • min
2< y <JN ln y
( 1 ) 4N
Л| y2
L6 "
При 6 < y <4n , имея в виду, что | Л |> S, S = N 1L2, найдем
| V (а\у[ы,1) |« L max-1-+ =
| Л| y ln y L6
__l_ vN 4n
S^NL-6 ln fVNL-6) L6 L6 .
Отсюда и из леммы 4 получим
1
I(M) < max V(a; VN, 1)) J|V2(a; VN, 1)4da « Nf• (5)
Оценка интеграла I(m) . Согласно лемме 3, для a G m имеем
V(a; VN, 1)«VN[ö_i + N+ N"M]L8 «^•
Поэтому
1
I(m) < max V2 (a; VN, 1)) f V (a; VN, 1) '
asm I J I
0
Отсюда из (1), (4) и (5) с учётом леммы 1 получим утверждение теоремы.
Поступило 15.11.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hua L.K. - Quart. J. Math. 1938, №9, pp.68-80.
2. Рахмонов Ф.З. - Дискретная математика, 2011, т.23, №4, с. 3-32.
3. Рахмонов Ф.З. - Чебышевский сб., 2011, т.23, №1, с.158-171.
4. Рахмонов Ф.З. - Вестник Моск. ун-та, 2011, №3, с.56-60.
Ф.З.Рамонов
ФОРМУЛАИ АСИМПТОТЙ ДАР ПРОБЛЕМАИ ВАРИНГ-ГОЛДБАХ БО АДАД^ОИ СОДДАИ ЛАЩОНИДАШУДА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои микдори тасвирх,ои адади кифоя калони N дар намуди суммаи пан^то квадратной ададх,ои соддаи лагчонидашудаи p +1, i = 1,5 формулаи асимптота исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: суммаи тригонометрй бо ададуои содда - формулаи асимптотй - шарти арифметики. - нулуои L - цаторуои Дирихле.
4 VN
da « —— •
L6
F.Z.Rakhm onov
AN ASYMPTOTIC FORMULA FOR THE WARING-GOLDBACH PROBLEM
WITH SHIFTED PRIMES
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An asymptotic formula is obtained for the number of representations of sufficiently large natural number N by a sum of five squares shifted primes pi +1, i = (1,5) .
Key words: Exponential sum over primes - asymptotic formula - the arithmetic condition - the zeros of L-Dirichlet series.
