CC BY
162ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ ИСТОЧНИКА РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНЫМ И УГЛОМЕРНЫМ МЕТОДАМИ. ЧАСТЬ 1
В.О. Лазарев1, Г.А. Фокин1*
^анкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация *Адрес для переписки: grihafokin@gmail.com
Информация о статье
УДК 621.396.969.181.23 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Лазарев В.О., Фокин Г.А. Оценка точности позиционирования источника радиоизлучения разностно-дальномерным и угломерным методами. Часть 1 // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 2. С. 88-100. DOI:10.31854/1813-324X-2019-5-2-88-100
Аннотация: В данной работе рассмотрены оценки пределов точности позиционирования источников радиоизлучения с использованием разностно-дальномерного и/или угломерного метода позиционирования. Продемонстрированы различные способы получения оценок пределов точности позиционирования, такие как нижняя граница Крамера-Рао и круговое вероятное отклонение. Проанализированы зависимости пределов точности позиционирования от положения приемных устройств в пространстве и их количества, результаты анализа представлены в виде графиков в среде MATLAB.
Ключевые слова: нижняя граница Крамера-Рао, круговое вероятное отклонение, разностно-дальномер-ный метод, угломерный метод, позиционирование.
1. Введение
Актуальность настоящего исследования обусловлена стремительным развитием систем мобильной радиосвязи и возрастающими требованиями по повышению точности определения местоположения (ОМП) источников радиоизлучения (ИРИ) в приложениях геолокации.
В радиолокации, радионавигации и приложениях геолокации современных систем радиосвязи применяют различные методы ОМП ИРИ, основными из которых являются разностно-дальномерный (РДМ) [1-4] и угломерный метод (УМ) [5-9]. Данные методы применяют как при позиционировании неподвижных ИРИ, например, базовых станций сетей мобильной связи [7-9], так и подвижных ИРИ, например, абонентских станций [1-4], в том числе при адаптивном диаграммообразовании в самоорганизующихся радиосетях [5-6].
Точность позиционирования ИРИ определяется рядом факторов, среди которых, во-первых, свойства используемых для ОМП сигналов [10] и, во-вторых, взаимное расположение ИРИ и приемных устройств (ПУ) многопозиционной системы геолокации, характеризуемое геометрическим фактором
территориального распределения ПУ [11, 12]. При позиционировании неизбежно появляются различного рода погрешности в измеряемых параметрах, ведущих к ошибкам ОМП ИРИ, что приводит к необходимости поиска наилучшего в данных условиях метода позиционирования или их комбинации, оценка точности которых выполняется с использованием специальных метрик. Практический интерес к оценке пределов точности позиционирования ИРИ позволяет обосновать выбор топологии стационарных ПУ таким образом, чтобы повысить точность ОМП [11, 12]. Если же речь идет о подвижных ПУ, например, на борту беспилотных летательных аппаратов (БПЛА), тогда данный подход позволяет обосновать траектории движения подвижных ПУ [13, 14].
Обычно пределы точности позиционирования определяются метрикой нижней границы Крамера-Рао (НГКР), которая при некоторых условиях на статистическую модель дает нижнюю границу для дисперсии оценки координат ИРИ [15]. НГКР может быть визуализирована эллипсом ошибок на плоскости и позволяет оценить величину и направление ошибки [16]. Помимо метрики НГКР, существует метрика кругового вероятного отклонения
(КВО), которая вычисляется из НГКР и может быть визуализирована окружностью ошибок на плоскости. КВО позволяет оценить только величину ошибки [17]. Для оценки пределов точности позиционирования интерес представляют обе метрики, а также способ их получения [18].
Материал далее организован следующим образом. В разделе 2 описаны метрики НГКР и КВО для оценки точности позиционирования. В разделе 3 формализован математический аппарат оценки НГКР и КВО. В разделе 4 приведено описание разработанной имитационной модели (ИМ) для вычисления и визуализации НГКР и КВО. В разделе 5 сформулированы выводы о применимости выбранных метрик оценки к задаче синтеза топологии для стационарных ПУ и траектории движения подвижных ПУ.
2. Метрики оценки точности позиционирования ИРИ
Для повышения точности позиционирования ИРИ важное значение имеет выбор начальной области итеративного поиска Х0. Обычно, зная расположение ПУ в зоне геолокации ИРИ, значение Х0 выбирается как среднее арифметическое координат ПУ (модели с выборочным средним) [1-4]. При неравномерном расположении ПУ относительно ИРИ выбранное таким образом значение Х0 может оказаться достаточно грубым [11-14]. Для повышения точности выбора начальной оценки целесообразно использовать предварительные оценки точности позиционирования, определяемые геометрическими факторами и характеризуемые метриками НГКР и характеристикой вероятного отклонения.
Пусть 0 = (01, 02, ..., 0м) является случайной выборкой распределения /е(0|х), где х - скалярная величина. Тогда НГКР определяется как [18]:
КагШ >-(-), (1)
где х - оценка величины х; 1(х) - информационная матрица Фишера, задаваемая выражением [18]:
1(х) = Е
'/д1(0,х)\2' = Р д21(0,х)'
\ дх ) . — П дх2
(2)
где /(0, х) - натуральный логарифм функции правдоподобия набора измерений 0 от параметра х; - оператор взятия частной производной по параметру х.
В [18] с помощью НГКР доказано, что модели с выборочной средней оценкой, т. е. заданные далее выражением (5), имеют наилучшие показатели среди других методов оценки, а дисперсия оценки величины х не может быть меньше o2/N. Более подробно оценка НГКР рассмотрена в разделе 3.2.
Характеристика вероятного отклонения определяет вероятность того, что оценка координат ИРИ окажется в пределах определенного геометрического места точек. Различают три характеристики вероятного отклонения [18]:
- линейное (ЛВО) для одномерного позиционирования (например, при измерении дальности одним ПУ) описывается линией;
- круговое (КВО) для двумерного позиционирования (на плоскости) описывается окружностью;
- сферическое вероятное отклонение (СВО) для трехмерного позиционирования (в пространстве) описывается сферой.
