Анализ результатов математического моделирования тепломассообмена в процессе сушки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

УДК 631.563.2 Павлов Игорь Олегович,

к. т. н., доцент кафедры информационных технологий моделирования и управления федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия»

Воронова Елена Васильевна, к. т. н., программист центра новых информационных технологий федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия» тел.: (4732) 66-21-67, 89036568581, e-mail: [email protected]

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ПРОЦЕССЕ СУШКИ

I. O. Pavlov, E. V. Vorornova

ANALYSIS OF RESULTS OF MATHEMATICAL MODELING HEAT AND MASS TRANSFER IN THE DRYING PROCESS

Аннотация. Представлен метод и получено решение задачи конвективной сушки зерна в численно-аналитической форме для системы уравнений А.В. Лыкова путем представления искомых потенциалов модифицированными рядами Фурье. Это позволяет определять поля температур и влагосодержания зерна. Проведено сравнение полученного решения с известным решением А.В. Лыкова.

Ключевые слова: зерно, конвективная сушка, тепломассообмен.

Abstract. A method and the solution of the problem of convective drying of grain in the numerical-analytic form for the Lykov's system by submitting the required potentials with modified Fourier series are obtained. This allows to define the fields of temperature and moisture content of the grain. A comparison of the solution with the Lykov's solution is given.

Keyword: grain, convective drying, heat and mass transfer.

Развитие теории тепломассопереноса обязано главным образом работам академика А.В. Лыкова и его школы, создавшим все возможности для широкого внедрения в инженерную практику аналитических и экспериментально-аналитических методов расчета процессов тепломассопереноса в системах с твердой фазой.

При конвективной сушке система дифференциальных уравнений в частных производных дополняется условиями неоднозначности в виде граничных условий третьего рода.

Для описания динамики процесса используются уравнения А.В. Лыкова [1] в предположении о бесконечно малой величине общего градиента давления. Поэтому основными характеристиками нестационарного процесса сушки будут температура 6(t, x) и влагосодержание u(t, x), где t - время, x - радиус.

В задачах такого типа используются уравнения с переменными параметрами. В качестве таких параметров могут приниматься эмпирические коэффициенты теплообмена а и влагообмена ß, а также коэффициент диффузии влаги am (t). Математическое описание процесса сушки зерна еще усложняется, так как зерно неоднородно по структуре и составу. Подвижной слой влажного зерна рассматривается как сплошная среда, когда исследованию подлежат температурное поле и поля влагосодержания.

Рассмотрим алгоритм решения данной задачи в аналитической форме с помощью модифицированных рядов Фурье [2, 3], а затем сравним полученное решение с решением А.В. Лыкова [1].

За основу возьмем систему уравнений А.В. Лыкова [1], представленную в сферической системе координат в безразмерной форме:

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

д Т

~дТ

= Л,

Г д2 Т + 2 дТ дг2 г дг

- Л,

^д2и 2 ди^

г дг

д и

"а7 = - л

д2 Т 2 аТ ^ дг2 г дг

дг2

Г я 2

■ Л22

д2и 2 ди

(1)

дг2

г дг

(и, Т)> 0, (и,Т) <<х> при г ^ 0 г е[0,1] ,

с граничными условиями третьего рода на шаровой поверхности: д Т (г, т)

дг

- ад1 - Т (г, т)| г=1) +

+а2<1 - и (г, т)|г=1) = 0, ди(г, т)

дг

+ ¿1(1 - Т (г, т)| г=1) +

- ^

"Л1,1 23 Л1,2 = 0,

г2 Л2,1г3

' Л2,2 г4 = 0,

а г 2

м

>"Е ^ тп( -1)т = 0,

-Ь121 - Ь2 22 - 3 ^4

-ь2 -

±22 — п т г

тп

(2)

- Л

- Л

+Л

(-1)т , (-1)

тп

±22 — п т г

+¿2(1 - и (г, т)|г=1) = 0,

с начальными условиями:

