CC BY
32УДК 621.396.1
Е. Б. Григорьев, А. С. Красичков, А. С. Маругин, В. К. Орлов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина)
Оценка точностных характеристик информационно-измерительной системы контроля местоположения персонала при работе в экстремальных условиях1
Рассмотрены потенциальные характеристики точности навигационной системы, достижимые при использовании перспективных способов манипуляции широкополосных сигналов.
Навигационная система, разрешающая способность, граница Крамера-Рао, оценка запаздывания сигнала
В настоящее время задача определения координат подвижных объектов решается главным образом с использованием спутниковых радионавигационных систем (GPS, ГЛОНАСС). Эти системы обладают рядом таких несомненных достоинств, как точность определения координат, общедоступность, непрерывность обслуживания, глобальность зоны покрытия, малые габариты прие-моизмерителей. Однако у них есть и недостаток -система практически не может быть использована потребителями внутри закрытых помещений.
Между тем существует большое количество видов деятельности, требующих постоянного контроля местоположения подвижных (перемещаемых) объектов в пределах заданного ограниченного пространства. В качестве примера можно привести наблюдение за перемещением персонала на важных промышленных и военных объектах с повышенным риском пребывания, а также в местах с ограниченной видимостью [1]. Особенно актуальна эта задача для частей МЧС (спасатели, пожарная охрана), поскольку связана с обеспечением безопасности личного состава.
В связи с этим возникает задача разработки специальных технических средств контроля, обеспечивающих определение координат и идентификацию контролируемых объектов в помещениях повышенной опасности: тоннелях, шахтах, многоэтажных зданиях, подвалах и т. д.
Разработка любой системы передачи информации по радиоканалу является многокритериальной
задачей, требующей при ее решении учета множества противоречивых факторов. Так, стремление к надежному и высокоскоростному информационному обмену лимитируется как внутренними, зависящими от разработчика, так и внешними ограничениями. Конечность энергетического ресурса не допускает прямого, за счет увеличения мощности сигнала, решения задачи, тогда как требования спектральной эффективности не позволяют в полной мере реализовать идеологию широкополосности, превалирующую в современных телекоммуникационных системах. С другой стороны, подверженность радиоканала воздействию помех естественного и искусственного происхождения, а также помех, обусловленных многолучевым распространением собственных сигналов, диктует необходимость принятия адекватных мер по нейтрализации этих паразитных эффектов. Таким образом, как и вообще в инженерном проектировании, приходится искать компромисс между конфликтующими требованиями.
Одним из важнейших показателей качества радионавигационных измерений служит разрешающая способность сигналов, принимаемых потребителями системы.
Разрешающую способность сигналов по времени можно характеризовать с помощью постоянной Вудворда (постоянной разрешения по времени) [2]:
Iю Iю 4
- Е2 I К «12'Е2 1 I* ^)|4 ^'
1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"
на 2009-2013 гг. (гос. контракт № 14.740.11.1092 от 24.05.2011).
© Григорьев Е. Б., Красичков А. С., Маругин А. С., Орлов В. К., 2013 35
где (т) и 5 (/) - корреляционная функция и спектр сигнала 5(?) соответственно: Е = (0) -энергия сигнала. Колебание, обеспечивающее наименьшее среди рассматриваемых значение V, обладает наибольшими возможностями для разрешения сигналов по времени.
Установим нижнюю границу для постоянной разрешения по времени vm¿n при ограничениях на концентрацию энергии сигнала в заданной полосе частот. Введем коэффициент, описывающий долю энергии, сосредоточенной в определенной полосе частот:
ю 2 /ю 2 *•=| р (/)5 (/)|2 / 15 (/)г /,
—ю / —ю
где р (/) - весовая функция, фиксирующая
ограничения на концентрацию энергии. Тогда для
постоянной Вудворда справедливо выражение
2
,2
v=x2 15 (/)Г/
I р(/)|(/)/
р (/)=•
Применив неравенство Буняковского-Шварца к знаменателю последнего соотношения, получим:
/ю
I р2(/у/.