Пусть х - п-мерный вектор истинных координат ИРИ; х - п-мерный вектор оценки координат ИРИ; р - радиус отклонения от истинного местоположения ИРИ, задающий геометрическое место точек отклонения; а - вероятность того, что модуль ошибки оценки координат ИРИ \\х — х\\ окажется меньше р. Тогда характеристику вероятного отклонения можно определить как вероятность:
Р(\\х — х\\< р) = а, (3)
т. е. характеристика вероятного отклонения есть вероятность а того, что модуль ошибки оценки координат \\х — х\\ окажется меньше некоторого значения р. Эта характеристика может быть интерпретирована геометрическим местом точек вокруг истинного местоположения ИРИ и вероятностью того, что оценки местоположения ИРИ окажутся внутри этого геометрического места точек. Геометрическое место точек может быть отрезком для переменной х (п = 1, одномерный вектор х, рисунок 1а), окружностью для двумерного вектора х (п = 2, рисунок 1б) и сферой для трехмерного вектора х (п = 3, рисунок 1в).
а) б) в)
Рис. 1. Геометрическая интерпретация характеристики вероятного отклонения
Предполагая, что модель подчиняется нормальному закону распределения, ее функция плотности вероятности ошибки описывается как [18]:
f(E) =
V(2n)nm
exp
■-ЕТ1~1Е 2
(4)
где Е - ошибка измерений; Е - ковариационная матрица ошибки.
Возьмем т-мерную систему определения местоположения с использованием выборочной средней оценки. Пусть в этой системе количество измерений N задается, как [18]:
уп = х + еп, п = 1, 2, ..., N,
(5)
|ж - ж|<р ЬЕР
V2
па
exp
2 а2
dx = а,
для КВО с двумя измерениями:
$ -^=exp(—(х — х)н2_1(х — х)^ dx = а,
УГ я 2п^Щ pv 2( ) ( V
\\* - х\\<рСЕР v
для СВО с тремя измерениями:
. -exp (— i (х — х)н1~1(х — dx = а.
Vwm 2( ) ( >
II*- *||<РхЕР
В дальнейшем в качестве характеристики вероятного отклонения более подробно рассматривается КВО в разделе 3.3.
3. Метрики оценки точности позиционирования
Метрики оценки точности позиционирования приводятся для сопоставления результатов, полученных средствами математического [16] и имитационного моделирования [17].
3.1. Математическая формализация задачи позиционирования ИРИ
Рассмотрим вектор координат ИРИ х и вектор измерений г. Компоненты оцениваемого п-мер-ного вектора х - это координаты местоположения ИРИ в двух- или трехмерном пространстве и возможные другие параметры, например, такие, как время излучения сигнала. Набор N измерений г/, / = 1, 2, ..., N собран в различных точках местополо-
жения ПУ. При отсутствии случайных ошибок измерений, г/ приравнивается к известной функции //(х). При наличии ошибок измерений, г/ задается следующим образом:
ri=fi(x) + ni, ¿ = 1,2.....N,
(6)
гдеуп - это п-ый вектор измерений длины т; х - вектор реальных местоположений объекта; еп - вектор независимых и одинаково распределенных по нормальному закону случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а^ для всех т элементов вектора измерений.
Используя выражения (3) и (4), характеристику вероятного отклонения в моделях с нормальным распределением можно представить для ЛВО с одним измерением в виде выражения:
-(х — х)2^
где N уравнений системы (6) могут быть записаны в векторном виде как одно уравнение для ^мер-ных векторов-столбцов:
Г = /(х) + п, (7)
где г 6 - вектор-столбец измерений; п 6 - вектор-столбец ошибок измерений.
Предполагается, что вектор ошибок измерений п является случайным вектором с положительно определенной ковариационной матрицей N 6 :
N = Е[(п — Е[п])(п — Е[п])Т], (8)
где Е[ ] - математические ожидание; ( )т - транспонирование матрицы.
Если х рассматривается, как неизвестный, но не случайный вектор, и предполагается, что п имеет нулевое математическое ожидание и нормальное распределение, тогда условная плотность вероятности (ПВ) г, по аналогии с (4), определяется как:
p(rlx) =
V(2n№l
х exp
~[r — WYN-^r — f(x)]
(9)
где |N| - определитель матрицы N; N-1 - операция получения обратной матрицы N. Вследствие симметричности и положительной определенности матрицы N ее обратная матрица существует.
Оценка методом максимального правдоподобия есть такое значение x, которое максимизирует выражение (9). Таким образом, оценка данным методом минимизирует целевую функцию Q(x):
Q(x) = [r — f(x)]TN~1[r — f(x)]. (10)
Минимизация Q(x) - обоснованный критерий оценки х, даже если ошибка измерений не имеет нормального распределения. В последнем случае говорят об оценке методом наименьших квадратов, а N-1 рассматривается как матрица весовых коэффициентов.
В общем случае, f(x) - нелинейная векторная функция. Для получения алгоритма оценки вектора x,f(x) может быть линеаризована путем разложения ее в ряд Тейлора двумя первыми слагаемыми в окрестности некоторой точки, заданной вектором xo:
f(x)^ f(x0) + G(x — x0),
(11)
где х и хо - векторы-столбцы размерности п х 1; б 6 6 1я х п - матрица Якоби разложенной в ряд функции /(х), т. е. матрица частных производных размерности N х п, вычисляемая при х = хо:
G =
df1
дх,
dh
дхл
- Xq
:
3f1
дх„
'д£м дх„
- Xq!
(12)
Каждая строка данной матрицы - это градиент-вектор одной из компонент функции /(х). Вектор Х0 может быть получен как начальная оценка х, определенная на предыдущей итерации, либо сформирован на основе априорно-известной информации.
Комбинация выражений (10) и (11) дает:
где
Q(x) = (Г1 - Gx)TN~1(r1 - Gx),
r±=r- f(x0) + Gx0.
(13)
(14)
Для определения необходимого условия оценки х, минимизирующей @(х), необходимо рассчитать градиент @(х), заданный следующим выражением:
VxQ(x) =
д^до^ dQ_
дх1дх2 " дхп
(15)
и найти значение х, удовлетворяющее условию = 0.
Матрица N, по определению, является симметричной, поэтому справедливо выражение N = N. Из того, что (Ы-1)7 = (Ы~т)_1, следует, что (М_1)т = ДО"1, откуда можно сделать вывод о том, что матрица ДО"1 также симметрична. Поэтому из Ч^(х) = 0 для оценки х можно записать следующее выражение:
ЧхЯ(х)1х = $ = 2СтМ~1Сх-2СтМ~1г1 = 0. (16)
Предполагая, что матрица СТЫ~1С является невырожденной, (16) имеет решение в виде:
2 = (GTN~1G)~1GTN~1r1 = = х0 + (GTN~1G)~1GTN~1[r - f(x0)].
