Оценка точности методов математического моделирования процесса тепломассопереноса в дисперсных средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВестникВГУИТ, № 4, 2012

УДК 631.563.2: 664.6/.7

Профессор А.А. Шевцов,

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра технологии хранения и переработки зерна, тел. (473) 255-65-11

доцент И.О. ПавлоВ, ст. преподаватель Е.В. Воронова

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных технологий моделирования и управления, тел. (473) 255-25-50

Оценка точности методов математического моделирования процесса тепломассопереноса в дисперсных средах

Дан метод и получено решение задачи конвективной сушки зерна в численно-аналитической форме для системы уравнений А.В. Лыкова нестационарной сушки путём представления искомых потенциалов модифицированными рядами Фурье. Проведено сравнение решений различными методами.

A method and obtained the solution of the convective drying of grain in numerical - analytical form for the system A. Lykov unsteady drying by submitting the required potentials modified Fourier series, and a comparison of different methods of making.

Ключевые слова: сушка, тепломассообмен, модифицированные ряды Фурье, математическая модель, метод прямых, температура, влагосодержание, дисперсная среда.

Точные решения задач тепло массопере-носа в замкнутом виде, удаётся получить далеко не всегда. В остальных случаях точные решения либо принципиально невозможны (когда граничные условия или условия на контуре нельзя выразить в аналитической форме), либо приходится сталкиваться с таким рядом вычислений, что получение аналитических решений становится нецелесообразным. В связи с этим при решении многих практических задач давно используются приближённые методы исследования.

Эти методы можно разбить на две основные группы. К первой относятся вариационные методы, применение которых позволяет получить численные алгоритмы и приближённые аналитические выражения искомых функций. Вторую - составляют численные методы, при использовании которых определяются значения искомых функций при тех или иных значениях аргументов.

Развитие теории тепломассопереноса, обязано, главным образом, работам академика А.В. Лыкова и его школы, что создало все возможности для широкого внедрения в инженерную практику аналитических и экспериментально-аналитических методов расчета процессов тепломассопереноса в системах с твердой фазой.

© Шевцов А.А., Павлов И.О., Воронова Е.В., 2012

Для решения задач тепломассопереноса применяют различные методы: сеток, прямых, разделения переменных, интегральных преобразований Лапласа.

Описание динамики процесса проводится по уравнениям А. В. Лыкова [1] при допущении о бесконечно малой величине градиента общего градиента давления.

В общем виде эта задача относится к тем, где используются уравнения с переменными параметрами. В качестве таких параметров могут приниматься коэффициент теплообмена а и влагообмена р, а также коэффициент диффузии влаги ат(Г), которые представлены эмпирическими коэффициентами. Математическое описание процесса сушки зерна еще усложняется, так как зерно неоднородно по структуре и составу.

Рассмотрим алгоритм решения данной задачи в аналитической форме с помощью модифицированных рядов Фурье [2, 3], а затем сравним полученное решение с решением А.В. Лыкова [1] и решением по методу прямых

[4].

За основу возьмём систему уравнений А.В. Лыкова [1], представленную уравнениями в сферической системе координат в безразмерной форме:

" ^12

д_Т - А

дт - 4

(д2Т 2 дТЛ 2 г дг

дг

Гд2и 2 диЛ

дг

2 г дг

(1)

д и "дТ

■-- А,

д 2Т 2 дТ

дг2

г дг

+ А2

д2и 2 ди —— +

дг2

г дг

(П, Т)> 0, (П,Т) <■» при г ^ 0 г е[0,1] , те[0, тк],

с граничными условиями третьего рода на шаровой поверхности:

д Т (г, т)

дг

- ^(1 - Т (г ,т)\ г-1) +

+а2(1 - и (г,т)\г-1) - 0 дП (г, т)

(2)

дг

+ ¿1(1 - Т (г,т)| г-1) +

г-1

т)

+¿2(1 - и (г,т)\г-1) - 0, с начальными условиями Т (г,0) - 0, П (г,0) - 0. (3)

где комплексы критериев определяются уравнениями: А11 -1 + гКоЬиРп , А12 -гКоЬи, А21 - ЬиРп, А22 - Ьи , а1 - Biq,

а2 - (1 -г)КоЬиВ1т, Ь1 -PnBiq,

Ъ2 - В1т (1 - (1 - г)РпКоЬи) , а используемые критерии т- Fo, тк - Fok - безразмерное текущее и конечное время; Ко - Коссовича; Ьи - Лыкова; Рп - Поснова; Бо - число Фурье; теплообменный и массообменный критерии

Био В1ч, В1т .

Для решения задачи (1)-(3) будем использовать три метода:

М1 - метод интегральных преобразований Лапласа и разложение в ряды Фурье, предложенный А.В.Лыковым и Ю.А. Михайловым;

М2 - метод прямых [4]; Мз - метод разложения неизвестных функций по модифицированным рядам Фурье [2, 3]. Алгоритм решения по методу М1 приведён в [2].

