CC BY
268
ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ ПОДВИЖНЫХ ИСТОЧНИКОВ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНЫМ
МЕТОДОМ
Выполнена оценка точности позиционирования подвижного источника радиоизлучения (ИРИ) традиционным разностно-дальномерным методом (РДМ) при различных вариантах движения. РДМ основан на измерении разности времен прихода сигналов от ИРИ до опорных пунктов приема и достаточно хорошо исследован для стационарных объектов позиционирования. Новизной настоящего исследования является учет и оценка влияния траекторий движения ИРИ на точность его позиционирования средствами имитационного моделирования (ИМ). Математическое решение задачи позиционирования движущегося источника радиоизлучения решается оцениванием его координат путем решения системы уравнения РДМ методом нелинейных наименьших квадратов (МНК) на основе итерационных алгоритмов Гаусса-Ньютона (ГН) и Левенберга-Марквардта (ЛМ). Задача поставлена и решена средствами имитационного моделирования; ошибки измерений представлены белым гауссовским шумом. Моделирование выполнено в двухмерном пространстве в области размером (40 км х 40 км). Полученные результаты сопоставимы с предыдущими результатами для условий позиционирования стационарного источника радиоизлучения и составляют 13 метров, а при движении ИРИ от центра к границам периметра расположения опорных пунктов приема ошибка позиционирования существенно увеличивается. Наилучшие результаты по точности позиционирования ИРИ получены при решении системы уравнений РДМ по алгоритму Левен-берга-Марквардта. Увеличение ошибки при движении ИРИ вызвано вилянием геометрического фактора снижения точности (СРОР), что планируется исследовать подробнее в дальнейшем. Предметом исследования является позиционирование подвижного источника радиоизлучения разностно-дальномерным методом. Целью исследования является оценка точности позиционирования путем решения системы уравнений алгоритмами Гаусса-Ньютона (ГН) и Левенберга-Марк-вардта (ЛМ). Методами проведения исследований являются аналитическое и имитационное моделирование. Возможной областью применения результатов настоящего исследования является программная реализация представленных алгоритмов в существующих системах мобильной связи и радиодоступа. Материал настоящей работы организован следующим образом: в разделе 1 представлена математическая модель измерений разностно-дальномерного метода; в разделе 2 представлен анализ траектории движения источника радиоизлучения; в разделе 3 рассмотрены линейный и нелинейные алгоритмы решения системы уравнений разностно-дальномерного метода; в разделе 4 описана имитационная модель, результаты моделирования и выводы.
Информация об авторах:
Фокин Григорий Алексеевич, Доцент кафедры радиосвязи и вещания Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, Россия.
Аль-Одхари Абдулвахаб Хуссейн, Аспирант кафедры радиосвязи и вещания Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, Россия.
Для цитирования:
Фокин Г.А., Аль-Одхари Абдулвахаб Хусейн. Позиционирование подвижных источников радиоизлучения разностно-дальномерным методом // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №4. С. 41-46.
For citation:
Fokin G.A., Abdulwahab Hussein Al-odhari. (2017). Positioning of the moving radiation source using time difference of arrival method. T-Comm, vol. 11, no.4, рр. 41-46. (in Russian)
Фокин Григорий Алексеевич,
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф.М. А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, Россия, grihafokin@gmail.com
Аль-Одхари Абдулвахаб Хуссейн,
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф.М. А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, Россия, abdwru20ll@yandex.ru
Ключевые слова: разностно-дальномерный метод (РДМ), подвижный источник радиоизлучения, стационарный пункт приема, траектория движения источника радиоизлучения.
41
7Т>
Введение
Олннм из эффективных методой определения координат источника радиоизлучения является разностно-дальномерный метод (Time Difference of Arrival — TDOA). Данный метод основан на измерении времени распространения сигнала от источника радиоизлучения (ИРИ) до приемника так, чтобы на его основе можно было рассчитать расстояние между источником радиоизлучения и приемником. Для определения пространственных координат источника радиоизлучения разностно-дальномерным методом нужно определить, как минимум, три разности расстояний, измеренных на четырех приемниках. Местоположение источника радиоизлучения в пространстве определяется как точка пересечения трех гипербол, Метод TDOA используются в гражданских и военных приложениях для выполнения навигационных задач позиционирований. Оценка точности позиционирования разностно-дальномерным методом проводилась в работах [1-5], однако в них не рассмотрен случай движения источника радиоизлучения. Задачей настоящей работы является оценка точности позиционирования подвижного источника радиоизлучения в различных вариантах движения путем решения уравнений РДМ линейным и нелинейными алгоритмами Гаусса-Ньютона и Левенберга-Марквардта. Одним из возможных вариантов использования представленного метода позиционирования является сценарий территориаль-но-распредвоенных радиостанций в составе самоорганизующейся радиосети, которые выполняют роль опорных пунктов приема и измерения сигналов от объекта И Ж [6].
