Аналитическое решение математической модели связанного тепломассопереноса при конвективной сушке зерна Текст научной статьи по специальности «Математика»

631.563.2

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ МА ТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВЯЗАННОГО ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ КОНВЕКТИВНОЙ С УШКЕ ЗЕРНА

А.А. ШЕВЦОВ, И.О. ПАВЛОВ, Е В. ВОРОНОВА, Д.А БРИТИКОВ

Воронежская государственная технологическая академия,

394036, г. Воронеж, пр. Революции, 19; тел(4732) 55-65-11, электронная почта: e-lena_B@inbox.ru

Получено решение системы уравнений А.В. Лыкова для нестационарного процесса сушки зерна в аналитической фор -ме методом разложений в модифицированные ряды Фурье, организация которых позволяет при их разложении удерживать по одному первому слагаемому. Расхождение теоретического решения с экспериментальными данными составляет не более 4%.

Ключевые слова: сушка зерна, влагосодержание, массообмен, модифицированные ряды Фурье.

При переработке различных зерновых культур основным технологическим процессом, обеспечивающим долговременное их хранение, является сушка. Разработка и проектирование эффективных систем удаления влаги невозможны без математического моделирования явлений переноса, сопровождающих этот процесс [1].

Во многих практических задачах сушки базовой моделью является модель А .В. Лыкова, основанная на линейной термодинамике явлений переноса в коллоидных и капиллярно-пористых средах [2]. Сложность анализа этой модели связана с сопряженностью полей температуры, влагосодержания и давления, что до настоящего времени не позволило получить однозначного аналитического решения.

Цель данной работы - разработка метода решения математической модели А.В. Лыкова, описывающей процесс конвективной сушки зерна в плотном слое, в виде системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с однородными граничными условиями третьего рода с помощью представления искомых потенциалов модифицированными рядами Фурье [3, 4].

Для получения решения в аналитической форме сформулированы следующие упрощающие допущения: коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии влаги и относительный коэффициент термо-

І ШЯПДГХЯ!:Я ,ТШЫ,

Покрхнм ,р.ъ

ИКК.И - ІГ

■'.іЯіУї.іЧХГГї'Мі.!

Ґ\ МГі'}

А " ) %

у

диффузии постоянные; распределение полей температур и влагосодержаний рассматривалось в сферической системе координат при условии независимости решения от азимутального и зенитного углов (осесимметрическая задача); не учитывались усадка и градиент давления; единичное зерно представлялось в форме шара. Схема тепловых и массовых потоков при сушке зерна пшеницы представлена на рис. 1 (Я экв - эквивалентный радиус зерна; (х, у) - декартова система координат; М (г) - точка в сферической системе координат).

Предложен зональный метод расчета. В этом случае нестационарный тепломассообмен разбивался на зоны. Для каждой зоны коэффициенты принимались постоянными.

Под зоной понимается некоторый временной интервал Ах, = х, - х, -1, (х, -1 < г,, ,= 0, к, т0 = 0, хк - время сушки), на котором: геометрическая форма высушиваемого продукта постоянна; теплофизические и массообменные параметры усреднены; начальное распределение температуры и влагосодержания по объему высушиваемого продукта постоянны; плотность потока теплоты и массы постоянны.

В этом случае система уравнений А.В. Лыкова [2] представлена уравнениями в сферической системе координат: г - пространственная координата, отнесенная к эквивалентному радиусу шара, г = х/Яэкв; Т = = (0 - 00) / (0 с - 00) - безразмерная температура тела, отнесенная к температуре среды 0с; и = и/и0 - безразмерное влагосодержание тела, отнесенное к начальному влагосодержанию м0:

!Т=

дх

ди

дх

= А

д 2Т дт2 'д2Т дг2 '

2 дТ г дг

2 ЗТ_ г дг

+ А,

+ А2

д2и

дг2

д2и

дг2 "

2 ди

г дг

2 ди

г дг

Рис. 1

где г є [0, 1], х є [0, 1], х = і/ік,

граничными условиями третьего рода

д Т(г, X) дг г д и (г, X)

дг

+ а[1-Т(г,х}г=1]-аг\и(г,х)г =1 + Ыр/и0 ] = О, -*1[1-Т (г,х )г =1] + Ь2[и (г, х =1- ир/и ] = 0,

(2)

и начальными условиями

Т (г, 0) = 0, и (г, 0) = 1.

