Потенциальная точность измерения запаздывания сигнала в присутствии многолучевой помехи (часть 1) Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория сигналов

УДК 621.396.96

В. П. Ипатов, А. А. Соколов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" Б. В. Шебшаевич

ОАО "Российский институт радионавигации и времени"

Потенциальная точность измерения запаздывания сигнала в присутствии многолучевой помехи

Получены выражения для потенциальной дисперсии оценки запаздывания навигационного сигнала в присутствии многолучевого компонента, возникающего при однократном отражении. В качестве примера рассмотрен прием типичного для радионавигации дальномерного сигнала на основе чипов прямоугольной формы, прошедшего частотно-избирательный тракт.

Спутниковая радионавигация, ГНСС, потенциальная точность, оценка запаздывания, многолучевая погрешность, граница Крамера-Рао

Погрешности позиционирования по сигналам глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) обусловлены прежде всего ошибками измерения запаздываний принимаемых потребителем дальномерных сигналов (псевдодальностей) между фазовыми центрами антенн потребителя и навигационных спутников. Среди указанных ошибок существенны погрешности, вызываемые многолучевым распространением сигнала на трассе "спутник-потребитель".

В ряде работ по указанной тематике [1]-[3] приведены результаты сравнений точностей оценок, полученных без учета многолучевой помехи и при ее учете в рамках потенциальных границ. В некоторых публикациях сделаны предположения об априорной статистике параметров многолучевой помехи. Хотя пределы точности оценивания параметров сигналов устанавливаются целым рядом границ (Баранкина, Зива-Закаи, Вейса-Вейн-штейна и др. [4]) при дифференцируемости функции правдоподобия по измеряемому параметру фундаментальная роль остается за границей Крамера-Рао [5]. Пример ее определения в задаче совместного измерения запаздывания трапециевидного сигнала и параметров многолучевого отражения дан в [6]. В настоящей статье потенциальная точность измерения запаздывания полезного сигнала проанализирована для произвольной модели сигнала в условиях различной априорной осведомленности о многолучевой помехе. Полученные результаты применены для практически важного примера прямоугольного импульса, прошедшего частотно-селективный тракт приемника.

Граница Крамера-Рао и потенциальная точность измерения запаздывания сигнала, искаженного многолучевой помехой. Пусть в наблюдаемой на отрезке [0, Т ] реализации у (I) присутствует сигнал ^ (I-т) с неизвестным временем прихода (запаздыванием) т в смеси с аддитивным гауссовским шумом и собственной копией, масштабиро-18 © Ипатов В. П., Соколов А. А., Шебшаевич Б. В., 2011

ванной амплитудным множителем а и задержанной относительно оригинала на время 9 (многолучевая помеха моделируется как однократное отражение). Информационным параметром является запаздывание прямого сигнала т, остальные же - если они неизвестны -оказываются мешающими (паразитными), присутствие которых может повлиять на точность оценки т лишь в сторону ухудшения.

Согласно традиционной стратегии максимального правдоподобия возможны два классических способа исключения мешающих параметров [5]. Первый предполагает усреднение по ним функции правдоподобия. Воспользоваться им можно лишь при априорно известной статистике этих параметров. Второй способ состоит в измерении всех неизвестных параметров, в том числе мешающих, с последующим отбрасыванием оценок последних. Для рассмотренной задачи второй способ представляется более естественным, поскольку обосновать универсальную вероятностную модель мешающих параметров (например, задержки отражения 0), как правило, невозможно.

Пренебрегая константами, исчезающими при дифференцировании, получим логарифм функции правдоподобия Ж [у (г)| т, а, 0] относительно параметров т, а, 9 в виде [5]

Т ! Т

I ^

'0 0 N 0

где N0 - односторонняя спектральная плотность мощности шума. Усреднение этого логарифма по реализациям шума после раскрытия скобок приводит к выражению

2 Т , ч , ч . 2а Т

2 1 1 1 2

1п Ж [у (г )| т, а, 9] =-| у (г) [ ^ (г-т ) + а8 (г-т-9)]ёг--_[ [я (г-т ) + а8 (г-т-9)] ёг,

