CC BY
136ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ ИСТОЧНИКА РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНЫМ И УГЛОМЕРНЫМ МЕТОДАМИ. ЧАСТЬ 2. 2Э-МОДЕЛИРОВАНИЕ
Г .А. Фокин1* В.О. Лазарев1
!Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация *Адрес для переписки: grihafokin@gmail.com
Информация о статье
УДК 621.396.969.181.23
Статья поступила в редакцию 17.10.2019
Ссылка для цитирования: Фокин Г.А., Лазарев В.О. Оценка точности позиционирования источника радиоизлучения разностно-дальномерным и угломерным методами. Часть 2. 2Э-моделирование // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 4. С. 65-78. 001:10.31854/1813-324Х-2019-5-4-65-78
Аннотация: В настоящей работе представлено развитие обобщенной математической модели оценки пределов точности позиционирования, исследованной в части 1, при определении местоположения источника радиоизлучения разностно-дальномерным и угломерным методами для частных сценариев на плоскости. Результатом настоящего исследования являются реализованные 2D-модели, которые являются удобным инструментом установления пределов точности позиционирования и могут быть использованы для практического обоснования топологий размещения станций в современных и перспективных радиосетях для решения задач радиосвязи, радиолокации и радионавигации, в том числе для установления и ведения связи средствами адаптивного диаграммообразования. На примере частных сценариев с тремя радиостанциями показано, что для задач позиционирования соседних устройств в условиях их сверхплотного распределения на плоскости при кооперации минимально необходимого числа измерителей предпочтительным оказывается угломерный метод позиционирования.
Ключевые слова: круговое вероятное отклонение, позиционирование, разностно-дальномерныйметод,угломерный метод.
1. ВВЕДЕНИЕ
Задачи позиционирования источника радиоизлучения (ИРИ) востребованы в различных практических приложениях определения местоположения (ОМП) и предъявляют различные требования к точности. Так, например, для сетевого позиционирования абонентских станций в системах мобильной связи и сетях радиодоступа может быть достаточно точности в десятки метров, в то время как для задач автономных подвижных роботизированных комплексов и интеллектуальных транспортных систем предъявляются гораздо более высокие требования к точности позиционирования [1].
Исследуемая задача позиционирования ИРИ в терминах теории радиолокации относится к области многопозиционных систем пассивной радиолокации (МПСПР) [2]. ОМП в МПСПР осуществляется на основе первичных измерений на пространственно-разнесенных пунктах приема (ПП), или сенсорах времени прихода, направления прихода или доппле-
ровских сдвигов сигналов, излучаемых ИРИ. Наиболее распространенными пассивными первичными измерениями являются гиперболические, или раз-ностно-дальномерные и угломерные.
Применительно к перспективным системам мобильной связи и сетям радиодоступа задача позиционирования ИРИ на плоскости и в пространстве может рассматриваться как необходимая предварительная процедура для установления и ведения связи средствами адаптивного диаграммообразо-вания. Тенденция организации радиосвязи с направленной передачей и приемом в пространстве объясняется использованием перспективными системами и сетями радиодоступа более высокочастотного диапазона, что позволяет увеличить количество антенн в портативных абонентских станциях и использовать диаграммообразование с формированием луча на основе предварительного определения местоположения [3]. Для максимизации пространственного уплотнения одновремен-
ных передач абонентских станций, являющихся ИРИ, и минимизации влияния на соседние радиостанции, луч диаграммы направленности антенны должен быть образован достаточно узким. Точность направления луча диаграммы направленности передатчика на приемник и луча диаграммы направленности приемника на передатчик определяется точностью предварительного позиционирования соседних радиостанций [4].
В качестве методов позиционирования в системе мобильной связи LTE наибольшее распространение получили разностно-дальномерный [5, 6] и угломерный [7, 8] методы ОМП. Оба метода решают поставленную задачу при наличии прямой видимости (LOS, от англ., Line of Sight) между ИРИ и ПП [9], однако в условиях отсутствия прямой видимости (NLOS, от англ., Non Line of Sight) точность ОМП резко ухудшается [10]. Повышение точности позиционирования ИРИ в условиях отсутствия прямой видимости возможно за счет избыточной топологии стационарных, а также посредством подвижного ПП [11], например, на борту беспилотного летательного аппарата [12].
Задачей работы является развитие известных методов ОМП в МПСПР применительно к перспективным системам мобильной связи и сетям радиодоступа в части исследования и разработки математической и имитационной моделей оценки точности позиционирования ИРИ для частных случаев на плоскости. Актуальность настоящего исследования определяется современной тенденцией организации радиосвязи с диаграммообразованием на плоскости и в пространстве, в том числе в сверхплотных сетях пятого поколения, где позиционирование является предварительной процедурой установления и ведения направленной радиосвязи для максимизации пространственного уплотнения одновременных передач. Представленные далее модели и методы основаны на полученных в исследовании [13] выражениях.
Работа является продолжением исследования [13], в котором была разработана и обобщена математическая модель и выполнена предварительная оценка пределов точности позиционирования ИРИ разностно-дальномерным (РДМ) и/или угломерным методом (УМ) на плоскости. Целью настоящей работы является развитие исследования [13] для частных сценариев на плоскости, а также анализ частных сценариев оценки точности позиционирования ИРИ для РДМ и/или УМ на плоскости.
В разделе 2 через теорию МПСПР вводятся понятия первичных измерений и пространственных оценок координат (ПОК), иллюстрируется влияние погрешности первичных измерений на ПОК, также проиллюстрирована метрика кругового вероятного отклонения КВО (CEP, от англ., Circular Error Probability), которая далее служит основой оценки точности позиционирования для частных случаев на
плоскости. В разделах 3 и 4 производится оценка точности позиционирования ИРИ для частных случаев на плоскости с использованием РДМ и УМ, соответственно; при выводе выражений используются полученные в [13] результаты обобщенной модели оценки точности позиционирования. В разделе 5 сформулированы выводы и направления дальнейших исследований по оценке точности позиционирования в пространстве.
2. ПЕРВИЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КООРДИНАТ
В теории МПСПР задачу позиционирования принято решать в два этапа [2]: на первом этапе оценивают параметры принятых от ИРИ сигналов, т. е. первичные измерения, связанные с каждым ПП/сенсором (дальность, пеленг) или парой пунктов (разность дальностей); на втором этапе по этим первичным измерениям находятся пространственные оценки координат ИРИ, что представляет собой статистическую задачу. Если совокупность первичных измерений во всех пунктах приема МПСПР однозначно определяет точку в пространстве, координаты этой точки и принимают в качестве оценки координат ИРИ. На практике число измеряемых параметров сигналов во всех пунктах приема МПСПР часто превышает число неизвестных координат ИРИ, т. е. имеются избыточные измерения. Также вследствие погрешности первичных измерений получается неопределенность в оценке координат ИРИ (так называемые площадки вероятного местоположения), поэтому возникает дополнительная статистическая задача оценки ПОК.
На рисунках 1а, 1б представлен пример влияния погрешности первичных измерений разности расстояний Ай для РДМ на точность оценки местоположения ИРИ для двух первичных измерений двумя сенсорами при их движении по вертикальной линии, откуда видно, что при пересечении гипербол на плоскости образуются площадки вероятного местоположения, размер которых увеличивается с увеличением ошибки А^.
На рисунках 1в, 1г представлен пример влияния погрешности первичных измерений угла прихода сигнала Аф для УМ на точность ОМП ИРИ для двух первичных измерений одним сенсором при его движении по окружности вокруг ИРИ, откуда видно, что при пересечении секторов на плоскости образуются площадки вероятного местоположения, размер которых увеличивается с увеличением ошибки Аф. Эллипс ошибок нижней границы Крамера - Рао для ПОК увеличивается с увеличением площадки вероятного местоположения, а вы-тянутость эллипса по некоторой оси визуализирует более высокую дисперсию оценок по этой оси по сравнению с другой осью. Для разрешения ста-
тистической неопределенности ПОК ИРИ используют, как правило, метод максимума правдоподобия в предположении нормального распределения ошибок первичных измерений параметров сигналов в каждом пункте приема МПСПР. Координаты ИРИ в системе координат МПСПР связаны с измеряемыми первичными измерениями нелинейными функциональными соотношениями, в виду этого
непосредственное использование метода максимума правдоподобия приводит к необходимости решения систем нелинейных уравнений. Чтобы обойти эту трудность, применяют метод линеаризации нелинейных функциональных соотношений и итеративный метод последовательных приближений [2].
в) г)
Рис. 1. Пример влияния на оценку местоположения (в км) ошибки первичных измерений разности расстояний для РДМ - 10 %-ая (а) и 20 %-ая погрешность измерения Дd (б), а также угла прихода для УМ - погрешность измерения Дф = 5° (в) и Дф = 10° (г)
Линеаризация основана на предположении о малости ошибок измерения. Положение ИРИ оценивается относительно опорной точки (ОТ) с известными координатами, которая должна выбираться вблизи истинного положения ИРИ так, чтобы криволинейные поверхности положения, определяемые результатами измерений, можно было в окрестности опорной точки аппроксимировать касательными плоскостями. При этом ошибки измерений приводят лишь к параллельному сдвигу (но не к повороту) плоскостей. Основное достоинство метода линеаризации состоит в том, что он позволяет получить в явном виде оптимальные (например, максимально правдоподобные) ПОК ИРИ и корреляционную матрицу ошибок ПОК.
Метод максимума правдоподобия, линеаризация нелинейных функциональных соотношений и итеративный метод последовательных приближений вместе с обобщенной математической моделью работы алгоритмов и методик позиционирования, а также оценка их потенциальной точности были исследованы в [14]. Целью настоящей работы является продолжение этого исследования с оценкой точности ПОК для частных сценариев позиционирования ИРИ средствами РДМ и УМ по метрике КВО на плоскости.
Для оценки точности позиционирования ИРИ широкое распространение получили две метрики оценки точности ОМП: характеристика вероятного отклонения ОМП и нижняя граница Крамера - Рао.
Проиллюстрируем суть метрики кругового вероятного отклонения (КВО) на примере рисунков 2 и 3. ПОК ИРИ моделируются двумерным вектором из независимых случайных величин (СВ) с нормальным распределением. На рисунке 2 показаны результаты моделирования 10 ПОК с ошибкой, заданной гаус-совской СВ с нулевым средним и единичной дисперсией. Радиус окружности р зависит от а - вероятности того, что модуль ошибки ПОК окажется меньше р. ПОК с небольшой ошибкой могут попасть в окружность радиуса р, при этом маленькие значения радиуса р соответствуют низкой вероятности а попадания ПОК в заданную окружность; с его увеличением окружность становится больше, и ПОК с большей ошибкой уже могут попасть в заданную окружность.
5 4
0 -1
-2
-3
0
Рис. 2. Оценка характеристики КВО
-5
0,9
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Рис. 3. Интегральная функция распределения отклонения оценки координат
На рисунке 3 показаны дискретная (синим) и непрерывная (красным) интегральные функции распределения ПОК ИРИ, построенные для примера на рисунке 2; функция распределения связывает вероятность отклонения и радиус отклонения р: чем ниже вероятность отклонения а, тем меньше радиус отклонения ПОК от истинного местоположения ИРИ, то есть меньше окружность, в которую
могут попасть измерения ПОК, а в окружность меньшего радиуса может попасть меньше ПОК.
Далее в разделах 3.1 и 4.1 будет исследована математическая модель оценки точности позиционирования РДМ и УМ на основе обобщенной модели, представленной в [14]. Оценка точности позиционирования на плоскости для частных случаев с тремя ПП будет выполнена по метрике КВО в разделах 3.2 и 4.2 для РДМ и УМ соответственно.
3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНЫМ МЕТОДОМ
3.1. Математическая модель оценки точности позиционирования РДМ
Пусть £о - время излучения сигнала ИРИ, а й, ..., tN - времена прихода излученного сигнала от ИРИ на N пунктов приема / = 1, 2, ..., N (рисунок 4).
ИРИ
ПП ПП2
Рис. 4. ИРИ и N пунктов приема
Обозначим координаты ПП векторами п, П, ..., Щ
где г е
ъп X 1
- вектор-столбец размерности п х 1.
Если скорость распространения сигнала с = 3 • 108 м/с, а ф/ - расстояние между ИРИ и /-м ПП, время прихода сигнала на последний можно определить следующим выражением:
^ = + аь/с + еь , I = 1,2, ..., Ы, (1)
где £/ - ошибка измерения времени прихода сигнала.
В векторном виде уравнение можно записать в виде [14]:
£ = + Л/с + £, (2)
где £ е - вектор-столбец времен прихода сигнала; й е - вектор-столбец расстояний между ИРИ и ПП/ с координатами г^ = [х^ у^ г^]т, / = 1, 2, ..., N £ е - вектор-столбец ошибок измерений
т Мх1
- единичный
времен прихода сигналов; 1 е вектор-столбец.