(17)
Используя (17), выражение (13) можно представить в следующем виде:
00*0 = [х- х]Сгы~1с[х -х]-
-r'[N~1G(GT N~1G)~1r1 + r'[N~1r1
(18)
где только первый член зависит от х.
Так как матрица N симметрична и положительно определена, то ее собственные значения также положительны. Пусть е - это собственный вектор матрицы N с собственным значением Я. Тогда из Ме = Яе следует, что М-1е = Я-1е, где е также является собственным вектором матрицы М-1 с собственным значением 1/Я. Так как матрица N симметрична и ее собственные значения положительны, матрица также положительно определена. Следовательно, условие х = х минимизирует значение @(х). Оценка (17) называется оценкой линейным методом наименьших квадратов.
Подставив (7) в (17), можно записать выражение для х в форме:
(19)
(20)
х = X+(GTN-1G)-1GTN~1X х [f(x) - f(x0) - G(x - x0) + n},
откуда следует, что на ошибку оценки влияет ошибка линеаризации и шум.
Смещение (bias) оценки х определяется как вектор b = Е\х] - х. Подставив в b выражение (19), получим:
b = (GTN~1G)~1GTN~1 X х {f(x) - f(x0) - G(x - х0) + Е[п]}.
Если f(x) линейна, как в (11), и Е[п] = 0, тогда из (20) следует, что b = 0 и, таким образом, оценка методом наименьших квадратов является несмещенной. Если при измерениях наблюдаются систематические погрешности, то Е[п] Ф 0. Для минимизации смещения, вследствие систематической погрешности измерений, следует минимизировать Е[щ] посредством калибровки. Смещение вследствие нелинейности f(x) может быть установлено разложением f(x) в ряд Тейлора и учетом членов второго порядка.
Пусть P - ковариационная матрица оценки х Тогда, в соответствии с (19):
Р = Е[(х - Е[2])(2 - Е[х])т] = (GTN~1G)~1. (21)
Элементы на главной диагонали матрицы P представляют собой дисперсии а ошибок оцениваемых компонентов вектора x. Так как P входит в (17) для оценки х, ее можно вычислить одновременно с х. Если вектор ошибок измерений n имеет нормальное распределение и нулевое математическое ожидание, алгоритмы метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов оценки х по линеаризованной модели f(x) эквивалентны алгоритму несмещенной оценки с минимальной дисперсией [16].
3.2. Оценка нижней границей Крамера-Рао
Ковариационная матрица P, заданная выражением (21), связана с НГКР следующим выражением:
Р > I1, (22)
где I - информационная матрица Фишера, заданная выражением (2).
Диагональные элементы матрицы I"1 являются минимально возможными значениями дисперсий. В соответствии с заданной в (7) моделью измерений, если ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения, информационная матрица Фишера может быть вычислена как [18]:
1(х) =
дГ(х)
дх
N-
дПх)
дх
(23)
где N - это ковариационная матрица ошибок измерений, заданная выражением (8).
Так как матрица Р является симметричной и положительно определенной (с неотрицательными
собственными значениями), т. е. Р-1 существует, то (23) можно вычислить с помощью (21) как:
где
1 = Р~
(GTN~1G)~
(24)
/s© =
J(2n)nlP
exp
-Ъ — тУРЪ — т)
(25)
Ре(к) = JJ...J hQOd^d^.-.d^,
R
где область интегрирования задается как: R = — m)TP~1(^ — m)< к}.
(27)
(28)
Для упрощения (28) до одного интеграла, необходимо произвести преобразования осей координат. Во-первых, систему координат нужно преобразовать таким образом, чтобы ее центр совпал с т, путем замены переменных у = % — т:
,(K) = ajj...j exp (—12уТР dy1dy2 ...dyn,
(29)
R1 = (у : yTP~1Y < к},
а =
Если г - вектор случайных величин (СВ), распределенных по нормальному закону, тогда из (17) следует, что х - тоже вектор СВ, распределенных по нормальному закону, и его функция ПВ при х = % для всех значений вектора % задается выражением:
J(2n)nlPl
(30)
(31)
где т = Е[Ж] - это математическое ожидание вектора х.
Из (21), (22) и (25), геометрическое место точек ПВ, определяющее значения НГКР, описывается следующим выражением:
(% — т)Тр-1(% — т) = к, (26)
где левая часть выражения - это расстояние Маха-ланобиса от вектора % до множества со средним значением т; к - константа, определяющая размер п-мерной области, ограниченной некоторой поверхностью.
В общем случае, выражение, имеющее форму (26) для п-мерного вектора случайных значений х, распределенных по нормальному закону и с ковариационной матрицей Р, может быть представлено как сумма п квадратов независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону, имеющих нулевое математическое ожидание и дисперсией, равной единице. Распределение такого рода называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы [19].
Для двумерного случая поверхностью размера к является эллипс, а для трехмерного - эллипсоид. В общем случае, для п измерений поверхность может рассматриваться как п-мерный гиперэллипсоид. Если Р не является диагональной матрицей, то направления главных осей гиперэллипсоида не совпадают с осями координат.
Вероятность нахождения х внутри гиперэллипсоида, заданного (26), равна:
Для упрощения (29) оси координат следует повернуть таким образом, чтобы их направления совпали с главными осями гиперэллипсоида. Вследствие симметрии и положительной определенности матрицы Р, такой же является и обратная ей матрица Р-1. Следовательно, существует ортогональная матрица А, столбцами которой являются собственные векторы, и которая диагонализирует матрицу Р-1. Таким образом, АТ = А и:
АТР1А =
Я7
0
= [ЯГ1],
(32)
L0 Хп1\
где Яг, Яг,..., Яп - собственные значения матрицы P.
В результате поворота осей вводится новая переменная:
Z = Ату. (33)
Так как ATA = I (где I - единичная матрица), а определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, определитель AT, являющийся якобианом преобразования, равен единице.
Подставив (32) и (33) в (29) и (30), выражение для матрицы P будет иметь следующий вид:
Ре(к) = а JJ...J exp (~2<Г[Я-1К)Ц1Ц2 ...dtn =
= "ff...f exp ( — 1 E 7-W2
где
2 i = 1 Я
n r?
