Исследование свойств разностно-дальномерной системы произвольной конфигурации с итерационным алгоритмом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.969:519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ С ИТЕРАЦИОННЫМ АЛГОРИТМОМ

Б.В. Матвеев, В.П. Дубыкин, Д.Ю. Крюков, Ю.С. Курьян, Е.М. Кирпичев

В представленной работе исследуются свойства разностно-дальномерной системы (РДС) произвольной конфигурации с итерационным алгоритмом по определению координат источников радиоизлучения (ИРИ) при круговом обзоре. С помощью математического моделирования проведен ряд исследований по определению «слепых зон» и секторов достоверного обнаружения. Сформулированы рекомендации по улучшению свойств РДС

Ключевые слова: разностно-дальномерная система, источник радиоизлучения, измерение координат, круговой обзор, зоны обнаружения

Введение

Среди различных способов определения координат источников радиоизлучения наиболее применяемым в последнее время является разностно-дальномерный метод. Разностно-дальномерная система представляет собой территориально распределенные приемные пункты (ММ), соединенные между собой линиями связи. Под ММ понимается радиоизмерительный приемник с ненаправленной антенной, на выходе которого выдается сигнал [1].

Рис. 1. Симметричная трехпозиционная РДС обнаружения координат ИРИ

Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. техн. наук, профессор, тел. 8-960-138-4561

Дубыкин Владимир Прохорович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-951-547-86-34

Крюков Дмитрий Юрьевич - ВГТУ, студент, e-mail: [email protected]

Курьян Юрий Сергеевич - ВГТУ, студент, e-mail: [email protected]

Кирпичев Егор Максимович - ВГТУ, магистрант, тел. (473)2437665

Для определения плоскостных координат ИРИ требуются как минимум три МП, которые могут быть расположены симметрично друг от друга (рис. 1) и с произвольной конфигурацией (рис. 2). Для того чтобы система нелинейных уравнений. связывающих координаты ИРИ, координаты приемных пунктов с разностями моментов прихода сигнала от ИРИ, не была переопределенной, один из МЛ располагают на плоскости с координатами х = 0. у = 0.

Рис. 2. Трехпозиционная РДС обнаружения координат ИРИ произвольной конфигурации

Исходной информацией для вычисления местоположения ИРИ являются координаты ММ, и разности дальностей Я. = (Di — Д ) на независимых базах и й02. Измерение разности дальностей эквивалентно измерению относительных временных сдвигов сигналов. прошедших разные пути распространения. Определение положения ИРИ в таких системах можно интерпретировать как вычисление координат точки пересечения гипербол (гиперболоидов). фокусы которых совпадают с положением ММ сигналов. В соответствии с этим выражение. связывающее коор-

динаты ИРИ, координаты ПП,- и разности расстояний, имеет вид [4]

Д2 = ( Хц - х, )2 + ( УЦ - у, )2 = (Я, + А)2, (1)

где Хд , Уц - координаты ИРИ; х., у. - координаты ПП,- .

Классический подход для решения таких задач включает построение модели измерений с неизвестными параметрами, выбор функционала, связанного с измерениями, и отыскание набора неизвестных, минимизирующих заданный функционал. Этот набор неизвестных и полагают решением.

Наиболее часто в таком классе задач используют итерационные алгоритмы решения систем нелинейных уравнений, составленных по геометрии РДС, например, метод Ньютона [2]. Однако при хорошей квадратичной сходимости метода Ньютона ему необходимо задавать достаточно хорошее начальное приближение, выбор которого не всегда тривиален.

/ (х) = 0.

(2)

Рис. 3. Трехпозиционная РДС обнаружения координат ИРИ произвольной конфигурации с целью, расположенной внутри системы

Ввиду особенностей рассматриваемого метода поставленную задачу необходимо разделить на два этапа: определение плоскостных координат ИРИ, находящихся вне системы, как показано на рис. 1 и 2, и находящихся внутри системы, как представлено на рис. 3. Необходимость таких действий обусловлена выбором начальных приближений, которые должны различаться для каждого этапа в отдельности.

Алгоритм решения систем нелинейных уравнений

Значения координат источника радиоизлучения можно найти на основе решения системы нелинейных уравнений, составленной в соответствии с геометрией РДС (рис. 3).

В векторной форме общего вида эти уравнения записываются как

Для решения системы уравнений (2), то есть определения координат ИРИ, в большинстве случаев используются итерационные методы (например, метод Ньютона). При этом предполагается, что имеется

ориентировочное начальное приближение корня х( р) для уравнения (2), а точный корень уравнения (2) представляется в виде

х = х( р) + #( р), (3)

где х(р) - поправка корня на к - шаге итерационной процедуры. Для наглядности представим систему нелинейных уравнений (2) в виде

/г( х1, х2,...Х„ ) = 0 /2( хь х2,...ххп ) = 0

(4)

/п (хь х2,...,хп ) = 0

где хп - вектор аргументов, а /п - вектор - функция.

