Система кодовой синхронизации приемника периодического шумоподобного сигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

W

Теория сигналов

УДК 612.394.662

В. Н. Бондаренко

Политехнический институт Сибирского федерального университета

Система кодовой синхронизации приемника периодического шумоподобного сигнала

Предложены квазиоптимальные алгоритмы временного дискриминирования для системы слежения за временем запаздывания периодического шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией. Проанализирована помехоустойчивость, приведены результаты статистического моделирования рассмотренных алгоритмов.

Дискриминатор, шумоподобный сигнал, алгоритм, минимальная частотная манипуляция, помехоустойчивость

Одной из основных проблем при приеме шумоподобных сигналов (ШПС) является осуществление кодовой синхронизации, заключающейся в формировании точной копии комплексной огибающей принимаемого ШПС. Кодовой синхронизации, как правило, предшествует поиск ШПС по времени запаздывания с точностью, достаточной для захвата сигнала системой синхронизации. В свою очередь, к точности системы кодовой синхронизации предъявляются весьма жесткие требования, так как она во многом определяет помехоустойчивость приема ШПС. Наиболее специфическим элементом системы кодовой синхронизации является дискриминатор, структура и характеристики которого определяются видом модуляции и параметрами ШПС.

В настоящей статье представлен анализ помехоустойчивости алгоритмов временного дискриминирования для системы кодовой синхронизации приемника периодического ШПС с минимальной частотной манипуляцией (МЧМ).

Принимаемый сигнал может быть представлен в виде

^ (г, т) = Яе {3 (г - т)ехр [] (2/ - ф)]}, (1)

где 3 (г) = В (г) ехр [(г)] - комплексная огибающая ШПС с МЧМ; т - время запаздывания; /о - средняя частота; ф - начальная фаза (амплитуда полагается равной единице);

В (г) - двоичное сообщение (длительность информационного символа, принимающего

г

значения ±1, равна Тп); © (г) = — ш (?)ёг' - функция, определяющая закон угловой мо-

2Т о

N-1

; ё(¿0 = £ ёкгей (г'- кТ) - двоичныи сигнал, соответствующий кодовой псев-к=0

© Бондаренко В. Н., 2008

3

дослучайной последовательности (ПСП) ё0, ..., _1, элементы которой принимают значения ±1; N - длина ПСП, определяющая период Тп = ЫТ повторения ШПС: гей(•) - прямоугольный импульс единичной амплитуды длительностью Т.

Структура оптимального по критерию максимального правдоподобия алгоритма когерентного временного дискриминирования применительно к задаче приема сигнала (1) на фоне аддитивного гауссовского "белого" шума определена в работе [1]:

¿д opt _ th

Va2 у

£ d (ti - т) [XiQ (ti - т) + ytI (ti - т)] ; (2)

i=1

M

zi = zi(T)=Z [ xiI (ti-T)- yQ (ti-T)], i=1

где a = Ыо/2ТД - дисперсия дискретного "белого" гауссовского шума (N0/2 - двухсторонняя спектральная плотность мощности шума); M = TnjТд - целое; ti = iTg, i = 1, 2, ..., M - отсчеты наблюдений на квадратурных входах когерентного дискриминатора ШПС с МЧМ; т - оценка времени запаздывания на предыдущем шаге фильтрации (на первом шаге - априорное значение т0) при ti е [0,Тп ]; xi = x (tt) и yi = y (ti);

I (ti) = cos © (ti) и Q (ti) = sin © (tt) - отсчеты квадратурных опорных сигналов.

В общем случае алгоритм формирования сигнала ошибки (2) когерентным дискриминатором можно представить в виде

(т) = f (zi) Zopt (т), (3)

где f (zi) - функция, определяющая вид характеристики функционального преобразователя, используемого для снятия цифровой модуляции ШПС; zopt (т) - корреляция, определяющая сигнал ошибки оптимального дискриминатора в отсутствие цифровой модуляции (при D (t) = const = 1):

M

Zopt(т) = -£d(ti -т)[XiQ(ti -т) + yiI(ti -т)] 1. (4)

i=1

Структура алгоритма (3), (4) поясняется схемой на рис. 1, а, где х, Е и f (•) обозначают перемножитель, накапливающий сумматор (опрашиваемый в момент t = Тп) и функциональный преобразователь с характеристикой f О соответственно.