R2 = \4: E
i = lAi
■d(n
(34)
(35)
а определено в (31); £ - компоненты вектора
Область R2 - это внутреннее пространство гиперэллипсоида, длина главных осей которого равна 2^кХ1, I = 1,2,..., п. Путем преобразований, приведенных в [16], для п = 1, 2 и 3, интеграл в (34) может быть представлен как:
Ре(к) = ег^Л/2), п = 1; (36)
Ре (к) = 1 — ехр(— к/2), п = 2; (37)
Ре(к) = ег{(Лс/2) — ^2к/пехр(— к/2), п = 3. (38) Функция ошибки здесь определяется как: 2
erf(x) = — / * exp(—t2)dt.
(39)
При заданном значении Ре, например Ре = 1/2, решение (34), (36), (37) и (38) позволяет найти к, кото-
рое задает размеры гиперэллипсоида в (26). Соответствующий вероятности Ре эллипсоид рассеяния определяется как гиперэллипсоид, для которого Ре -это вероятность нахождения х внутри него. Таким образом эллипсоид рассеяния есть мера предела точности несмещенной оценки.
Рассмотрим случай оценки двумерного вектора, являющегося координатами местоположения ИРИ на плоскости, ковариационная матрица которого может быть представлена выражением:
Р =
a2
(40)
При этом собственные значения (используя только положительное значение корня; по определению, Х1 > Х2) вычисляются как [16]:
Я. = -
я7=-
+ a^+ ¡(al- a\)2 + 4a
(af - a\)2 + 4a
(41)
(42)
Предположим, что новая система координат получена путем поворота осей старой системы координат против часовой стрелки на некоторый угол 0 (рисунок 3).
Единичная окружность
2^кЯ1
х(р) = ^кЯ1х1 cos р + ^кХ2х2 sin в у(в) = Jkhyi cos в + ^кХ2у2 sin в Рис. 3. Эллипс рассеяния и оси координат
Вектор старой системы координат, обозначенный на рисунке 2 как Ы, в новой системе координат обо-
значается как
где A - ортогональная
матрица поворота:
= ÍCC Lsi
cos 0 sin 0
-sin 01 cos 0 i
(43)
Если 6\ = и а12 =0, то 0 = 0. Поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, то ХхХ2 = — а^2. Тогда диагональная матрица (32) может быть записана в следующей форме [16]:
[Я"1] =
V
0
ai > ai
(44)
[Я"1] =
(45)
Эллипс рассеяния, заданный как Р 1 [у] = к
в старых координатах и описываемый выражением (х'/Х,)2 + (у'/Х2)2 = к или (х'/Х2)2 + (у'/Х,)2 = к -в новых координатах, указывает на то, что новые оси координат совпадают с главными осями эллипса. На рисунке 3 изображен сам эллипс рассеяния и соответствующий угол 0 вращения его оси. Так как Х1 > Х2, большая и малая оси эллипса имеют длины 2^кХ1 и 2^кХ2, соответственно. Если эллипс окружает область, включающую вектор случайных значений, распределенных по нормальному закону с вероятностью Ре, тогда из выражения (37) для случая на плоскости при п = 2 следует [16]:
к = -2ln(l - Ре).
(46)
Значения к для n = 2 соответствуют определенным областям заданной вероятности (50 % - 1,386; 60 % -1,832; 70 % - 2,408; 80 % - 3,219; 90 % - 4,605) [19].
Получив выражения для Ре(к) в (34-38) и однозначно определив область эллипса оценки НГКР в (46), далее рассмотрим метрику КВО при позиционировании ИРИ на плоскости.
3.3. Оценка кругового вероятного отклонения
Предположим, что двумерный вектор случайных значений, распределенных по нормальному закону, описывает оценку местоположения ИРИ. В таком случае, грубой, но относительно простой метрикой точности позиционирования является КВО.
КВО определяется как радиус окружности, центр которой совпадает со средним значением вычисленной оценки, и содержит половину реализаций случайного вектора оценки х. КВО - мера неопределенности оценки местоположения х относительно значения его математического ожидания Е [2].
Если оценка является несмещенной, то КВО является мерой неопределенности оценки относительно истинного местоположения ИРИ. Если же величина смещения ограничена значением b, тогда с вероятностью 0,5 отдельно взятая оценка местоположения находится в пределах b+CEP (где CEP -КВО, от англ. Circular Error Probability) от истинного местоположения ИРИ (рисунок 4).
Вектор
смещения * Средняя
\ оирнка '
\ /
Рис. 4. Геометрическая интерпретация метрики КВО
Из определения КВО следует, что его значение можно найти, решив следующее уравнение:
и/*
т%г<1%2,
где
И = {%: 1% — т1< СЕР}.
(47)
(48)
РХ = ЯХ,
(51)
Аналогично (34), после поворота осей координат получаем выражение:
11 ' 2 о /гт=п ехр1 —
где
П1={&1,Ъ):(£+®1/2<СЕР}, (50)
а значения Я; заданы выражениями (44) и (45).
Получив выражение (49) для КВО, далее рассмотрим метрики НГКР и КВО, использованные в имитационном моделировании [17].
3.4. Вычисление метрики НГКР в имитационной модели
НГКР является теоретическим нижним пределом точности позиционирования и зависит от: а) геометрического расположения ПУ относительно ИРИ и друг относительно друга; б) дисперсии первичных измерений а; в) количества измерений N. Для вычисления НГКР необходимо знать вектор координат ПУ, вектор координат ИРИ х и функцию /(х), определяемую используемым методом позиционирования (УМ и/или РДМ). НГКР может быть определена для различной размерности: при п = 1 получается отрезок ошибок, при п = 2 - эллипс ошибок, при п = 3 - эллипсоид ошибок.
Для имитационного моделирования рассмотрим оценку НГКР на плоскости. Величина и направление эллипса ошибки НГКР могут быть найдены из ковариационной матрицы Р путем решения следующей задачи нахождения собственных значений:
Тогда выражение для КВО имеет вид:
2п СЕР
где Я - собственное значение, а X - собственный вектор. При этом ковариационная матрица Р задана выражением (21). Ориентация полуосей эллипса ошибки задается собственными векторами, а величина - собственными значениям. Эти значения описываются матрицей D:
О = Х^Р, (52)
где X - матрица собственных векторов, /-ый столбец которой относится к /-му собственному вектору X/; матрица Р - диагональная матрица, заданная выражением (21), на главной диагонали которой расположены собственные значения Я, где Я/ - /-ое собственное значение.
