Помехоустойчивость фазового дискриминатора шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

Помехоустойчивость фазового дискриминатора шумоподобного сигнала

с минимальнои частотной манипуляциеи

Проведен синтез оптимального алгоритма фазового дискриминирования для системы слежения за фазой шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией, а также проанализирована помехоустойчивость квазиоптимальных алгоритмов. Даны рекомендации по использованию предложенных алгоритмов в следящих корреляционных приемниках шумоподобных сигналов с минимальной частотной манипуляцией.

Дискриминатор, шумоподобный сигнал, минимальная частотная манипуляция, оптимальный алгоритм, помехоустойчивость

В современных системах радионавигации и радиосвязи с ограниченным частотным ресурсом все большее применение находят шумоподобные сигналы (ШПС) с минимальной частотной манипуляцией, превосходящие традиционные ШПС с фазовой манипуляцией по спектральной эффективности и другим показателям [1].

Одной из основных проблем при приеме шумоподобных сигналов является осуществление фазовой синхронизации, заключающейся в формировании опорного колебания несущей частоты, синфазного с принятым ШПС, что необходимо для реализации когерентного приема и фазовых методов измерения радионавигационных параметров.

Дискриминатор системы фазовой синхронизации является наиболее специфическим элементом, структура и параметры которого определяются видом модуляции и характеристиками ШПС.

Цель настоящей статьи - синтез оптимального алгоритма, а также анализ помехоустойчивости квазиоптимальных алгоритмов фазового дискриминирования для систем слежения за фазой периодического ШПС с минимальной частотной манипуляцией.

Принимаемый сигнал1 может быть представлен в виде

где В - информационный символ длительностью Тп; /0 - средняя частота;

^ (г, фн, В) = В соб [2я/0* + 0 (г) - фн ]; г е [0, Тп ],

(1)

г

функция, определяющая закон угловой модуляции (ё (г)

1 Амплитуда без потери общности полагалась равной единице. © Бондаренко В. Н., 2007

N-1

= Е ^ гей и - кТ) - двоичный сигнал, соответствующий кодовой последовательности

к=0

..., dNN - длина кодовой последовательности, определяющая период повторения ШПС Тп = ^; гей (^) - прямоугольный импульс единичной амплитуды длительностью Т); фн - начальная фаза.

Пусть на вход дискриминатора с шагом Тд поступают отсчеты наблюдаемой реализации:

Уг = У к ) = * &, Фн, В) + п (и ); г = 1, 2, ..., М, (2)

где п () - отсчеты дискретного гауссовского "белого" шума с дисперсией а2 = Nо/2Тд (N0 - односторонняя спектральная плотность мощности шума приемника); М = тN (т = Т/Тд - целое).

Синтез оптимального алгоритма фазового дискриминирования проводился с использованием известных результатов теории оптимальной фильтрации [2]. Используя модель наблюдений (2) в предположении, что задержка комплексной огибающей ШПС (1) известна , для функции правдоподобия (ФП) можно записать:

Ж (Уь Ум|Фн,В) = су ехР

1 м

12 X Уг* (¡1, Фн, В )

а2 г=1

где Су - коэффициент, не зависящий от параметров ф и В.

Усредняя ФП по мешающему параметру В, принимающему с равной вероятностью значения 1 и -1, и переходя к логарифму ФП, найдем оптимальный по критерию максимального правдоподобия алгоритм формирования сигнала ошибки фазовым дискриминатором:

гД1 =

51пЖ(уъ Ум|Фн)

Зф

1п Су + 1пеЬ

1 м

~2 Е Уг*1 (¡1, Фн )

г =1

Ф=Ф

дФ н

= Л

Фн =Ф

Ча2 у

м м

= Ч (ф) = ЕУг*1 (¡1, Ф); 22 = 22 (ф) = ЕУг*2 (¡1, ф), г=1 г=1

22, (3)

(4)

где (, ф) = * , фн, В) при фн = ф, В = 1 (ф - оценка фазы фн на предыдущем шаге фильтрации (априорное значение)); *2 (¡1, Ф) - преобразование Гильберта от (, ф).

Структура оптимального алгоритма (3), (4) поясняется схемой на рис. 1, а, где обозначено: х - перемножитель; Е - накапливающий сумматор, опрашиваемый в момент I = Тп; Ш - функциональный преобразователь с характеристикой Ш (х) .