Рассмотрим алгоритм РДМ, когда помимо оцениваемого трехмерного вектора х = [х у г]т вычисляется время излучения ИРИ (:о). Тогда выражение (2) представляет частный случай обобщенного выражения (7) из [13], где г = г, ) = г01 + Л/с, п = £ и хг = [£:0 х у г]т. В условиях прямой видимости расстояние ф/, по которому распространяется сигнал от ИРИ до ПП/, определяется выражением di = \\х — г¿||, где \М\ - евклидова норма вектора.
Пусть опорная точка в окрестности х = [х у г]т истинного местоположения ИРИ определяет вектор
5
0
0
= [х0 У0 2о\т• тогда расстояние й01 от ПП, до опорной точки равно || х0 — г^Ц.
При хю = [0 х0 у0 г0]тматрица Якоби для РДМ, согласно (12) из [13], определяется как [14]:
С = [1 Р/с], (3)
где
ГОо - г1)Т/йо
F =
-Оо rN~)T / ^0
(4)
Каждая строка матрицы F представляет собой единичный вектор, направленный от ПП, с координатами = [х; у^ zi]гк опорной точке с координатами Хо = [*о Уо го]Т. В гиперболических системах непосредственная оценка времени излучения сигнала ИРИ £о не выполняется. Параметр £о исключается из (1) путем измерения разности времен прихода сигналов:
ti - ti+i = (dj - di+1)/c + щ, i = 1,2, ... ,N - 1,
(5)
где п/ - ошибка измерений разности времен прихода сигналов. При измерении разности ^ — Ь^ ошибки измерений определяются выражением:
П; = £; - £;.
i = 1, 2, ...,N - 1.
(6)
Ошибка измерений п, имеет нулевое среднее, если следующие друг за другом измерения е/ и е,+1 имеют одинаковые математические ожидания, даже если они ненулевые. Ненулевое среднее Е[п.1 ] может быть результатом рассинхронизации/рас-калибровки ПП. При оценке разности времен прихода сигналов ^ — посредством кросс-корреляции, выражение (6) может и не соблюдаться. В матричном виде выражение (5) можно представить в виде [14]:
Ht = Hd/c + п,
где Н Е
-1)XN ,
матрица вида:
(7)
(8)
Если (6) справедливо, тогда справедливо следующее выражение:
п = Не, (9)
1 -1 0 0 0
н = 0 1 -1 • 0 0
.0 0 0 1 -1
где е Е
- вектор-столбец ошибок измерений
времен прихода сигнала.
Рассмотрим алгоритм РДМ для случая, когда оценивается трехмерный вектор х = [х у г]т. Тогда выражение (7) представляет собой частный случай обобщенного выражения (7) из [13], где г = #(, /(х) = НА/с. Согласно выражению (12) из [13] при х = [х у г]гматрица Якоби определяется как:
в = НР/с, (10)
где матрица F определяется согласно (4). Обозначим через М ковариационную матрицу ошибок измерений времен прихода сигналов. Если выражение (7) справедливо, тогда матрица ошибок измерений М определяемая обобщенным выражением (8) из [14], связана с N выражением:
N = НЫ£НТ. (11)
Подставив (10) в (17) из [13], получим оценку метода наименьших квадратов для алгоритма РДМ:
х = х0 + с(РтНтЫ-1НР)-1РтНтЫ-1(Н1 — на0/с), (12)
где й0 Е - вектор-столбец расстояний от ПП/, / = 1, 2, ... N до опорной точки х0 = [х0 у0 г0]г.
Оценка (12) является несмещенной, если п является вектором случайных величин с нулевым средним, а также если ошибка линеаризации пренебрежимо мала. Ковариационная матрица оценки, определяемая обобщенным выражением (21) из [13], для алгоритма РДМ имеет вид [14]:
Р = с(РтНтМ-1НР)-1. (13)
Оценка метода наименьших квадратов для РДМ (12) справедлива для условий прямой видимости между ИРИ и пунктом приема МПСПР. В общем случае, алгоритм метода наименьших квадратов требует знания статистик ошибок измерений. Однако при использовании (11), если ковариации е, равны нулю, а дисперсии одинаковы и равны оценка (12) оказывается независима от а^.
Равенство дисперсий ошибок измерений е, оказывается обоснованным допущением для одинаковых ПП. Обозначим через дисперсию ошибки е/ измерения времени прихода сигнала й на /-ый ПП, тогда квадрат среднеквадратического отклонения (СКО) ошибки измерения дальности опреде-ляется выражением с2а2, где а2 - средняя дисперсия ошибок времен прихода сигналов [14]:
1
а2 = 1 .
i=i
(14)
Геометрический фактор снижения точности позиционирования (GDOP, от англ. Geometric Dilution of Precision) определяется как отношение квадратного корня из среднеквадратического отклонения оценки местоположения к квадратному корню из среднеквадратического отклонения ошибки измерения дальности. Для РДМ с алгоритмом несмещенной оценки GDOP равен:
GDOP =
7trace[P]
с ■ а-
(15)
Параметр GD0P показывает, насколько ошибка измерения дальности, определяемая с ■ а5, масштабируется геометрическими соотношениями пространственного расположения ИРИ и пункта приема МПСПР. Если геометрическое расположение ПП от-
носительно ИРИ таково, что дисперсии времен прихода сигналов примерно одинаковы, то GDOP слабо зависит от с ■ as. Для позиционирования на плоскости величина КВО (CEP) [14]:
CEP « (0,75с ■ os)GDOP.
(16)
Так как дисперсии времен прихода сигнала являются преимущественно результатом шума из-ме-рений, обоснованным является представление ошибки измерения е/ в виде суммы значения постоянного смещения и случайной величины шума с нулевым средним и нормальным распределением.
Граница Крамера - Рао для оценки времени прихода сигнала в условиях аддитивного белого гаус-совского шума определяется выражением [14]:
а, = [(2Е/ИоЖ]-\ (17)
где Е - энергия сигнала ИРИ; N0/2 - двусторонняя спектральная плотность мощности (СПМ) шума, вг - функция параметров измерительной РДМ системы, в том числе, ширины полосы сигнала.