N0 п N0

1п Ж [ у (г )| т, а, 9]=— | л (г-т0) л (г-т) ёг+— | л (г-т0) л (г-т-9) ёг +

N0 0 N0 0

+|л(г-т0 -90)л(г-т)ёг+|л(г-т0 -90)л(г-т-9)ёг-

N0 0 ^ 0

1 Т а2 т 2а Т --I" л2 (г-т) ёг--Г л2 (г-т-9) ёг--Г л (г-т) л (г-т-9) ёг,

N0 0 N0 0 N0 0

где верхняя горизонтальная черта обозначает статистическое усреднение; Т0, а0 и 00 -истинные значения соответствующих параметров. Введя обозначения энергии сигнала

Е = | ^2 (г)ёг, отношения "сигнал/шум" q = ^2Е/N0 и нормированной автокорреляци-

—да

1 да

онной функции (АКФ) сигнала р (т) = — | £ (г) ^ (г -т)ёг, предыдущее выражение можно

Е -да

записать в виде

1п Ж [у (г)| т, а, 9] = q2 [р (т-Т0 ) + ар (т-т0 + 9) + а0Р (т-Т0-90 ) + + а0ар ( т-т0 +9-90 ) - ар ( 9 )]- 0.5 (1 + а 2 ) q 2. Исследуем три возможных сценария измерения запаздывания т, различающихся полнотой априорных сведений о значениях мешающих параметров - задержки 9 и амплитуды отражения а. В первом сценарии предположим, что параметры отражения из-

19

вестны априори: a = a0, 0 = 0о, а оценивается только общее запаздывание т. Тогда согласно границе Крамера-Рао дисперсия vari {т} оценки т параметра т в режиме высокой точности может быть рассчитана как [8]

vari Ш « (Фтт ) \ q >> 1,

где

фтт =

5 2ln W [ y (t)

ат2

= -q

(i + a0 ) p'( 0) + 2aop'' ( 0o )

T=To

Подставив (2) в (1), получим var1 {т}

, q >> 1.

(1)

(2)

(3)

q2p" (0) [1 + a2 + 2a0 p" (0o )/p" (0)

Мерой влияния отражения на потенциальную точность оценки запаздывания сигнала т служит отношение У1 дисперсий т, соответственно, при наличии и отсутствии отражения. Последняя дисперсия получается из (3) подстановкой a0 = 0, что приводит к формуле Вудворда

var0 Ш *-[qV (0)] 1, q >> 1. (4)

Тогда указанное отношение записывается в виде

г ~|-1

Y1 = var1 {т}/var0 {т} + a02 + 2a0 p' (00 )/p'' (0)J . (5)

Во втором случае будем считать фиксированной лишь интенсивность отражения a = a0, ат и 0 - измерямыми. При этом в дополнение к уже вычисленной второй производной логарифма функции правдоподобия по т потребуются его вторая производная по 0:

Фай =-

д 2ln W [ y (t )| т, 0]

д02

= —q 2aoP'' ( 0 )

Т = Т0

(6)

и вторая смешанная производная по т и 0:

d2ln W [ y (t )| т, 0'

фт0 = Ф 0т =

0т

дтд0

T=To

-q2ao [aoP (0) + p' (0o )].

(7)

Результаты (2) и (6) следует использовать в качестве диагональных, а (7) - внедиаго-нальных элементов матрицы Фишера Ф с размерами 2 х 2, обращение которой даст корреляционную матрицу совместных оценок т и 0 измеряемых параметров, содержащую в главной диагонали их дисперсии:

Фай т Ф

var

{т}

vari

тт

фттф00 -ФУ фттф00 -ф20

q >> 1.

В частности, первое из соотношений (8) после использования (2), (6) и (7) дает

1

var2 {Т}

q 2р'' ( 0 ){1 -[р' ( 0o )/ р' ( 0 )] 2}

q >> 1.

(8)

(9)

т

1

0

Отношение этой дисперсии к дисперсии, определенной формулой Вудворда (4), дает показатель влияния отражения с априорно неизвестной задержкой на точность оценки запаздывания сигнала т:

Y 2

var2 {т}

1

2

(10)

уаго {т} !-[р.(0оур„(о)]

Как следует из выражения (10), потери у 2 не зависят от амплитуды отражения «о-

В заключение рассмотрим наиболее близкую к реальности ситуацию, когда ни один из мешающих параметров априори не известен, так что 9 и а подлежат оценке наряду с т. При этом к уже вычисленным элементам матрицы Фишера с размерами 3 х 3 добавляются еще три:

®aa =

a2in w [ y (t )| т, 9"

da

T = To 0=00 a=ao

q2;

(11)

®xa = Ф ax =

д 2ln W [ y (t) т, 9~

дтдй.

