Синтез оценочной математической модели конвекции при брожении пива Текст научной статьи по специальности «Физика»

536.252:663.45

СИНТЕЗ ОЦЕНОЧНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОНВЕКЦИИ ПРИ БРОЖЕНИИ ПИВА

А.Ю. АРТЮШКИН, А.В. ТАТАРИНОВ

Московский государственный университет пищевых производств,

125080, г. Москва, Волоколамское шоссе, 11; факс: (499) 158-72-50, электронная почта: [email protected]

Рассмотрен процесс натуральной конвекции, возникающий при брожении пива в цилиндро-коническом танке. Для установившегося стационарного характера конвективного движения получены выражения, определяющие профили температуры и скорости в пристеночном и центральном потоках. Рассчитано отношение максимальной скорости потока к усредненной скорости и сделано заключение о возможности синтеза упрощенной оценочной модели, предназначенной для применения в вычислительных алгоритмах оптимального управления температурой продукта в ходе брожения.

Ключевые слова: цилиндро-конический танк, брожение пива, свободная конвекция, математическая модель.

На пивоваренных предприятиях используют ци-линдро-конические танки (ЦКТ), в которых осуществляется периодический процесс брожения/дображива-ния напитка. Охлаждение жидкой среды в ЦКТ реализуется с помощью системы автоматического регулирования по технологическим программам. Большая энергоемкость процессов брожения требует в современных условиях применения энергосберегающих алгоритмов регулирования температуры при гарантированном характере протекания процесса. Один из таких вычислительных алгоритмов оптимального управления предложен в [1]. Практическое применение этого алгоритма требует оценочной модели объекта, необходимой для осуществления прогнозирующего расчета характера изменения температуры среды. Для моделирования конвекции Рэлея принято использовать уравнения На-вье-Стокса в приближении Буссинеска [2, 3]. Эти уравнения сложны для численного решения, аналитическое же их решение получено только для самых простейших случаев. Для синтеза упрощенной оценочной модели необходимо определить возможность перехода от распределенных по пространственным координатам параметров к усредненным их значениям. Особенно актуальна такая задача для вектор-функции скорости конвективного потока V.

Введем в рассмотрение цилиндрические пространственные координаты [4]: г - вертикальная координата (нулевое сечение в нижней части, верхняя граница цилиндра постоянна и заданна, она соответствует г = 2); ось г направлена вверх; г - радиальная координата относительно центральной оси симметрии цилиндра, радиус цилиндра постоянен и равен Я; ф - азимутальный угол.

Таким образом, скорость в установившемся движении является вектор-функцией с тремя составляющими V = V Vг, Vф].

Примем следующие допущения:

движение среды в ЦКТ стационарное и установившееся; вихри отсутствуют, т. е. рассматривается случай потенциального движения, при котором азимутальная составляющая вектора скорости равна нулю;

пренебрежем диффузионными процессами, т. е. примем, что пристеночный и центральный потоки не смешиваются и не обмениваются между собой теплом;

будем учитывать перенос тепла только за счет теплопередачи через стенку рубашки и за счет теплопроводности внутри каждого течения;

жидкая среда ньютоновская, несжимаемая и вязкая; к условиям свободной конвекции применимо приближение Буссинеска;

на границах имеет место эффект прилипания: в данном случае компоненты скорости потоков vг на границах раздела (слой, контактирующий со стенкой рубашки, и слои на границе раздела восходящего и нисходящего потоков) равны нулю;

температура жидкости в пристеночном потоке есть функция только координаты г, т. е. для нее имеет место распределение только по одной из пространственных координат.

Первое допущение говорит о том, что скорость жидкости в нашем случае зависит только от радиальной координаты, т. е.

V = V, (г), V

0.

(1)

Также из принятых допущений следует, что во всех сечениях вдоль оси г профиль скорости каждого потока одинаков и должен быть распределен симметрично относительно координаты г (рисунок).