Если 5(ш) - преобразование Фурье сигнала от ИРИ, тогда:
= Г^^)^ Рг Г |S(W)|2^ ■
(18)
Если принятый от ИРИ сигнал представляет собой последовательность импульсов, тогда Е - это сумма энергий отдельных импульсов. Для радиолокационных сигналов с последовательностью импульсов длительностью Тр, каждый из которых прошел через фильтр с полосой пропускания В, подходящая аппроксимация функции ширины полосы сигнала следует из (18) и определяется как [14]:
в2г ~ 2В/Тр, ВТр » 1. (19)
Для сигналов систем радиосвязи с равномерным распределением 5(ш) в полосе В подходящая аппроксимация функции ширины полосы сигнала следует из (18) и определяется выражением [14]:
в2 « п2В2/3. (20)
Далее проанализируем точность РДМ для частного случая трех ПП на плоскости.
3.2. Оценка точности позиционирования РДМ на плоскости для частного случая с тремя пунктами приема
Рассмотрим частный случай позиционирования ИРИ РДМ с тремя ПП на плоскости; оценке подлежит вектор из двух координат х = [х у]т. Плоскостная модель обоснована для случая, когда ИРИ и ПП находятся на поверхности Земли достаточно близко друг к другу настолько, что ее кривизной можно пренебречь. Предполагается, что один из трех ПП является опорным и выполняет сбор измерений времени прихода сигналов от двух других
для вычисления разностей времен прихода и последующей обработки.
Предположим, что ошибки измерений времени прихода сигналов е/ на ПП/ являются некоррелированными СВ, тогда ковариационная матрица N определяется выражением:
°2t1 0 0
n£ = 0 0 - (21)
0 0
Матрица Н (8) для случая трех пунктов приема N = 3 определяется выражением:
" = [0 —1 01
.3-
(22)
Обозначим через ф0/ азимутальное направление прихода сигнала от опорной точки оценки местоположения ИРИ с координатами х0 = [х0 у0]т на ПП/ с координатами г^ = [х^ у1 ]г (рисунок 5):
4>oí = tan-
(у*!*), i = 1,2,3.
(23)
Опорная точка оценки местоположения ИРИ
Рис. 5. Определение азимутальных углов прихода для опорной точки и трех пунктов приема
Выражение (4) для случая трех пунктов приема N = 3 определяется как:
"со5ф01 Бтф01" F = соБфо2 sir^2 (24)
СОБфоз БШфоз.
Ковариационную матрицу P можно оценить, подставив (11, 21, 22 и 24) в (13). Компоненты матрицы P, согласно (40) из [13], определяются [14]:
а2 = a[a2i(si^02 - s^03)2 +
+a22(si^oi - si^03)2+a23(si^0i - si^02)2]; (25)
а22 = а[а21(^ф02 - ^ф0з)2 + +а22(^ф01 - ^ф0з)2 + +ан(^ф01 - ^ф02)2]; а12 = а[а21(^ф0з - cosфo2)(sinфo2 - s^03) + +а22(^ф0з - cosфol)(sinфol - s^03) + +а|?з(^ф02 - ^ф01)^Шф01 - sinф02)].
где
а = С2[(^ф01 - СОSф02)(sinфo2 - s^03) -
(26)
(27)
(28)
-(cos902 - cos903)(sin90i - sin9o2)] 2.
Из (25-28) следует, что при равенстве любых двух углов дисперсии а2 и а12 ^ такая ситуация возможна тогда, когда опорная точка оценки местоположения ИРИ находится вдоль линии, соединяющей два ПП.
Оценка по алгоритму метода наименьших квадратов для частного случая РДМ с тремя ПП следует из (12)и определяется:
х = Хо + - ^01/с)(Б1пф02 - БШфоз) +
— й02/С)(Б1пфоз — БШфоО 2 + + (*3 — ^3/С)(зтф01 — з1пф02)];
CEP « 0,757X1+12 = 0,75 а + с>2.
(29)
(34)
у = Уо + Va[(ii - doi/c)(cos903 - cosq02) +
+ O2 - do2/c)(cos^oi - cos903)+ (30)
+ - ¿03/c)(cos902 - cos90i)].
Для оценки расстояния между опорным ПП и ИРИ можно провести ось x через опорный пункт и опорную точку оценки местоположения ИРИ так, чтобы расположение опорного пункта совпадало с началом координат. Если опорная точка оценки местоположения ИРИ достаточно близка к истинному местоположению ИРИ, тогда за расстояние между опорным ПП и ИРИ можно принять оценку х в (29), а дисперсию оценки можно аппроксимировать значением al в (25). В противном случае расстояние между опорным пунктом и ИРИ можно оценить как 7х2 + у2.
Азимут направления прихода сигнала от ИРИ к опорному ПП, отсчитываемый от оси x, определяется выражением:
ф = tan-1(y/x). (31)
Смещение оценки по алгоритму метода наименьших квадратов для частного случая РДМ с тремя ПП следует из (20) из [13] и определяется выражением [14]:
bi = Va{f[£i](sin902 - sinq^) +
+£[e2](sinq>03 - sinq>0i) + (32)
01
bf = Va{£[£i](cosq>03 - cosq0i) +
+£[e2Kcosq>0i - cosq03)+ (33)
+£[e3](cosq>02 - cosq0i)}.
Ненулевые значения E [ei] являются результатом рассинхронизации/раскалибровки ПП, а также погрешности определения их собственных координат.
Допустим, что вектор п = Не в (9) содержит СВ, распределенные по нормальному закону, тогда выражения (41, 42) из [13] вместе с (25-28) позволяют получить CEP для рассмотренного частного случая трех ПП в зависимости от углов и дисперсий времен прихода сигналов:
Для фиксированного расположения ПП и ИРИ можно вычислить круговое вероятное отклонение CEP. При вычислении CEP пересчет в декартовы координаты осуществляется с использованием (23), а опорная точка предполагаемого расположения предполагается настолько близкой к истинному местоположению ИРИ, что обосновано допущение d0i = di.
Обозначим через L протяженность линейного расположения трех ПП с координатами (0, -L/2), (0,0), (0, L/2). Допустим, что в (17) достигается нижняя граница, тогда дисперсия равна:
а2 =
N0
2Е$2
(35)
Энергию принятого сигнала от ИРИ на ППь, расположенном на расстоянии d0i = Ъ, можно аппроксимировать как Е/Ц1, где п - показатель потерь распространения радиоволн (РРВ), тогда дисперсия измерений на ППь:
2 N0Ln
a2tL = atLn = ■ 0
2Е$2
(36)
Дисперсию измерений на ПП/, расположенном на расстоянии d0i, можно определить через (36) выражением:
2
,(d0i/L)n, i = 1,2,3,
(37)
где а^ - нижняя граница при d0i = Ь.