Т (г ,0) = 0, и (г ,0) = 0, (3)

где комплексы критериев определяются уравнениями: Л11 =1 + в КоЬи Рп , Л12 = вКоЬи , Л21 = ЬиРп , Л22 = Ьи, а1 = Б1ч, а2 = (1 - в)КоЬиБ1т , Ь = Рп Б1Ч, Ь2 = Б1т (1 -(1 - в)РпКоЬи), а используемые критерии: т = Бо, тк = Бок - безразмерное текущее и конечное время; Ко - Кос-совича; Ьи - Лыкова; Рп - Поснова; Бо - число Фурье; теплообменный и массообменный критерии соответственно Б1Ч, Б1т .

Для решения задачи (1)(3) будем использовать два метода. М1 метод разложения неизвестных функций по модифицированным рядам Фурье [2, 3]; М2: метод интегральных преобразований Лапласа и разложение в ряды Фурье, предложенный А.В. Лыковым и Ю.А. Михайловым.

Решение М]

Шаг 1. Решается система обыкновенных дифференциальных уравнений:

т = 1,....,М .

с начальными условиями

г,.(0) = 0, / =1,...,N, где М - число членов ряда, N = 2М + 4 - общее количество уравнений.

Шаг 2. Записываем решение в общем виде:

1 2 1

т(г, т) = ф(т) + Ф1 (т) | - г2 -6 6

1 м

~Е Тт СФш ( т п г ),

М г т=1

и (г, т) = у(т) + уДт) | 1 г2 -1 V, 6 6

1 м

+ - Е ит (т)в1п (т п г),

г т=1

где Т (т) = Т +4(т), и (т) = и + 4+м (т), т = 1..М,

^ т V ' т +4 V т V ' т + 4+М \ /? '

Ф(Т) = г1 (Т), ¥(т) = г2 (Т), ф1 (Т) = гз (Т), (Т) = г4 (Т) .

Решение системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений можно получить аналитически методом интегральных преобразований Лапласа, методом Эйлера или численными методами РунгеКутты [4]. Решение М2

Шаг 1. Согласно алгоритму решения уравнения А.В.Лыкова [1], корни находятся из характеристического уравнения:

О Р - О Р = 0,

¿^щ Щ ^Щ Щ '

(4)

где

О =

Б1„

"со® V,

1

1 - бг+(1 -V2)*

X эш V, ;

-Е'

,тп( -1)т = 0,

г=1

г=1

— г3 - а1 + а2 +

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

P =Г (1 -V22) -Fe J cos v. ц +

n> [v ]' J

P =Г (1 -V2) -Fe cos v. ц + n [v ]' J т>:

+

2 (1 -v2) + Fe

1 -(l) —в—

sin v Цп ;

v. = 2

1 ) , „ 1 42 4

1 + Fe + LU1 +(-1)j(1 + Fe+LU) - LU

(

T (r, T) = 1 -£

U (r, t) = 1 -

Л

sln Vsln VlЦn-

C -R - C -R

R

xexp( -Ц t)

R

-I

sin ^Цnr sin V 2 Цnr

C*n,(1 -V12)—-c-„(1 -v2v R

r R

r R

xexp( -Ц t)

P + sKo(Q . -K P )

nj 1 Щ ' . ■ n.j = 2 —-1-—

Ц V

" n T n

C . =-C .,

nj sKo n

v2 = 1 -f1 + Fe + ±

Lu

+2 •(-1).(1 + Fe + ¿)2 - LU

V =vP A +v2Q B -vP A -vQ B ,

т n 1 « n1 Is^n, n 1 «1 « {z^n « '

An. =[1 + (1 -v2 )K J cos V. Цп -

Bn. =(1 -V2 )cos V. Цп -

-[(1 -v2) + Fe J sin v. Цп ,

L . Bim

v Ц

01 г n

=-cos v ц +

n. Bi rn

v i ЦП .