(3)

К соотношениям (3), (4) добавлено условие ограниченности решения

|Т, и < ¥ при г ® 0,

(4)

где г = 0 является центром сферы, а коэффициенты уравнения (1) определяются уравнениями: Лц = 1 + еКоЬиРп, Лц = еКоЬи, А21 = ЬиРп, А22 = Ьи, а1 = Б^, а2 = (1 - е)КоЬиБ]„, Ь1 = РпБ^, Ь2 = Б1„(1 -

- (1 - е)РпКоЬи), а используемые критерии имеют вид: Ко = = гоио / с<( 0с - 0о) - Коссовича; Ьи = ат / а - Лыкова; Рп = 5(0с - 0о) / ио

- Поснова; Бо = а Т / Яз2кв - число Фурье; теплообменный и массооб -менный критерии Био соответственно Б^ = аЯэкв /1, Б^ = рЯэкв / ат, где 0 - температура тела, 0о - начальная температура тела, 0с - тем -пература среды, К; и - влагосодержание исследуемого тела, ир, ио -соответственно равновесное и начальное влагосодержание исследуемого тела (кг вл./кг сух. вещ.); е - критерий фазового превращения, величина безразмерная, характеризующая долю влаги, перемещающейся в виде пара; Го - удельная теплота парообразования, кДж/кг; ат - коэффициент диффузии влаги, м2/с; 5 - термоградиент -ный коэффициент, 1/К; а - коэффициент теплообмена, Вт/(м2 • К); р - коэффициент массоотдачи, м/с, Ст - удельная теплоемкость зер -на, Дж/(кг • К); ро - плотность абсолютно сухого продукта, кг/м3.

После замены неизвестных функций

Т = 2{х, г)/г, и = Ж(X, г)/г, (г, Ж) е С(3) (о < г < 1) (5)

система (1) относительно 2 и Ж сведена к более простой форме

д2 = А дх = А1

д 2г

дг2'

-А.

д2Ж дЖ

дг дх

= А,

д2Ж , А д2Ж (6) - + А 22^ТТ,(6)

дг

д г2

с граничными условиями

д 2{г, х) д г д Ж (г, х) дг г

+ аі[1- 2 (г, г )]г=1- а2[ж (г, г) г=1- ир/и ] = 0, Ь1[1-2 (г,г )]г =1 + Ь2[Ж (г, г =1- ир/и0 ]= 0

(7)

и начальными условиями

2(0, г) = 0, Ж (0, г) = г.

(8)

Так как функции Т и и при г ® о ограничены по условию (4), что соответствует физическому смыслу, то из (5) следует

г (х, г) г=0 = Ж (х, г) г = 0 = 0.

(9)

Таким образом, задача сводилась к нахождению решения системы (6), удовлетворяющего граничным условиям (7), (9) и начальным условиям (8). Сложность данной начально-краевой задачи заключалась не только в системе (1), но и постановке граничных условий различного рода: при г = 1 условия смешанного типа (2), при г = о условия Дирихле (9). Если бы решение

было найдено, то на сферической границе зерна при г = 1 функции 2 и Ж принимали бы некоторые значения:

(10)

где ф (X), у (X) - пока неизвестные функции.

Для замены сложной формы граничных условий (7) на более простые и удобные условия (1о) предложено использовать метод разложения неизвестных функций в модифицированные ряды Фурье. При этом была сформулирована новая задача: найти решение системы (6) с начальным условием (8) и граничными условиями (9) и (1о), где неизвестные функции ф (X), у (X) следует определить так, чтобы выполнялись граничные условия (7).

При такой постановке решение задачи представлено следующими модифицированными рядами Фурье:

2 = Мг + 02т (х)8ш(т рг);

т= 1

Ж = Mw +0 Жт (х)єт(трг),

(11)

где зависимости Мг и М™ имеют вид

М2 = Ф (х) г + Ф0 (х)

Mw = У(х) г + у 0 (х)

г

г

6 3

3

фДх)

2 6

г3 г

6 6

3

(12)

+ У 1(х)

г г

6 6

Конструкция граничных функций Мг и М„ устроена так, чтобы разложения (11) равномерно сходились внутри отрезка г е [о, 1] и на его границах вместе со вторыми частными производными по радиусу г до второго порядка включительно. Выражения для 2 и Ж в (11) вместе со вторыми частными производными при г = о и г = 1 обращаются в тождества. Это свойство позволило почленно дважды дифференцировать разложения (11) и подставлять их в дифференциальные уравнения (6), начальные условия (8) и граничные условия (7). Таким образом, разложение (11) с выражениями для Мг и М представляют модифицированные ряды Фурье. Их сходимость имеет порядок (ят)-5, где т - порядковый номер слагаемого в суммах системы (11).