На рисунке 6 показаны нормированные контуры КВО РДМ при п = 2 и 4 для расположения трех пунктов приема в линию и треугольник в точках (0, — ¿/2), (—1/2 ,0), (0, Ь/2) при п = 2 и 4 соответственно. Значения на кривых означают нормированный к Ь радиус КВО, в окружность которого попадает оценка местоположения ИРИ с вероятностью 50 %. Таким образом, чем больше это значение, тем выше ошибка ОМП. Показатель п = 2 соответствует условиям РРВ в свободном пространстве, а показатель п = 4 - условиям РРВ в городе/пригороде.
Из сравнения графиков контуров для п = 2 и п = 4 следует, что чем выше показатель потерь РРВ, тем выше ошибка ОМП по критерию нормированного КВО; для одинаковых значений нормированных отсчетов по оси х/у радиус КВО (чем выше радиус, тем выше отклонение от истинного местоположения) окажется выше в случае п = 4 по сравнению с условиями, когда п = 2, что и объясняет увеличение ошибки ОМП. Также отличительными особенностями КВО является специфичность контура вдоль пересечения линий, проходящих через два ПП (см. рисунок 5). Это накладывает ограничение на территориальное распределение пунктов приема: отклонение от линейного расположение нежелательно при необходимости широкого охвата зоны МПСПР.
4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ УГЛОМЕРНЫМ МЕТОДОМ 4.1. Математическая модель оценки точности позиционирования УМ
Отдельные угломерные измерения азимута и угла места на двух и более стационарных пунктах приема МПСПР или же по ходу движения подвижного ПП комбинируются для последующей оценки местоположения ИРИ в пространстве. При отсутствии шума измерений линии направления прихода сигнала от ИРИ на двух и более ПП пересекутся в одной точке и обозначат точное местоположение ИРИ. При наличии шума измерений линии направления прихода сигнала от ИРИ на двух и более ПП уже не пересекутся в одной точке (рисунок 7), поэтому для ОМП ИРИ требуется обработка первичных измерений.
Обозначим через 0/ - угол места, а через ф/ - азимут, измеренные на ПП/ относительно линии отсчета в пространстве, линия отсчета при этом параллельна оси х (рисунок 8).
Пусть (х/,у/, п) - координаты ПП/, а (х, у, 7) - неизвестные координаты ИРИ, тогда при отсутствии ошибок измерений угол места равен:
9; = СОБ
^(Х — Х1 )2 + (У — У1)2 + (г — 21 )2)' (38) 0 < 91 < п.
Опорная точка оценки местоположения ИРИ
ПП3
ПП2
Рис. 7. Линии направлений прихода сигналов на трех пунктах приема
На рисунке 8 азимут ф/ определяется в плоскости ИРИ, перпендикулярной оси I, и отсчитывается против часовой стрелки от линии отсчета, параллельной оси х. Если угол возвышения ф/ ПП/ относительно ИРИ известен, тогда азимут ф/ может быть вычислен по геометрическому соотношению:
СОБ9; = СОБф;СОБф;.
(39)
Если угол возвышения ф/ достаточно мал, направление прихода сигнала аппроксимируется азимутом:
tyi = tan
(IZli)
\х - xj'
(40)
ПП
(Xi, yt ,zi)
Ф = fi (*)+ Щ, i = 1, 2..... N,
(41)
fi(x) = tan 1
(Izli)
(x - xj'
(42)
Б1Пфо; = ■
Уо-Уь
■; соБфо1 =
(44)
где dot = J(Xo-Xi)2 + (yo -yt)2, i = 1,2, ..., N.
Согласно (12) из [13] при х0 = [х0 у0]тматрица Якоби для УМ равна [14]:
(S^oiVdoi (СОБфо1)/^1
G =
01пфо^ )/doN (^фом )/do
(45)
Оценка методом наименьших квадратов для алгоритма УМ согласно выражению (17) из [14]:
2 = х0 + (СтЫ-1С)-1СтЫ-1фг, (46)
где /-ая компонента вектора фг определяется выражением:
Рис. 8. Определение углов прихода для УМ
В большинстве практических приложений ИРИ находится на поверхности Земли, поэтому координата I предполагается известной. Для оценки координат (х, у) ИРИ на плоскости используются угломерные измерения азимута (40). Таким образом, трехмерная задача позиционирования ИРИ в пространстве сводится к двумерному определению местоположения ИРИ на плоскости; при этом предполагается, что ИРИ и пункты приема МПСПР лежат в одной плоскости, и направления прихода сигнала определяются только азимутами; решение задачи в такой постановке называется триангуляцией.
Рассмотрим алгоритм УМ, когда вектор координат ИРИ х = [х у]т оценивается на плоскости. Предполагается, что сигнал от ИРИ на N пунктах приема ПП/, принимается в условиях прямой видимости. Измеренный угол прихода ф/ от ИРИ ПП/ определяется по выражению:
где п/ - ошибка измерения угла прихода сигнала на ПП/; ^ (х) - нелинейная функция:
В векторном виде уравнения (41) можно записать в виде:
ф = /(х) + п. (43)
Пусть вектор х0 = [х0 у0]г определяет опорную точку в окрестности истинного местоположения ИРИ, например, в центре многоугольника, образованного линиями измеренных направлений прихода сигналов. Обозначим через ф0/ азимут прихода сигнала от опорной точки оценки местоположения ИРИ до ПП/, тогда можно записать следующее выражение:
фГ1 = ф1- фо; = ф1- tan 1 i = 1,2, ..., N,
(yoZl£\
\Xo - Xi)
(47)
где фг1 - угол между измеренным направлением прихода сигнала ф^ и направлением на опорную точку ф01 (рисунок 9).
