CC BY
54
кладной математики, информатики и механики». Ч. 2. - Воронеж, 2009. - С. 187-205.
4. Чернышов А.Д. Улучшение дифференцируемости решений краевых задач механики в форме обобщенных рядов Фурье с помощью граничных функций // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2010. - № 1. - С. 151-162.
5. Полянин А. Д., Вязьмин А.ВЖуров А .И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопе -реноса. - М.: Факториал, 1998. - 368 с.
6. Жидко В.И., Бомко А.С. Решение системы уравнений тепло- и массопереноса методом прямых // Инженерно-физ. журн. -1966. - № 3. - С. 362-366.
7. Шевцов А.АПавлов И.О., Фурсова Е.В. (Воронова).
Конструктивные особенности зернохранилища прямоугольного се -чения // Вестник РАСХН. - 2007. - № 6. - С. 22-23.
Поступила 26.02.10 г.
ANALYTICAL SOLUTION OF MATHEMATICAL BOUND HEAT AND MASS TRANSFER MODEL FOR CONVECTIVE GRAIN DRYING
A.A. SHEVTSOV, I.O. PAVLOV, E.V. VORONOVA, D A. BRITIKOV
Voronezh State Technological Academy,
19, Revolution av., Voronezh, 394036; ph.: (4732) 55-65-11, e-mail: e-lena_B@inbox.ru
A solution of the system of equations A.V. Lykov for the unsteady process of drying grain in the form of analytical method of expansions in the modified Fourier series, the organization which allows for their expansion to hold on to one first term. The discrepancy between the theoretical solutions with experimental data is not more than 4%.
Key words: corn drying, moisture content, mass transfer, modified rows Fourier series.
517.977.5:663.45
ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРА ТУРОЙ БРОЖЕНИЯ ПИВА (ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД)
А.Ю. АРТЮШКИН, В.И. КАРПОВ, А.В. ТАТАРИНОВ
Московский государственный университет пищевых производств,
125080, г. Москва, Волоколамское шоссе, 11; факс: (499) 158-72-50, электронная почта: atp@msupp.ru
Рассмотрен процесс брожения пива в цилиндро-коническом танке как объект оптимального управления температурой. Для данного объекта сформулирована задача оптимального управления, основанная на термодинамическом подходе. Показано, что решение задачи должно обеспечить минимум теплопотерь в ходе теплообмена. Разработано математи -ческое и алгоритмическое обеспечение, позволяющее получить решение поставленной задачи.
Ключевые слова: брожение пива, оптимизационная термодинамика, оптимальное управление, свободная конвекция, алгоритм управления.
На современных пивоваренных предприятиях процесс брожения пивного сусла осуществляют в специальных аппаратах периодического принципа действия: цилиндро-конических танках (ЦКТ) [1]. В ходе процесса брожения, длительность которого составляет несколько суток, необходимо отводить излишки тепла, обусловленные жизнедеятельностью микроорганизмов, и обеспечивать снижение температуры продукта до 1-4°С. Отвод тепла из емкости ЦКТ осуществляется с помощью системы охлаждающих рубашек, через которые прокачивают эффективный хладагент. ЦКТ -один из с амых энергоемких объектов пивоварения, при сбраживании пива в среднем выделяется порядка 4500 КДж теплоты/гл сусла [1, 2]. Разработка оптимальной системы управления теплообменом в ЦКТ, основанной на энергосбережении, является актуальной задачей, решение которой обеспечит минимизацию тепловых потерь при гарантированной средней интенсивности теплового потока от сусла к хладагенту. Нами рассмотрен подход к постановке и решению указанной задачи, основанный на принципах оптимизационной термодинамики [3, 4].
Рассмотрим постановку задачи с критерием J, представляющем собой усредненное производство энтро-
пии термодинамической системой, состоящей из двух подсистем (пивное сусло и хладагент), обменивающихся теплом:
1 T ______ _
- # X ( 0, 0 0)I ( 0,0О) dt " min, (1)
T ^ 00
J = s =
где а - усредненное производство энтропии за заданное время T про -цесса; X - термодинамическая движущая сила, обусловливающая тепловой поток I; 0 - усредненная по координатам фазовая переменная, в данном случае - температура пивного сусла; 0о - управление, в данном случае - температура хладагента (функция времени); на управление наложено автономное ограничение 0о $ VQо, т. е.
00 min £ 00 £ 00 max, где 0о min и 0о max - заданные постоянные величины.