В разделе 1 представлена математическая модель измерений разностно-дальномерного метода для подвижного источника радиоизлучения. В разделе 2 приведен анализ траектории движения источника радиоизлучения. В разделе 3 рассмотрены линейный и нелинейные алгоритмы решения системы уравнений разностно-дальномерного метода. В разделе 4 описана имитационная модель и результаты моделирования. Выводы и план дальнейшей работы представлены в разделе 5.
1. Модель измерений разностно-дальномерного метода
Допустим, источник радиоизлучения излучает сигнал в неизвестный момент времени t((, тогда время прихода сигнала па пункта приема i равно tj = t^+dj/c. где d — расстояние между источником радиоизлучения и пунктом приема i, с— скорость света; время прихода сигнала на пункт приема j равно где i,j =1,2,...,М ,
М- количество стационарных пунктов приема, М>3-Всего возможно М(М— 1 )/2 различных времен прихода Сигналов из всех возможных пар пунктов приема, обозначаемых tiJ=fts -t0)-(t. -t0) = ts -t., где ¡> j; из них всего {M — 1) разностей времен прихода являются независимыми. Линии постоянной разности d. t рассчитывают относительно одного пункта приема, называемого опорным, например, первого пункта приема, тогда можно записать следующие выражения для разностей прихода сигналов [7]
где е— индекс положения подвижного ИРИ в данный момент времени.
Па практике первичные измерения разницы дальностей подвержены АБГШ п . С учетом ошибки измерения линий
постоянной разности г 1 определяются следующим выражением
(2)
Обозначаем через Е1.=[хе,уе] — вектор координат
подвижного источника радиоизлучения, движущегося относительно пунктов приема, е=1,2,...,Ь. Ь —количество точек измерения во времени (пространстве); § = Гх., у Л -
вектор координат стационарных пунктов приема, 3=1,21...,М- В двухмерном пространстве должно выполняться условие М > 3. Расстояние между источником радиоизлучения и пунктам приема определяется следующим образом:
^ +<У-у^,е-и.-Д» НХ--М- <3>
Вектор измерений дальностей (2) в матричном виде может быть представлен выражением [8]:
г = С(х)+п, (4)
где
г =
f(x) =
Г,,
%
Гм»
D;,
(5)
Dy. О.,,
(6)
(8)
П21 П23 П31 П12
Пц.
П
31.
Для нахождения координат источника радиоизлучения требуется решить систему нелинейных уравнений (4).
Предположим, что ошибки измерений расстояния п имеют гауссово распределение, тогда плотность распределения вероятности расстояния г имеет вид [7|:
р(г) =
I
ехр
' (r-f(x))' (r-f(x))^ 2С
(9)
где С — ковариационная матрица г. определяемая по формуле:
C„ = E{(r-f(x))T(r-f(x))} =
о:
(Ю)
где О; — дисперсия погрешности измерений линии постоянной разности г.. Представленные выше формулы использу-
W
ются для расчета расстояния между подвижным источником радиоизлучения и пунктами приема с учетом ошибок в измерениях.
2. Анализ траектории движения источника
радиоизлучения
Пусть источник радиоизлучения движется в двухмерном пространстве по гладкой траектории, которая представляет собой вектор координат от времени, и заключает в себе информацию о положении, параметрах и характере движения источника радиоизлучения. Траектория движения источника радиоизлучения Е, может быть аппроксимирована полиномом К-й степени [8]: к
х. = х„ +Уа„
и О / г с |>
р=|
У.=У0+Ъ*Л (|])
Алгоритм Ньютон а -Рафсона
Алгоритм
Гаусса-
Ньютона
Алгоритм
Гралиектного
спуска
Алгоритм Лсвснбсрга-v Марквардта
Рис. 1. Различные итерационные алгоритмы решения уравнения РДМ
Метод наименьших квадратов является одним из самых простых методов и работает по принципу минимизации целевой функции (15) полученной из уравнения (4).
