CC BY
37
УДК 517.977.5: 663.45
Оптимальное управление температурой брожения пива в цилиндроконическом танке
А. Ю. Артюшкин, аспирант
Московский государственный университет пищевых производств
Технологический процесс брожения пива — главная стадия пивоварения, в значительной мере определяющая качество готового продукта. В ходе процесса предъявляются жесткие требования к поддержанию на заданном уровне и программному изменению режимных параметров процесса, важнейшая из которых — температура пивного сусла.
В настоящее время на большинстве пивоваренных предприятий для брожения применяют специальные аппараты периодического принципа действия: цилиндроконические танки (ЦКТ), которые получили широкое распространение благодаря многочисленным преимуществам: они занимают относительно мало места, их легче компоновать в «батарею», которая обслуживается общей системой трубопроводов. Использование ЦКТ также позволяет ускорить процесс за счет совмещения технологических операций брожения и добра-живания. Вместимость ЦКТ обычно составляет 1500-3000 гл, в таком аппарате концентрация и температура среды — это функции не только времени, но и пространственных координат. В этом смысле ЦКТ следует рассматривать как технологический объект с распределенными параметрами.
В соответствии с технологическим регламентом охлаждение среды в ЦКТ ведется с помощью внешних рубашек, через которые прокачивается хладоноситель — водный раствор пропиленгликоля. Как правило, ЦКТ имеют несколько рубашек, каждая из которых при проведении операций в одном танке используется в зависимости от стадии брожения или дображивания. Такие конструктивные особенности предназначены для обеспечения естественной конвекции среды в ходе брожения.
В начальной стадии процесса брожения танк заполнен суслом, имеющим приблизительно одинаковую температуру и плотность
Ключевые слова: брожение пива; цилиндроконический танк; теплообмен; естественная конвекция; термодинамика; энтропия; вариационное исчисление; оптимальное управление; расширение В. Ф. Кротова; математическое моделирование.
во всех сечениях по высоте. Процесс охлаждения начинается с подачи хладагента в верхнюю рубашку, при этом охлаждется пиво в верхней части танка. Возникает градиент температур, направленный от нижних зон, где пиво более теплое, к верхней зоне, где происходит охлаждение за счет теплопередачи через стенку рубашки. Наличие температурного градиента приводит к возникновению потока, обусловленному тем, что более холодное пиво имеет большую плотность и стремится осесть на дно танка, тогда как более теплое пиво, имеющее меньшую плотность, выталкивается вверх. Основной поток, направленный вниз, у стенок танка порождает ведомый поток в центральной области. При этом в нижней части аппарата, равно как и в верхней, происходит движение в горизонтальном направлении. В нижнем сечении направление горизонтального течения — от стенок к центру, тогда как в верхнем в обратном направлении — из центра к стенкам аппарата. Силы плавучести препятствуют перемешиванию поступившей в слой жидкости с остальной средой, имеющей другую температуру. При продолжении охлаждения верхней рубашкой возникает устойчивая термодинамическая конвекция.
Ввиду большой длительности процесса брожения (более 7 сут), а также большого количества выделяемого тепла, которое необходимо отвести (общая потребность в холоде в среднем 8600-9000 кДж/гл), процесс брожения — один из основных
потребителей энергии на пивоваренном предприятии. В связи с этим актуальна задача энергосбережения, т.е. обеспечение минимального количества непроизводительных потерь энергии при гарантированном характере теплообмена. В представленной работе предложено математическое и алгоритмическое обеспечение, позволяющее синтезировать систему оптимального управления, решающую эту задачу.
Рассмотрим теплообмен между пристеночным (пограничным) слоем пива, опускающимся вниз, и хладагентом, протекающим через рубашку охлаждения (в пределах верхней зоны охлаждения).
Каждая среда характеризуется своей температурой: 00 и 0 соответственно. Будем считать 0 фазовой переменной, а 00 рассматривать в качестве управляющего воздействия [1]. В ходе взаимодействия двух сред возникает тепловой поток I(0, 00). Интенсивность потока определяется термодинамической движущей силой X (0, 00). Мерой полезного превращения энергии в этом случае служит значение усредненного производства энтропии о. Чем больше значение о, тем больше тепловых потерь при теплопередаче, и соответственно чем меньше -о, тем совершеннее протекает процесс теплопередачи [2]. Критерий оптимальности поставленной задачи можно выписать в форме:
1 t
ö = — I X(0, 0о) I(0, 0n)dt ^ min. (1)
T о 0 0 0. ^
Интегральная связь, обусловливающая заданную и постоянную в среднем интенсивность потока:
— I X(0, 0) dt = I = const. (2)
T о 0
Для линейного закона теплопередачи тепловой поток и термодинамическая движущая сила определяются уравнениями (3) и (4) соответственно:
I = а (0 - 0о),
(3)
где а — интегральный коэффициент теплопередачи через разделяющую стенку,
X = (— - —). V 0 0
T
Будем считать, что ©0 < 0, т. е. от технологической среды тепло отбирает хладагент.