Непроизводительные теплопотери (диссипацию энергии) количественно характеризует а. Отметим, что в соответствии с законом Гюи-Стодолы [3] максимальный термодинамический коэффициент полезного действия соответствует минимальному производству энтропии, т. е. минимизации критерия (1). Усреднение фазовой переменной оправдано самой формой критерия, учитывающего среднее производство энтропии.
Будем рассматривать ньютоновский теплообмен, для которого выражения термодинамической движу-
щей силы и теплового потока имеют вид (2) и (3) соответственно
^ + ^0 = %А0;
от
(7)
X =
1 1
0о 0
I — а( 0 — 0о),
(2)
(3)
Vv — 0,
(8)
где а - интегральный коэффициент теплопередачи через разделяющую повер хность.
В постановку задачи необходимо добавить ряд ограничений. Во-первых, введем требование заданной средней интенсивности теплового потока
1 Т — -
- # I (0,0 0) Л — I,
где I - заданная постоянная величина.
(4)
Во-вторых, в постановку задачи необходимо ввести определяющую связь, обусловливающую динамику процесса теплообмена. При вводе этой связи необходимо учитывать следующие соображения. ЦКТ отличаются большой вместимостью (обычно около 1000 гл сусла), высота слоя продукта в ЦКТ может достигать 10 м при диаметре аппарата 4-6 м2. Указанные конст-ру ктивные особенности требуют отнести ЦКТ к классу технологических объектов с распределенными параметрами . Динамика таких объектов корректно может быть описана интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных, аргументами в которых являются время / и пространственные координаты. В качестве последних выбирают, исходя из цилиндрической формы аппарата, высоту г, радиус г и фазовый угол ф, т. е. используют цилиндрическую систему координат [5]. Поскольку в ходе процесса брожения по технологическим соображениям создают условия для естественной конвекции сусла, динамика такого объекта может быть описана известной системой уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска [6-9]. Согласно этому приближению, плотность среды р считается функцией одной лишь температуры 0
р — р °(1— р (0 — 0 °))
(5)
где р - плотность жидкости при так называемой отсчетной температуре 00; в качестве последней в нашем случае может быть выбрана, например, температура в нижнем сечении ЦКТ.
По Буссинеску [9], при малом значении коэффициента объемного теплового расширения р и малой вариации в пределах рассматриваемой области материальных параметров среды (кинематической вязкости V, температуропроводности % и др.) плотность и эти параметры можно считать постоянными во всех членах уравнений, кроме одного: вариация плотности сохраняется там, где она умножается на ускорение силы тяжести g.
С учетом изложенного модель динамики объекта примет вид
и ~
v■Vv— —— —gP0+vАV; р0
где 0 - возмущение температуры среды, т. е. ее отклонение относительно линейного профиля, 0 — 0— (00 — уг) у - так называемый невозмущенный градиент температуры (постоянная величина); р -отклонение давления от распределения, соответствующего линейно -му профилю температуры; v - вектор скорости конвективного потока. В цилиндрической системе координат, при обычном допущении о пренебрежении движением вдоль угловой координаты ф, имеем v = (у„ у2); v • Vv - конвективное ускорение.
Символами V и А = V V обозначены операторы Гамильтона и Лапласа соответственно [7].
Таким образом, общая постановка задачи должна включать в себя критерий (1) и ограничения (4), (6)-(8).
Поставленная задача относится к классу задач на принцип максимума Л. С. Понтрягина. Особенностью сделанной постановки является наличие определяющих связей в форме дифференциальных уравнений в частных производных. Известно, что принцип максимума для такого типа связей не обоснован. Чтобы обойти указанное затруднение, откажемся от традиционной схемы решения и рассмотрим расширенную задачу с критерием (1) и интегральным ограничением (4), т. е. исключим на первом этапе из рассмотрения определяющие связи и автономное ограничение на управляющую переменную. Аналитическое решение расширенной задачи будет являться оценочным для исходной постановки. На втором этапе будем осуществлять итерационный поиск наиболее близкого к оценочному физически реализуемого решения
Для получения аналитического решения расширенной задачи выпишем функцию Лагранжа (здесь и далее символ усреднения по координатам для температур опущен)
Я — -Т
а -
(0 — 00 )2
00 0
+ 1(а (0 — 0 0) — I -
(9)
где 1 - постоянный коэффициент (неопределенный множитель Лагранжа).