Замена нелинейной характеристики Ш(х) (рис. 1, б, кривая 1) на кусочно-ломаную характеристику (рис. 1, б, кривая 2):

2 Что характерно для высокой точности кодовой синхронизации. 20

У(

1...M

I z1

X th

si (Ч , Ф)

1... M

X I

z2

s2 (ti , Ф )

Д1

th . 1

> <1

0 а x

- 1

th*(X)=

(5)

Рис. 1

\x/a, |x|<a; [sign ( x ), |x|>a

позволяет упростить реализацию функционального преобразователя ценой некоторых потерь в помехоустойчивости алгоритма z^ = th* (zja2)Z2 по сравнению с (3)3.

Другой вариант реализации квазиоптимального алгоритма фазового дискриминирована соответствовал асимптотическому представлению функции th (x) при XI» 1, которое применимо при большом отношении "сигнал/шум":

= sign (Z1) z2 = Dz2, (6)

где D - оценка параметра D. Алгоритм (6) является частным случаем алгоритма (3), (5) при a ^ 0 .

В другом предельном случае при a ^ да алгоритм (3), (5) можно представить как

Ч = z1z2, (7)

что соответствует представлению функции th (x) = x при XI ^ 1. Множитель 1/(aa2 ) не влияет на отношение "сигнал/шум" в синфазном канале и может быть учтен при выборе параметров петлевого фильтра.

Еще один вариант квазиоптимального алгоритма основан на использовании максимально правдоподобной (МП) оценки фазы, которая может быть сформирована как в [3]: Ф МП = arctg (z2\ zx). В этом случае алгоритм фазового дискриминирования можно представить в виде

= кд5 Ф МП, (8)

где кЛ - коэффициент передачи дискриминатора.

Хотя алгоритм (8) не является модификацией оптимального алгоритма (3), как предыдущие алгоритмы, его помехоустойчивость близка к потенциально достижимой в силу известных свойств МП-оценки (асимптотическая оптимальность при отношении "сигнал/шум" q » 1).

Проведем сравнительный анализ помехоустойчивости рассмотренных алгоритмов, используя в качестве критерия значение дисперсии эквивалентных фазовых флуктуаций

sign (x) - знаковая функция.

х

б

а

3

о2 =а2л ( 0)/kg2, (9)

где а2А (0) - дисперсия флуктуаций на выходе дискриминатора при ф = 0;

k- = дzд (ф)/ дф - крутизна дискриминационной характеристики zA (ф) (черта сверху

означает статистическое усреднение).

Формула (9) применима при высокой точности слежения за фазой (линейная модель дискриминатора). Нелинейность дискриминатора косвенно учитывается через параметры

kA и agg(0), зависящие от отношения "сигнал/шум" (квазилинейный метод анализа [4]),

что позволяет ослабить требования к точности: для установившейся фазовой ошибки на выходе системы слежения вместо условия аэ « п (линейный метод) достаточно потребовать выполнения условия « п .

2 2 2 Дисперсия Оф связана с дисперсией (9) соотношением из [3] = 2FmTnG;3, где Fm -

шумовая полоса следящей системы; Tn - интервал дискретизации сигнала ошибки, в рассматриваемом случае равный периоду повторения ШПС. Применимость квазилинейной модели дискриминатора может быть обеспечена выбором параметра Fm из условия FinTn « 1.

Для нахождения параметров kд и а^ (0) дискриминатора необходимо знать статистические характеристики квадратурных составляющих zi и z2 корреляций (4). С учетом предположения о высокой точности кодовой синхронизации для средних значений и дисперсий случайных величин z1 и z2 можно записать:

z1 = (DM/2) cos ф; z2 = (DM/2) sin ф; а2 = а2^ = Ma2¡2 . (10)

Оценим дисперсию эквивалентных фазовых флуктуаций для оптимального алгоритма (3), положив в целях упрощения анализа случайные величины zi и z2 нормированными к значению a z = a^M/ 2, что эквивалентно включению линейного безынерционного звена с коэффициентом передачи k = 1/az в каждый квадратурный канал. Указанное допущение не нарушает общности результатов, так как не изменяет отношения "сигнал/шум" в каждом квадратурном канале, а следовательно, не изменяет и дисперсию а2. В этом случае соотношения (10) принимают вид

_ _ 2 2

z1 = Dq cos ф; z2 = Dq sin ф; az = az = 1, (11)

где q = yÍMq0'; q0 = 12o2 - отношение "сигнал/шум" (по мощности) на входе дискрими-

4

натора .

С учетом независимости квадратурных составляющих z1 и z2 дискриминационная

(ф) и флуктуационная а (ф) характеристики определяются как 1 Д1

4 В общем случае q0 = A2/2а2 , где A - амплитуда сигнала. 22

za1 ( ф) =th [ z1 (Ф, D)] z2 (Ф, D) =th [ z1 ( Ф)] qsin Ф;

- -

< (Ф) = z2 (Ф)-[ZA1 (Ф)] .