Высказанные допущения существенно упрощают уравнения движения. Так, уравнение неразрывности

V

удовлетворяется тождественно. Остальные уравнения конвективного движения тоже становятся проще. Рассмотрим отдельно уравнения движения для пристеночного и центрального потоков в ЦКТ.

Для пристеночного конвективного потока из системы уравнений Навье-Стокса (для рассматриваемого стационарного случая) остается только одно уравнение, в котором учтено, что жидкий поток направлен сверху вниз:

1 дp АП

-----g + Avz = а

Po 9z

(2)

( vV) = А

(З)

1 d r dr

dvz

dr

dz

1 dp Po dz

g

dz2

(4)

(З)

cf( о - )+ kpFlp ( x - )+ Т = о,

(б)

где ©z - температура хладагента в рубашке; с - удельная теплоемкость среды; ¥ - приток тепла за счет жизнедеятельности микроорганизмов; f-массовый расход среды через рассматриваемое кольцевое сечение; ktp, Ftp - коэффициент теплопередачи и поверхность теплопередачи соответственно.

В установившемся режиме имеет место соотношение для температуры на заданной высоте Z (что следует из (6))

(Z)

cf о + ktpFtp x + Т cf + ktPFtP

COnSt.

(7)

где р - давление жидкости; g - ускорение свободного падения; ц -кинематическая вязкость; а - коэффициент теплового расширения жидкости; © = ©(г) - температура жидкости в потоке (функция пространственной координаты г); ро - плотность, соответствующая значению температуры ©о; ©о - стартовое значение температуры; А -оператор Лапласа в общем случае определяемый как

... 1 д( д/) , 1 д2/ , д2/ а/ —-----1 г — ! +---— + ——.

г дг I дг) г2 д 2 дг2

Примем ©о как некоторое отсчетное значение, ему соответствует плотность ро и гидростатическое давление, т. е. при этих значениях переменных жидкость неподвижна. Отсчетные значения плотности, гидростатического давления и температуры одинаковы во всех точках относительно координат г и г - такая ситуация имеет место на старте процесса. Конвекция наступает при возмущениях, т. е. отклонениях давления, температуры и плотности от отсчетных значений.

Добавим для этого потока уравнение теплопроводности

Граничное условие (7) вместе с условием ©(о) = ©о позволяет получить аналитическое решение (5) в форме

где

(z)=Сі + С2exp(-vzz/ );

с і

С

exp(-Zvz/ )-1’

exp(-Zvz/ )-1

(8)

(9)

(іо)

Из (8)-(Ю) легко видеть, что температура в нижнем сечении цилиндра равна ©о и с ростом г уменьшается, асимптотически стремясь к ©и.

Вернемся к уравнению (4) и проинтегрируем это выражение по г дважды. Получим

І

І dp

— ~d~ + g Po dz

— + Alnr+ B, (11)

4

где х - коэффициент температуропроводности; V - оператор, определяемый в общем случае как

, _ч , д/ , v д/ , д/

(vV) / — vr^- +-----■’—+ v^-.

У ! дг г д дг

С учетом того, что давление и температура зависят только от координаты г, а компонента скорости vz от координаты г, выражения (2)-(3) приводятся соответственно к виду

где А и В - постоянные интегрирования, требующие доопределения из граничных условий. В качестве последних будем использовать значения скорости на границе с твердой стенкой (радиус Я) и на границе с центральным течением (радиус Я1) (рисунок).

Из граничных условий следует

A = -± 4

1 dp Po dz

g

(R2 - R 2)

І

lnR - lnR

-;(12)

B =— 4

1 dp Po dz

(R2 - R2)

lnR

lnR - lnR

R2

.(ІЗ)

Таким образом, профиль скорости ^(г) симметричный, максимальное значение скорости имеет место при

Дополним (5) краевым условием, определяющим температуру в верхнем сечении г = 2, там, где присутствует теплопередача через охлаждающую рубашку. Выпишем с этой целью уравнение теплопередачи в установившемся режиме, исходя из модели полного смешения для пристеночного потока в зоне действия рубашки охлаждения:

R + R1 2

(14)

Определим теперь для рассматриваемого случая максимальную скорость, среднюю скорость и их отношение.

