Корреляционные свойства шумоподобных сигналов с минимальной частотной манипуляцией при дополнительной цифровой модуляции Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

УДК 621.391.15

В. Н. Бондаренко, А. Г. Клевлин

Сибирский федеральный университет

I Корреляционные свойства шумоподобных сигналов с минимальной частотной манипуляцией при дополнительной цифровой модуляции

Проведен анализ влияния дополнительной цифровой модуляции на корреляционные свойства шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией. Приведены результаты анализа шумоподобного сигнала при дополнительной фазовой манипуляции цифровым сообщением.

Шумоподобный сигнал, минимальная частотная манипуляция, комплексная огибающая, автокорреляционная функция, псевдослучайная последовательность

В современных широкополосных радионавигационных системах (РНС) для формирования шумоподобных сигналов (ШПС) используется преимущественно фазовая манипуляция (ФМ) несущего колебания двоичной кодовой последовательностью (BPSK). Примером этого являются спутниковые РНС ГЛОНАСС, GPS, GALILEO, а также наземные РНС SILEDIS, SPOT и др. [1]. Широкое использование ФМ как способа формирования ШПС объясняется в первую очередь стремлением максимально упростить формирование и обработку сигналов в широкополосных РНС.

В настоящей статье исследовано влияние дополнительной цифровой модуляции на корреляционные свойства периодических ШПС с минимальной частотной манипуляцией. С точки зрения спектральной эффективности минимальная частотная манипуляция (МЧМ, или MSK) является более перспективным, чем традиционная ФМ, способом формирования ШПС.

Шумоподобные сигналы с МЧМ - это класс частотно-манипулированных ШПС с непрерывной фазой, которые можно описать выражением

^ (t) = Re{S (t) exp (j 2nf0t)} =фр cos [2nf0t + 0 (t)] = = j2p [ I(t) cos (2ft) - Q(t) sin (2ft)],

где

S (t) = JlPc exp [ j© (t)] = ,¡2Pc [I(t) + jQ (t)] (1)

- комплексная огибающая сигнала; j = f0 - несущая (центральная) частота (начальная фаза сигнала на этой частоте равна нулю); Pc - мощность сигнала;

t

ТС г

0 (t) = — \a (t0 dt' - функция, определяющая закон угловой модуляции (изменения во

2T •

0

времени начального фазового угла несущей); I (t) = cos © (t) и Q (t) = sin © (t) - действи-

© Бондаренко В. Н., Клевлин А. Г., 2008

3

тельная и мнимая компоненты нормированной комплексной огибающей соответственно;

N-1

а 0) = ^ акгей 0 - кТ) - двоичный модулирующий сигнал, соответствующий кодовой

к=0

псевдослучайной последовательности (ПСП) ао, а1, ..., а^1 с элементами ак е{-1,+1},

к = 0, N -1; N - длина кодовой ПСП, определяющая период повторения Тп = ^; гей 0) -прямоугольный импульс единичной амплитуды и длительности Т.

Индекс частотной манипуляции т/ = А/Т = 0.5, где А/ = / - /2; / = /о + (1/4) Т и

/2 = /о - (14)Т - значения частот для ак = 1 и ак = -1 соответственно.

В отличие от ФМ-ШПС, комплексная огибающая которого является действительной

N-1

функцией времени: ¿ф 0 ) = ^ 2РС ^ ак гей (I - кТ) = ^ 2 Рс а (I), комплексная огибающая

к =0

(1) содержит действительную и мнимую компоненты, представляющие собой видеочастотные ФМ-ШПС со сдвигом на Т (элементы ШПС Q 0) запаздывают на Т относительно элементов ШПС I (I) с тем же порядковым номером). Такое представление позволяет считать МЧМ разновидностью квадратурной ФМ "со сдвигом" (OQPSK), широко используемой в цифровых телекоммуникационных системах для передачи данных.

Отличительной особенностью квадратурных ШПС I и) и Q 0) в случае МЧМ является то, что их элементы представляют собой импульсы косинусоидальной формы и длительностью 2Т, повторяющиеся с полутактовой частотой 1/(2Т) и манипулированные по фазе кодами {Ск} и }:

где I0 (t) =

1 (t) = X ckh (t - 2kT); Q (t) = £ skI0 [t - (2k + 1)T]; (2)

k=-да k=-да

cos {[п/(2T)] t}, t < T;

0, It > T

- одиночный импульс, определяющий форму элемента ШПС.