Выпишем необходимое условие оптимальности в форме требования стационарности Я по 00
дЯ
д0п
— -а-
2(0 — 00) 000 + (0—0р)2 0 (000 )2
— а1 — 0.(10)
Учтем, что обе температуры представлены в шкале Кельвина, следовательно, имеют значения больше 1 и, кроме того, по условию задачи 0 > 00 " / $ [0; Т]. После несложных выкладок получаем необходимые условия оптимальности в форме
00 —
0
л/1+|1|0
(11)
1 < 0.
Соответствующее значение 1 можно определить из условий
0
где
* IТ 1* = — —, а С
с =# -М-#- + -
йі.
(12)
(13)
1( (1--(1* + 1,)) „
Я = — і а------. 1—+ 1а — 2а
Т( х1 — 1*-
- II +
х 1— 1-
(14)
1оц = —0 0
1
-0 — I / а
= а^1— 1*оц -0 — 1)
1—
Vі— 1*оц -0
(15)
(16)
раметр 1 может быть оценен, исходя из легко получаемого условия для безразмерных комплексов
- 0 =
1
лЯ—Г
(17)
Полученная зависимость (11) дает возможность определить допустимое управление, не обязательно являющееся оптимальным Для сравнения допустимого управления с оптимальным получим оценку критерия оптимальности и сравним ее со значением критерия, соответствующим допустимому управлению.
С этой целью выпишем еще раз функцию Лагранжа, основываясь на (9) и выведенной связи между 0 и 00 (11)-(13). Получаем после несложных математических преобразований
где 11 - соответствующий неопределенный множитель функции Лагранжа (14).
Условие оптимальности для (14) примет вид -* = ащ тіп Я (11, - )
Выполнение этого условия достигается, с учетом отрицательности 1 и соблюдения технологического требования - > -0 V ґ $ [0; Т], выбором для - максимально допустимого значения. Поскольку по условиям задачи среда охлаждается, то можно принять, что минимум (14) доставляет выбор -, исходя из условия -* = -0, 11 > |1 | где -0 - стартовое значение температуры среды в нижнем сечении ЦКТ.
Полученные соотношения позволяют теперь выписать оценочные значения для 1 и критерия оптимальности.
Оценочные значения заведомо лучше оптимальных допустимых. Чем ближе оптимальные допустимые значения к соответствующим оценочным, тем система ближе к термодинамически совершенной.
Перейдем ко второму этапу решения. Будем считать, что ограничения-связи, определяющие динамику объекта, заданы в алгоритмической форме, т. е. для них нет аналитических выражений. Вместо этого будем использовать численное решение модельных уравнений (6)-(8). Алгоритм второго этапа состоит из следующих основных шагов.
1. Разбиваем время процесса на N интервалов Т, исходя из априорных сведений о динамике процесса.
2. Для первого интервала задаем стартовое значение 1 и рассчитываем по (11) значение управления. Па-
где 00 = 00/0; 1 = 10.
Таким образом, стартовое значение 1 может быть выбрано, исходя из желаемого (но не обязательно достижимого) соотношения между 0 и 00.
3. Численно решаем с внутренним шагом А! систему уравнений (6)-(8) и осуществляем операцию усреднения полученных значений 0 по координатам. При этом для каждого внутреннего шага перед процедурой численного решения пересчитываем 00 и используем его для последующего внутреннего шага. Таким образом, для первого заданного интервала Т1 получаем набор табулированных значений 0 и 00 в соответствии с внутренним шагом моделирования. Отметим, что поскольку имеет место итеративный счет, в принципе возможно применить обычные инженерные допущения, упрощающие вид зависимостей (6)-(8). С другой стороны, существующие мощные математические программные пакеты, такие как, например, МаНаЪ, позволяют достаточно быстро получить численное решение систем уравнений в частных производных.
4. Рассчитываем, используя накопленные в ходе решения модельных уравнений значения 0 и 0о, константу С (13). Для осуществления расчета можно использовать известные квадратурные формы, например, метод Симпсона. Затем с помощью (12) получаем расчетное значение средней интенсивности потока ^.
5. Сравниваем заданное и полученное расчетное значения для средней интенсивности потока:
1I — 114 е, где е - наперед заданное малое положительное число. Если условие не выполнено, то следует изменить значение 1 и повторить шаги 2-4.
6. Если условие шага 5 выполнено или достигнуто другое условие останова, то полученное итоговое значение 1 следует принять в качестве наиболее близкого к оптимальному значению и использовать для расчета оптимального допустимого значения управления на заданном временном интервале. На этом этапе возможно провести численное интегрирование с целью расчета критерия оптимальности.
При переходе к следующему временному интервалу Ti + 1 полученное на предыдущем шаге оптимальное значение управления и параметр 1 следует использовать в качестве стартовых значений.
