Математическое моделирование тепломассообмена при конвективной сушке железорудного сырья Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

УДК 517.956 DOI 10.23683/0321-3005-2019-1-41-45

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПРИ КОНВЕКТИВНОЙ СУШКЕ ЖЕЛЕЗОРУДНОГО СЫРЬЯ

© 2019 г. К.А. Чуев1

1Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия

MATHEMATICAL MODELING OF HEAT AND MASS TRANSFER DURING CONVECTIVE DRYING OF IRON ORE

K.A. Chuev1

1 National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia

Чуев Константин Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Институт фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Ярославское шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, e-mail: ChuevKA@mgsu. ru

Konstantin A. Chuev - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, Institute of Fundamental Education, National Research Moscow State University of Civil Engineering, Yaroslavskoe Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, e-mail: ChuevKA@mgsu. ru

Предложена математическая модель диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса применительно к процессу конвективной сушки материалов для трех геометрий (неограниченная пластина, бесконечный цилиндр и шар) с граничными условиями третьего рода. Решение модели получено с использованием синтеза интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Ханкеля и Лежандра. Предложенный метод позволяет рассчитывать кинетику потенциалов переноса при проведении тепломассообменных процессов для капиллярно-пористых сред.

Ключевые слова: тепломассоперенос, капиллярно-пористые среды, кинетика, потенциалы переноса, сушка, железорудный концентрат, интегральные преобразования, интегральные уравнения.

A mathematical model of diffusion-filtration heat and moisture transfer is proposed for the process of convective drying of materials for three geometries (unlimited plate, infinite cylinder and ball) with boundary conditions of the third kind. The solution of the model is obtained using the synthesis of integral transformations of Laplace, Fourier, Hankel and Legendre. The proposed method makes it possible to calculate the kinetics of transport potentials during heat and mass transfer processes for capillary-porous media.

Keywords: heat and mass transfer, capillary-porous media, kinetics, transfer potentials, drying, iron ore concentrate, integral transformations, integral equations.

Введение

Несмотря на широкое использование вычислительной техники для решения различных задач математической физики, интерес к алгоритмам и методам получения приближенных аналитических решений не ослабевает в силу возможности проведения анализа с физической точки зрения и получения инженерных методик. Математическое моделирование явлений переноса в капиллярно-пористых средах, к которым относятся многие материалы химической и строительной промышленности, имеет важное значение при модификации

существующих и разработке новых технологий, в частности в процессах сушки, увлажнения, пропитки и т.д. Процесс тепломассопереноса является одной из актуальных задач теплофизики. На ее основе представляется возможность проводить совершенствование производственных технологий, находить оптимальные режимы управления и производства продукции.

Сушка влажных капиллярно-пористых тел является типичным нестационарным процессом, протекающим при наличии градиентов потенциалов переноса [1, 2]. Известные математические модели базируются в основном на диффузионно-фильтра-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

ционных представлениях о влагопереносе, которые формализируются в виде сопряженной системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных А.В. Лыкова с соответствующими сопряженными краевыми условиями, выражающими суперпозицию механизмов переноса потенциалов [3]. Анализу этой системы посвящены классические работы А.В. Лыкова, Ю.А. Михайлова и др. Однако в общем случае аналитического решения указанной задачи пока не получено, так как использование общепринятых методов решения приводило к необходимости введения дополнительных ограничений на размерность задачи, вид краевых условий и т.д. [4]. Существующие подходы к нахож дению искомых потенциалов, как правило, сводятся к применению вычислительных методов, точность которых не всегда отвечает требованиям практики.

Постановка задачи

При математической формулировке явлений переноса в неподвижных капиллярно-пористых средах используют, как правило, три искомых потенциала: локальное влагосодержание, температуру и давление [3, 4]. Считаем, что геометрия тел обладает симметрией. Начальные условия задаются в виде постоянных значений потенциалов. На оси симметрии отсутствует перенос субстанции. На границе тел рассматривается дифференциальный баланс теплоты как суперпозиция механизмов переноса теплопроводностью, конвективного теплообмена с окружающей средой с учетом фазовых превращений, а также дифференциальный баланс массы как суперпозиция механизмов переноса диффузией, термодиффузией, бародиффузией и конвективным массообменом [5, 6]. В этом случае система принимает вид

^ = киУ2и + киУ2Г + квУ2 Р;

дГо

— = к21У2и + к22у2Г + к23у2 Р;

дГо

= к3{У2и + к32У2Г + к33у2Р;

дГо

и(Х,0) = Т(Х,0) = Р(Х,0) = 0;

ди (0, Го) дТ (0, Го) дР(0, Го)

(1)

дХ

дХ

дХ

= 0;

UF1 + -U(1,Fo)-1] =

дХ _ дТ (1, Fo)

дХ

Biq .[Т (1, Fo) -1] =

(2)

+ BiP [P(1, Fo) -1] = 0;

V2 =

д2

дХ2

Г д

■ +---.

