Квазиоптимальный алгоритм поиска шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.25

В. Н. Бондаренко

Красноярский государственный технический университет

Квазиоптимальный алгоритм поиска шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией

Предложен квазиоптимальный алгоритм поиска по времени запаздывания шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией. Проведен анализ его помехоустойчивости.

Поиск, шумоподобный сигнал, минимальная частотная манипуляция, помехоустойчивость, оптимальный алгоритм

Одним из перспективных классов шумоподобных сигналов (ШПС) для радиосистем с ограниченным частотным ресурсом являются сигналы с минимальной частотной манипуляцией (МЧМ), обладающие высокой спектральной эффективностью. В отличие от традиционных ШПС с фазовой манипуляцией (ФМ), которым посвящено большое число работ, вопросам приема МЧМ-ШПС уделялось недостаточно внимания.

В настоящей статье представлены результты синтеза квазиоптимального алгоритма поиска по времени запаздывания МЧМ-ШПС, а также анализ помехоустойчивости предложенного алгоритма.

МЧМ-сигнал может быть представлен в виде

^ (t) = cos [2nf0t + 0 (t)], (1)

где fo - средняя частота; 0(t) = di (п/2T)(t-iT) + 0i, iT < t < (i +1)T, i =..., -1, 0, 1, ... - функция, определяющая фазовую структуру МЧМ-сигнала; {di} - псевдослучайная последовательность (ПСП) символов ±1; T - длительность элемента ШПС, определяющая значения символьных частот f = fo + 1/4T (для d¡ = 1) и f = fo -1/4T (для di = -1) (индекс частотной манипуляции mf = (f2 -f )T = 0.5); ©0 = 0; &i =&i-1 + di-1 (п/2)1.

При синтезе алгоритмов обработки МЧМ-сигнала предпочтительнее иная форма его представления:

^ (t) = I (t) cos 2nf0t - Q (t) sin 2nf0t, (2)

где I (t) = cos © (t) и Q (t) = sin 0 (t) - огибающие квадратурных компонентов сигнала,

представляющих собой ФМ-сигналы "со сдвигом" (огибающая I (t) опережает Q (t) на длительность T элемента ШПС).

Форма каждого элемента I(t) и Q (t) определяется функцией

cos [( V2T)t], |tl < T, (3)

а сами огибающие могут быть представлены как

1 Начальная фаза и амплитуда МЧМ-сигнала (1) без нарушения общности анализа положены равными нулю и единице соответственно.

24 © Бондаренко В. Н., 2007

\I (t) = Ci cos [(л/2T) (t - 2iT)], (2i - 1)T < t < (2i +1) T; Q (t) = Si cos {(л/2T) [t - (2i +1)T]}, 2iT < t < 2 (i +1)T,

где i =..., -1, 0, 1, ____

Символы кодовых последовательностей {Q} и {Si}, определяющих законы ФМ-квад-ратурных компонентов сигнала, связаны с символами последовательности {d} зависимостям [1] d2i = CiSi; d2i+1 =-SiCi+ъ i = ••■, -1, 0, 1, ••■ •

Наиболее серьезной проблемой при использовании ШПС с МЧМ является осуществление кодовой синхронизации приемного устройства, которая выполняется, как правило, в два этапа. Первый этап (поиск сигнала по времени запаздывания т) выполняется многоканальным разомкнутым измерителем, а второй этап (точное измерение т) обычно реализуется следящим измерителем (системой автоподстройки по времени).

В настоящей статье рассмотрена задача поиска МЧМ-сигнала по времени запаздывания (задержке). Полагалось, что интервал неопределенности по задержке тапр = [0, Tn ],

где Tn = NT - период повторения сигнала; N - длина ПСП \_d- (d0, dy, ..., dN_1)] .

Возможны два подхода к решению задачи синтеза оптимального устройства поиска: постановка задачи поиска как задачи распознавания М сигналов либо как задачи оценивания (измерения) параметра т, принимающего дискретные значения тj = (j -1) А,

j = 1, 2, ..., M (M = |_TiMJ ; LxJ - функция взятия целого от x). Оба подхода приводят

к одной и той же структуре оптимального приемника (устройства поиска).