Идея итерационной процедуры заключается в том, что в окрестности принятого приближения задача решения нелинейной системы уравнений заменяется вспомогательной линейной задачей на основе применения разложения уравнений (4) в ряд Тейлора с ограничением только линейными членами.

С учетом поправки корня х(р) на п - м шаге итерационной процедуры за р) система уравнений (3) после разложения ее в ряд Тейлора записывается в общем виде как

/ (х( р) + #(р)) = / (х( р)) + /(х(р))-#(р) = 0, (5)

где / (х(р)) - производная функции (х), под которой принято понимать матрицу Якоби системы функций Л,/2,...,/п относительно переменных хъх2,...хп :

Ш (х) =

/ /

йхх ёх2 ' .. Ахп

/

йхх ёх2 ^ Ахп

/ ' ..

йхх йх2 ' .. АХп.

(6)

Ввиду того, что выражение (5) представляет собой линейную систему уравнений относительно поправок ^(р), оно может быть записано в виде

/ (х( р)) = Ш (х( р)) -4( р) = 0 (7)

и далее из (7) определяем, что

p) = w-1(x( p)) • f (x( p)),

.(pb

(8)

где ^ \х(р)) - обратная матрица.

Новое приближение корня х( р+1) при очередной итерации получается, если (8) подставить в (3) и тогда

х(р+1) = х(р) -[/'(х(р))^7(х(р)), (9)

где p = 0, 1, ... к

Расчетная модель определения координат ИРИ

Формирование расчетной модели предусматривает использование алгоритма решения систем нелинейных уравнений (3) для определения РДС координат ИРИ.

Последовательность процедур алгоритма обеспечивается с учетом следующих особенностей и условий функционирования РДС:

1. При использовании трех ПП аналитические выражения для определения расстояний от приемных пунктов до источника радиоизлучения, исходя из геометрии (рис. 3 ), записываются в виде

Do =

x0 " Хц )2 + (У0 " Уц )2

D = ^(xi - Хц)2 + (yi - уц)2

(10)

D2 =

V(Х2 - Хц )2 + (У2 - Уц )2

Ho = V (Х0 - Х)2 + (Уо - У)2 H = V(x - x)2 + (у - у)2 H2 =V(Х2 - Х)2 + (У2 - у)2

4. В соответствии с расчетным соотношением (9) и выражением для вектор-функции (12) организуются вычисления приближений к корням вектор-функции (12) в соответствии с расчетным соотношением, например, в формате Mathcad

iter(x, y) :=

X ^

- (f(x, y)o) - (f(x, y)o)

dx dy

-(f(x,y)l) -(f(x,y)i)

dx dy

•f(x, y)

norma(x,y,xi,yi) :=

a ^(x - xi)2 + (y - yi)2

где хц, Уц - координаты ИРИ, хг, у - координаты ПП.

2. Переход от дальностей (7) к временным характеристикам РДС, т. е. к расчету взаимных задер-жекг01, г02 сигналов по независимым базам в предположении отсутствия ошибок при измерениях задержек сигнала обеспечивается расчетными формулами

'01

'02 '

Dn

.Di

c

DD

(11)

где с - скорость распространения радиоволны.

3. Выражение для вектор-функции, которое является основой для расчетной модели итерационной процедуры составляется с учетом (7) и (8) в виде

H0 -Hi -

H0 - H2 - cz02

= f (Х, У) = 0,

(12)

где

x

y

X

a

c

c

c

Моделирование РДС на основе рассмотренной расчетной модели для расположения ПП как на рис. 3 (ближняя зона) показало, что в этом случае координаты начального приближения могут быть выбраны в любой точке внутри геометрии расположения ПП при полной сходимости алгоритма. Из результатов следует, что оптимальным выбором положения начального приближения является точка с координатами геометрического центра за счет наименьшего количества итераций, требуемых для определения координат ИРИ.

В дальней зоне РДС (рис. 2) определение координат ИРИ неоднозначно. Проведенные исследования показали наличие «слепых зон» как для случая симметричной конфигурации (рис. 4), так и для произвольного расположения ПП (рис. 5) при выборе начального приближения в геометрическом центре.

Рис. 4. РДС симметричной конфигурации

Рис. 5. РДС произвольной конфигурации

Геометрия «слепых зон» изменяется от конфигурации расположения ПП. В «слепых зонах» итерационный алгоритм не дает решение с заданной точностью.

Устранение этого недостатка возможно соответствующим подбором начального приближения

вне конфигурации системы (дальняя зона) с выбором направления на ИРИ.