Другой вариант реализации когерентного алгоритма временного дискриминирования (двухканальный когерентный дискриминатор) поясняется схемой на рис. 1, б. Алгоритм формирования сигнала ошибки в этом случае имеет тот же вид, что и для однока-

1 В целях простоты записи в (4) для временного рассогласования используется то же обозначение т, что и

для времени запаздывания ШПС.

yi

40

Qi

1...M 7

е

- 1...M

Е

Z1

f (•)

1 Qi (А)

I.i (-A)0

+ __7

Qi(-A)

+ 1...M

Е

Z1

f (•)

'Qi

Рис. 1

нального варианта (3), однако корреляция г (т), определяющая сигнал ошибки в отсутствие цифровой модуляции ШПС, вычисляется иначе:

M

Z (т ) = Е{ X [ I {fi-т + А ) -1 {ti-т-А)]-у. [Q {ti-т + А ) - Q (ti-т-А)]}.

(5)

i=1

Опорные квадратурные сигналы 10 -т±Д) и Q 0 -т±Д) в (5) являются, соответственно, опережающей на Д и отстающей на Д копиями синхронных опорных квадратурных сигналов, используемых в алгоритме (4).

В случае некогерентного дискриминатора сигнал ошибки формируется в соответствии со следующим алгоритмом

7д (т ) = 2 (т + Д ) - 7 (т-Д );

2 ( т±Д ) = ^ г? ( т±Д ) + г? ( т±Д );

м

г!(т±Д ) = ^ V (Ц-т±Д) - у£ (Ц-т±Д); (6)

г=1

м

г? (т±Д ) = £ (Ц-т±Д ) + уг1 (^-т±Д ),

г =1

где г! (т ± Д) и г? (т ± Д) - квадратурные составляющие корреляции в каналах с опережающим (знак "+") и отстающим (знак "-") опорными сигналами.

Проведем анализ помехоустойчивости алгоритмов временного дискриминирования (3)-(6), отличающихся способом формирования сигнала ошибки. В качестве критерия по-

2/2

мехоустойчивости рассматриваемых алгоритмов используется параметр ц = аэ оэ ^ ,

X

+

а

б

характеризующий увеличение дисперсии эквивалентных временных флуктуаций а? по сравнению с дисперсией для оптимального временного дискриминатора а? ^. Дисперсия эквивалентных временных флуктуаций определяется как

2 а? Г ад(0) ]2

а?=-д=\, —— I, (7)

кд

где ст? - значение флуктуационной характеристики (ФХ) а? (т) при т = 0; кд - крутизна

' ад(0)

(а 7д (т)/дт) т=0

дискриминационной характеристики (ДХ) (т) (черта сверху означает статистическое усреднение).

Использовав (4) и перейдя к непрерывному времени наблюдения для ДХ оптимального (в отсутствие цифровой модуляции) алгоритма, получим

_ 1 'п

( т) =--J d (t -т ) [ х (t) Q (t-т ) + y (t) I (t-T )] dt =

Tg 0

T

1

- Jd(t-t)[i(t)Q(t-t)-Q(t)I(t-t)]dt. (8)

T

Tg o

Учитывая, что

d (t - т ) Q (t - т ) = - (2T/ n) [ di (t - т )^т]; d (t - т ) I (t - т ) = (2T/ n) [ dQ (t - т V dt], выражение (8) преобразуем к виду

T

2T 1 T

zopt (т ) =--J {i (t) [ di (t -T У dt ] + Q (t) [ dQ (t -T V dt ]} dt. (9)

п 7Д o

Поменяв в (9) операции дифференцирования и интегрирования местами, получим 2T 1 d

ZOpt (Тгр ,

л Уд dт

T

2T

= — M [dR (т )/ dT], (10) л

J [ I (t) I (t -т ^ Q (t) Q (t- т )] di

l o

где R (т) - модуль нормированной периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) сигнала (1), определяемый выражением [2]:

R(т) = (1-M/2T)cos(пт/2T) + (1/п)sin(nW/2T); |т|<2T . (11)

Подставив (11) в (10) и выполнив дифференцирование, получим

zopt (т) = -M(1 -|т|/2T)sin(гсс/2T); |т|< 2T . (12)

Крутизна ДХ (10), (12) определится как

кд opt = (2T¡п)MR" (0) = -M (п/2T), (13)

где R" (0) = - (я/2T) - вторая производная ПАКФ (11) в точке т = 0 .

Дисперсия флуктуаций сигнала ошибки (4) при т = 0 определится как

°д opt _ zopt (т)

_ J_

т=0~ T 2

д

11

J d (t) [ x0 (t) Q (t) + y0 (t)I (t)] dt

(14)

где х0 Ь) и уо (^) - шумовые компоненты квадратурных составляющих входного сигнала.