При использовании второго подхода оптимальный по критерию максимального правдоподобия алгоритм оценивания параметра т может быть представлен в виде [2]

Z (Т) = max Z (тj); Z (тj) = ^z2 (тj) + z| (тj);

T J Тс (4)

Zl (Tj) = J У (t) s (t-Tj) dt; z2 ( Tj ) = J y (t) s± (t - tj ) dt, 00

где Tc = LTn - длительность наблюдения входного сигнала (L - целое); y (t) - принятая

реализация (смесь сигнала и аддитивного нормального шума, наблюдаемая на интервале

[0, Tс ]) ; s^ (t - Tj ) - квадратурная копия s (t - т j ).

В соответствии с (4) в качестве оценки максимального правдоподобия (ОМП) Т берется такое значение т j , при котором y (t) обладает максимальным "сходством" (корреляцией) с сигналом

s(t - тj, Фj) = cos[2/ + © (t - тj) - Фj ] , (5)

где фj = 2n/0Tj - фазовое запаздывание на частоте /0 . Величина Z (тj ) в (4) определяет модуль корреляции комплексных огибающих колебания y (t) и сигнала (5).

У (t)

f

ts (^ T1)

X Í

Канал 1 z1 (Т1) 1

f¡T (t, Т1)

т

z2 ( Т1)

W, TM )

Канал i Канал M z1 ( TM )

(t, TM )

>г

т

z2 ( TM )

Z ( T1)

Z ( Ti)

РБ

Z ( TM )

Структурная схема оптимального корреляционного приемника, осуществляющего параллельный (одновременный) поиск сигнала по задержке в соответствии с алгоритмом (4), представлена на рис. 1, где х - перемножитель; I - интегратор; V -преобразователь, вычисляющий величины

Рис. 1

V2 2

Z1 + Z2 ; РБ - решающий блок.

Многоканальный приемник содержит М каналов, каждый из которых представляет пару квадратурных корреляторов, вычисляющих корреляции zj (т j ) и Z2 (т j) при-

нятой реализации у (t) c опорными сигналами s (t - т j) и (t - т j), являющимися квадратурными копиями сигнала (5):

s(t — тj ) = cos[2nf0t + 0(t — тj ) ; sL (t— Tj ) = sin[2nf0t + 0(t— тj) , j = 1, 2, ..., M (6)

Решающий блок выдает в качестве ОМП Т то значение тj, которое соответствует каналу с максимальным значением выходной величины Z (т j).

Реализация оптимального приемника (рис. 1) при числе каналов M »1 сопряжена со значительными трудностями, связанными прежде всего с формированием M пар опорных МЧМ-сигналов (6).

Другой вариант оптимального корреляционного приемника, осуществляющего поиск сигнала по задержке, соответствует представлению МЧМ-сигнала (2), используя которое, для опорных сигналов (6) можно записать:

s (t- тj ) = I (t- тj) cos 2лf01 — Q (t- тj) sin 2лf0t;

5± (t- тj ) = I (t- тj ) sin 2л/0t + Q (t- тj ) cos 2лf0t,

где j = 1, 2, ..., M.

Используя (7), алгоритм (4) формирования ОМП задержки можно представить в виде Z(т) = maxZ(xj ), j = 1,2, ..., M; Z(Tj) = zj2 (тj) + zf (тj);

(7)

j

z1 (т j ) = z1C (т j ) - z2S (т j ) ; z2 (т j ) = z2C (т j ) + z1S (т j ); Tc Tc

z\C (Tj ) = J У (t) I (t-T j ) cos2f)tdt; zis (т j ) = J у (t) Q (t-т j ) cos2nf0tdt; (

T

■L Г"

T

■L Г"

z2C ( т j ) = J У (t) I (t - т j ) sin 2nf0tdt; z2S ( т j ) = J У (t) Q (t -т j ) sin 2nf0tdt.

0

0

0

0

Рис. 2

Преимуществом оптимального корреляционного приемника, реализующего алгоритм (8) (рис. 2, где +— сумматор), по сравнению с оптимальным приемником (рис. 1) является то, что корреляционная обработка в каждом из М каналов осуществляется на видеочастоте, а не на несущей, что упрощает формирование опорных сигналов, а также реализацию перемножителей (в то же время требуется в два раза больше корреляторов, чем в схеме на рис. 1). Существенного упрощения реализации корреляционного приемника по схеме рис. 2 можно достичь, если заменить весовую функцию (3), определяющую форму элементов опорных сигналов I (И) и Q (и), прямоугольной функцией

/ , ч [1, И ^ т; гее1 (И 2Т) = \ ' ' (9)

|о, И>т.