—ю
В частности, при использовании в качестве р (/) прямоугольной весовой функции (что соответствует сосредоточению доли X энергии сигнала в заданной полосе ДЕ)
[1, |/| <ДР/2; [ 0, |/| >ДЕ/2
постоянная Вудворда удовлетворяет соотношению
v>Vmm =Х7. (1)
Для сигнала с бинарной фазовой манипуляцией (ФМ) и длительностью элементарного импульса кодирующей последовательности Тфм постоянная Вудворда определяется как Vфм =(2/3)7фМ, а
для минимальной частотной манипуляции (МЧМ) широкополосных сигналов (ШПС) она составляет
^ЧМ =[(15 + 2^2У(з^2)]ТМЧМ - 1.17ТМЧМ.
При удержании в одной и той же полосе частот ДЕ одинаковой доли энергии X манипули-
10
0.99 ^
Рис. 1
рованных колебаний длительности элементарных дискретов ФМ- и МЧМ-сигналов оказываются существенно различными, причем для значений X, представляющих практический интерес,
ТФМ > ТМЧМ (например, при X = 0.99 ТФМ -- 20/ДЕ, Гмчм -1.2/ДЕ). В результате при одинаковой полосной эффективности МЧМ обеспечивает лучшие характеристики разрешения по времени, чем бинарная ФМ.
На рис. 1 представлены зависимости потерь качества разрешения сигналов по отношению к потенциалу, определенному (1): - для ФМ (кривая 1)
2ДЕТФМ .
^ФМ =
^М
3Х
2
- для МЧМ ШПС (кривая 2) VМЧМ .
(15
^МЧМ =■
+ 2 л2 ))ТМЧМ
1.17 ДЕТ
МЧМ
3 л2 X2
X2
от коэффициента X. Приведенные зависимости подтверждают тот факт, что в достаточно широком диапазоне изменений X использование МЧМ гарантирует лучшее качество разрешения по сравнению с ФМ. Так, при X = 0.99 МЧМ-сигна-лы уступают потенциалу не более чем в 1.43 раза, в то время как ФМ-сигналы - в 13.3 раза.
Следующим весьма важным показателем качества радионавигационных измерений является точность оценивания задержки сигналов, принимаемых потребителями системы. Проанализируем потенциальные характеристики точности оптимального измерителя запаздывания для перспективных способов манипуляции ШПС.
Пусть на входе приемного устройства действует аддитивная смесь полезного сигнала 5 (?) с энергией Е и белого гауссовского шума п (?) с двусторонней спектральной плотностью N^/2:
5
1
ю
у (?) = 5 ( - ?0 ) + п (?),
где ^ е[0, Та ] - задержка сигнала, причем Та -
априори известный интервал.
Известно [2], что в случае высокоточных измерений, представляющих особый интерес для радионавигации, потенциальная точность оценки запаздывания сигнала реализуется при использовании метода максимального правдоподобия. При этом значение оценки ^ максимизирует функцию правдоподобия для принятой реализации:
W [ у (I )| ?0 ] = тах V [ у (()| ^ ].
Г0
Дисперсия такой оценки при больших соотношениях "сигнал/шум" определяется на основании формулы Вудворда [2]
2 N0 1 =—:-2— = ^гт, (2)
2Е||5'0)|2 Л q282
где 5 ' 0) - производная сигнального импульса; q = ^2Е/N0 - отношение "сигнал/шум" после согласованной фильтрации в приемном устройстве; 8 = - среднеквадрати-
ческая ширина спектра сигнала.
Значение среднеквадратической ошибки, задаваемое формулой (2), согласно неравенству Крамера-Рао является оценкой снизу для действительной дисперсии, асимптотически стремящейся к этой границе при неограниченном увеличении отношения "сигнал/шум". При невыполнении последнего условия рассчитанные с помощью (2) значения дисперсии измерения временного положения оказываются меньше реальных. Более того, для сигнальных импульсов 5 ), не являющихся "гладкими" функциями времени (не имеющих хотя бы двух непрерывных производных), сходимость к границе Крамера-Рао не гарантирована. Например, попытка использовать неравенство Крамера-Рао для оценки точности измерения временного положения сигнала с бинарной ФМ приводит к тривиальному итогу 2
Cтt > 0. Такой результат является следствием того, что элементарный импульс манипулирующей последовательности ФМ ШПС представляет собой прямоугольный дискрет, эффективная ширина спектра которого равна бесконечности. Получение тривиальной нулевой границы не означает, что реальная дисперсия измерений может быть сделана сколь угодно малой, а лишь свидетельствует о не-
возможности использования рассмотренной границы в качестве асимптотической меры точности измерения временного положения ФМ-сигналов.