Заменив в (14) квадрат интеграла двойным интегралом и изменив порядок выполнения операций статистического усреднения и интегрирования, получим

T T

1 11 11 _

а2 0pt = —2 í íd(t)d(f)[x0(t)Q(t) + y0(t)I(t)][x0(f)Q(f) + y0(f)I(t')]dtdt' =

T

0 0

T

N0 Jn

2 }[12 (t) + Q2 (t)]dt = M(N0 /2ТД) = Ma2. (15)

2Тд 0

В правой части (15) учтено, что квадратурные сигналы I (t) и Q (t) ортогональны на интервале [0, Тп ].

Используя (7), (13) и (15), найдем дисперсию эквивалентных временных флуктуаций:

opt = ^ opt/opt = ( 2Т/ Щ )2, (16)

где q -y[M/ a - отношение "сигнал/шум" в полосе частот информационного символа, связанное с отношением "сигнал/шум" в полосе ШПС qo =yfm/ст соотношением q = \[Nqo (m = Т/Тд - целое).

Формула (16) совпадает с известным результатом для дисперсии оценки Т максимального правдоподобия a2 0pt = 1/(2nF3q)2 , где F3 = 1/4Т - эффективная ширина спектра комплексной огибающей ШПС с МЧМ.

Оценим помехоустойчивость алгоритма (3) при произвольной характеристике f (х) функционального преобразователя (за исключением требования ее нечетности). Можно показать, что корреляции z^ и zopt, формируемые в соответствии с (2) и (4), являются независимыми случайными величинами. Поскольку нелинейное преобразование f (z^) безынерционно, то случайные величины f (z^) и z0pt могут также полагаться независимыми. С учетом изложенного представим ДХ для алгоритма (3) в виде

1д (т) = mf (т ) zopt (т ), (17)

_ 1 да

где mf (т) = f \_zi (т)] = -^= [ f [х + q (т)] exp (-х2Д)dx - математическое ожидание

\2n

-да

случайной величины f ( z^) ; q ( т) = qR (т ) . Крутизна ДХ (17)

кд = m fkR opt = -m fM (V2Т), (18)

где mf = mf (т) .

J J 1т=0

2

0

Дисперсия флуктуаций сигнала ошибки (3) при т = 0 определяется как

I

т=0

= Z2 (т )

= Mf^l opt = MfMo2, (19)

да

где Mf = f2 [zi (т)] т_о = ,1— J f2 (x + q) exp (-x2/2) dx - второй начальный момент

—да

случайной величины f (zx) при т = 0.

Используя (7), (18), (19), для дисперсии эквивалентных временных флуктуаций запишем:

а2 = (Mflmf ) а2 opt opt. (20)

Параметр п зависит от вида характеристики f (z1) и отношения "сигнал/шум" q вследствие нелинейности алгоритма (3):

• при fi (zi) = th(zija2 ), что соответствует оптимальному алгоритму (2) при наличии цифровой модуляции ШПС, проигрыш ni < 0.5 дБ при q > 5 дБ (результат получен с использованием численного интегрирования для определения моментов mf и Mf);

• при f2 (zi) = sign (zi) для моментов имеем mf = 2Ф (q) -1 и Mf = 1, где Ф(•) - интеграл вероятности, а проигрыш П2 = i/ [2Ф (q) -1]2 < 0.65 дБ при q > 5 дБ;

• при f3 (zi) = zi моменты определяются как mf = zi; Mf = (zi)2 + Ma2, а проигрыш

Пз = 1 + i/q2 < 11 дБ при q > 5 дБ .

На рис. 2, а и б представлены нормированные ДХ и ФХ рассмотренных алгоритмов при q = 5 дБ, полученные методом статистического моделирования при числе испытаний

106 . Кривые 1 соответствуют оптимальному алгоритму (4) при отсутствии цифровой модуляции ШПС, а кривые 2-4 - алгоритму (3) при f (zi) = f (zi); i = 1, 2, 3 .

На рис. 2, в приведены зависимости среднеквадратического отклонения аэ эквивалентных временных флуктуаций для рассмотренных алгоритмов от отношения "сигнал/шум"

~ ~ 2

q. Параметры дискриминатора кд и <гд определялись по результатам статистического

моделирования для ШПС с параметрами N = 214 -1, Тп = 40 мс, Т = Тп/N — 2.44 мкс. Зависимости, представленные на рис. 2, г, характеризуют проигрыш п в помехоустойчивости квазиоптимальных алгоритмов по сравнению с оптимальным алгоритмом (2): кривая 1 соответствует алгоритму (3) с решающей функцией f2 (zi) = sign (zi), а кривая 2 - этому

же алгоритму с характеристикой f3 (zi) = zi.