Элементы кодов {ск} и {Sk} также принадлежат двоичному алфавиту {-1,+1} и

связаны с элементами исходной кодовой ПСП, определяющей закон частотной манипуляции, соотношениями [2]:

a2k = cksk ; a2k+1 = -ckSk-1, k = -1 0 1, ••■ . (3) При записи (2), (3) полагалось, что коды {ak}, {ck} и {Sk} представляют собой периодические последовательности, образованные повторением кодов заданной длины. В случае, когда {ak} - М-последовательность длины N, коды {ck} и {Sk} имеют длину L = 2N и структуру чередующихся сегментов ±c и ±s, образованных на одном периоде кода {ak} : {ck} = •••, c, -s, -c, s, c, ... и {sk} =..., s, c, -s, -c, s, ____ Это является

следствием неидеальной "уравновешенности" М-последовательности (количество 1 и - 1 равно (N +1)/2 и (N -1)/2 соответственно), в силу чего фаза 0 (t) претерпевает изменения на тс/ 2 на интервале, равном периоду повторения Тп. Поскольку квадратурные сигналы являются "гармоническими" функциями кусочно-линейной фазы 0 (t) : I (t) = cos 0 (t) и Q (t) = sin 0 (t), то при периодическом повторении кода {ak} фаза 0п (t) определяется

да

как 0п (t)= ^ [0 (t-iTn ) + i (я:/2)] , а квадратурные периодические сигналы (с перио-

i=-да

дом повторения 4ТП) можно записать как

In (t) =..., I (t), - Q (t), -1 (t), Q (t), I (t), ...; Qn (t) = •.., Q (t), I (t), - Q (t), -1 (t), Q (t), ...,

причем позиция, в которой In (t) = I (t) и Qn (t) = Q (t), индексируется как i = 0 .

Следуя принятой терминологии [2], образованный таким образом сигнал будем называть периодическим МЧМ-ШПС в отличие от финитного сигнала (1) с числом элементов, равным N, и длительностью Тп. Используя введенное определение периодического

ШПС и оставив термин "сигнал" для описания комплексной огибающей, модель периодического МЧМ-ШПС представим в виде

S (t) = X S (t) = j2Pc £ exp {j [0 (t - iTn ) + i (tc/2)]| =

ii=

ж

= X {cos[0(t -iTu) + i(tc/2)] + jsin[0(t -iTn) + i(tc/2)]}, (4)

i

где Si (t) - финитный сигнал (1) на интервале t е \_iTn, (i +1) Tn ] .

Основные показатели качества широкополосной РНС (точность, разрешающую способность, помехозащищенность и пр.) во многом определяются корреляционными свойствами ШПС (видом автокорреляционной функции). При выбранном способе широкополосной модуляции (МЧМ) и N »1 форма основного лепестка нормированной периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) может полагаться заданной [3]:

( . Í[1 -|т|/(2T)]cos[тст/(2T)] + (1/ п)sinтс|т|/(2T), |т|<2T;

|0, |т|> 2T.

При этом корреляционные свойства ШПС полностью определяются уровнем боковых лепестков нормированной ПАКФ (при |т| > 2T ).

Оценим влияние дополнительной цифровой модуляции (фазовой манипуляции цифровым сообщением D (t) е {-1,+1}) на корреляционные свойства МЧМ-ШПС, используя нормированную двумерную ПАКФ:

T

i 'п *

R (т, F)-— J S (t) S (t-т) exp (- j 2nFt) dt; |т| < Tn, |F| < Fc, (5)

2E 0

где т и ¥ - временной и частотный сдвиги принимаемого ШПС относительно опорного сигнала; Е - энергия действительного сигнала ^ (г) (1); £ (г) и £ (г-т) - комплексные огибающие опорного сигнала (ШПС без цифровой модуляции) и принимаемого ШПС (с цифровой модуляцией) соответственно; ¥с - полуширина спектра ШПС (причем

2¥с = 1.18/Т по критерию 99 % Рс ); * - знак комплексного сопряжения.