Таким образом, выражение для нахождения вектора, направленного в точку, лежащую на эллипсе ошибок, можно найти следующим образом:
х(в) У(в)
= О
cos в sm в
(53)
где в - угол по направлению к точке на единичной окружности.
Пример эллипса ошибки НГКР и механизм его построения показан на рисунке 3. Ориентация эллипса задана векторами [х1, уг] и [х2, У2], а форма определяется величиной значений ^кЯ1 и ^кЯ2 (большая и малая полуоси эллипса).
3.5. Вычисление метрики КВО в имитационной модели
КВО вычисляется из соответствующих значений НГКР и может быть представлено в виде окружности ошибки (для плоскости). Для реализации вычислений метрики КВО, получим выражение из (49) путем перехода к полярным координатам и используя = rcos в и = ^т 0 [12].
2п^Я1Я2 Интегрируя (54) по г, получаем:
гехр
r2/cos2в sm2в
йгйв.
я
Ре(я,ям = ±п\
где [(в) = ехр
йв
ехр I —
7Я1С0529 + Х251П29 г = 0
£
= 1 — тав,
д2
2(Я1СО520 + Я25т2в)/.
(54)
(55)
(56)
Так как /(0) - периодическая аналитическая функция, значение (55) может быть найдено с довольно высокой точностью с использованием метода трапеций. Тогда значение КВО может быть найдено следующим образом:
1
2'
Ре(Я,Я1,Я2) = 1 —
N
N - 1
\г(в0) + \г(вм)+ ^Г(вк)
к = 1
(57)
к п
где вк = —; к = 0,1,2,...,Ы; N - количество делителей в интервале [0, п/2].
Выражение (57) путем итеративных вычислений позволяет найти значение КВО с заданной точностью [17].
4. Имитационная модель оценки точности позиционирования
4.1. Постановка задачи имитационного моделирования
Рассмотрим реализуемые в имитационной модели методы позиционирования. Принцип действия РДМ представлен на рисунке 5а и заключается в измерении дальности распространения сигнала, которая выражается через разность времени прихода сигнала на ПУ и определяется выражением:
Айц й^ — й]
Ыц = ■
^ — = VО — Х1)2 — (у — уд2 — (г — г1)2
(59)
—^ (х — х;) — (у — У,) — —
где i и j соответствуют двум различным ПУ; d - расстояние от ИРИ до ПУ; c - скорость света; T - задержка распространения сигнала от ИРИ до ПУ; (х, у, z) - координаты ИРИ. При использовании данного метода предполагаемое местоположение ИРИ представляет собой точку пересечения гипербол, фокусы которых находятся в местах расположения ПУ [17]. Принцип действия УМ представлен на рисунке 5б. В отличие от РДМ, где измеряют разность расстояния между несколькими ПУ, в УМ для определения местоположения ИРИ используют направление распространения сигнала.
ИРИ
(х, У, 2)
ПУ 1
(Х1, У1, И)
/ ИРИ
1 / (х, У, г)
1 1
! в /
ПУ 1 (Х1, У1, 21)
а) б)
Рис. 5. Принцип действия РДМ (а) и УМ (б)
Выражение для УМ (на плоскости) для угла прихода определяется следующим образом:
0 = агйап
(х — х-\
' У = Уí+tan 0(х — Х1), (60)
где 0 - угол между вертикальной осью у на плоскости и позицией ИРИ.
Принимая во внимание геометрические аспекты расположения ПУ на плоскости, для РДМ, в отличие от УМ, характерна симметрия относительно линии расположения (или движения) ПУ и, следовательно, зеркальное отображение местоположения ИРИ (рисунки 6а, 6б). Это явление может быть устранено путем изменения траектории движения ПУ, использования не менее трех ПУ в стационарном режиме, а также - УМ или его комбинации с РДМ (рисунок 6в). Кроме того, и для РДМ, и для УМ характерны области невозможности позиционирования (см. рисунки 6а-6в), что может быть устранено путем выбора траектории, где ПУ не двигаются вдоль какой-либо из осей, например, по диагонали (рисунок 6г) [17].
Зеркальное Отображение ИРИ О
позиционирование
■ Позиционирование затруднено -| Позиционирование
ПУ 2 ПУ 1
|—I позиционирование I—| Позиционирование I—I затруднено I—| Позиционирование
Зеркальное Отображение ИРИ О
г—| Однозначное I—I позициониро вание |—| Позиционирование
ПУ 2 ПУ 1
V ИРИ •
^^ и
ПУ 1 ■ ■
■ ПУ 2
|—| Однозначное 1—1 позиционирование 1—| Позиционирование 1—1 затруднено
1У 1
ПУ 2
а) б) в) г)
Рис. 6. Области позиционирования ИРИ для РДМ при движении ПУ друг за другом (а), при равноудаленном параллельном движении ПУ по прямой (б), для УМ или комбинации РДМ-УМ при движении ПУ друг за другом (в) и для РДМ при равноудаленном параллельном движении ПУ по диагонали (г)
4.2. Условия имитационного моделирования
В имитационном моделировании выполняется расчет значений НГКР и КВО в среде MATLAB с возможностью задания предполагаемой траектории движения ПУ и метода позиционирования (РДМ или УМ) или их комбинации. Следует подчеркнуть, что выполняется не оценка местоположения ИРИ (оно известно), а оценка пределов точности ОМП ИРИ на плоскости по метрикам НГКР и КВО.
Допустим, что исследуемая модель является моделью с выборочной средней оценкой [18], т. е. задана выражением (5), а первичные измерения РДМ и УМ являются средними значениями, полученными за период измерения, и имеют одинаковые дисперсии для всех измерений. Предположим, что величина дисперсии для РДМ равна (50 нс)2, а для УМ -(2о)2. Установим максимальное время наблюдения равным 5 мин, а максимальную скорость - 30 м/с.
Максимальное расстояние, на которое может переместиться ПУ за время наблюдения, равно 9 км. Максимальное расстояние за один период измерения составляет 60 м, а максимальное количество периодов измерений - 150. Значения исходных данных, использованных в имитационном моделировании, приведены в таблице 2. По предлагаемому в модели сценарию ПУ могут быть расположены на различных расстояниях друг от друга, могут быть неподвижны и/или двигаться по определенной траектории по отношению к ИРИ. В модели для анализа РДМ необходимо наличие как минимум двух ПУ, а для УМ достаточно одного. Таким образом, для УМ моделирование выполнено для одного и двух ПУ. В случае УМ с одним ПУ и РДМ, для определения местоположения ИРИ, ПУ необходимо пройти некоторое расстояние. Для УМ с более чем одним ПУ и комбинации РДМ-УМ, движение ПУ необязательно, и они могут быть неподвижны весь период измерения. Также предполагается, что ИРИ неподвижен на протяжении всего периода измерений.