При подстановке функций (11) в (6) при г = о и г = 1 получены уравнения:

при г = о: Л11 Фо (X) "Л1ауо^)= о,

Л 2,1 фо (X) " Л 2,2 у о (X )= о; (13)

приг = 1: ф' №=ЛиФ1 (X) "Л1,2у 1 (X),

у1 (X) = Л2!Ф^) "Л2,2у^). (14)

По данным работы [6] Лц »1,1, Л12 » о,1, Л21 » 1, Л 22 » 1, т. е. определитель линейной системы (13) относительно фо, уо и фь у! отличен от нуля: А = =ЛцЛ22 - Л12Л21 ф о. Поэтому из (13) и (14) следовало

Ф0 (х )= У 0 (х )= 0,

(15)

т= 1

2

г

2

ф,(х)=

У,( х) =

A 2,2 ф' (х) - A 1,1 У' (х) А ’

A і,, У' (х)-A2,1 ф' (х)

А .

(16)

С учетом (15) выражения (11) приняли вид

0 Zm (х )sin(m P r) = 0;

Z(r,х) =ф(х> I ф,(х)і^ -r I 6 6

W (r,T ) =y (х)г I У і(х)

r r

6 6

m=1

(1?)

- 0 Wm (х) sin(m P r) = r.

Начальные условия для них найдены из (8). Полагая X = о в выражениях Т и и из (5) и (11), получено:

Ф(0)г + ф і(0)

У (0)r + У і(0)

r3 r 6 6

З

rr ~6 6

+ 0 Zm (0)sin(mpr) = 0;

m= І

■ 0 Wm (0)sin(mpr) = r.

(ІВ)

Таким образом, имеем два дифференциальных уравнения (14), два алгебраических уравнения, полученных из (7) с учетом (17):

1 N

-aj(t)-- ji( t)-a2 y (t)" p0 (-1)m+1 mZm (t) = hx\

3 m (19)

1 N

b2y(t)" - y 1 (t)" bJ j(t)- p0 (- 1)m"1 mWm (t) = Й2,

m

где h1 = a1 + a2Up / uo, h2 = b1 + b2Up / uo,

и 2N дифференциальных уравнения, которые получены из разложения выражений (6) с учетом (17). Умножая оба уравнения системы на sin (mpr) и интегрируя по r в пределах [0, 1], что соответствует операции разложения функций в ряды Фурье, получено: для к = 1... N:

(-1)k+1 j (t) , (-1)к (t) , 1 Z,

kp

= A і,і

+ A 1,2

7 3 3

к p

1 2 2 (-і)к ф ,(х)

-p2к2Zk (х)I v ’ У

2 p к

1 2 к 2W ( ч I (-1)к У і(х)

-p к Wk(х)+------------------

2 p к

для к = і... N:

(-1)к+і У' (х) (-1)к У' (х ) 1 '

kp

= A 2,1

+ A 2.2

7 З З к p

2 W* (х) =

1 2 2 (-і)к ф і (х)

-p2к2Zk(х)+ V ’ *іК J

2 p к

і .2,2„,,_ч , (-і)кУі(х)

(20)

p2к Wk (х)I ■

2 p к

Начальные условия в форме (18) должны выполняться при любом г. Так как r, r3, sin mpr - линейно-независимые между собой функции, то из (18) следует

У(0) = 1, Ф(0) = Ф1 (0) = 1т (0) = у 1(0) = Жт (0) = 0; т = 18 N. (21)

Система (14), (19), (20) приведена к стандартному виду при следующих обозначениях:

Ф(х) = У1 (х), у (х) = у2 (х), Ф1 (х) = У3 (х),

У 1(х) = У4(х), 2т(х) = Ут+4(х), (22)

Жт (х) = Ут+ 4+ N (х), т = 1.. N.