Решение М2.

Шаг 1. С учетом того что прямая Хк -kh, к -1,2,...Д + 1, где N - число внутренних прямых; h - шаг по X ; h - 1/N, получим систему дифференциальных уравнений:

для к -1:

^ - ^ (2Т2 (т) - 2Т1 (т)) - А2 (2П2 (т) - 2П (т)),

^ПГ - - Агг(2Т2 (т) - 2Т1 (т)) + ^(2П2 (т) - 2П, (т));

для к - 2, 3,...^ :

Ц^-- ^ Тк., (т)-2Тк (т) + к--Тк -

(ккГ TN+k+2 (т)- 2TN+к+1 (т) + кк^ ТМ+к (т)) ,

к -1,

И2 I к ПП- А21 ( к +1

ёт к2

А2,2 | ( к +1(

И2 1 V к

к

ПN+к+2 (т)- 2ПN +к+1(т) + кк^Пм+к (Г)]

для к - N +1: ^+1 (т)

- А„(ЛТ) N+, - А12(АП )N+,; -- А21(ЛТ )N+, + А22(ЛП) N+^

ёт

^N+1 (т)

ёт где

(лт )N+! - 2 5Т (1,т)+2 ГдТ а*) - Т"+1(т); Т (т) ^

дг И V дг И ,

(ЛПЛ 9 дП (1т^2 (ди (1 ) иы+1(т) - иы(т)^ (Аи )N+1 - 2^-(1>'с)+т\^т(1,т)--;-г

дг И V дг И )

Начальные условия остаются прежними:

Тк|т-0 - ^ Пк 1т-0 - ^ к-1, 2 + 1.

Шаг 2. Производные от функций Т и П на границах слоя подставляются в систему дифференциальных уравнений из граничных условий (2). Граничные условия, таким образом, находятся в системе в виде дифференциальных выражений.

Решение М3.

Шаг 1. Решается система обыкновенных дифференциальных уравнений:

- г1 + А11г3 - А1,2 г4 - 0, -г2 - А21г3 + А2,2г4 - 0,

1 м

а1г1 - а272 + - г3 - а1 + а2 + £ гт+4тл(-1)т - 0,

3 т=1

1м

- ¿1 г1 - ь2г2 - - г4 + ¿1 + Ъ2 - £ гт+4+мтл(-1)т - 0,

3 т-1

- А,

1

2 2 — л т г

(- 1)т

т+4 + г3

тл

+А

12

1 2 2 ( - 1)т

~л т гт+4+М +-г4

2 тл

- 0,

т - 1.М ,

(-1)т (-1) "+1 . 1 , "г, +-- 2 гт

1

2

3 3

т л

(-1)т ^ , (-1)

т+1

тл

'г 2 + 3 3 г 4 ^ г т+4+М +

+

г-1

+Ar,

1 2 2 — л m z

( - 1)m

m+4 + z3

mл

-A

22

1 2 2 — л m z

( - 1)m

+ ----7

m+4+M + 4

тл

m = 1.M

= 0.

с начальными условиями zi (0) = 0, i = 1,...N , где M - число членов ряда, N = 2M + 4 - общее количество уравнений.

Шаг 2. Записываем решение в общем виде: (1 2 1

T(г,т) = ф(т) + ^(т)I 6r -6

1 M

+- Е Tm(t)sin(m^r),

Г m=1

(1 2 1

^(r,t) = ^(т) + ^1(т)I -r --^ 6 6

1 M

+ -Е Um (t)sin (ШЖГ ),

Г m=1

где Tm (т) = Tm+4 (т), Um (т) = U m+,+M (т), m = 1..M , (р(т) = Z^), ф(т) = 2г(т), (рх(т) = Zз(т), У!(т) = z4(т).

Решение системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений можно получить аналитически методом интегральных преобразований Лапласа или методом Эйлера, или численными методами Рунге-Кутты [5].

Средние значения потенциалов переноса теплоты и вещества в шаре в методах М1 и Мз вычисляются по соотношениям: _ з R — з R

T(т) = — Jr2T(r,т)dr, U(т) = — Jr2U(r^)dr . (4) R о R о

Для сравнения решений в качестве базовых взяты значения критериев s = 0,5, Ko = 1,2, Pn = 0,5, Bim = 10 . Критерии Лыкова и теплообменный критерий Био выбирались из множеств Lu = {0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 1.0} и Biq = {1;5; 10; 15; 20}.

Проводились вычисления по программам, реализующим алгоритмы М1, М2 и Мз в системе Maple 9.5.

Для проведения сравнения в алгоритме А.В. Лыкова использованы корни, полученные решением характеристического уравнения в системе Maple 9.5. Результаты, полученные по программам, отличаются не более чем на 1 %. На рис.1-з приведен графический анализ результатов работы алгоритмов.