Bi

-—sin v . Ц

n '

+

1 - BT+(1 ) K

sin v Ц

Bim

2 (1 -v2) + Fe

1 -(1 ) —B.

sin v. Цп

1 - s Biq

где K1 =-Lu ——; Fe = s Ko Pn - критерий

S Bim

Федорова, . = 1, 2 .

Шаг 2. Записываем решение:

Средние значения потенциалов переноса теплоты и вещества в шаре вычисляются по соотношениям М1 и М2 :

T(t) = -3- Jr2T(r, T)dr, U(t) = -3- Jr2U(r, T)dr .

R 0 R 0

Для сравнения решений в качестве базовых взяты значения критериев s = 0,5 , Ko = 1,2, Pn = 0,5 , Bim = 10 . Критерии Лыкова и теплооб-менный критерий Био выбирались соответственно из множеств Lu = {0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 1.0} и

Biq = {1; 5; 10; 15; 20} . В табл. 1 приведены корни характеристического уравнения (4) из литературного источника [1, табл. 6.33].

Проводились вычисления по программам, реализующим алгоритм М1 и М2 в системе Maple 9.5, x и сравнение по всем вариантам табл. 1. В качестве одного из примеров приводим сравнение результатов расчета для критериев s = 0,5 , Ko = 1,2, Pn = 0,5, Bim = 10, Lu = 0,3, Biq = 10 - строка 8

табл. 1. Получены значения корней характеристического уравнения ц1 = 1,81664, ц2 = 3,20370, ц3 = 3,61264, ц4 = 5,52769, на рис. 1 приведен график характеристического уравнения (4). Принятый для анализа случай характерен тем, что полученные значения корней имеют некоторое отличие от данных литературного источника [1].

Для проведения сравнения в алгоритме А.В. Лыкова использованы корни, полученные решением характеристического уравнения в системе Maple 9.5. Результаты, полученные по программам, отличаются не более чем на 1 %. На рис. 2 и 3 приведен графический анализ результатов работы обоих алгоритмов. В табл. 2 приведены численные значения температуры и влагосодержания на поверхности зерна, а в табл. 3 - среднее значение температуры и влагосодержания.

Проведенное исследование подтвердило пригодность применения метода модифицированных рядов Фурье для решения задач тепломассо-переноса путем сравнения с известным решением А.В. Лыкова.

Предлагаемый метод отличается от метода А.В. Лыкова тем, что отсутствует необходимость вычисления корней характеристического уравнения. Доказано, что подобные ряды Фурье обладают свойством повышенной сходимости и допус-

q

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

кают возможность почленного дифференцирования [3].

Применение модифицированных рядов Фурье для решения подобных задач позволяет полу-

чить приближенное решение в аналитическом виде с любой заданной точностью при минимальных вычислительных затратах на ЭВМ [5].

Т а б л и ц а 1

Корни характеристического уравнения в зависимости от критериев Lu и Biq ( " с ; Ko = 1,2; Pn = 0,5; Bi = 10)