Анализ результатов моделирования свидетельствует о достаточно точном их совпадении с аналитическими зависимостями, полученными с использованием соответствующих формул: (12) и (17) для ДХ, (15), (19) для ФХ, (16) и (20) для дисперсии аэ (расхож-

Zg

0.4

У / 0.3 —

0.2 \---

0.1 1 1

стэ, мкс

2.0 1.5 1.0 -0.5 -

\

1.0 12 3 4

г-». '/^•у:, //

0.9 -

0.8 Г"-—

5 5.5 6

0

10

15

q, дБ

- 2

П, дБ

0.6 0.4 0.2

0

- 1

0 б

т/ T

q, дБ

Рис. 2

дение результатов составляет менее 5 %). С точки зрения минимизации аппаратурных затрат при реализации наиболее перспективным является алгоритм со знаковой решающей функцией: проигрыш в помехоустойчивости по сравнению с оптимальным алгоритмом (при наличии цифровой модуляции ШПС) не превышает 0.15 дБ при пороговом отношении "сигнал/шум" ^тш = 5 дБ.

Обратимся теперь к анализу двухканального когерентного дискриминатора. Нетрудно показать, что ДХ для алгоритма (5) имеет вид

z (т) = M [R (т + Д) - R (т-Д)]. Подставив (11) в (21), после несложных преобразований находим:

z (т ) = -2M {(1 - Д/ 2T) sin ( лД/ 2T) sin (лт/ 2T) -

- cos ( лД/2T) [(т/2T) cos (лт/2T) - (1/л) sin ( лт/2T)]}; |т| < Д. Крутизна ДХ (22)

кд = -2M (л/2T )(1 -Д/ 2T ) sin (лД/ 2T ). Дисперсия флуктуации сигнала ошибки (5) при т = 0

(21)

(22) (23)

2 2 ( \ ад = z Ы

_ 1

2

J (х0 (t) [I (t + Д) -I (t - Д)] - y0 (t) [Q (t + Д) - Q (t - Д)]} dt

V 0

Как и (14), последнее выражение записано в предположении, что наблюдениями является непрерывная реализация на интервале [0, Тп ] с квадратурными компонентами х (^) и у (^).

1

а

5

в

г

Выполнив преобразования, аналогичные тем, что были использованы при выводе формулы (15), найдем:

ст? = 2ст? [1 - R (2Д)]

(24)

2 2

где ст2 = Мст - дисперсия корреляции на выходе каждого из каналов дискриминатора. Используя (7), (23), (24), найдем дисперсию эквивалентных временных флуктуаций 2 2 2

стэ = n (2T/лд) = паэ opt и величину проигрыша

1 - R ( 2Д )

Л -

2 (1 2T)2sin2 (лД/2T)

(25)

При А ^ 0 в (25) имеем неопределенность вида "0/0", после раскрытия которой получим lim п = 1, что указывает на асимптотическую оптимальность алгоритма (5) при Д^0

А ^ 0. При Д = Т/2, что соответствует значению ПАКФ R (Т/2) - 0.78, из (5) найдем

П = 1.21 (0.8 дБ) . При значениях Д = т/^2 [r(тД/2) = 0.5] и Д = Т [R(Т) = 1/л] имеем

П = л/2 (1.5 дБ) и п = 2 (3 дБ) соответственно.

Влияние цифровой модуляции ШПС на помехоустойчивость двухканального дискриминатора проявляется так же, как и в случае одноканального дискриминатора. Это позволяет использовать результаты, полученные ранее для одноканального когерентного дискриминатора. В частности проигрыш в помехоустойчивости, обусловленный заменой оптимальной решающей функции вида th (x) на знаковую функцию, не превышает 0.15 дБ при q > 5 дБ .

Оценим помехоустойчивость некогерентного дискриминатора. При q ^ да (шум отсутствует) ДХ алгоритма (6) совпадает с ДХ двухканального когерентного дискриминатора (5), что позволяет использовать формулу (25) для определения нижней границы при оценке проигрыша в помехоустойчивости по сравнению с оптимальным дискриминатором (в частности, при Д = Т/ 2 проигрыш составляет около 0.8 дБ).