T

T |2

За период Тп энергия сигнала (4) 2Е = 1(г)| Ж = 2РсТп 1.

0

В случае фазовой манипуляции МЧМ-ШПС для комплексных огибающих в (5) можно записать:

£ (г) = Л/2РСехр [(г)]; ехр[у©(г-т)], г е [0,т + Тп]; (6)

^^ехр{][©(г-т-Тп) + (П2)]}, г е [т + Тп,Тп], где £1 и £>2 - информационные символы на смежных периодах повторения принимаемо-

S (t-т ) =

го ШПС (т. е. на интервалах [т, т + Тп ] и [т + Тп, т + 2Тп ] соответственно) . Подставив (6) в (5), получим

, ( т+Тп

D J exp {j [0 (t) -0 (t -T) - 2nFt]} dt

R ( t, F ) = P

E

+

T

Tг ' П

. я

+D2 exp -j— I J exp{j[©(t)-0(t-t-Tn)-2nFt]}dt

T+Tn

= R\ (t, F ) + R2 (T, F ), (7)

где

D %+T'a

RRj (T, F) = d1 f exp {j [0 (t) -0 (t -T) - 2nFt]} dt; T '

T 0

RR2(t,F) = Dexpi-jП1 Í exp{j[0(t)-0(t-t-Tn)-2nFt]}dt

(8)

T

- двумерные нормированные АКФ финитных сигналов S (t) и S (t -т), S (t) и S (t -т- Тп ) соответственно (двумерные апериодические корреляционные функции).

Известно [2], что значения двумерной ПАКФ шумоподобного сигнала при дискретном временном сдвиге т = тТ (т - целое) определяются в первом приближении как

R (тТ, F) - R (0, F)Ra (m, F), (9)

1 Период повторения МЧМ-ШПС определяется периодом повторения фазы © (г) и составляет 4Тп, однако следуя общепринятому определению периода ШПС, будем полагать его равным периоду Тп кода {ак}.

2 Для определенности полагаем т < 0.

6

0

где Щ (т, Е) - нормированная двумерная АКФ элемента ШПС (в рассматриваемом случае элемента (2)); Яа (т, Е) - нормированная двумерная ПАКФ кодовой последовательности {ак}, определяемая выражением

R (m, F ) = N

N-1-m N-1

D1 Z akak+m exP (- j2nkFT) + D2 Z akak+m exP (- j2nkFT)

к=0 к=N-m

(10)

Сечения функций (7)-(10) при F = 0 определяют соответствующие корреляционные функции:

R (т ) = R (т ) + R2 (т ),

где

R1 (т) = — f exp{j[0(t)-0(t-т)]} dt;

Тп 0

R2 (т) = — expí-j jn 1 J exp{j[©(t)-0(t-т-Tn)]}dt;

т+Tn

R (mT) = Ra (m).

Здесь

Ra (m) = DxRal (m) + D2Ra2 (m); (11)

1 N-1-m 1 N-1

Ra1 (m) = NT Z akak+m ; Ra2 (m) = N Z akak+m • N k=0 N k=N-m

Из (11) следует, что модуль ПАКФ |R (mT)| - |Ra (m)| < 2r , где r = max \Rai (m)| ,

m^0

l = 1, 2 - наибольший боковой лепесток апериодической АКФ. Поскольку для М-последо-вательностей уровень максимального бокового лепестка АКФ имеет величину порядка 1/VN, то можно полагать, что уровень боковых лепестков нормированной ПАКФ шумо-

подобного МЧМ-сигнала с дополнительной ФМ не превышает значения порядка 2/VN •

На рис. 1 представлены графики модуля нормированной ПАКФ кодовых последовательностей (М-последовательности длинами N = 31 и N = 214 -1 = 16 383), рассчитанные