Lu Bl4 Vn

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

0,1 1 0,8798 1,6202 1,7714 2,6881

5 0,8846 1,7841 3,6251 4,5726

10 0,8851 1,7836 2,7066 2,8718

15 0,8852 1,7834 2,7006 2,9772

20 0,8853 1,7833 2,6990 3,0297

0,3 1 1,3413 1,8552 2,9306 4,4007

5 1,4701 2,7410 4,4733 5,7429

10 1,4788 2,9750 4,4946 7,6040

15 1,4814 3,0075 3,0671 4,5028

20 1,4827 2,9811 3,1443 4,5072

0,5 1 1,4348 2,2685 3,4996 5,1359

5 1,7845 2,9899 3,5529 5,4716

10 1,8166 3,2037 3,6126 5,5277

15 1,8263 3,2675 3,6523 5,5421

20 1,8309 3,2955 3,6777 5,5486

0,7 1 1,4605 2,6800 3,7602 5,5923

5 1,9594 3,2621 3,8992 6,0763

10 2,0239 3,4217 4,0194 6,1816

15 2,0440 3,4681 4,0814 6,2023

20 2,0537 3,4890 4,1168 6,2106

1,0 1 1,4753 3,2987 3,8529 6,0609

5 2,0906 3,8079 4,0596 6,5239

10 2,1967 3,8267 4,3272 6,7084

15 2,2320 3,8297 3,4369 6,7667

20 2,2495 3,8309 4,4943 6,7930

)iФ:i«

Рис. 1. График корней характеристического уравнения

Температура на поверхности зерна Температура по расчёту [1] Влагосодержание на поверхности зерна о о о о о о Влагосодержание по расчёту [1 ]

Рис. 2. Значения температуры и влагосодержания на поверхности зерна

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

Значение температуры и влагосодержания на поверхности зерна

Т а б л и ц а 2

Время Температура Влагосодержание

Расчетн. Эксперим. Абс.погрешность Расчетн. Эксперим. Абс.погрешность

0,10 0,8649 0,8584 0,0065 0,6553 0,6316 0,0237

0,50 0,9748 0,9744 0,0004 0,8301 0,8283 0,0018

1,00 0,9871 0,9870 0,0001 0,9003 0,8999 0,0004

2,00 0,9945 0,9945 0,0000 0,9571 0,9570 0,0001

3,00 0,9975 0,9975 0,0000 0,9805 0,9804 0,0001

4,00 0,9989 0,9988 0,0001 0,9911 0,9911 0,0000

Т а б л и ц а 3

Средние значения температуры и влагосодержания на поверхности зерна_

Время Температура Влагосодержание

Расчетн. Эксперим. Абс. погрешность Расчетн. Эксперим. Абс. погрешность

0,10 0,6087 0,5968 0,0119 0,1550 0,1492 0,0058

0,50 0,9403 0,9396 0,0007 0,4403 0,4391 0,0012

1,00 0,9695 0,9694 0,0001 0,6359 0,6353 0,0006

2,00 0,9866 0,9865 0,0001 0,8361 0,8359 0,0002

3,00 0,9939 0,9939 0,0000 0,9253 0,9251 0,0002

4,00 0,9972 0,9972 0,0000 0,9659 0,9658 0,0001

Примечание В качестве экспериментальных значений приняты значения температуры и влагосодержания, вычисленных по алгоритму М2. Сравнение результатов проводилось при т > 0 .

------Температура на поверхности зерна

"«« Температура по расчету [1 ]

-Влагосодержание на поверхности зерна

о о о о о о Влагосодержание по расчёту [1 ]

Рис. 3. Средние значения температуры и влагосодержания на поверхности зерна

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л. : Госэнергоиздат, 1963.

2. Шевцов А. А., Павлов И. О., Воронова Е. В., Бритиков Д. А. Применение модифицированных рядов Фурье для решения уравнений Лыкова // Актуальные проблемы сушки и термовлажност-ной обработки материалов : материалы Между-нар. науч.-техн. семинара. Воронеж : ВГЛТА, 2010. С.106-108.

3. Чернышов А. Д. Улучшенные ряды Фурье и граничные функции // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. трудов Междунар. конф. Воронеж, июнь 22-24. Воронеж, 2009. Ч. 2. С. 236-238.

4. Котляр Я. М. Методы и задачи тепломассообмена. М. : Машиностроение, 1987.

5. Свидетельство № 2010613333 об офиц. Рег. Прогр. для ЭВМ Россия, Расчёт полей температуры и влагосодержания для процесса нестационарной сушки зерна методом модифицированных радов Фурье / Шевцов А. А., Павлов И. О., Воронова Е. В., Бритиков Д. А. ; заявитель и патентообладатель Воронеж. гос. технол. акад. № 2010611441 ; заявл. 22.03.2010; опубл. 20.05.2010.