Целевая функция (15) \|/мнк(ж) имеет следующий вид [9]
* (16)
где X0,y0 - координаты источника радиоизлучения в на- ,к (х) = £ (г - -xf+ (j>-у¡f x, f + (у - >>,):) ......к _______„ + -A L „.™.„™„ ------ к
чальный момент времени i = 0, a ,b — параметры (скорость, ускорение и т.д.) движения источника радиоизлучения по осям х, у соответственно.
Проведем анализ для следующих вариантов движения источника радиоизлучения Е., определяемых степенью К
полинома (11):
1. неподвижный ИРИ: К = 0; уравнение движения для неподвижного источника радиоизлучения имеет вид
**=%> >',=Уо (12>
2. равномерное движение ИРИ: К = I; уравнение движения источника радиоизлучения имеет вид
x, = X0 + a1te , yt = y*+bxlt (13)
3. криволинейное, ускоренное движение ИРИ: К = 2; уравнение движения источника радиоизлучения для равномерно ускоренного движения имеет вид
+ + > У<=У*+Ъ^+Ь£ (14)
3. Алгоритмы решения уравнения
разностно-дальномерного метода
Рассмотрим линейный и нелинейные алгоритмы решения системы уравнений (4). Нелинейные алгоритмы [9] непосредственно используют уравнение (4) для вычисления истинного положения X путем минимизации целевой функции методом наименьших квадратов (МИ К) или методом взвешенных наименьших квадратов (BUM), в результате чего получается ошибка
<15>
где х=[х — у]' —оценка положения х, которая представляет собой оценку нелинейных наименьших квадратов или максимального правдоподобия.
Рассмотрим два нелинейных метода решения уравнения (4): метод наименьших квадратов (МНК) и метод максимального правдоподобия (МММ). Эти методы могут использовать итерационные алгоритмы, например, алгоритм Ньютопа-Рафсона, алгоритм Гаусса Ньютона, алгоритм градиентного спуска и алгоритм Левенберга-Марквардта (рис. 1) [10].
= (г-*(х)т){1г-Г(х)),
и оценка координат источника радиоизлучениях, полученная методом наименьших квадратов, имеет вид
к
В общем случае, не существует законченного аналитического решение (17), поэтому используются следующие итеративные алгоритмы:.
а. Алгоритм Ньютона Рафсона
Итерационная процедура алгоритма 11ыотона-Рафсона для х определяется по формуле [9]
Х^Г-н-^ШМумккЮ),
(18)
где Н(уМ1!К(хт))-матрица Гессе и У(ушк(хт)~ вектор
градиента, измеренный при ш-й итерации, б. Алгоритм Гаусса-Ньютона
Итерационная процедура алгоритма 11ьютона-Рафсона для х определяется по формуле [9]
^■чн _ + (С' (хт)С(хт)Ст(хП1))~1 С' (*т)(г — Т(хт)) (19)
где хт+| — текущее, а х™ — предыдущее рассчитанное значение; С (хт) - Якобиан вектора Г(х) рассчитывается для х и имеет следующее выражение:
G{xm) =
х -х, х - х, у - .v. у-у,
dj d, d: d,
X — Xj x — x,
d, d, d, 4t
x-xk x - Xj У~ Уч У-Ух
(20)
в. Алгоритм Левенберга-Марквардта
Алгоритм Левенберга-Марквардта (ЛМ) представляет собой итерационный метод, который является модификацией классического метода Гаусса-Пыотона и определяется выражением [11]:
T-Comm Vol. 1 1. #4-201 7
где 1п единичная матрица размера п, //'" - корректирующий
множитель (множитель Марквардта) пересчитываете я на каждой итерации метода, причем он уменьшается при сильном уменьшении целевой функции (направление становится ближе к направлению Гаусса-Ньютона) и увеличивается при недостаточном уменьшении либо невозможности уменьшения целевой функции.