Измеренное направление
Опорная точка
Рис. 9. Угол между измеренным направлением прихода сигнала и направлением на ОТ
Если ошибки измерений угла прихода сигналов на ПП/ - независимые случайные величины с дисперсиями аф£, I = 1,2, ..., N, тогда:
N =
'ф1
0
0
J4>N_
(48)
Непосредственное вычисление элементов ковариационной матрицы 2 в (46) с использованием подстановки (45, 48) в (21) из [13] дает [14]:
а2 = Е[(х — х)2 ]= ^
уХ - v2;
о2 = Е[(у-у)2] = ^;
V
о12 = Е[(х - х)(у - у)] =■
где
уХ-v2
sin фо,
Н 2 02 :
'■=1 ^oi'-'tyi 0i иф1
' Slnфo^CОSфo^
(49)
(50)
(51)
1 V ry i\
Zcos^ . = у
N
= У
(52)
do2i
z
X
Оценка по алгоритму метода наименьших квадратов для УМ, следует из подстановки в (46) формул (45) и (48) и определяется выражениями [14]:
ОС — Х0 +
цХ
N
(vcosq>0i - ^sinq0j)
i=i N
d0iali
У = У0 +
цХ
(Xcosy0i - vsinq0j)
d0iali
(53)
(54)
Смещение оценки по алгоритму метода наименьших квадратов для УМ следует из (20) в [13] и, если ошибкой линеаризации можно пренебречь, определяется как [14]:
=]
1=1 N
=]
(vcos90, - ) ;
d0iali ; (Xcosgp, - vsinq0,)
d0iali .
(56)
Зависимость оценки и смещения от дисперсий 0^1, I = 1,2, ..., N. исключается в (53-56) тогда, когда дисперсии оказываются одинаковыми. Допущение о равенстве дисперсий аф обоснованно, если измерительные возможности ПП одинаковы.
Обозначим через р/ кратчайшее расстояние от опорной точки до линии направления прихода сигнала на ПП/ (см. рисунок 9). Предположим, что опорная точка достаточно близка к истинному местоположению ИРИ, а ошибки измерения малы, тогда справедливы следующие выражения:
фн ~ Pi/dоi ; СОБфо; « СОБф;; БШфо! « БШфг,
I = 1,2, ..., N.
(57)
N
=1
(58)
По аналогии с (15), GDOP для несмещенной оценки по алгоритму УМ:
GDOP =
7trace[P]
(59)
Если расположение ПП относительно ИРИ таково, что дисперсии направлений прихода сигналов одинаковы, то GDOP слабо зависит от ad. Для позиционирования на плоскости из (34) и (59) следует выражение:
CEP « (0,75ad)GD0P. (60)
Дисперсия направлений прихода сигнала аф является преимущественно результатом шума измерений. Для условий аддитивного белого гауссов-ского шума при достаточно высоком отношении E/N0 известна аппроксимация аф выражением:
(61)
(55) где вф - функция параметров измерительной УМ
Подстановка выражений (57) в (52-54) приводит к известному алгоритму оценки Стэнсфилда [15], полученному при допущении о малых ошибках измерений направлений прихода сигнала. Если опорная точка хо достаточна близка к истинному местоположению ИРИ х, то алгоритм метода наименьших квадратов оказывается предпочтительнее алгоритма Стэнсфилда, так как последний приводит к большему смещению оценки до тех пор, пока ошибка измерений не становится достаточно малой.
Квадрат среднеквадратического отклонения оценки дальности для систем УМ определяется как среднее от дисперсии произведения й01фг1:
системы.
Для фазового интерферометра дисперсия аф может быть представлена выражением [14]:
, |ф|< ? (62)
где /о - несущая частота сигнала ИРИ; й - максимальное расстояние между антеннами интерферометра; ф - истинное направление на ИРИ.
Далее проанализируем точность УМ для частного случая трех ПП на плоскости.
4.2. Оценка точности позиционирования УМ на плоскости для частного случая с тремя пунктами приема
Рассмотрим частный случай оценки местоположения ИРИ УМ с пятью симметрично расположенными ПП относительно опорной точки (рисунок
1о).
Рис. 10. Определение углов прихода для пяти симметрично расположенных пунктов приема
ПП расположены симметрично относительно опорной точки так, что:
ф01 = ф0(м-1+1), d0ia^,i = d0(N-i+i)<aP(N-i+i), i = 0,1, ..., \N/2],
(63)
где ¡N/2] - округление до ближайшего целого значения к N/2 так, что это значение будет не меньше N/2. Если N - нечетное, будем далее полагать:
ф0> = 0, i = [N/21.
(64)
Пример на рисунке 1о может иметь место, когда измерения собираются подвижным пунктом приема, например, на борту БПЛА с равномерно распределенными временными интервалами по ходу движения. Подстановка (63) и (64) в (52) приводит к V = 0, тогда из (51) следует, что а12 = 0. Это позволяет сделать вывод о том, что симметричное, но не обязательно линейное распределение ПП (или точек взятия измерений для случая подвижного ПП) относительно опорной точки оценки местоположения ИРИ позволяет получить некоррелированные оценки координат.
Для случая двух пунктов приема N = 2 из (49-54) следует:
d2 а2 2 и01°ф1 т — _!_
2sin2q01'
d-01
d2 а2 2 и01°ф1 т — _!_
X — Х0
У = У0 +
2sinq01 2cosq01
2cos2q01' (фп - фг2X
■(фп + фг2).
(65)
(66)
2cos2q01
*01иф1
+
2 a2
(69)
рическое место точек местоположения ИРИ с постоянным значением CEP можно вычислить с использованием (44).
Как и для случая РДМ, рассмотрим линейное расположение ПП с координатами (0, -L/2), (0,0), (0, L/2). Обозначим через афь значение а^ при d0i = L и ф0 = 0. Допустим, что в (62) достигается нижняя граница, тогда дисперсия равна:
«й =coaHT£), ф< 2, £ = 1,2,3, (70)
^ cos2q0 V L ) 2
где
c2LnN0 С2nf0d)2E.
(71)
Если опорная точка располагается на пересечении двух направлений прихода сигнала, то фг1 = фг2 =0 и из рисунка 9 следует, что (х, у) = (х0, у0), и из (58, 59, 65) можно вывести выражение:
GDOP = V2/sin2q01. (67)
Минимальное значение GDOP в (67), равное V2, достигается при ф01 = п/4. При а12 =0 из (41, 42) в [13], (34) следует:
CEP = 0,563 max(a1, а2) + 0,614 min(a1, a2). (68)
При N = 3 дисперсия х остается той же, а дисперсия у становится [14]:
На рисунке 11 показаны нормированные контуры КВО УМ при п = 2 и п = 4 для расположения трех ПП в линию и в точках треугольника с координатами (0, — Ь/2), (—¿/2,0), (0,Ь/2) соответственно. Анализ графиков на рисунке 11 позволяет сделать следующие выводы: во-первых, контуры КВО УМ похожи на соответствующие контуры КВО РДМ для расположения ПП в линию (см. рисунок 6); во-вторых, при прочих равных условиях значение радиуса КВО для УМ оказывается ниже, чем для РДМ. Также из графиков (см. рисунки 6 и 11) можно сделать вывод о том, что для УМ нелинейное расположение ПП с точки зрения равномерности рабочей зоны охвата оказывает менее пагубное влияние, чем для РДМ.