В табл. 1 приведены значения температуры и влагосодержания, а в табл. 2 - оценка работы методов.

tu 0.998

0.996 0.994 0.992 0.99 0.988

1 1.5 2 2.5 3 3.5 т 4

-Температура

о о о о о о Влагосодсржание

Рис. 1. Значения температуры и влагосодержания в центре зерна

о о о о о о

1 2 3 4 t

- Температура на поверхности зерна » Температура по расчёту fil

- В лагосоде ржание на поверхности зерна В лагосодержан и с по расчету 11]

Рис. 2. Значения температуры и влагосодержания на поверхности зерна

Рис. 3. Средние значения температуры и влагосо-держания на поверхности зерна

Т а б л и ц а 1

Численные значения температуры и влагосодержания по методам М1, М2 и М3

т Температура зерна (T) Влагосодержение зерна (U)

в цен- средняя на поверх- в центре среднее на поверхности

тре ности

Метод А.В. Лыкова и Ю.А. Михайлова М1

1.00 0.93814 0.96963 0.98710 0.15716 0.63533 0.89987

2.00 0.97020 0.98654 0.99448 0.58547 0.83594 0.95696

3.00 0.98632 0.99387 0.99749 0.80936 0.92514 0.98044

4.00 0.99375 0.99720 0.99885 0.91286 0.96581 0.99107

Метод прямых М2

1.00 0.93802 0.96944 0.98710 0.16192 0.63483 0.90016

2.00 0.97032 0.98651 0.99449 0.58728 0.83540 0.95701

3.00 0.98635 0.99385 0.99749 0.80987 0.92478 0.98044

4.00 0.99375 0.99718 0.99885 0.91293 0.96558 0.99105

Метод модифицированных рядов Фурье М3

1.00 0.93768 0.96946 0.98707 0.15689 0.63543 0.89992

2.00 0.97021 0.98655 0.99448 0.58552 0.83598 0.95697

3.00 0.98632 0.99387 0.99749 0.80941 0.92517 0.98045

4.00 0.99375 0.99720 0.99886 0.91288 0.96582 0.99107

Т а б л и ц а 2

Оценка работы методов в виде абсолютных отклонений и средней ошибки аппроксимации*

*В качестве экспериментальных значений приняты значения температуры и влагосодержания, вычисленные по алгоритму Мз. Сравнение результатов проводилось при т > 0.

Проведенное исследование подтвердило пригодность применения метода модифицированных рядов Фурье для решения задач тепло-массопереноса путем сравнения с известным решением А.В. Лыкова и методом прямых.

Предлагаемый метод отличается от метода А. В. Лыкова тем, что отсутствует необходимость вычисления корней характеристического уравнения. Метод прямых требует вычисления средних значений потенциалов 28

переноса теплоты, используя квадратурные формулы, а в методах М1 и Мз средние значения вычисляются по соотношениям (4), что гораздо проще. Доказано, что подобные ряды Фурье обладают свойством повышенной сходимости и допускают возможность почленного дифференцирования [3].

Применение модифицированных рядов Фурье для решения подобных задач позволяет получить приближенное решение в аналитическом виде с любой точностью при минимальных вычислительных затратах на ЭВМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лыков, А.В. Теория тепло- и массопе-реноса [Текст] / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - С. 468.

2. Воронова, Е. В. Анализ результатов решения уравнений связанного массопереноса [Текст] / Е. В. Воронова, И. О. Павлов // Современные материалы, техника и технология: материалы Международной научно-практической конференции. - Курск: ЮЗГУ, 2011. - С. 64-67.

3. Чернышов, А. Д. Улучшенные ряды Фурье и граничные функции [Текст] / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной конференции. - Воронеж, 2009. - С. 236 - 238.

4. Самарский, А. А. Введение в численные методы [Текст] / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1982. - С. 269.

5. Котляр, Я. М. Методы и задачи тепломассообмена [Текст] / Я.М. Котляр. - М.: Машиностроение, 1987. - С. 356.

№ Макс. абс. отклон. Средняя ошибка аппрок-сим., % Сравнение методов

Базовый М1 Расчетный

1 0.00023 0.00917 По Т в центре М2

2 0.00046 0.00391 По Т в центре М3

3 0.00019 0.00376 По средней Т М2

4 0.00017 0.00160 По средней Т М3

5 0.00003 0.00076 По Т на по-верхн. М2

6 0.00003 0.00050 По Т на по-верхн. М3

7 0.00476 0.49590 По и в центре М2

8 0.00027 0.01880 По и в центре М3

9 0.00061 0.05285 По среднему и М2

10 0.00010 0.00497 По среднему и М3

11 0.00029 0.00707 По и на по-верхн. М2

12 0.00005 0.00193 По и на по-верхн. М3