0

0=0o a=ao

= -q 2p' (9o);

(12)

®0a = Ф n0 = -

a0

d2ln W [ y (t) т, 9"

d9da

= o.

T = To

a=ao

Для оценки рассматриваемых потерь необходим верхний диагональный элемент обращенной матрицы Фишера, асимптотически равный искомой дисперсии оценки т :

var3 {Т}

ф00фaa

Ф2a Ф£

Фт0Фaa

q >> 1,

где уже учтено обращение в ноль Фда. Подставив (11) и (12) в (13), получим

1

var3 {Т}

д 2р'' (0 ){1 + [р' (9о )] 7 р'' (0 )-[р' (9о )] 7 [р'' (0 )]} что для потерь из-за необходимости измерения мешающих параметров даст

уагз {т} 1

2

q >> 1,

Y3

(13)

(14)

(15)

varo{Т} 1+ [Р' (6o)] 7Р" (o) - [Р' (0o)] 2 /[ Р' (o)]'

И в этом случае амплитуда отражения не влияет на дисперсию оценки информационного параметра т.

Оценка запаздывания профильтрованного прямоугольного импульса. Пусть наблюдаемым сигналом является прямоугольный видеоимпульс амплитуды А длительностью А, пропущенный через идеальный фильтр нижних частот с полосой пропускания W. Спектр профильтрованного импульса

г Ад (sin п/д/п/д ), |f| < W;

f ) =

o, \f\>W.

o

Его нормированная АКФ р (т ) =

\2

(ЛА)2 W ( sin f А

Ew -W V nf ^ .

cos ( 2nf т ) df,

(16)

где Ew = (ЛА)2 J

W f sin nf А

WV

nf А

df - энергия прямоугольного импульса в частотном окне

[-W, W ].

Для вычисления дисперсий (3) и (9) найдем вторую производную АКФ (16):

4 Л

2 W

р' (т) =--J sin2 (nf А) cos (2nf т) df =

2 Л

E

E

sin2nWT sin2nW (А-т) sin2nW(A + T)

пт

2п ( А-т )

2п ( А + т)

-w -W ^w Рассмотрим фильтр, полоса пропускания которого охватывает только целое число лепестков спектра прямоугольного импульса: W = к/ А, к = 1, 2, ____ Тогда последнее соотношение упростится:

4W sin (2nWт ) 1

Р

'' (т ) = -

(17)

Y wA 2nWT 1 - ( т/А )2'

где уw = Ew/E - энергетические потери при ограничении спектра сигнала полосой W; 2

E Л - энергия исходного (не ограниченного по полосе) прямоугольного видеоимпульса. В частности

р' ( 0) = - 4W/ Y wA. (18)

Зависимости р" (т)/р" (0) от т для к = 1, 2, 10 представлены рис. 1. Подставив (18) в формулу Вудворда (4) и учтя, что в рассматриваемом случае в ней q = qw = ^2Ew /No, получим дисперсию оценки запаздывания ограниченного по полосе прямоугольного импульса

var0 (т) «л/ 4qoW, q0 >> 1, (19)

где q0 = 2E0IN0 - отношение "сигнал/шум"

после согласованной фильтрации исходного прямоугольного импульса, не ограниченного по полосе. Стоит заметить попутно, что при фиксации полосы W уменьшение длительности прямоугольного импульса А в n раз снизит среднеквадратическую ошибку оценки т в

4ñ раз, а не в n, как при импульсе со скругленными фронтами без ограничения полосы. Найдем дисперсию оценки запаздывания при полной априорной определенности параметров отражения. Используя (17) и (18) в (3), получим дисперсию оценки запаздывания сигнала:

Д

р' ( т)

р' (0) 0.5 \\ к = 1 л V,

0

- 0.5 - 10 N

- 1

\ \\0

т/А

Рис. 1

var: {Т}

4q2W {1 + üq + 2a0 [sin (2п W90 )/2пW90 ] [A2/(Д2 - 9q )]}

, q >> 1.