В этом случае операция умножения выходных сигналов перемножителей (фазовых детекторов) на весовую функцию вида (3) заменяется более простой операцией стробирования на соответствующих интервалах. Структурная схема одного канала корреляционного приемника с "равновесовой" обработкой элементов огибающих I (И) и Q (и ) представлена на рис. 3.

У (t)

х

т

cos2n/ot

sin2n/ot i

rect |--i

. 2T J

t-T

recti--i

2T )

J х s

¡-q

J х Z2Ci ^ s

z1Si

J х s

Гsi

J х z2Si s

z1C

z2C

z1S

z2S

z1

z2

Z

Рис. 3

Число каналов М определяется значением дискрета А, который выбирается из условия А < тк, где тк - ширина основного лепестка (по уровню 0.5) взаимно-корреляционной функции (ВКФ):

T

RB (At) = J cos[(л/2T)t]rect[(t-т)/2T]dt, (10)

-T

где Ат = т - т - разность между действительным значением времени запаздывания и его ОМП.

Подставив в (10) выражение (9) для функции, описывающей элемент опорного сигнала, и проведя несложные преобразования, найдем

T

RB (At) = J cos [(п/2T)t] dt = (AT/п) cos2 [(п/4T) At] , |At| < 2T. -T+Ax

График нормированной ВКФ rB ( At) = RB (At)/RB (0) представлен на рис. 4 (кривая

1). Как видно из рисунка, интервал корреляции составляет тк = 2T.

Для оптимальных корреляционных приемников (рис. 1 и 2) элементы опорных сигналов имеют вид (3), а автокорреляционная функция (АКФ) в пределах основного лепестка может быть записана как

T

R (Ат) = J cos

nt ^

T

2T J

- I cos

— (t-Ат )

2T

dt = T

Кт 2T J

cos

— Ат | + — sin —— |Ат| v 2T J л 2T

, |Ат|< 2T.

- 1 0 1

Рис. 4

Сравнение графиков нормированных корреляционных функций гв (т) и га (т) (рис. 4, кривая 2) свидетельствует о том, что отказ от оптимальной "весовой" корреляционной обработки и переход к "равно-весовой" обработке приводит к увеличению

интервала тк приблизительно в >/2

+

+

+

+

+

х

1

r

У (Г)

X I

008 2п^

■ гей |--г

ч 2Т

X I

Г-Т

■гей!--г

2Т

Е

Канал 1

-Со

Е

Е

+ 220 л/

-5о

Е

210

Zо

X Е

>—СМ- 1

X Е

X Е

1~8М - 1

X Е

Канал (М -1) г1( М-1)

РБ

+ 22( М-1) >г

г,

М-1

Рис. 5

При выборе дискрета Д = 2Т [М = (N +1)/2] реализация многоканального квазиоптимального корреляционного приемника предельно упрощается (рис. 5), так как в этом случае интеграторы, стробируемые импульсами вида (9), являются общими для всех М каналов (число интеграторов, осуществляющих поэлементную обработку, равно четырем). Формирование опорных сигналов в каждом из четырех каналов сводится к формированию М циклических сдвигов кодовых последовательностей {Сг} и ^г} для каналов обработки

элементов I (I) и Q ) соответственно.

Вычисление корреляций для каждого у-го циклического сдвига кодовых последовательностей осуществляется накапливающими сумматорами:

LN-1 £N-1

21С (у)= X Сг+]г1с1; (у) = X 8г+;

(11)

г=о г=о

LN-1 £N-1

22С (]) = X Сг + }22с1; г2Б (]) = X 8г+)22Ч,

г=0 г=о

где у = 0, 1, ..., М-1.

Корреляции с индексом I в (11) являются результатами поэлементной обработки сигналов в каждом из четырех каналов приемника:

х

+

+

X

+

I

X

X

+

+

+

(21+1)Т 2(1+1)Т

2^ = | у (1) 21$ = | у (1) С08 2л/о^;

(21 -1)Т 21Т

(21+1)Т 2(1+1)Т

г2а = | У (1) 8ш2л/о^; 22 $ = | у (1) 8т2л/0Л1.

(21 -1)Т 21Т

Последующая обработка осуществляется в соответствии с алгоритмом (8) (значению ту = 2]Т соответствуету'-й циклический сдвиг кодовых последовательностей).