Обозначим

я=±

4

І dp

----+ g

Po dz

(ІЗ)

и

о

и

о

о

и

2

Vz= —

g

2

d

d

о.

v

r

Тогда (11) можно представить в форме v — Ег2 + ^!пг + В.

(16)

Максимальная скорость соответствует радиусу (14), средняя скорость определится из соотношения

(17)

где Q - объемный расход потока через кольцевое сечение; 5 - площадь кольцевого сечения.

С целью уменьшения размерности и упрощения выражений выберем в качестве масштаба радиус Я1. Тогда можно перейти к другим переменным, приняв

Я — 1, Я — Я/Я 1 , ~ — vJR 1 , Е — ЕЯ 1, ~ — (Я + 1)/2.

Параметр Я - безразмерный комплекс; размерность ~г и Е: [1/с]. Кроме того, отметим, что из ранее приведенных выкладок следует

— Я2-1 —

А =---------— Е;

1п Я

в = -Е.

Отметим также, что

(18)

(19)

(20)

где vz и vz - максимальная и средняя скорости соответственно.

Выражение для максимальной скорости при радиусе г,

(Я + 1)2 Я2-1, Я + 1

-----— 1п -

- (21)

4 1п Я 2 )

Объемный расход потока определим из выражения

Q — I 2 ^г (г)йг. (22)

Л

После несложных преобразований получим для нашего случая

а = е(я2 -1)

я2 +1 я 2 1-Я2 1

2

21пЯ

(23)

Площадь кольцевого сечения 5 — (Я2 — 1) и средняя скорость

•— і.V Т7

—Т =Е

Я2 +1

2

Я2

1-я 2 21пЯ

(24)

Выражение (25) представляет собой зависимость отношения скоростей от отношения радиусов, что позволяет провести расчет для любых допустимых инженерных данных. Отметим, что практически важным является интервал отношения радиусов Я е (1,о; 1,5]. Расчеты показали, что для всего этого диапазона имеет место постоянное отношение скоростей v-/v‘‘,v = 1,5.

Для центрального потока примем допущение об изотермическом переносе жидкости под воздействием разности давлений (архимедова сила) и гравитационной силы. Выражение для скорости в центральном течении можно представить в виде [5, 6]

1 й г йг

йг

1 йр Ро

(26)

В это выражение уже не входит температура и, в соответствии с приближением Буссинеска, плотность считаем постоянной во всех сечениях относительно г. После интегрирования дважды по г получим

1 йр Ро

8

г2 + А 11пг + в1. (27)

При г = Я1 скорость равна нулю. Из (27) видно, что постоянная А1 должна быть равна нулю, в противном случае при г ^ о скорость растет неограниченно. Поэтому

1

1 йр Ро

в 1.

Определим из краевого условия ^(Я^ = 0

в'= Г

1 йр

— ОТ + 8 Ро аг

Я?.

Максимальная скорость

В = —

1 йр

— ОТ + 8

Ро аг

я2.

(28)

(29)

(3о)

Объемный расход и площадь кругового сечения

Є = — 8

1 йр

—ОТ+8

Ро аг

Я4, 5 = Я2.

Отсюда

,е_ 1

1 йр

—от+8

Ро аг

(31)

Отношение максимальной скорости к средней примет вид

Я_ Я

4 2

(Я -і>

1п

Я +1

1п Я— 4

Я—2+ЬЯ—

1п Я

+1

(25)

Сравнивая (3о) и (31), легко видеть, что

— тах

V = V

г г

/2.