При этом система (14), (19), (20) содержит (4 + 2,¥)-линейных уравнений:

У1 - А1,1 У3 - А 1,2 У4 = 0 У2 - А2,1 У3 - А 2,2 У4 = 0;

1 N

а1 У1 + а2 У2 + - У3 +0 Ут + 4тр(-1)т = ^;

3 т= 1

1 N

Ь1 У1 + Ь2 У2 + - У4 + 0 Ут + 4 + Nmp(- 1)т = А2 ;

3 т= 1

^ УІ+ \У'„ 4

т р 2

-A 1,1 -A 1,2

mp 1

2 2 I (-1)”

„P ” У,^ 4 I--------------- УЗ

2 mp

1 2 2 I (-1)”

pm ym+ 4IN I У4

2 mp

= 0;

у'I -T уЧ 2 у'

Уі ' З 3 ' 4 ~ ~ JmI 4IN

m p 2

mp

A 2,1

1 2 2 I (-1)”

-P ” ymI4 I-------------У3

2 mp

-A,

1 2 2 +(-iГ

- P ” У” + 4 + N I------- У 4

2 mp

= 0. (23)

Начальные условия для (23) найдены из (21) с помощью (22):

У1 (0) = У, (0) = 0, У2(0) = 1, у = 38 4 + 2N. (24)

После нахождения У,(х) из (23) с начальными условиями (24) по формулам (22) были определены Ф(х), У(х), Ф1 (х), У1(х), 2т(х), Жт(х); из (12) - Мг, Mw; из (11) -

2 (х, г), Ж (х, г); из (14) - получено решение задачи в аналитическом виде.

Как отмечалось выше, скорость сходимости рядов в (18) по построению высокая, коэффициенты рядов 2т и Жт имеют порядок (яда)-5. Если ограничиться в этих рядах только одним первым слагаемым, то следующее слагаемое будет иметь порядок 10-4. Такая точность вполне приемлема для инженерных расчетов, поэтому в рядах (11) можно ограничиться одним слагаемым. Тогда система (25) будет состоять всего из двух уравнений. Решение системы уравнений (23) с начальными условиями (24) получено классическим методом [6]. Выполнив обратные переобозначения, в соответствии с выражением (22) найдены функции ф(х), Ф1(х), У(х),

m =1

m = і

Рис. 2

у^), 2т(X), Жm(x), т = 1 +Ы. Окончательно получены выражения для искомых функций:

Т =1М2 " 1Х (X)ап(т яг)], г

и = -)М™ "Ж1(x)sin(mяг)]. (25)

г

Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными, полученными при сушке зерна пшеницы в шахтной зерносушилке (рис. 2) [7]. Наибольшее расхождение для температуры составляет 4%, для влагосодержания 2%.

Графики изменения температуры и влагосодержа-ния на поверхности и внутри зерна представлены на рис. 3.

Разработана программа, которая позволяет производить расчет полей температуры и влагосодержания для N членов ряда, при этом время расчета для N 2, 3, 6 и 9 составляет 1о, 2о, 5о и 11о с соответственно. Уста-

новлено, что решение сходится и при использовании уже двух членов ряда Фурье.

Таким образом, представленное аналитическое решение в рамках сделанных допущений адекватно описывает реальный процесс сушки зерновых культур. Применение модифицированных рядов Фурье [3, 4] для решения подобных задач эффективнее по сравнению со всеми известными методами, так как позволяет получить приближенное решение с любой заданной точностью в аналитическом виде (25) при минимальных вычислительных затратах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шевцов А.А., Павлов И.О., Воронова Е.В. Структурно-функциональный анализ сложной технологической системы сушки и хранения зерна // Автоматизация и современные техноло -гии. - 2008. - № 9. - С. 8-13.

2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопе -реноса. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.

3. Чернышов А .Д. Улучшенные ряды Фурье и граничные функции // Сб. тр. Междунар. конф. «Актуальные проблемы при -

1 Т

Рис. 3

кладной математики, информатики и механики». Ч. 2. - Воронеж, 2оо9. - С. 187-2о5.

4. Чернышов А.Д. Улучшение дифференцируемости решений краевых задач механики в форме обобщенных рядов Фурье с помощью граничных функций // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2о 1о. - № 1. - С. 151-162.

5. Полянин А. Д., Вязьмин А.ВЖуров А .И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопе -реноса. - М.: Факториал, 1998. - 368 с.