В отсутствие отражения (а0 = 0) дисперсия оценки времени прихода профильтрованного импульса совпадет с (19). При наличии отражения показатель (5) его влияния на точность измерения т

vari Ш 1

Yl =

Var0 {Т} 1 + a2 + 2ao sin2nk(0o/A)

1

(20)

2пк (е^д) 1 - (е0/д)2

где учтена подстановка Ж = к/Д, к = 1, 2, ____ Из полученного соотношения следует, что

при ао > 0 присутствие детерминированного отраженного сигнала улучшает точность измерения общего запаздывания т. Этот эффект объясняется увеличением энергии результирующего сигнала в сочетании с тем, что детерминированная помеха содержит такую же информацию о задержке, как и "прямой" сигнал. Поэтому рассматривая возможные потери точности определения положения импульса из-за многолучевого распространения, положим в (20) ао < 0. На рис. 2 приведены зависимости параметра У1 от задержки многолучевой

помехи 00 для полос фильтра Ж = 1/Д, 2/Д, 10/Д интенсивностей помехи а0 = -3, -6, -10 дБ. При близкой к нулю задержке отраженного сигнала его вычитание из прямого сигнала уменьшает суммарную энергию полезного эффекта в (1 - а)2 раз, увеличивая во столько же раз дисперсию оценки т. С ростом 00 влияние отраженного сигнала на суммарную энергию снижается и при некоторой задержке полностью компенсируется появлением новых перепадов в результирующем сигнале, что приводит к выигрышу в точности оценки т по сравнению с отсутствием отражения. При запаздывании отраженного сигнала, большем длительности импульса, положение оценивается по совокупности неперекрывающихся

сигналов, энергии которых соотносятся как 1/а0, что равносильно измерениям по сигналу с энергией, увеличенной в (1 + ад) раз и такому же снижению дисперсии оценки т.

Y1 8

4 0

a0 = -3 дБ W = 1/А

- 6 - 10

0.5

00/ а

Y1 8 1 4

0

a0 = -3 дБ W = 2/ А

- 10 -А—..........

Y1 8 4

/

a0 =-3 дБ W = 10/ А

0.5 1 Рис. 2

00/ а

0

- 6 - 10 IU»¿—i—

0.5

1

00/а

При неизвестной задержке отражения, учтя потери в точности измерения т, связанные с необходимостью одновременной оценки априори неизвестной задержки отражения 9, из равенств (17), (18) получим оценку в виде

Y 2

1 -

sin 2пк ( 90/ Д )

1

2*к(90/Д) 1-(90/д)2

-1

(21)

При 00 ^ 0 значение у неограниченно возрастает, так как при этом прямой и отраженный сигналы неразрешимы (рис. 3). В то же время минимальное значение задержки от-

1

2

4.5

2.5

0.5

-I

У2 | | Ж = 1/А ражения 0от1п, при котором проигрыш в

потенциальной точности измерения т падает ниже 3 дБ, быстро уменьшается по мере расширения полосы фильтра Ж = к/ А. Так, если при ограничении спектра сигнала первым боковым лепестком (Ж = 1/ А) это зна-1.05 е0/А чение составляет 0от1п «А/4, то с расширением Ж до 2/А оно сокращается примерно до А/10, а при расширении до 10/А - до А/50. Отметим, что в точке 0о =Л у = 4/3 при любой полосе Ж.

Для случая полной априорной неопределенности параметров отражения [см. (14), (15)] найдем первую производную АКФ (16):

Ж = 1А 2/ А

10/ А

0.35

0.7 Рис. 3

У (т ) = -

4а2д ж

Е

1 в1п2 (п/ Д)

( 2п/ т )

™ 0

п/ Д

4/,

откуда после ряда преобразований получим

где

р' (т) = ^ [2кп (1 + т/А)] - [2кп (1 - т/А)] - 2Б1 (2кп т/А)}, ПУ

у w = EW|E = (2/ П ) (2пЖА ) = (2/ п ) Б1(2кп);

(22)

(23)

•БШI

(х) = |-4 - интегральный синус; к = Ж А.