ВЫВОДЫ

(32)

1. Для пристеночного и центрального потоков свободного конвективного движения пива в ЦКТ в условиях установившегося брожения отношение максимальной скорости потока к средней есть постоянная вели-

8

V

2

— тах тах

V V

2

2

•—• IV йУ

V. V.

2

2

2

V

8

г

4

V

2

4

3

V

V

чина во всех сечениях вдоль высоты цилиндра; это отношение равно 1,5 для пристеночного потока и 2,о для центрального потока.

2. Полученные результаты можно использовать при синтезе упрощенной оценочной модели конвективного движения, используя гипотезу полного вытеснения, т. е. учитывая распределение температуры только по координате г; скорость потока в оценочной модели можно считать постоянной величиной, используя среднее значение с учетом полученных соотношений.

3. В условиях стационарного движения оценочная модель, основанная на гипотезе полного вытеснения, сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, аналитическое решение которых известно; такие оценочные модели удобно применять в вычислительных алгоритмах оптимального управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Артюшкин А.Ю., Карпов В.И., Татаринов А.В. Энергосберегающий алгоритм оптимального управления температурой брожения пива (термодинамический подход) // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2010. - № 4. - С. 103-106.

2. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пух-начев В.В. Современные математические модели конвекции. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

3. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. -6-е изд., стер. - СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 832 с.

5. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. - М.: Высш. шк., 1972. - 368 с.

6. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. -М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. -768 с.

Поступила 24.01.11 г.

SYNTHESIS OF ESTIMATION MATHEMATICAL MODEL OF CONVECTION DURING BEER FERMENTATION

A.YU. ARTUSHKIN, A.V. TATARINOV

Moscow State University of Food Production,

11, Volokolamskoye sh., Moscow, 125080; fax: (499) 158-7250, e-mail: [email protected]

The process of natural liquid convection induced during beer fermentation in cylinder-conic tank is considered. For steady state convective motion expressions those define profiles of temperature and velocity are obtained. The ratio of maximum flow speed to average one is estimated. The conclusion about possibility of the synthesis of simplified estimated model for application in computational optimal control algorithms of beer temperature during fermentation process is expressed.

Key words: cylinder-conic tank, beer fermentation, natural convection, mathematical model.

663.551.4

АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ ГАЗА И РАСЧЕТ ПРОТЕЧЕК В ВИНТОВОМ КОМПРЕССОРЕ

Е.Н. КОНСТАНТИНОВ, Т.Г. КОРОТКОВА

Кубанский государственный технологический университет,

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: [email protected]

Выполнен анализ уравнения Навье-Стокса, применяемого для сжимаемых жидкостей и газов. Для канала постоянного сечения рассмотрен на молекулярном уровне с позиций теоретической механики для тел переменной массы процесс расширения газа при снижении давления в канале. Показано, что плотность, стоящая перед субстанциональной производной скорости, должна находиться под знаком дифференциала. Полученный результат проиллюстрирован при анализе протечек.

Ключевые слова: уравнение движения Навье-Стокса, сжимаемый газ, переменная плотность, протечки, винтовой компрессор.

В работе [1] обоснована экономическая целесообразность рекуперации теплоты вторичных паров выпаривания барды для обогрева колонн брагоректификационной установки (БРУ) и на стадии ферментативного разваривания. В связи с тем, что переработка барды предусмотрена к внедрению на всех спиртзаводах России, а использование вторичных паров выпаривания позволяет практически полностью компенсировать затраты тепла на БРУ, это направление является перспективным. Дальнейшее снижение энергопотребления связано с использованием на БРУ тепловых насосов, которое практикуется зарубежными предприятиями.

Для компримирования паров спирта целесообразно применение винтовых компрессоров.

Выполненное нами моделирование БРУ с тепловым насосом показало, что эффективность использования этой технологии не бесспорна и может быть сведена практически к минимуму из-за протечек в компрессорах, так как они приводят к значительным потерям мощности и увеличению затрат электроэнергии.

Расчет протечек основан на использовании уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости Навье-Стокса. Эти уравнения отличаются от уравнений капельной несжимаемой жидкости. При движении сжимае-