Х дХ

В (1), (2) Fo - безразмерный критерий Фурье; ку - постоянные коэффициенты переноса; Bim, Biq,

BiP - массообменные, теплообменные и фильтрационные числа Био; Г — постоянная формы, равная для неограниченной пластины нулю, бесконечного цилиндра - единице, двум - для шара; U, T, P - относительные влагосодержание, температура и давление [3].

Следует отметить, что при так называемой интенсивной сушке возникающий градиент давления, направленный внутрь материала, оказывает существенное влияние на перенос влаги в материале, поэтому в построенной модели давление учитывается, т.е. не понижается размерность системы, что не нарушает математической формализации. Уравнения модели и краевые условия приводятся к безразмерному виду, что облегчает математические преобразования, не нарушая теплофизического смысла коэффициентов в уравнениях модели [2].

Алгоритм решения

1. При Г=0 последовательным применением одностороннего преобразования Лапласа [7] по переменной Fо и конечного косинус-преобразования Фурье по переменной Х с характеристическим уравнением Xк • tgXк = 1/В1д система (1), (2) становится алгебраической относительно изображений потенциалов. После ее решения получен результат в векторной форме в пространстве оригиналов с неизвестными U(1,Fo), P(1,Fo):

» (4 + Ы'2)• ео8(ХкХ) Ф(Х, Го) = 1 + 2 ^ к 4 ' ■ ■

—=1 "(Ii + Bi„ 1 + Bi„ 2 1

(ß/q 1 - Bim 1

4 Fo

q

q

\ Fo

)- J>1(Fo

- Y) -U (1,Y )dY

sin X —

x cos X— h--— - ф2 (Fo) +

(ßiq- BiP)• %3 (Fo - Y) - P(1, Y)dY

s X — l, (3)

где

Ф(Х, Fo) = [U (X, Fo),T (X, Fo), P(X, Fo)]T; ф (Fo - Y) = [Ф1г (Fo - Y),Ф2г (Fo - Y),Фзг (Fo - Y)]T

Ф2( Fo ) = [Ф12( Fo), 922(Fo), 932(Fo)]T; Фу (Fo - Y) = Aj exp fa (Fo - Y)] + +Bj exp [k2 (Fo - Y)] + Cj exp fa (Fo - Y)]; i = 1,3 ; k\,¿2,кз - корни уравнения:

x

x

0

—

+

0

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

s3 + aX^s2 + bX^s + cX6 = 0 ;

(4)

Aij, Bij, Cij, а, Ь, п - постоянные коэффициенты,

зависящие от определяющих критериев задачи.

Если в (3) положить Х=1, то получим систему интегральных уравнений [8] типа Вольтерра относительно и(1, Го),Т(1, Го), Р(1, Го). Вновь перейдем

к изображениям по Лапласу. Решение при переходе к оригиналам с учетом свертки [9] имеет вид

ф(1, Fo ) = IT1

Рз (X k, s)' 06 (X k, s).

= 2 Aj (X k )• exp (ltFo), (5) i=1

ф( X, Fo) = 1 + 21

ц2 • Jo(XkX±_ J 0

k=l (Ц2 + Big'2]•

(ß/q 1 ~Bim 1)

Fo

\Biq~1 -Bim'1 )• J<P1(Fo-T) • U(1,Y)dY

J1(^ )

x Jo(^k) +-— -P2(Fo) +

У = 1, 3,

где Р5(^,5) = [р51 (^,5),Р5г (Хк,5),Р5з (Хк,^;

Р5у (%к;Q6 (Хк; л) - соответственно полиномы

пятой и шестой степени 5 с коэффициентами, зависящими от Хк; /, - корни уравнения Q6 (Хк, 5") = 0;

Ау (Хк ) = [А,1(Хк ), А,2(Хк X А,3 (Хк )Г- вектор постоянных. С учетом (5) выражение (3) - решение системы (1), (2), причем верхний предел суммы заменяется на конечное число N для обеспечения заданной точности.