Указанное ограничение применения рассмотренной оценки предопределило поиск более надежных границ дисперсии запаздывания разрывных сигналов. Первый результат получен Сверлингом [3], который показал, что нижняя граница Баранкина для прямоугольного импульса
длительностью Т есть ст^ > Т2/(2q4). Несколько
позже Терентьев [4], вычислив распределение вероятностей временного положения абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра для идеального прямоугольного импульса, нашел плотность распределения вероятности ошибки оценки максимального правдоподобия и ее дисперсию для больших отношений "сигнал/шум":
ст2 = 6.5 Т2/q4. (3)
Для сигнального импульса с фронтами конеч -ной длительности соотношение (3) является нижней границей реальной дисперсии оценки максимального правдоподобия, поскольку естественно предположить, что увеличение длительности фронта сигнального импульса не приводит к повышению точности оценок.
На основе полученного результата построена составная граница среднеквадратической ошибки измерения запаздывания сигнала. Поскольку зависимости (2) и (3) являются оценками снизу для действительного значения дисперсии измерений методом максимального правдоподобия, при фиксированных значениях отношения "сигнал/шум", длительности сигнального импульса Т и средне-квадратической ширины спектра 8 лучшее приближение к реально достижимым значениям обеспечивает та из них, которая дает большее
значение ст^. Другими словами, при отношениях
"сигнал/шум" q < qп = 6.582Т2 формула (3) более точно, чем (2), описывает поведение дисперсии оценок на выходе максимально правдоподобного измерителя запаздывания.
Характерной особенностью упомянутых границ является то, что они отражают поведение дисперсии измерения запаздывания сигнала лишь при значительном превышении сигнала над шумом (больших значениях отношения "сигнал/шум") и ориентированы на использование метода максимального правдоподобия. Весьма полезными при исследовании поведения дисперсии измерения ска-
лярного параметра сигнала (в рассматриваемом случае - задержки) при малых значениях этого отношения оказываются так называемые границы Зива-Закаи [5]. Преимущества этих границ состоят в том, что они применимы в весьма широком диапазоне отношений "сигнал/шум". К тому же они явно учитывают априорную область возможных значений оцениваемого параметра, а также не требуют регулярности и несмещенности оценки.
Построение границы Зива-Закаи базируется на анализе работы идеального различителя двух сигналов произвольной структуры, имеющих различное временное запаздывание. Среднеквад-ратическая ошибка оценки задержки при условии, что последняя принимает значения из интервала (0, Га), в соответствии с данной границей определяется неравенством
1 Та
— |д(Та -Д)Р (Д) йД, (4)
Т я
а? >
0
где Р (Д) - вероятность ошибочного восприятия различающимися двух одинаковых сигналов, запаздывания которых отличаются на величину Д.
На рис. 2 показаны нижние границы достижимой дисперсии измерения временного положения МЧМ ШПС (штриховые линии) и ФМ ШПС (сплошные линии). При выполнении расчетов предполагалось, что в одинаковой полосе частот удерживается 99 % энергий обоих сигналов, т. е. обеспечивается одинаковая полосная эффективность колебаний с разными видами модуляции. При этом длительности элементарных дискретов МЧМ- и ФМ-сигналов составили Тмчм = Г и Тфм = 16.7Г.
Кривая 1, полученная на основании неравенства Крамера-Рао, построена для МЧМ-сигнала со спектральной плотностью мощности
г ( ,) 8Рс?п 1 + 008 (4%/Гп)
чмчм (/) = —2--
* (1 - 1бА?)
2
а?о/ Г 2
, дБ 10 0 -10 -20 -30 -40 -50
где Рс - средняя мощность сигнала; Гп - интервал повторения.
Эффективная ширина спектра такого ШПС
о = п V (4Г2). Граница Крамера-Рао
составляет о = для такого сигнала записывается в виде
а2 >(2Г/п)2 ((д2).
(5)
1 10 Рис. 2
Граница 2 построена для ФМ-сигнала на основании выражения (3). Кривые, характеризующие точностные показатели МЧМ (3, 4) и ФМ ШПС (5, 6), получены численным расчетом по формуле (4) для различной протяженности априорного интервала (Га = 2Г - кривые 3, 5 и Га = 10Г - кривые 4, 6).