ТАБЛИЦА 2. Исходные данные для моделирования
Параметр Значение
Период измерения, с 2
Максимальное время наблюдения, мин 5
Максимальное количество периодов измерений 150
Максимальная скорость ПУ, м/с 30
Максимальное расстояние за один период измерения, м 60
Максимальное расстояние за время наблюдения, км 9
Дисперсия [РДМ), (нс)2 50
Дисперсия (УМ), (0)2 2
Каждое вычисление происходит для одной позиции ИРИ, т позиций ПУ и N измерений с соответствующими дисперсиями. Позиция ПУ может быть одной и той же для всех т (стационарный случай), либо меняться для разных т (случай движения ПУ). Количество периодов измерений равно количеству позиций ПУ т, в то время как количество измерений равно или больше, чем количество позиций ПУ, т. е. N > т, в зависимости от использованных методов позиционирования (или их комбинации). Таким образом, комбинация РДМ и УМ (2 ПУ) дает три измерения на каждую позицию ПУ, т. е. N = 3т.
Исходные данные имитационного моделирования включают: координаты ИРИ (хе,уе); ПУ1 (х1,у1); ПУ2 (х2, у2); дисперсии а2 для каждого из измеряемых параметров (разница времени прихода сигналов для РДМ и угол прихода сигнала для УМ). Результаты имитационного моделирования включают: радиус КВО для определенного местоположения ИРИ; длина большой и малой полуосей эллипса ошибки НГКР для определенной позиции ИРИ.
Результаты имитационного моделирования представлены в виде кривых контуров КВО, где каждая точка контура представляет собой значение радиуса КВО (для вероятности 50 %) в метрах на различных интервалах: [1 м, 2 м, ..., 10 м], [10 м, 20 м, ..., 100 м] и так далее (рисунок 8). Начальные и конечные координаты ПУ обозначены квадратами зеленого и красного цвета соответственно, при этом показаны только начальные и конечные положения. Линиями разного цвета обозначены траектории движения ПУ.
Для вычисления оценки с использованием метрики КВО, в модели используется матрица позиций ИРИ, каждый элемент которой - это вектор координат предполагаемого местоположения ИРИ (сетка с шагом 1 км между соседними точками). Таким образом, значения радиуса КВО рассчитаны в различных местоположениях ИРИ внутри области 200 х 200 км вокруг ПУ. В зависимости от полученных значений радиуса КВО, были построены контуры КВО, показывающие точность позиционирования, которая может быть получена в различных точках вокруг ПУ.
Для вычисления оценки с использованием метрики НГКР используется вектор значений угла до точки окружности определенного радиуса предполагаемого местоположения ИРИ, из которого вычисляются координаты ИРИ (рисунок 7).
20
0
-20
Рис. 7. Пример расчета эллипсов НГКР (величина эллипсов искусственно увеличена в 10 раз)
Были проанализированы пределы точности позиционирования по метрикам НГКР и КВО для РДМ, УМ и их комбинации (рисунок 8) для следующих траекторий движения ПУ: прямая, ломаная (пилообразная), зигзагообразная, круговая, друг за другом. При движении ПУ расстояние между соседними ПУ составляет 10 км. Результаты моделирования сведены в таблицу 3.
В дальнейшем, для анализа движения ПУ, обозначим линии движения ПУ на рисунках 6а и 6б как вертикальную линию движения ПУ и горизонтальную линию движения ПУ, соответственно.
\ 0 / / /
\ 0 / / /
— —
/ 0 \ 4
О 20
УМ (КВО и НГКР)
60 80 10(
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1С -100
-60 -40 -20 0 20 40
д)
Рис. 8. КВО и НГКР при равноудаленном движении ПУ по прямой (а), ломаной (б), зигзагообразной (в), круговой (г), друг за другом по прямой (д) траектории для РДМ, УМ и комбинации РДМ-УМ
ТАБЛИЦА 3. Сравнение пределов точности различных методов позиционирования (РДМ/УМ/РДМ-УМ)
Траектория Зеркальность Линия неоднозначности позиционирования Количество ПУ Точность позиционирования, м
10 км 50 км 100 км
По кругу Нет/Нет/Нет 0/0/0 2/2/2 10/100/30 3000/2000/1000 30000/7000/7000
Равноудаленно Нет/Нет/Нет 2/0/0 2/2/2 20/100/20 300/2000/300 1000/6000/1000
Друг за другом Да/Нет/Нет 1/1/1 2/2/2 20/100/20 300/2000/300 1000/6000/1000
Зигзаг Нет/Нет/Нет 1/0/0 2/2/2 20/100/10 400/2000/600 2000/7000/2000
Пилообразно Нет/Нет/Нет 1/0/0 2/2/2 20/100/20 300/2000/300 1000/6000/1000
Стационарно -/Нет/Нет -/1/1 -/2/2 -/50/50 -/1000/1000 -/3000/3000
По прямой -/Нет/Нет -/1/1 -/1/1 -/300/300 -/2000/2000 -/20000/20000
Анализ контуров КВО для РДМ (см. рисунки 8а и 8д) показывает, что контуры КВО симметричны относительно вертикальной и горизонтальной линий движения ПУ. При этом точность ОМП на вертикальной линии ПУ низкая, а относительно горизонтальной линии ОМП невозможно из-за стремления ошибки к бесконечности (что подтверждает предположения на рисунке 6). Использование более сложной траектории движения ПУ (см. рисунки 8б и 8в), УМ или комбинации РДМ-УМ позволяет избавиться от низкой точности или невозможности ОМП относительно вертикальной и горизонтальной линий движения ПУ.
Точность позиционирования означает максимальное значение радиуса КВО в точках пересечения контуров КВО и окружности, радиус которой равен одной из трех величин (см. таблицу 3): 10, 50 или 100 км. Полученные значения точности позиционирования показывают, что наименее предпочтительной траекторией движения для двух ПУ является круговая, а также движение одного ПУ по прямой с использованием УМ (при увеличении расстояния точность позиционирования сильно снижается по сравнению с другими траекториями). Наилучшие результаты с точки зрения точности показали более сложные траектории, такие как пилообразная и зигзаг.