При произвольных значениях q получение аналитических результатов для диспер-2

сии стэ наталкивается на серьезные трудности вследствие нелинейности алгоритма (6) и зависимости параметров кд и ст? от отношения "сигнал/шум".

q = 20 дБ 10

Zg

2

- 1

(°э/T)

0.2 0.1

5 10 15 q, дБ

б

Рис. 3

П, дБ

2.0 1.5

1.0

0.5

10 15 q, дБ

в

0

5

а

На рис. 3, а представлены ДХ некогерентного дискриминатора при Д = Т/2 и q = 20, 10 и 5 дБ, полученные методом статистического моделирования при усреднении по

106 реализациям. Зависимость нормированной дисперсии а2 от отношения "сигнал/шум" q приведена на рис. 3, б. Проигрыш в помехоустойчивости некогерентного алгоритма по сравнению с оптимальным когерентным алгоритмом (4) по результатам моделирования (рис. 3, в) составляет около 2.5 дБ при q = 5 дБ и 0.8 дБ при q = 20 дБ .

На рис. 4 и 5 представлены результаты статистического моделирования системы кодовой синхронизации (СКС) с рассмотренными алгоритмами временного дискриминирована при числе испытаний 105: для системы второго порядка астатизма (рис. 4) и системы первого порядка с пропорционально-интегрирующим фильтром (рис. 5). Представленные зависимости среднего значения и среднеквадратического отклонения ошибки слежения за задержкой ШПС от нормированного "времени" ГШ для некогерентной СКС (кривые 1) и когерентной СКС (кривые 2-4) получены при следующих условиях: начальная ошибка Т0 = 0.5Т и Т0 = 0.1Т для некогерентной и когерентной СКС соответственно, отношение "сигнал/шум" q = 5 дБ, скорость объекта V = 100 км/ч, шумовая полоса линеа-

т/T

0.6 0.4 0.2 0

- 0.2 т/T

0.052

0.051

т/T

0.4 0.3 0.2 0.1

0

стт, нс

6 Fmt

стт, нс

56.0

55.6

55.2 54.8

- 4 Vv^

7 / ^

к , А/

0 2 4 6 Fmt Рис. 4 т/ T 4

J_L

6 6.5 7 7.5 Fmt

стт, нс

55.5

54.8

3 ч "" k

L 2

6

7

Fmt

^>

Fmt

6 F,nt

Рис. 5

2

0

2

4

6

2

4

ризованной системы = 0.05 Гц. Кривые 2, 3 и 4 для когерентной СКС соответствуют значениям среднеквадратической ошибки фазовой синхронизации ст^ = 0, 0.1 и 0.2 рад.

Анализ представленных результатов свидетельствует о том, что среднее время синхронизации составляет tcx - 80 с, перерегулирование не превышает 15 %, ошибка слежения в установившемся режиме ат - 0.027T и ат - 0.023T для некогерентной и когерентной СКС соответственно. Динамическая ошибка в установившемся режиме тд = т ^ 0 для системы второго порядка астатизма и тд - 0.02T для СКС первого порядка. Для когерентной

СКС (с квазиоптимальным дискриминатором) влиянием неидеальности фазовой синхронизации на помехоустойчивость можно пренебречь, если ошибка ст^ < 0.2 рад . Вероятность

срыва слежения PCp ^ 0 (во всех 105 испытаниях срыв слежения не наблюдался).

Сравнение результатов моделирования с результатами расчета дисперсии а2 с использо-

2 2

ванием формулы для линеаризованной непрерывной системы [1]: ат = 2аэF^^T^ свидетельствует о приемлемом для практических приложений совпадении (расхождение менее 10 %).

Предложенные алгоритмы временного дискриминирования могут быть использованы в системах кодовой синхронизации приемников периодических шумоподобных МЧМ-сиг-налов (прежде всего, радионавигационных систем средневолнового диапазона). Обеспечивая потенциальную (или близкую к ней) помехоустойчивость, они могут быть достаточно просто реализованы с использованием современной цифровой элементной базы.

Библиографический список

1. Бондаренко В. Н., Бяков А. Г. Помехоустойчивость временного дискриминатора шумоподобного сигнала // Современные проблемы радиоэлектроники: Сб. науч. тр. Всерос. науч.-техн. конф., Красноярск, 6-8 мая 2006 г.; Под ред. А. И. Громыко, А. В. Сарафанова. М.: Радио и связь, 2006. 629 с.

2. Алешечкин А. М., Бондаренко В. Н., Кокорин В. И. Помехоустойчивость корреляционного приемника шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией // Радиотехника. 2006. № 12. С. 10-13.

V. N. Bondarenko

Polytechnic institute of the Siberian federal university

Code synchronization system of a periodic spread-spectrum signal receiver

Quasi-optimal timely discrimination algorithms for time tracking system of a spread-spectrum signal with minimum frequency-shift keying are proposed. The noise immunity of the algorithms is analyzed. Proposed algorithms statistic simulation results are given.

Discriminator, spread-spectrum signal, algorithm, minimum frequency-shift keying, noise immunity

Статья поступила в редакцию 15 июля 2007 г.