Сравнив (15) с (10), можно видеть, что потери в точности оценки т в рассматриваемом сценарии можно получить из (21), добавив к разности в фигурных скобках слагаемое

[р' (00 )] 7р' (0):

У3

1 , [Р' (90 )]2

Р' (0)

Бт2лк ( 90/ А )

2лк (%/А) 1 - (00/А)

-1

(24)

где согласно (22) и (18)

[р' (е0 )]2 р' (0)

1

4п2куw

[2кп(1+ 60/Д)]-[2кп(1 -в0/Д)]-2Б1 [2кп(в0/Д)]} . (25)

Зависимости потерь дисперсии оценки т в условиях полной неосведомленности о параметрах отражения, рассчитанные согласно (23)-(25), приведены на рис. 4. Сравнение их с предыдущими зависимостями (рис. 3) указывает на довольно умеренное и быстро снижающееся с расширением полосы фильтра Ж влияние на точность оценки т незнания амплитуды отражения.

В статье получены аналитические выражения для потенциальных границ точности оценки параметра сигнала в условиях многолучевости. В качестве примера их применения рас-24

2

1

смотрен случаи стандартной для спутниковой радионавигационной системы (СРНС) модели прямоугольного сигнального импульса, ограниченного полосой приемного тракта приемника. На основе проделанного анализа можно выделить следующие моменты:

• Влияние отражения на точность

0.5

оценки запаздывания т прямого сигнала 0

0.35

0.7 Рис. 4

1.05 е0/ А

зависит в первую очередь от значения вто- ги°. 4

рой производной АКФ сигнала в точке, соответствующей задержке отражения. При полной априорной неопределенности относительно параметров отражения дополнительным фактором снижения точности оценки т оказывается значение первой производной АКФ в той же точке.

• Мощность многолучевой компоненты влияет на точность оценки т только при полной детерминированности относительной задержки 9 и амплитуды a отражения.

• С расширением полосы частотно-селективного тракта приемника влияние многолучевого распространения на точность измерений ослабевает. Так, для прямоугольного чипа СРНС ГЛОНАСС при полосе W = 0.5 МГц проигрыш в потенциальной точности измерения т, равный 3 дБ (относительно энергии), имеет место при задержках многолучевого сигнала относительно прямого, соответствующих разности хода прямого и отраженного лучей более до 220 м, при W = 1 МГц - более 80 м, а при W = 5 МГц эта величина падает примерно до 14 м.

1. Lohan E. S., Hamila R., Renfors M. Cramer-Rao bound for multipath time delays in DS-CDMA systems // Proc. of WPMC'01, Sept. 2001. Vol. 2. P. 1043-1046.

2. Botteron C., Host-Madsen A. Cramer-Rao bounds for the estimation of multipath parameters and mobiles' positions in asynchronous DS-CDMA systems // IEEE Trans. inform. theory. 2004. Vol. IT-52, № 4. P. 862-875.

3. Weil L. Multipath mitigation: how good can it get with new signals? // GPS world. 2003. № 6. P. 106-113.

4. Ziv J., Zakai M. Some lower bounds on signal parameter estimation // IEEE Trans. inform. theory. 1969. Vol. IT-15, № 3. P. 386-391.

5. Радиотехнические системы: учебник для вузов / Ю. П. Гришин, В. П., Ипатов, Ю. М. Казаринов и др.; под ред. Ю. М. Казаринова. М.: Высш. шк., 1990. 495 с.

6. Харисов В. Н., Перов А. И. Глобальная спутниковая радионавигационная система. Изд. 4-е, перераб. и доп. М.: Радиотехника, 2010. 800 c.

V. P. Ipatov, A. A. Sokolov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" B. V. Shebshaevich

Russian institute of radionavigation and time Ltd.

Potential accuracy of signal delay estimation in presence of multipath

Satellite navigation system, GNSS, potential accuracy, delay estimate, multipath error, Cramer-Rao bound Статья поступила в редакцию 14 апреля 2010 г.

Список литературы

Expressions for potential variance of navigation signal's delay estimation in presence of multipath, modeled by single rejection, are developed. As example of the results' application scenario of receiving typical radio navigation signal based on rectangular chips filtered by low pass filter is considered.