Оценим помехоустойчивость рассмотренного алгоритма, используя в качестве критерия вероятность ошибки Рош, под которой будем понимать любое решение относительно значения параметра т, при котором ошибка |Дт| > Т (см. рис. 4).

Верхняя граница для вероятности ошибки может быть оценена как в [2]:

Рош < [(М - 2)/2]ехр (-^/4) . (12)

Формула (12) записана в предположении, что поиск может завершиться принятием правильного решения с равной вероятностью 2 = (1 - Рош)/2 в любой из двух точек

Ах = Т и Ах = -Т (наихудший случай), а уровень боковых лепестков ВКФ пренебрежимо мал (длина ПСП N » 1), что позволяет свести задачу поиска к распознаванию М ортогональных (в усиленном смысле) сигналов.

Параметр q = 2 /ст2 может интерпретироваться как отношение "сигнал/шум" на выходах каналов, соответствующих временной расстройке |Дт| = Т .

Можно показать, что среднее значение 2 = (4/п)(Е/2), где 4/л - множитель, обусловленный отказом от строго оптимальной обработки ("равновесовая" поэлементная об-

Т

работка ШПС); Е = | s2 (1)Л = Тс/2 - энергия МЧМ-сигнала (1); ее деление на два опре-о

деляется значением коэффициента корреляции гв (|х| = Т). 2

Параметр а2 = N0Е имеет смысл дисперсии квадратурных нормальных компонентов 21 и 22 величины 2 (N0/2 - двусторонняя спектральная плотность "белого" шума).

2

Увеличение дисперсии а2 в два раза по сравнению с оптимальным алгоритмом (4), (8) обусловлено отказом от "весовой" обработки.

С учетом изложенного можно записать: q = (2>/2/п)(q0pt/2) = q0pt/2n , где q0pt =

= ^2Е^о - отношение "сигнал/шум" при оптимальной ("весовой") обработке и временной

расстройке Ах = 0. Множитель п = q0pt / q = п

/( 242) «1.1 (0.9 дБ) определяет проигрыш в

помехоустойчивости (требуемое увеличение отношения "сигнал/шум" для обеспечения заданной Рош) рассмотренного алгоритма по сравнению с оптимальным алгоритмом поиска.

Формула (12) позволяет оценить требуемое отношение "сигнал/шум" для обеспечения заданной вероятности Рош. Так, q0pt /4 < ln [(M - 2)/2] + ln (1/Рош ) « 13; q = (tc/V2) qopt ж 16

при Рош < 10-3 и M « 103.

Предложенный алгоритм поиска по времени запаздывания может использоваться в приемниках МЧМ-ШПС. При незначительном проигрыше в помехоустойчивости по сравнению с оптимальным алгоритмом (менее 1 дБ) он может быть сравнительно просто реализован с использованием современной цифровой элементной базы.

Библиографический список

1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 214 с.

2. Радиотехнические системы / Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др.; Под ред. Ю. М. Ка-заринова. М.: Высш. шк., 1990. 496 с.

V. N. Bondarenko

Krasnojarsk state technical university

Quasioptimal search algorithm of the noise shaped signal with the minimum shift keying

Quasi optimal search algorithm on delay time of the noise shaped signal with the minimum shift keying is offered; Its noise stability analysis is carried out.

Search, pseudo noise signal, minimum frequency manipulation, noise stability, optimal algorithm

Статья поступила в редакцию 29 июля 2007 г.

УДК 621.391.251

А. С. Чернышев

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Итерационные алгоритмы вычисления сферических кодов

Проведено сравнение двоичных и сферических кодов и их характеристик. Описаны два варианта алгоритма вычисления сферических кодов с заданными длиной и размером алфавита. Приведены характеристики полученных сферических кодов.

Сферические коды, упаковки на сфере, поверхностно-сферическая укладка, ансамбли помехоустойчивых сигналов

Рассмотрим задачу выбора сигналов при передаче цифровой информации по гаус-совскому каналу с ограниченной полосой частот. Критерием выбора является максимальная помехоустойчивость при заданной скорости передачи данных. Так как передаваемые сигналы ограничены по полосе частот, то их можно представить в виде дискретной по времени последовательности отсчетов S = 52, ..., sn}.

В простейшем случае ансамбль состоит из двух противоположных сигналов, содержащих по одному отсчету: S0 = {-1}; Sj = {1}. Если помехоустойчивость такого решения © Чернышев А. С., 2007 31