Исходя из полученных результатов (см. рисунок 8) видно, что метрика эллипсов НГКР в большинстве случаев применима только на небольшом расстоянии от ПУ, а в некоторых случаях, при наличии области неоднозначности/невозможности позиционирования, неприменима вовсе (см. рисунок 8д). При увеличении расстояния ИРИ от ПУ данная метрика теряет свою информативность, т. к. коэффициент сжатия эллипса, равный отношению полуосей эллипса, в
БЛАГОДАРНОСТИ
некоторых случаях стремится к нулю. Особенно это касается областей неоднозначного или невозможного позиционирования, в то время как значение контуров КВО с увеличением расстояния ИРИ от ПУ позволяет получить значение оценки точности независимо от расстояния.
Несмотря на то, что в большинстве случаев ощутимого выигрыша в точности от использования комбинации РДМ-УМ нет, применительно к более сложным траекториям движения (зигзаг и пилообразная траектории), подобное сочетание позволяет избавиться от областей неоднозначности или невозможности позиционирования (не увеличивая при этом количество ПУ), что может быть использовано при синтезе топологии движения БПЛА.
5. Выводы
Полученные результаты (см. рисунок 8) показывают, что выбор комбинации методов влияет, во-первых, на наличие области, где определение местоположения невозможно и, во-вторых, на достижимую точность позиционирования. Результаты моделирования (см. таблицу 3), позволяют сделать вывод о том, что использование комбинации РДМ и УМ вместе с выбором траектории движения позволяет не только улучшить точность позиционирования, но и избавиться от областей неоднозначного/невозможного определения местоположения. Анализ метрик показал, что на больших расстояниях целесообразнее использовать именно КВО, т. к. оно дает более полную картину о пределах точности, а оценка эллипсов НГКР представляет интерес только в определенных точках и утрачивает информативность на больших расстояниях.
Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации по Гранту Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых № МК-3468.2018.9.
Список используемых источников
1. Сиверс М.А., Фокин Г.А., Духовницкий О.Г. Оценка возможностей метода разностно-дальномерного метода позиционирования абонентских станций в системах мобильной связи LTE средствами имитационного моделирования // Информационные технологии моделирования и управления. 2016. Т. 98. № 2. С. 149-160.
2. Фокин Г.А. Оценка точности позиционирования абонентских станций в сетях LTE разностно-дальномерным методом // IV Международная научно-техническая и научно-методическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 3-4 марта 2015). Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: сборник научных статей в 2 томах. СПб: СПбГУТ, 2015. Т. 1. С. 170-173.
3. Фокин Г.А., Аль-Одхари А.Х. Позиционирование подвижных источников радиоизлучений разностно-дальномерным методом // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Т. 11. № 4. С. 41-46.
4. Киреев А.В., Фокин Г.А. Позиционирование объектов в сетях LTE посредством измерения времени прохождения сигналов // Труды учебных заведений связи. 2016. Т. 2. № 1. С. 68-72.
5. Фокин Г.А. Управление самоорганизующимися пакетными радиосетями на основе радиостанций с направленными антеннами. Дис. ... канд. техн. наук. СПб: СПбГУТ, 2009.
6. Бабков В.Ю., Фокин Г.А. Оценка вероятности успешного радиоприема в самоорганизующихся пакетных радиосетях на основе радиостанций с направленными антеннами // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2009. № 4(82). С. 77-84.
7. Киреев А.В., Фокин Г.А. Пеленгация источников радиоизлучения LTE мобильным пунктом радиоконтроля с круговой антенной решеткой // Труды Научно-исследовательского института радио. 2015. № 2. С. 68-71.
8. Киреев А.В., Фокин Г.А. Позиционирование источников радиоизлучения в сетях LTE с использованием круговой антенной решетки // IV Международная научно-техническая и научно-методическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 3-4 марта 2015). Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: сборник научных статей в 2 томах. СПб: СПбГУТ, 2015. Т. 1. С. 122-126.
9. Киреев А.В., Фокин Г.А. Позиционирование базовой станции в сетях LTE средствами пространственной обработки сигналов // III Международная научно-техническая и научно-методическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 25-26 февраля 2014). Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: сборник научных статей. СПб: СПбГУТ. 2014. С. 124-128.
10. Дворников С.В., Фокин Г.А., Аль-Одхари А.Х., Федоренко И.В. Оценка влияния свойств сигнала PRS LTE на точность позиционирования // Вопросы радиоэлектроники. Серия: Техника телевидения. 2017. № 4. С. 94-103.
11. Аль-Одхари А.Х., Фокин Г.А., Федоренко И.В., Рябенко Д.С., Лавров С.В. Исследование влияния геометрического распределения пунктов приема и источника радиоизлучения на точность позиционирования // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С: Фундаментальные науки. 2017. № 4. С. 2-7.
12. Дворников С.В., Фокин Г.А., Аль-Одхари А.Х., Федоренко И.В. Исследование зависимости значения геометрического фактора снижения точности от топологии пунктов приема // Вопросы радиоэлектроники. Серия: Техника телевидения. 2018. № 2. С. 99-104.
13. Аль-Одхари А.Х., Фокин Г.А. Позиционирование источников радиоизлучения в условиях высокогорья с использованием беспилотных летательных аппаратов // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 2. С. 5-17. D0I:10.31854/1813-324x-2018-2-5-17
14. Фокин Г.А., Аль-Одхари А.Х. Обработка РДМ измерений для позиционирования с использованием беспилотных летательных аппаратов // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Т. 12. № 7. С. 52-58. DOI: 10.24411/20728735-2018-10121
15. Киреев А.В., Федоренко И.В., Фокин Г.А. Оценка точности позиционирования объекта с помощью границы Крамера-Рао // Труды учебных заведений связи. 2017. Том 3. № 2. С. 77-83.
16. Torrieri D.J. Statistical Theory of Passive Location Systems // Cox I.J., Wilfong G.T. (eds) Autonomous Robot Vehicles. New York: Springer, 1990. D0I:10.1007/978-1-4613-8997-2_13
17. H0ye G. Analyses of the geolocation accuracy that can be obtained from shipborne sensors by use of time difference of arrival (TDOA), scanphase, and angle of arrival (AOA) measurements // Forsvarets forskningsinstitutt, 2010. 178 с.