R

0.25 -

N = 31

R

0.011

N = 214 -1

m

Рис.1

0

0

R 0.5

F = 0

1N

J

R 0.5

2¡4ñ F = 0

Lii„.... .JliJlk iIiIIL^iiJ

0 R

0.25 "i

0 R

8 16 2/VÑ

24 t/T 0

F = 1/ Tn_ R 0.25

16

24N

24 t/T

F = V Tn

0.25 -

8 16 24

2/^ f = 2/ Tn

t/T 0

R

0.25

8 16 24 t/T

2/^ F = 2/ Tn

0 8 16 24 t/T 0

R VVN

0.125 -

F = 25 Tn

8 16 24 t/T

R i/VN

0.125 -

0 8 16 24

а

R -104

0.5 0

R

0.01

0

F = 0

t/T 0

Рис. 2

R 0.01

F = 25 Tn

8 16

б

t/ T

2¡4ñ

F = 0

illllJll

tílíll

7800 8000 8200 8400 t/T 7800 8000 8200 8400 VT

2/VÑ

F = 1 Tn

3700 3900 4100 4300 V T

R 2/^/N F = 2¡ Tn

R 0.01

0

0.01

0

R -10

7800 8000 8200 8400 t/T

4 , _ F = 16-103/Tn

0.01

0

3700 3900 4100 4300 V T

R F = 2¡ Tn

5

2.5

0

14N

тпншут^у!1

4^—14—I—I-I-H---

R -10' 5

2.5

0

7800 8000 8200 8400 t/T

4 ^yfc F = 16 -103/Tn

3700 3900 4100 4300 VT а

3700 3900 4100 4300 VT б

Рис. 3

8

по формуле (10) для случая D2 = -D (m ф 0 и m ф N)3. Как видно из рисунка, значения

максимального бокового лепестка ПАКФ близки к 2/VN: r — 1.6/VN для N = 31 и

r — 2.7/\J~N для N = 214 -1. При этом среднеквадратическое значение R3 = (1.1 -1.5)/->fN

(нижняя граница соответствует N = 31, а верхняя - N = 214 -1).

Графики сечений R (т, F) при F = const модуля нормированной двумерной ПАКФ шумоподобного сигнала с МЧМ, рассчитанных с использованием формул (7) для N = 31 и

N = 214 -1, приведены на рис. 2 и 3 в отсутствие цифровой модуляции (рис. 2, а, 3, а) и при ее наличии (рис. .2, б, 3, б)4. Приведенные графики свидетельствуют о том, что влияние цифровой модуляции весьма существенно сказывается на уровне боковых лепестков ПАКФ R (т) в сечении F = 0 и практически не сказывается на их уровне в сечениях F = m/Tn , m < N - целое (среднеквадратическое значение как при наличии цифровой модуляции, так и в ее отсутствие составляет R3 - 1/VN). Значение максимального бокового лепестка на плоскости (т, F) составляет около 0.3 для N = 31 и 0.017 для N = 214 -1, что

согласуется с приближенной оценкой 2/VN на основе ПАКФ кодовой последовательности.

Проведенный анализ свидетельствует о том, что выбор параметров МЧМ-ШПС (в первую очередь длины кода N) должен проводиться с учетом ухудшения корреляционных свойств сигнала, обусловленного дополнительной цифровой модуляцией.

Библиографический список

1. Алешечкин А. М., Бондаренко В. Н., Кокорин В. И. Перспективы применения шумоподобных сигналов в системах дальней радионавигации // "Радиолокация, навигация, связь". Тр. XI междунар. НТК, Воронеж, 2005. Т. 3. С. 1385-1390.

2. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 214 с.

3. Бондаренко В. Н. Квазиоптимальный алгоритм поиска шумоподобного сигнала с минимальной частотной манипуляцией // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 4. С. 24-31.

V. N. Bondarenko, A. G. Klevlin Siberian federal university

Correlation properties of pseudo noise signals with minimum shift keying at additional digital modulation

Analysis of influence of additional digital modulation on correlation properties of pseudonoise signal with minimum shift keying has been done. Results of analysis at additional phase manipulation of pseudonoise signal by the digital message are presented.

Pseudonoise signal, minimum shift keying, complex envelope, autocorrelation function, pseudorandom sequence

Статья поступила в редакцию 13 февраля 2008 г.

3 Код длины N = 31 не имеет практического значения и рассмотрен лишь для наглядности представления результатов.

Для большей наглядности при N = 214-1 показаны сегменты ПАКФ на интервалах т = 800Г .