Как показали исследования, направления на ИРИ зависят от соотношений между задержками сигналов по независимым базам.

Рис. 6. Пример расположения ИРИ относительно ПП

Из рис. 6 видно, что расстояния от первого и второго ПП до ИРИ одинаковы и определяются по формуле (10). Зная, что расстояния пересчитываются в задержки, как показывает выражение (11), легко увидеть, что при таком расположении ИРИ задержки отрицательны и равны друг другу. Подбирая точки расположения ИРИ определенным образом, определим все возможные комбинации.

Рассмотрим различные варианты расположения ИРИ с соответствующими им временными характеристиками (рис. 7). На основании этого проиллюстрируем более наглядное представление зависимости комбинаций задержек от азимутального расположения источников радиоизлучения (рис. 8).

Рис. 7. Зависимости комбинаций задержек от расположения ИРИ

В итоге получим шесть секторов по 60 градусов, в одном из которых следует выбирать начальное

приближение в зависимости от расположения ИРИ для успешного решения. То есть сравнением двух разниц расстояний или задержек на практике можно определить сектор, где расположен ИРИ (рис. 8).

90

270°

Рис. 8. Секторальное расположение задержек

Все расчеты были произведены для симметричной системы в виде равностороннего треугольника. Для несимметричного расположения ПП выявление зависимости задержек от местоположения ИРИ требует более глубокого изучения данной тематики и проведения иного математического моделирования.

Заключение

Таким образом, рассмотренный метод имеет свои достоинства и недостатки. Достоинства: сам алгоритм не вносит ошибки в определение координат; требует малого количества итераций при грамотном выборе начального приближения; задача внутри системы решается при всех возможных случаях; для симметричной системы «слепые зоны» устраняются; точность определения координат выше, чем у метода прямого алгебраического вычисления. Недостатки: задача нахождения координат ИРИ вне системы решается только не в «слепых зонах» и для симметрич-

ной системы; на практике сложно сделать разграничение на две задачи внутри и вне базы. Но оба эти недостатка устраняются, если в качестве начального приближения использовать координаты ИРИ, полученные при методе прямого алгебраического вычисления.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) проект №13-08-97538-р. центр. а.

Литература

1. Черняк, В.С. Многопозиционная радиолокация. -[Текст] / В.С. Черняк. - М.: Радио и связь, 1993. - 416 с.

2. Деннис, Дж., мл. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений [Текст]: пер. с англ. / Дж. Деннис, мл., Р. Шнабель. - М.: Мир, 1988. - 440 с.

3. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука. 1978. - 831 с.

4. Оценка влияния выбора опорной точки для итерационной процедуры определения координат источника радиоизлучений в разностно-дальномерной системе [Текст] / В.П. Дубыкин, Б.В. Матвеев, Р.В. Степаненко, А.А. Сали-ков // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2012. -Т.8, №3. -С.9-12.

5. Симаков, В.А. Определение плоскостных и пространственных координат источников радиоизлучения автономными разностно-дальномерными системами пассивной локации [Текст] / В.А. Симаков, В.М. Терешко // Приоритеты военно-технической деятельности ФПС России по предупреждению и пресечению террористической деятельности на современном этапе: науч.-техн. сб. по материалам межвед. конф.; НИИТЦ ФПС. - М., 2003. - С. 45-47.

6. Моделирование М-позиционной пассивной раз-ностно-дальномерной системы обнаружения сигналов и измерения координат источников радиоизлучения [Текст] / В.П. Дубыкин, Д.Ю. Крюков, Ю.С. Курьян, Д.В. Асотов // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2013. -Т.9, №6-1. - С.44-47.

7. Монаков, А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем [Текст]: учеб. пособие / А. А. Монаков. - СПб.: ГУАП, 2005. 100 с.: ил.

8. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория [Текст]: справочник / под ред. Я.Д. Ширмана. - изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Радиотехника, 2007. - 512 с.: ил.

9. Knopp, R. 'Remark on algorithm 334 [G5]: normal random deviates' [Text] / R. Knopp // Communications of the ACM. - Vol. 12, No. 5. - 1969.

Воронежский государственный технический университет

INVESTIGATION DIFFERENCE - RANGEFINDER SYSTEM OF ARBITARY CONFIGURATION ITERATIVE ALGORITHM

B.V. Matveev, V.P. Dubykin, D.Yu. Kryukov, Yu.S. Kuryan, E.M. Kirpichev

In this work, we study the properties range-difference system arbitrary configuration with an iterative algorithm for the detection of the coordinates of radio sources at the circular review. With the help of mathematical modeling of a number of studies on the definition of "blind spots" and sectors of reliable detection. Recommendations are made to improve the properties of the range-difference system

Key words: difference-rangefmder system, radio source, coordinate measuring, circular review, detection zones