18. Zekavat R., Buehrer Handbook of position location: Theory, practice and advances. Hoboken: John Wiley & Sons, 2019.
19. Bar-Shalom Y., Li. X.R., Kirubarajan T. Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: John Wiley & Sons, 2001.
* * *
POSITIONING ACCURACY EVALUATION OF RADIO EMISSION SOURCES USING TIME
DIFFERENCE OF ARRIVAL AND ANGLE OF ARRIVAL METHODS. PART 1
V. Lazarev1, G. Fokin1
JThe Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg, 193232, Russian Federation
Article info
Article in Russian
For citation: Lazarev V., Fokin G. Positioning Accuracy Evaluation of Radio Emission Sources Using Time Difference of Arrival and Angle of Arrival Methods. Part 1. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(2):88-100. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-2-88-100
Abstract: In this article positioning accuracy limits evaluation of radio emission sources using Time Difference of Arrival and Angle of Arrival methods are investigated. Different accuracy limits estimation metrics, such as Cramer-Rao lower band and Circular Error Probability, are presented. Accuracy limits estimation values, that depend on radiation sources position and its amount, are analyzed and analysis results as graphs in MATLAB are shown.
Keywords: Cramer-Rao Lower Band, Circular Error Probability, Time Difference of Arrival, Angle of Arrival. References
1. Sivers M.A., Fokin G.A., Dukhovnitskii O.G. Otsenka vozmozhnostei metoda raznostno-dalnomernogo metoda po-zitsion-irovaniia abonentskikh stantsii v sistemakh mobilnoi sviazi LTE sredstvami imitatsionnogo modelirovaniia [Opportunity Assessment method rangedifference positioning method of subscriber stations in the LTE mobile communication systems by means of simulation]. Informatsionnye tekhnologii modelirovaniia i upravleniia. 2016; 98(2):149-160. (in Russ.)
2. Fokin G.A. LTE Mobile Station Positioning Accuracy Evaluation using Time Difference of Arrival. Proceedings of the IVth International Conference on Infotelecommunications in Science and Education, 3-4 March 2015, St. Petersburg, Russia. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ., 2015. Vol. 1. p. 170-173.
3. Fokin G.A., Al-odhari A.H. Positioning of the moving radiation source using time difference of arrival method. T-Comm. 2017;11(4):41-46. (in Russ.)
4. Kireev A., Fokin G. Positioning of Objects in LTE Networks by Measuring Signal Time of Arrival. Proceedings of Telecommunication Universities. 2016;2(1):68-72. (in Russ.)
5. Fokin G.A. Upravlenie samoorganizuiushchimisia paketnymi radiosetiami na osnove radiostantsii s napravlennymi antennami [Control of self-organizing packet radio networks based on radio stations with directional antennas]. Ph.D. Thesis. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ.; 2009. (in Russ.)
6. Babkov V.Iu., Fokin G.A. Otsenka veroiatnosti uspeshnogo radiopriema v samoorganizuiushchikhsia paketnykh radio-se-tiakh na osnove radiostantsii s napravlennymi antennami [Estimation of the Probability of Successful Radio Reception in Self-Organizing Packet Radio Networks Based on Radio Stations with Directional Antennas]. St. Petersburg Polytechnical University Journal. Computer Science. Telecommunication and Control Systems. 2009;4(82):77-84. (in Russ.)
7. Kireev A., Fokin G. Radio Direction-Finding of LTE Emissions Using Mobile Spectrum Monitoring Station with Circular Antenna Array. Trudy NIIR. 2015;2:68-71. (in Russ.)
8. Kireev A., Fokin G.A. Positioning of Radio-Frequency Source in LTE Networks by Uniform Circular Array. Proceedings of the IVth International Conference on Infotelecommunications in Science and Education, 3-4 March 2015, St. Petersburg, Russia. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ., 2015. Vol. 1. p. 122-126. (in Russ.)
9. Kireev A., Fokin G.A. Positioning of Base Station in LTE Networks by Spatial Signal Processing. Proceedings of the IIId International Conference on Infotelecommunications in Science and Education, 25-26 February 2014, St Petersburg, Russia. St. Petersburg: The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications Publ., 2014. p. 124-128. (in Russ.)
10. Dvornikov S.V, Fokin G.A, Alodhari A.H., Fedorenko I.V. Positioning of mobile TV systems on reference signals in LTE networks. Voprosy radioelektroniki. 2017;4:94-103. (in Russ.)
11. Al-Odhari A.H., Fokin G., Fedorenko I., Ryabenko D., Lavrov S. Research of Influence of Geometrical Distribution of Points of Reception And Radio Emission Source on Accuracy of Positioning. Vestnik of Polotsk State University. 2017;4:2-7. (in Russ.)
12. Dvornikov S.V., Fokin G. A, Alodhari A.H., Fedorenko I.V. Investigation of the dependence of the value of the geometric factor of reduction of accuracy from the topology of reception points. Voprosy radioelektroniki. 2018;2:99-104. (in Russ.)
13. Al-Odhari A., Fokin G. Positioning of Radio Emission Sources in Hilly Terrain Using Unmanned Aerial Vehicles. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(2):5-17. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-2-5-17
14. Fokin G.A., Al-Odhari H.A. TDOA measurement processing for positioning using unmanned aerial vehicles. T-Comm. 2018;12(7):52-58. Available from: https://doi.org/10.24411/2072-8735-2018-10121
15. Kireev A., Fedorenko R., Fokin G. Accuracy Evaluation of Positioning by Cramer-Rao Bound. Proceedings of Telecommunication Universities. 2017;3(2):77-83. (in Russ.)
16. Torrieri D.J. Statistical Theory of Passive Location Systems. In: Cox I.J., Wilfong G.T. (eds) Autonomous Robot Vehicles. New York: Springer, 1990. Available from: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8997-2_13
17. H0ye G. Analyses of the geolocation accuracy that can be obtained from shipborne sensors by use of time difference of arrival (TDOA), scanphase, and angle of arrival (AOA) measurements. Forsvarets forskningsinstitutt, 2010. 178 p.
18. Zekavat R., Buehrer R.M. Handbook of Position Location: Theory, Practice and Advances. Hoboken: John Wiley & Sons; 2019.
19. Bar-Shalom Y., Li. X.R., Kirubarajan T. Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: John Wiley & Sons; 2001.