г. Линейный алгоритм позиционирования источника радиоизлучения
Линейный алгоритм позволяет получить оценку х координат источника радиоизлучения путем линеаризации уравнения (4), которое может быть представлено следующим образом
А<р + ч = Ь, (22)
где
А =2
У, ~ У 2 У, ~ У2 ~Г2
х."хм Уг^;Ум 'м
(23)
Ф = [х-х, у-у, R, ]', q = [m, т,...тм] ,
b =
-(у-У.)3
г,--(х-х,)2 - (у-у,)-
т
Гм"(х-хн):-(у-ун)\
j = n: + 2n^(x -Xj)2 +(у-у;)г,
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
К,=л/(х-х.)2-(у-у]):.
Оценка х координат источника радиоизлучения линейным методом может быть получена из первой и второй элементов матрицы ф и определяется выражением
*=[1Н+хМ+у.]т- (29)
4. Моделирование и результаты
Моделирование, описанное в настоящей работе, осиовно на использовании рази остио-даль ном ер но го метода (ТРОА). Результаты получены с использованием Ма1ЬаЬ. Моделирование выполняется в двухмерном пространстве в области е размером (40 км х 40 км) и проводится но двум сценариям. Первый сценарий: предполагается, что неизвестный источник радиоизлучения неподвижен и расположен в координате (х.у) = (20 км, 20 км), а пункты приема окружает его и расположены в известных координатах в километрах (10,15), (32,10), (27,32) и (7,27) соответственно. Второй сценарий: источник радиоизлучения движется равномерно относительно пунктов приема с начальными координатами х„ =20км и т(| =20км от центра к границам периметра расположения опорных пунктов приема. В моделирование предлагается что, источник радиоизлучения движется со скоростью 60 км/ч, что позволяет произвести 10 измерений в
10 точках с интервалом 1000 метров от начальной координаты движения источника радиоизлучения. В качества ошибки в измерениях разницы дальностей предполагается АБГШ.
На рисунке 2 показано расположения четырех пунктов приема и неподвижного источника радиоизлучения; построены гиперболы разности расстояния между источником радиоизлучения и пунктом приема и обозначены £) |, пересечения этих гипербол определяет положение источника радиоизлучения.
4
3.5 3 2 5
i 2
>-
1.5
0,5 0
о о RX1 RX2 RX3 RX4
о о о
О -D12 013 1 1D14
* д ТХ GN
•
•
0 5
1,6 2 25 3 3.5 4 X (м) хЮ'
Рис. 2. Область позиционирования с пересечением гипербол
Среднеквадратичная ошибка (СКО) оценки координат источника радиоизлучения определяется выражением
RMSE=^E {Jö^-x)2 +(у -у
(30)
Начальная оценка координат источника радиоизлучения для расчетов по нелинейным алгоритмам Гаусса-Ньютона и Левенберга-Марквардта определяется как среднее арифметическое координат пунктов приема, участвующих в сеансе позиционирования и определяется выражением
1 V (31)
х =•—> х,. '
М н
Пример пересечения гипербол и оценка координат источника радиоизлучения, вычисленная согласно рассмотренным выше алгоритмам, представлен на рис. 3.
хЮ4
1 998 1.999 2 2.001 2 002 2 003 2.004 2 005 2 008 X <м) кю"
Рис. 3. пример истинного положения ИРИ и расчетного положения
У
Т-Сотт Уо1.1 1. #4-201 7
ELECTRONICS. RADIO ENGINEERING
POSITIONING OF THE MOVING RADIATION SOURCE USING TIME DIFFERENCE
OF ARRIVAL METHOD
Grogorii A. Fokin, St. Petersburg University of Telecommunication, St. Petersburg, Russia, grihafokin@gmail.com Abdulwahab Hussein Al-odhari, St. Petersburg University of Telecommunication, St. Petersburg, Russia, abdwru2011@yandex.ru
Abstract
In this paper we estimate positioning accuracy of the moving radiation source using Time Difference of Arrival (TDOA) method in different variants of its movement. TDOA is based on measuring the time difference of arrival of the signals from source to the reference points and it's well studied for stationary sources. The novelty of this study is the consideration and evaluation of the impact of trajectories of movement source on the accuracy of positioning by simulation.