В качестве модельного уравнения передачи тепла через стенку танка воспользуемся гипотезой полного смешения (модель с сосредоточенными параметрами):
тор-функции фазовых переменных 0*. Для невырожденного случая расширенной задачи условие оптимальности (1) примет вид
©0 = arg min R (0*, 0Q, Яр. где R — функция Лагранжа,
(6)
и от связи (5). После того как определены области допустимых значений для 00, следует провести оценку для критерия оптимальности на допустимом множестве решений расширенной задачи. Для этого из (6) получаем функцию 0О = ф (0, Ху), которая в нашем случае примет вид
ст—— = а (0 - 0О). (5) dt 0
Для решения поставленной задачи предлагается следующий подход.
На первом этапе отбросим ограничения на управляющую переменную и связь (5). Таким образом, действуя по логике В. Ф. Кротова, перейдем к расширенной задаче [3]. Результатом решения расширенной задачи будет оптимальное значение век-
R = — [F (0, 0О) + + Z \FV(0, 0о) - -L
(7)
0*
0
Vi - ——
(8)
при ограничениях, наложенных на фазовые и управляющие переменные (Ху — определенные постоянные множители Лагранжа, Ху еЛУу).
Ограничения на фазовые переменные зависят в первую очередь от начальных условий 0О (0) = 00
Затем формируем функцию Лагранжа R, зависящую только от 0 и от вновь введенного вектора неопределенных множителей (Х еЛ1). Определяем условия минимума функции R, учитывая область допустимых значений для 0, и доопределяем множители Л используя интегральную связь (2).
Я, 40-3, 1/К
0,5-
1,5
2,5 -3 -3,5-
4,5 -
0 50 100 150 200 250 300 350 400 Номер итерации
Рис. 1. Зависимость Х от номера итерации
0,80,7Г" t 0,5" 1 | 0,41 0,3> S I 0,2- I 0,1 -
0 1 50 100 150 200 250 300 350 400
Номер итерации
Рис. 3. Зависимость критерия оптимальности
от номера итерации
55 50 45 40 35 30 25 20 15
-
0
/00
-
600 ■ 800 1000 1200 1400 1600 1800 Время, с
Рис. 4. Расчетные значения 0„ и 0
0
0
200■ 400
Таким образом, функция Ла-гранжа анализируется на минимум как по управлению, так и по фазовым переменным. Полученные значения для 0* и Л1 позволяют рассчитать оценку критерия оптимальности У *.
На втором этапе будем использовать численное решение модельного уравнения (5) для пошагового расчета допустимых управлений, соответствующих каждому моменту времени и соответствующих им значений критерия оптимальности ] > У*. Если ] окажется близким
Д г * Д
к У , то полученное допустимое решение (допустимое управление) является оптимальным и задача решена [2]. Значительная разница между У и У* свидетельствует об эффективности расширения.
Рассмотрим числовой пример применительно к случаю линейного теплового потока. В соответствии с приведенным алгоритмом соотношение между управляющей и фазовой переменными описывается уравнением (8). Конкретизируем стартовое значение фазовой переменной, задав 00 =330 К. Стартовое значение X выберем -0,0043 1/К (рис. 1),
что соответствует 00/0 = 0,7071. Это значение заведомо больше физически реализуемого, и в ходе циклического расчета потребуется увеличивать X с достаточно малым шагом, так как ясно, что температуры могут только сближаться друг с другом, т.е. их соотношение в пределе стремится к единице.
В поставленной задаче оптимизации будем решать уравнение (5) численно, т.е. имитировать алгоритмическую форму связи.
Таким образом, моделирование процесса на реальном объекте подтвердило работоспособность и эффективность разработанного алгоритмического обеспечения. Подобный алгоритм может быть реализован на базе современных свободно программируемых промышленных контроллеров, которые используются при управлении технологическим процессом брожения пива. Практическая реализация такой системы управления позволит получить ощутимый экономический эффект за счет сокращения энергозатрат на подготовку хладагента. Как показывает численный эксперимент (рис. 3), критерий опти-
мальности, отражающий величину нежелательных тепловых потерь, монотонно уменьшается, так же как и средняя интенсивность протекания процесса (рис. 2). Из рис. 4 видно, что разница между температурой технологической жидкости и температурой хладагента постоянна. При этом использование уравнений-связей гарантирует соблюдение технологического регламента. Это означает, что при охлаждении пивного сусла в ЦКТ снижается общая потребность в холоде, следовательно, уменьшается и нагрузка на холодильно-компрессорную станцию, что, в свою очередь, приводит к уменьшенному потреблению электроэнергии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Цирлин А. М. Математические модели и оптимальные методы в макросистемах. — М.: Наука, 2006.
2. Техническая термодинамика: Учеб. для вузов/Под ред. В. И. Крутова. — М.: Высшая школа, 1981.
3. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973. &
2 • 2010
9