В целом же, по критерию нормированного показателя КВО можно сделать следующий вывод для частного случая позиционирования на плоскости с использованием трех ПП: чтобы гиперболические (разностно-дальномерные) системы обеспечивали более точное позиционирование ИРИ по сравнению с угломерными, необходимо выполнение следующего условия [14]:
qcatL < La,
tyL,
(72)
откуда следует, что добавление дополнительного ПП повышает точность оценки координаты у ИРИ. При удалении ИРИ от ПП, угол ф01 уменьшается, и, таким образом, повышается отношение а^/а22,.
Если вектор n в (43) содержит случайные величины, распределенные по нормальному закону, тогда выражения (41, 42) из [13], (34) вместе с (4952) позволяют получить CEP для рассмотренного частного случая трех пунктов приема в зависимости от углов прихода сигналов и их дисперсий. Допустив, что опорная точка настолько близка к истинному местоположению ИРИ, что d0i = dt, а угол ф01 равен истинному направлению на ИРИ, геомет-
где ^ ~ 5. Подставляя (36, 71) в (72), получим:
-Луп^й < 1вг. (73)
Для радиолокационных сигналов подстановка (19) в (73) дает:
Tp(qnf0d)2 < BL2
(74)
Для сигналов систем радиосвязи подстановка (20) в (73) дает:
< В1. (75)
Анализ выражений (74, 75) позволяет сделать вывод о том, что гиперболические системы предпочтительнее тогда, когда длина набора ПП Ь возрастает, а ширина полосы сигнала В увеличивается.
Из совместного анализа графиков на рисунках 6 и 11 следует, что при кооперативной обработке измерений от трех радиостанций, организованных в
линию, пределы точности ОМП оказываются симметричными как относительно линии расположения станций, так и относительно линии, перпенди-
кулярной их расположению, однако для УМ точность ОМП оказывается несколько выше. При организации радиостанций в треугольник точность УМ также оказывается выше, чем РДМ.
а)
б)
в) г)
Рис. 11. Нормированный контур кругового вероятного отклонения УМ для трех пунктов приема в линию при п = 2 (а) и п = 4 (б) и в треугольник при п = 2 (в) и п = 4 (г)
5. ВЫВОДЫ
Для организации радиосвязи с адаптивным диаграммообразованием и максимизации пространственного уплотнения одновременных передач, требуется оценка направление луча диаграммы направленности передатчика на приемник и луча диаграммы направленности приемника на передатчика, что, в свою очередь, определяется точностью предварительного позиционирования соседних радиостанций. В настоящем исследовании численно проанализированы частные сценарии оценки точности позиционирования источников радиоизлучения разностно-дальномерным и угломерным методами при ко-
операции трех соседних радиостанций, геометрически организованных на плоскости в линию и треугольник. Полученные контуры кругового вероятного отклонения в нормированных координатах применительно к сценарию сверхплотных радиосетей позволяют сделать вывод о том, что для задач позиционирования соседних ИРИ при кооперации минимально необходимого числа измерителей предпочтительным оказывается угломерный метод позиционирования.
В дальнейшем планируется обобщение полученных результатов математического и имитационного моделирования на случай позиционирования в пространстве.
БЛАГОДАРНОСТИ
Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации по Гранту Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых № МК-3468.2018.9.
Список используемых источников
1. Zekavat R., Buehrer R.M. Handbook of Position Location: Theory, Practice, and Advances. Hoboken: John Wiley & Sons, 2019.
2. Черняк В.С., Заславский Л.П., Осипов Л.В. Многопозиционные радиолокационные станции и системы // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. № 1. С. 9-69.
3. Фокин Г.А. Управление самоорганизующимися пакетными радиосетями на основе радиостанций с направленными антеннами. Дис. ... канд. техн. наук. СПб: СПбГУТ, 2009.
4. Бабков В.Ю., Фокин Г.А. Оценка вероятности успешного радиоприема в самоорганизующихся пакетных радиосетях на основе радиостанций с направленными антеннами // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского госу-дар-ственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2009. № 4(82). С. 77-84.
5. Киреев А.В., Фокин Г.А. Позиционирование объектов в сетях LTE посредством измерения времени прохождения сигналов // Труды учебных заведений связи. 2016. Т. 2. № 1. С. 68-72.
6. Сиверс М.А., Фокин Г.А., Духовницкий О.Г. Оценка возможностей метода разностно-дальномерного метода позиционирования абонентских станций в системах мобильной связи LTE средствами имитационного моделирования // Информационные технологии моделирования и управления. 2016. Т. 98. № 2. С. 149-160.
7. Киреев А.В., Фокин Г.А. Пеленгация источников радиоизлучения LTE мобильным пунктом радиоконтроля с круговой антенной решеткой // Труды Научно-исследовательского института радио. 2015. № 2. С. 68-71.
8. Киреев А.В., Фокин Г.А. Позиционирование источников радиоизлучения в сетях LTE с использованием круговой антенной решетки // IV Международная научно-техническая и научно-методическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 3-4 марта 2015). Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: сборник научных статей в 2 томах. СПб: СПбГУТ, 2015. Т. 1. С. 122-126.
9. Фокин Г.А. Методика идентификации прямой видимости в радиолиниях сетей мобильной связи 4-го поколения с пространственной обработкой сигналов // Труды Научно-исследовательского института радио. 2013. № 3. С. 78-82.
10. Фокин Г.А. Имитационное моделирование процесса распространения радиоволн в радиолиниях сетей мобильной связи 4-го поколения с пространственной обработкой сигналов // Труды Научно-исследовательского института радио. 2013. № 3. С. 83-89.