(12)

Отсюда z2 (ф) = th2 Гz1 (ф)]z| (ф) = th2 [z1 (ф)] (1 + q2 sin2 ф) Д1

где

thk [z1 (ф)]= J thk [z1 (ф)] W (z^) dzV; к = 1, 2

(13)

- к-й момент случайной величины th(z1) при ф = const; W(z^) - условная плотность вероятности величины z1, имеющей нормальное распределение с параметрами ¿1 = q cos ф и а2 = 1). В (12) учтено, что th (x) - нечетная функция, а следовательно, th [ z1 (ф, D)] =

= D th [z1 (ф)] .

Использовав (12), найдем параметры дискриминатора:

кД1 =

dz^ (ф)

5ф

= th [ z1 (0 )]-

dzд2 ( ф)

Ф=0

сф>

ф=0

= qth [z1 (0)]; а2 (0) = th2 [z1 (0)] . (14)

Подставив (14) в (9), получим

а2 = th2 [z1 (0)]/ {th [z1 (0)]} q2.

(15)

При произвольных значениях q вычисление дисперсии а по формуле (15) воз-

Э1

можно лишь с использованием численного интегрирования для нахождения моментов

2 /2

(13). Однако можно указать нижнюю границу а = 1/ q , которая достигается при q » 1 в

1

\2

силу очевидного соотношения Ш2 [(0)] > {[(0)]} между моментами.

Точные аналитические результаты для произвольных значений q могут быть получены для квазиоптимального алгоритма (3), (5). Опуская несложные, но громоздкие преобразования, запишем конечные выражения для моментов:

th [z1 (0)] = Ф (q - a) -[1 -Ф (q + a)] + (1/a) (q [ф (q + a) -Ф (q - a)] + + (^уЦЛ) {exp [- (q + a)2/2]-exp [- (q - a f ¡2

(16)

th2 [z1 (0)] = 1-Ф (q + a) + Ф (q - a) + (1/a2 ) (Ф (q + a) -Ф (q - a) + + (1/V2n ){(q - a) exp - (q - a)2/2 - (q + a) exp [-(q + a)2Д

{exp [-(q + a)1 ¡2 - exp - (q - a)2 ¡2 } + q2 [ф (q + a)-Ф (q - a)] )

1 x -t2/2

где Ф(x) = ,— I e ' dt - интеграл вероятности. V2n J

(17)

00

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 3======================================

При фиксированном значении q формулы (15)-(17) позволяют определить оптимальное значение параметра аппроксимации (5), при котором дисперсия ст^ = min. Так,

2 / 7 7

при q = 5 дБ имеем a0pt -1 и стэ -1.12/q — 0.35 рад .

Для квазиоптимального алгоритма (6) характеристики дискриминатора определяются как

za3 (ф) = si§n [zi (ф.D)]z2 (ф. D)=[2Ф (qcos ф)-1] qsin ф;

a23 (ф) = z23 (ф) - Zд3 (ф)|2 = 1 + 4q2sin2 (ф) Ф (q cos ф) [1-Ф (q cos ф)]; (18)

4 ( ф ) =z2 ( ф) =1+q2 sin2 ф

(2Ф (Dq cos ф) -1 = D [2Ф (q cos ф) -1] в силу нечетности функции 2Ф ( х) -1). На основании (18) параметры дискриминатора

k^3 =dz^3 (ф)/дф^=о =[2Ф(q)-1]q; аДз (0) = 1. (19)

Подставив (19) в (9), получим а^ = у {[2Ф (q) -1]2 q2}, что свидетельствует об

2 /2

асимптотической оптимальности алгоритма (6) ( a - 1/ q при q » 1).

ээ

Характеристики и параметры дискриминатора для квазиоптимального алгоритма (7) имеют вид

z„. (ф) = zx (ф, D)z2 (ф, D) = (q1 ¡2) sin 2ф;

*Д4

__2

а2 (ф) = z12 (ф>2 (ф)-[z1 (Ф, D>2 (Ф, D)] = q2 +1 = const (ф); (20)

ч гд4 (фУ 5Ф ф=0=q2; аД 4 (0)=q +1.

С использованием (9) и (20) находим а2 = (1 +1/ q2 q2 ), что также свидетельст-

4

22

вует об асимптотической оптимальности алгоритма (7) ( a - 1 q при q » 1).