На заключительном этапе целесообразно сравнить степень приближения полученного решения с оценочными значениями (15)-(16) для определения степени термодинамического совершенства системы и принятия решения о целесообразности синтеза системы управления (или необходимости модернизации конструкторско-технологических характеристик аппарата).
Отметим, что если представленный алгоритм использовать для управления реальным объектом, то полученное расчетное значение управления для текущего временного интервала следует использовать в качестве задания регулятору. По истечении реального ин-
а
2
1
тервала времени следует скорректировать значение фазовой переменной в соответствии с реальными величинами, полученными в ходе функционирования системы оптимального управления. Это скорректированное значение следует задавать в качестве стартового для следующего интервала Ті + 1, на котором описанные выше шаги алгоритма должны быть повторены, и так вплоть до достижения времени окончания процесса Т.
Проведенный нами вычислительный эксперимент подтвердил работоспособность алгоритма.
ВЫВОД
Предложенный алгоритм может послужить основой для программного обеспечения системы оптималь -ного управления температурой брожения пивного сусла в ЦКТ, реализуемой на современных микропроцессорных контроллерах и 8СЛЭЛ-системах. Такая система оптимального управления позволит максимально приблизить процесс к термодинамически совершенному, т. е. обеспечить максимально возможный термодинамический КПД. Получаемые расчетные значения критерия расширенной и исходной задачи позволяют
также оценить степень несовершенства системы с точки зрения задачи энергосбережения.
СПб.: Изд-во СПб.: Изд-во
ЛИТЕРАТУРА
1. Кунце В. Технология солода и пива. -«Профессия», 2008. - 1200 с.
2. Нарцисс Л. Краткий курс пивоварения.
«Профессия», 2007. - 640 с.
3. Техническая термодинамика / Под ред. В.И. Крутова. -М.: Высш. шк., 1981. - 438 с.
4. Цирлин А.М. Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике. - М.: Физматлит, 2003. - 416 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд., стер. - СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 832 с.
6. Математическое моделирование конвективного тепло -массообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб и др. - М.: Наука, 1987. - 271 с.
7. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. -М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. -768 с.
8. Андреев В.КГапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пух-начев В.В. Современные математические модели конвекции. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.
9. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.
Поступила 01.12.09 г.
ENERGY-EFFICIENT ALGORITHM OF OPTIMAL TEMPERATURE CONTROL IN BEER FERMENTATION PROCESS (THERMODYNAMIC APPROACH)
A.YU. ARTYUSHKIN, V I. KARPOV, A.V. TATARINOV
Moscow State University of Food Production,
11, Volokolamskoye shos., Moscow, 125080; fax: (499) 158-72-50, e-mail: atp@mgupp.ru
The process of beer fermentation in cylindro-conical tank is considered. For this plant the problem of optimal temperature control based on thermodynamic approach is established. The solution of problem provides for minium of heat losses in heat exchange. Mathematical and algorithmic support for the solution of this problem is obtained.
Key words: beer fermentation, optimization thermodynamic, optimal control, natural convection, control algorithm.
663.551.4
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНОГО СПИРТА АЗЕОТРОПНОЙ РЕКТИФИКАЦИЕЙ С БЕНЗОЛОМ
ХР. СИЮХОВ, ЕВ. ЧЕРЕПОВ
Майкопский государственный технологический университет,
352700, г. Майкоп, ул. Первомайская, 191; электронная почта: popova@mavkop.ги
Проведено моделирование непрерывной двухколонной установки получения абсолютного спирта азеотропной ректификацией с бензолом. Математическая модель установки содержит модули: дегидратационной колонны, спиртовой колонны, декантатора, рецикла возврата бензольного слоя в дегидратационную колонну и рецикла возврата спирто-вод-но-бензольной смеси в дегидратационную колонну. Модуль дегидратационной колонны включает дефлегматор и конденсатор, модуль спиртовой колонны - конденсатор. Оба модуля моделируются с закрытым обогревом.
Ключевые слова: азеотропная ректификация, математическое моделирование, абсолютный спирт, бензол.
Схема получения абсолютного спирта азеотропной мышленной реализации в России. Отсутствует и опыт ректификацией с бензолом разработана в [1]. Имеется моделирования схем получения абсолютного спирта. опыт ее промышленной эксплуатации за рубежом. Од- Известная схема непрерывного действия для полу -
нако нам не удалось обнаружить сведений о ее про- чения абсолютного спирта (рис. 1) состоит из дегидра-