11. Фокин Г.А. Комплексная имитационная модель для позиционирования источников радиоизлучения в условиях отсутствия прямой видимости // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 1. С. 85-101. DOI:10.31854/1813-324x-2018-1-85-101
12. Аль-Одхари А.Х., Фокин Г.А. Позиционирование источников радиоизлучения в условиях высокогорья с использованием беспилотных летательных аппаратов // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 2. С. 5-17. DOI:10.31854/1813-324x-2018-2-5-17
13. Лазарев В.О., Фокин Г.А. Оценка точности позиционирования источника радиоизлучения разностно-дально-мерным и угломерным методами. Часть 1 [14] // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 2. С. 88-100. DOI:10.31854/1813-324X-2019-5-2-88-100
14. Torrieri D.J. Statistical Theory of Passive Location Systems // Cox I.J., Wilfong G.T. (eds) Autonomous Robot Vehicles. New York: Springer, 1990. D0I:10.1007/978-1-4613-8997-2_13
15. Stansfield R.G. Statistical theory of d.f. fixing // Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part IIIA: Radiocommunication. 1947. Vol. 94. Iss. 15. PP. 762-770. D0I:10.1049/ji-3a-2.1947.0096
* * *
POSITIONING ACCURACY EVALUATION OF RADIO EMISSION SOURCES USING TIME DIFFERENCE OF ARRIVAL AND ANGLE OF ARRIVAL METHODS. PART 2. 2D-SIMULATION
G. Fokin1 s, V. Lazarev1
!The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg, 193232, Russian Federation
Article info
The article was received 17th October 2019
For citation: Fokin G., Lazarev V. Positioning Accuracy Evaluation of Radio Emission Sources Using Time Difference of Arrival and Angle of Arrival Methods. Part 2. 2D-Simulation. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(4):65-78. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-4-65-78
Abstract: This article presents the development of a generalized mathematical model for estimating the limits of positioning accuracy, which was studied in part 1, when determining the radio source location using the difference-range and goniometric methods for particular scenarios on the plane. The results of this study were implemented in 2D models, which is a convenient tool for establishing the positioning accuracy limits and can it be practically used to substantiate the topologies of station placement in modern and advanced radio networks for solving radio communication, radar, and radio navigation problems, including adaptive beamforming for establishing and maintaining communications. Using private scenarios with three radio stations as an example, it is shown that for positioning of neighboring devices under conditions of their ultra dense distribution on the plane during the cooperation of the minimum required receivers number, the goniometer method is preferable.
Keywords: Circular Error Probable, Positioning, Time Difference of Arrival, Angle of Arrival.
References
1. Zekavat R., Buehrer R.M. Handbook of Position Location: Theory, Practice, and Advances. Hoboken: John Wiley & Sons; 2019.
2. Chernyak V.S., Zaslavsky L.P., Osipov L.V. Mnogopozitsionnye radiolokatsionnye stantsii i sistemy [Multiposition radar Stations and Systems]. Zarubezhnaia radioelektronika. 1987;1:9-69. (in Russ.)
3. Fokin G.A. Upravlenie samoorganizuiushchimisia paketnymi radiosetiami na osnove radiostantsii s napravlennymi antennami [Control of Self-Organizing Packet Radio Networks Based on Radio Stations with Directional Antennas]. Ph.D. Thesis. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ.; 2009. (in Russ.)
4. Babkov V.Iu., Fokin G.A. Otsenka veroiatnosti uspeshnogo radiopriema v samoorganizuiushchikhsia paketnykh radio-setiakh na osnove radiostantsii s napravlennymi antennami [Estimation of the Probability of Successful Radio Reception in Self-Organizing Packet Radio Networks Based on Radio Stations with Directional Antennas]. St. Petersburg Polytechnical University Journal. Computer Science. Telecommunication and Control Systems. 2009;4(82):77-84. (in Russ.)
5. Kireev A., Fokin G. Positioning of Objects in LTE Networks by Measuring Signal Time of Arrival. Proceedings of Telecommunication Universities. 2016;2(1):68-72. (in Russ.)
6. Sivers M.A., Fokin G.A., Dukhovnitskii O.G. Otsenka vozmozhnostei metoda raznostno-dalnomernogo metoda pozitsion-irovaniia abonentskikh stantsii v sistemakh mobilnoi sviazi LTE sredstvami imitatsionnogo modelirovaniia [Opportunity Assessment Method Rangedifference Positioning Method of Subscriber Stations in the LTE Mobile Communication Systems by Means of Simulation]. lnformatsionnye tekhnologii modelirovaniia i upravleniia. 2016; 98(2):149-160. (in Russ.)
7. Kireev A., Fokin G. Radio Direction-Finding of LTE Emissions Using Mobile Spectrum Monitoring Station with Circular Antenna Array. Trudy NllR. 2015;2:68-71. (in Russ.)
8. Kireev A., Fokin G.A. Positioning of Radio-Frequency Source in LTE Networks by Uniform Circular Array. Proceedings of the IVth International Conference on Infotelecommunications in Science and Education, 3-4 March 2015, St Petersburg, Russia. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ., 2015. Vol. 1. p. 122-126. (in Russ.)
9. Fokin G.A. Metodika identifikatsii priamoi vidimosti v radioliniiakh setei mobilnoi sviazi 4-go pokoleniia s prostranstven-noi obrabotkoi signalov [The Direct Line of Sight Identification Technique in the Radio Links of the 4th Generation Mobile Communication Networks with Spatial Signal Processing]. Trudy Nauchno-issledovatelskogo instituta radio. 2013;3:78-82. (in Russ.)
10. Fokin G.A. Imitatsionnoe modelirovanie protsessa rasprostraneniia radiovoln v radioliniiakh setei mobilnoi sviazi 4-go pokoleniia s prostranstvennoi obrabotkoi signalov [Simulation of the Process of Propagation of Radio Waves in the Radio Links of the 4th Generation Mobile Communication Networks with Spatial Signal Processing]. Trudy Nauchno-issledovatel-skogo instituta radio. 2013;3:83-89. (in Russ.)
11. Fokin G. Complex Imitation Model of Radio Emission Sources's Positioning in the Non-Line-of-Sight Conditions. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(1):85-101. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-1-85-101
12. Al-Odhari A., Fokin G. Positioning of Radio Emission Sources in Hilly Terrain Using Unmanned Aerial Vehicles. Proceedings ofTelecommunication Universities. 2018;4(2):5-17. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-2-5-17
13. Lazarev V., Fokin G. Positioning Accuracy Evaluation of Radio Emission Sources Using Time Difference of Arrival and Angle of Arrival Methods. Part 1. Proceedings ofTelecommunication Universities. 2019;5(2):88-100. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-2-88-100
14. Torrieri D.J. Statistical Theory of Passive Location Systems. In: Cox I.J., Wilfong G.T. (eds) Autonomous Robot Vehicles. New York: Springer; 1990. Available from: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8997-2_13
15. Stansfield R.G. Statistical theory of d.f. fixing. Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part lllA: Radiocommunication. 1947;94(15):762-770. Available from: http://dx.doi.org/10.1049/ji-3a-2.1947.0096