э4

Помехоустойчивость квазиоптимального алгоритма (8) характеризуется значением дисперсии a^ = arctg2 [Z2 (0Vz1 (0)]/{(д/дф) arctg[z2 (ф)/z\ (ф)]|ф=0} , где arc^ [z2 (ф)/z1 (фД, k = 1, 2 - k-й момент случайной величины arctg (z^ z^) при ф = const:

arctgk [>2 «] = f f f arctgk Í¿íW)e-(x2+y2^dxdy.

•> •> ^ x + q co^)

—00 —00

При q »1 в соответствии с известным результатом для дисперсии МП оценки фазы

2 /2

[3] имеем а = 1/ q , т. е. алгоритм (8) асимптотически оптимален.

э5

На рис. 2 представлены результаты статистического моделирования рассмотренных

алгоритмов, полученные усреднением по 105 реализациям. Представленные характеристики соответствуют значениям q = 20 дБ (рис. 2, а, в) и q = 5 дБ (рис. 2, б, г). Отношение

"сигнал/шум" в полосе ШПС qс =yfmqo равно -25 и -40 дБ соответственно (база ШПС

N = 214 -1). На всех рисунках кривые 1 соответствуют оптимальному алгоритму (3), а кривые 2-5 - квазиоптимальным алгоритмам (5)-(8).

Как свидетельствуют результаты моделирования (рис. 2), характеристики дискрими-

натора (ф) и а2 (ф) (у = 1,5) совпадают с аналитическими зависимостями, получен-

1 21

ными с использованием соответствующих формул (расхождение результатов при указанном числе испытаний не превышает 1 %).

На рис. 3, а представлены зависимости дисперсий эквивалентных фазовых флуктуа-

ции а

(J = is),

22

а на рис. 3, б - зависимости проигрыша n j = ® в помехоустой-

чивости квазиоптимальных алгоритмов I j =

(J = 25)

э1

по сравнению с оптимальным алгоритмом от отношения "сигнал/шум" q. При вычислении дисперсии а2 использовались

э J

оценки параметров кд и стд (0), полученные в результате моделирования при тех же

условиях, что и характеристики, представленные на рис. 2.

Как видно из рис. 3, алгоритм za = sign (z1) z2 обеспечивает практически потенциальную помехоустойчивость при q > 5 дБ : потери П3 = по сравнению с оптималь-

э3 / э3

q = 5 дБ

0

- 0.9

- 1.8

-п/ 2

п/ 2

-л/2

q = 5 дБ

п 2

Рис. 2

4

z

б

а

в

г

а б

Рис. 3

2/2

ным алгоритмом составляют менее 0.1 дБ. При тех же условиях потери П4 = ^ ал-

э4 / э4

горитма zff4 = ziz2 составляют менее 0.7 дБ, а потери П5 =а2э j°э алгоритма

zд5 = kД5 arctg (z2lz1) - менее 2 дБ.

Предложенные алгоритмы фазового дискриминирования могут быть использованы в системах слежения за фазой и в демодуляторах ШПС с минимальной частотной манипуляцией, обеспечивая помехоустойчивость, близкую к потенциально достижимой. При пороговом отношении "сигнал/шум" q > 5 дБ наиболее перспективным является алгоритм,

основанный на использовании преобразования sign (х) в синфазном (опорном) канале дискриминатора, обеспечивающий пренебрежимо малые энергетические потери (менее 0.1 дБ) и минимальные аппаратурные затраты.

Библиографический список

1. Алешечкин А. М., Бондаренко В. Н., Кокорин В. И. Перспективы применения шумоподобных сигналов в системах дальней радионавигации // Радиолокация, навигация, связь: Сб. докл. XI Междунар. НТК, 12-14 апр. 2005 г., г. Воронеж. Воронеж: НПФ "САКВОЕЕ", 2005. С. 1385-1391.

2. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. М.: Радиотехника, 2003. 422 с.

3. Радиотехнические системы / Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др.; Под ред. Ю. М. Ка-заринова. M.: Высш. шк., 1990. 496 с.

4. Цифровые системы фазовой синхронизации / М. И. Жодзишский, С. Ю. Сила-Новицкий, В. А. Прасолов и др. М.: Сов. радио, 1980. 208 с.

V. N. Bondarenko

Krasnoyarsk state technical university

Phase discriminator noise stability of the pseudo noise signal with the minimal frequency manipulation

Synthesis of phase discrimination optimal algorithm for system of keeping track of phase of the pseudo noise signal with minimal frequency manipulation, and also the analysis of quasioptimal algorithms noise stability were carried out. Recommendations on use of the suggested algorithms in watching correlation receivers of pseudo noise signals with minimal frequency manipulation are given.

Discriminator, pseudo noise signal, minimum frequency manipulation, optimal algorithm, noise stability

Статья поступила в редакцию 4 мая 2006 г.