Из зависимостей следует, что границы Зива-Закаи с уменьшением отношения "сигнал/шум"
сходятся к значению а2 = ^/12, соответствующему случайной величине, равномерно распределенной на интервале (0, Га). При достаточно
больших отношениях "сигнал/шум" кривая 3, соответствующая МЧМ-сигналу, асимптотически стремится к границе Крамера-Рао, а кривая 4, полученная для ФМ-колебания, дает меньшие значения дисперсии, чем граница Терентьева. Последний факт можно объяснить тем, что либо соотношение (4) не является строгой границей при измерении временного положения прямоугольного импульса, либо метод максимального правдоподобия, с использованием которого получено выражение (3), не оптимален при измерении временного положения разрывных сигналов даже для больших отношений "сигнал/шум" д.
Для определения эффективности построенных границ проведено математическое моделирование процедуры измерения временного положения МЧМ- и ФМ-сигналов. Имитировался измеритель по методу максимального правдоподобия. При моделировании формировались отсчеты кор -реляционной функции заданного сигнала и случайного шумового процесса с соответствующими спектральными характеристиками. В ходе эксперимента фиксировалось положение максимума их суммарной реализации. На основании полученных в процессе моделирования данных определялась оценка дисперсии измерения временного положения сигнала. Объем экспериментальной выборки задавался достаточным для обеспечения доверительного интервала, не превышающего 5 % измеряемого значения дисперсии, при доверительной вероятности 0.95.
Результаты моделирования, отмеченные на рис. 2 квадратными маркерами для МЧМ- и круглыми для ФМ-сигналов, подтвердили возможность использования при определении точностных показателей процедуры измерения запаздывания границ Зива-Закаи (при малых значениях q) и Крамера-Рао (Зива-Закаи) для МЧМ-сигна-лов и границы Терентьева для ФМ-сигналов при высокой достоверности измерений задержки в случае использования максимально правдоподобного устройства оценивания.
Из зависимостей, представленных на рис. 2, следует, что сигналы с МЧМ имеют преимущество по точности измерения запаздывания перед ФМ-колебаниями при отношениях "сигнал/шум", меньших некоторого порогового значения qп. Как следует из соотношений (3) и (5), qп « 66.7. В то же время на практике необходимые точностные характеристики достигаются, как правило, при существенно меньших значениях отношения "сигнал/шум" [6]. Действительно, даже
при фазовых измерениях для получения средне-квадратической ошибки Стф, равной одной сотой
фазового цикла, необходимо получить q = у Стф «16. В этом случае отношение дисперсий измерения запаздывания для МЧМ- и ФМ-сигналов на основании (5) и (3) составляет
2
CT
V > 6.5 (16.7Т)2/д4 и 17.5,
CT
[( 2T )/щ 2
что свидетельствует о значительно большей точности оценивания временного положения МЧМ-сигнала по сравнению с ФМ-сигналом при одинаковой эффективности использования отведенного участка радиочастотного диапазона.
Таким образом, анализ точностных показателей системы на основе математического моделирования показал приоритет использования МЧМ-сигналов в сравнении с ФМ-сигналами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Методы контроля местоположения персонала при работе в экстремальных условиях / А. А. Богданович, А. С. Красичков, А. С. Маругин, В. К. Орлов // Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2012. Вып. 5. С. 9-15.
2. Радиотехнические системы: учебник для студ. вузов / под ред. Ю. М. Казаринова. М.: Академия, 2008. 592 с.
3. Swerling P. Parameter estimation for waveform in additive Gaussian noise // J. of society industrial applied mathematics. 1959. № 7. Р. 154-160.
4. Терентьев А. С. Распределение вероятности временного положения абсолютного максимума на
выходе согласованного фильтра // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 13, № 4. С. 652-657.
5. Ziv J., Zakai M. Some lower bounds on signal parameter estimation // IEEE Trans. on inform. theory. 1969. Vol. IT-15, № 3. P. 386-391.
6. Миночкин А. И., Рудвков В. И., Слюсар В. И. Основы военно-технических исследований. Теория и приложения: в 3 т. Т. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники / ЦНИИ вооружения и военной техники ВС Украины. Киев, 2011. 504 с.
Е. B. Grigoriev, A. S. Krasichkov , A. S. Marugin, V. K. Orlov Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Estimation of the accuracy of information measurement system for personnel navigation control under extreme conditions
Potential accuracy of the navigation system using the perspective wideband signals manipulation methods is considered. Navigation system, resolution, Cramer-Rao bound, signal delay estimation Статья поступила в редакцию 2 сентября 2013 г.