The mathematical solution to the problem of positioning a moving radio source is solved by estimation of its coordinates by solving the equations of TDOA system by nonlinear least squares (OLS) based on iterative algorithms of Gauss-Newton (GN) and LevenbergMarquardt (LM). The problem posed and solved by means of simulation; measurement errors are represented by white Gaussian noise. Simulation performed in two dimensions in the size (40km x 40km). The results are comparable with previous results for the positioning conditions of stationary radio source and constitute 13 meters, in the case of the radio source moving from the center to the borders of the perimeter of reference points the positioning error increases. Best results of positioning accuracy obtained by using the Levenberg-Marquardt algorithm. Error increase when source moving is caused by geometric factor of precision (GDOP), which is planned to be studied thoroughly in the future.
The subject of the study is the positioning of the movable radiation source via range-difference method. The aim of the study is to evaluate the positioning accuracy by solving the system of equations algorithms of Gauss-Newton (GN) and Levenberg-Marquardt (LM). The methods of research are analytical and imitating modeling. Possible application of the results of the present study is a software implementation of the algorithms presented in the existing mobile communication systems and radio. The material of this paper is organized as follows: Section 1 presents a mathematical model of the measurement range difference method; Section 2 presents an analysis of the trajectory of the radio source movement; Section 3 describes the linear and non-linear algorithms for solving the system of equations of range difference method; Section 4 describes the simulation model, the modeling results and conclusions.
Keywords: time Difference of Arrival (TDOA), the moving radiation source, stationary receiving station, the trajectory of movement of the radiation source.
References
1. Fokin G.A. (2015). LTE Mobile Station Positioning Accuracy Evaluation using Time Difference of Arrival. Actual problems of information and telecommunications in the Science and Education IV International scientific-technical and scientific-methodical conference collection of scientific articles, vol. 2, pp. 170-173. (in Russian)
2. Sievers M., Fokin G., Dukhovnitsky O. (2015). Positioning of subscriber stations in the LTE mobile networks TDOA method. Control systems and information technologies, vol. 59, no.1, pp. 55-61. (in Russian)
3. Sivers M., Fokin G. (2015). LTE positioning accuracy performance evaluation. Lecture Notes in Computer Science, vol. 9247, pp. 393-406.
4. Fokin G., Kireev A. (2016). Positioning of Base Station in LTE Networks by Spatial Signal Processing. Actual info telecommunications problems in science and education V International scientific-technical and scientific-methodical conference: collection of scientific articles, vol. 2, pp. 68-72. (in Russian)
5. Mashkov G., Borisov E., Fokin G. (2016). Experimental validation of multipoint joint processing of range measurements via software-defined radio testbed. 18th International Conference on Advanced Communication Technology (ICACT), pp. 268-273.
6. Fokin G. (2009). Self-organized packet radio networks based on packet radios with directional antennas management. Thesis for the degree of Candidate of Technical Sciences, Saint-Petersburg State University of Telecommunications. MA Bonch-Bruevich. St. Petersburg.
7. Kaune R., Horst J., Koch W. (2011). Accuracy Analysis for TDOA Localization in Sensor Networks. 14th International Conference on Information Fusion FUSION, Chicago, USA.
8. Kondratiev V.S., Kotov A.F., Markov L.N. (1986). Multiposition radar systems. Moscow: Radio and Communications, 264 p.
9. Reza Zekavat R. Michael Buehrer (2011). Handbook of Position Location: Theory, Practice and Advances. Wiley-IEEE Press, 1281 p.
10. Mensing C., Plass S. (2006). Positioning Algorithms for Cellular Networks Using TDOA. Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, ICASSP, vol. 4.
11. Levenberg K.A. (1944). Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares. Quarterly Applied Math. 2, pp. 164-168. Information about authors:
Grogorii A. Fokin, Ph. D., St.Petersburg University of Telecommunication as Associate Professor of Department of Radio Communications and Signal Broadcasting. He was born in 1984 in Pskov, graduated St.Petersburg University of Telecommunication in 2005 the received Ph. D there in 2009. From 2010 till 2014 G. Fokin worked as Researcher, Senior Researcher in Radio Research and Development Institute (NIIR). He is is author of 26 scientific papers and 3 tutorials.
Abdulwahab Hussein Al-odhari, Ph. D. Student at Department of Radio Communications and Signal Broadcasting. He was born in 1986 in Sana'a, Yemen graduated the B.Sc. degree in St.Petersburg University of Telecommunication in 2011 and the M.Sc. degree in 2013. He is currently a PhD student in the Department of Radio Communications and Signal Broadcasting. His current research interests are positioning system.
7T>