6. Жидко В.И., Бомко А.С. Решение системы уравнений тепло- и массопереноса методом прямых // Инженерно-физ. журн. -1966. - № 3. - С. 362-366.

7. Шевцов А.АПавлов И.О., Фурсова Е.В. (Воронова).

Конструктивные особенности зернохранилища прямоугольного се -чения // Вестник РАСХН. - 2007. - № 6. - С. 22-23.

Поступила 26.02.10 г.

ANALYTICAL SOLUTION OF MATHEMATICAL BOUND HEAT AND MASS TRANSFER MODEL FOR CONVECTIVE GRAIN DRYING

A.A. SHEVTSOV, I.O. PAVLOV, E.V. VORONOVA, D A. BRITIKOV

Voronezh State Technological Academy,

19, Revolution av., Voronezh, 394036; ph.: (4732) 55-65-11, e-mail: e-lena_B@inbox.ru

A solution of the system of equations A.V. Lykov for the unsteady process of drying grain in the form of analytical method of expansions in the modified Fourier series, the organization which allows for their expansion to hold on to one first term. The discrepancy between the theoretical solutions with experimental data is not more than 4%.

Key words: corn drying, moisture content, mass transfer, modified rows Fourier series.

51?.9??.5:663.45

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРА ТУРОЙ БРОЖЕНИЯ ПИВА (ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД)

А.Ю. АРТЮШКИН, В.И. КАРПОВ, А.В. ТАТАРИНОВ

Московский государственный университет пищевых производств,

125080, г. Москва, Волоколамское шоссе, 11; факс: (499) 158-72-50, электронная почта: аір@.тяирр.ги

Рассмотрен процесс брожения пива в цилиндро-коническом танке как объект оптимального управления температурой. Для данного объекта сформулирована задача оптимального управления, основанная на термодинамическом подходе. Показано, что решение задачи должно обеспечить минимум теплопотерь в ходе теплообмена. Разработано математи -ческое и алгоритмическое обеспечение, позволяющее получить решение поставленной задачи.

Ключевые слова: брожение пива, оптимизационная термодинамика, оптимальное управление, свободная конвекция, алгоритм управления.

На современных пивоваренных предприятиях процесс брожения пивного сусла осуществляют в специальных аппаратах периодического принципа действия: цилиндро-конических танках (ЦКТ) [1]. В ходе процесса брожения, длительность которого составляет несколько суток, необходимо отводить излишки тепла, обусловленные жизнедеятельностью микроорганизмов, и обеспечивать снижение температуры продукта до 1-4°С. Отвод тепла из емкости ЦКТ осуществляется с помощью системы охлаждающих рубашек, через которые прокачивают эффективный хладагент. ЦКТ -один из с амых энергоемких объектов пивоварения, при сбраживании пива в среднем выделяется порядка 45оо КДж теплоты/гл сусла [1, 2]. Разработка оптимальной системы управления теплообменом в ЦКТ, основанной на энергосбережении, является актуальной задачей, решение которой обеспечит минимизацию тепловых потерь при гарантированной средней интенсивности теплового потока от сусла к хладагенту. Нами рассмотрен подход к постановке и решению указанной задачи, основанный на принципах оптимизационной термодинамики [3, 4].

Рассмотрим постановку задачи с критерием J, представляющем собой усредненное производство энтро-

пии термодинамической системой, состоящей из двух подсистем (пивное сусло и хладагент), обменивающихся теплом:

1 T _____ _

- Г X (0,0 0)I (0,0О) dt: min, (і)

T 0o

где а - усредненное производство энтропии за заданное время T про -цесса; X - термодинамическая движущая сила, обусловливающая тепловой поток I; 0 - усредненная по координатам фазовая переменная, в данном случае - температура пивного сусла; 0о - управление, в данном случае - температура хладагента (функция времени); на управление наложено автономное ограничение 0o - VQо, т. е.

00 min £ 00 £ 00 max, где 0o min и 0o max - заданные постоянные величины.

Непроизводительные теплопотери (диссипацию энергии) количественно характеризует а. Отметим, что в соответствии с законом Гюи-Стодолы [3] максимальный термодинамический коэффициент полезного действия соответствует минимальному производству энтропии, т. е. минимизации критерия (1). Усреднение фазовой переменной оправдано самой формой критерия, учитывающего среднее производство энтропии.

Будем рассматривать ньютоновский теплообмен, для которого выражения термодинамической движу-