По физическому смыслу задачи все три корня уравнения (4) либо действительные отрицательные, либо один отрицательный и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью. Аналогичные рассуждения применимы и для корней Ц уравнения Q6 (Хк, 5") = 0. Тут возможны варианты: шесть действительных отрицательных корней с учетом кратности; четыре действительных отрицательных и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью и аналогичные вариации. Это и есть условия, налагаемые на спектр собственных значений системы (1) [9]. Такое ограничение обеспечивает корректное применение интегральных преобразований.

Характеристические числа } образуют монотонно убывающую последовательность, благодаря чему бесконечные ряды в формуле (3) сходятся достаточно быстро. Для плоской геометрии использовались первые 90 членов ряда.

2. При Г = 1 для решения системы (1), (2) применено последовательно одностороннее преобразование Лапласа по ¥о и конечное интегральное преобразование Ханкеля [10] по Х с характеристическим уравнением •о(Мк)'= ^(М-к)'Мк , где

•о(Мк), •КМк) - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка. Действуя аналогично предыдущему алгоритму, получим решение системы (1), (2):

Ц k

(Big 1 -BiP 1

\ Fo

)' iP3(F<

o-Y) • P(1,Y )dY

•J0(^k)[

Используя для безразмерных критериев диапазоны изменения, полученные на основе анализа физико-химических свойств ряда капиллярно-пористых материалов, покажем, что корни характеристических уравнений в подавляющем своем большинстве удовлетворяют наложенным условиям физичности. Это означает, что система (1) может быть классифицирована как система уравнений в частных производных параболического типа по Хеллвигу [11].

3. При Г = 2 получаем задачу (1), (2) для шара. После применения одностороннего преобразования Лапласа по временной переменной ¥о применяем конечное преобразование Лежандра [10] по пространственной переменной Х с характеристическим уравнением для температуры

Хк / &Хк = 1- В'д _1.

Ядро преобразования K2k (X) = ■ДШ • P2k (X), где P2k (X)- многочлен Лежандра порядка 2k [9].

Система (1), (2) становится алгебраической относительно изображений потенциалов. После ее решения получен результат в векторной форме в пространстве оригиналов с неизвестными U(1,Fo), P(1,Fo):

ф( X, Fo) = 1 + 2 2 л/ 4k +1 • P2k (X kX) > k=1

\ßiq 1 -Bim 1

Fo

)• jp1(Fo - Y) •U (1, Y )dY

0

X P2(Xk) + Ф2 (Fo) +

(Big 1 -BiP 1

\ Fo

]• iP3(F<

o-Y) • P(1,Y )dY

• P1(X k )[■ (6)

Если в (6) положить Х=1, то получим систему интегральных уравнений [8] типа Вольтерра относительно и(1, Го),Т(1, Го), Р(1, Го). Вновь перейдем к изображениям по Лапласу. Решение при переходе к оригиналам с учетом свертки [10] имеет вид

ад

X

X

X

0

+

0

X

X

+

0

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

ф(1, Fo ) = L-

P5 (X —, s) .06 (X —, s)

6

= £ A/j (X — )• exp (l/Fo ); (7)

i=1

j = 1, 3 ,

где P5(X—,s) = p (X—,s),Ps2 (X—,s),Р5з (X—,s)};

соответственно полиномы

Р>у (Хк; 4 66 (Хк; *) -

пятой и шестой степени 5 с коэффициентами, зависящими от Хк; 11 - корни уравнения (Хк, s) = 0;

Аи (Хк ) = [Л1(Хк X Л2(Хк X Лз(Хк )Г- вектор постоянных. С учетом (7) выражение (6) - решение системы (1), (2).

Пример. Рассматривается процесс конвективной сушки для плоской геометрии. Проверяется адекватность решения физическому смыслу. Задается совокупность безразмерных критериев тепло-массопереноса [3]: Ьы = 0,652 - критерий Лыкова; Ьы р= 200 - фильтрационный критерий Лыкова; Рп = -4,6 - критерий Поснова; Рпр = -300 - фильтрационный критерий Поснова; Fe = 0,368 - критерий Федорова; е = 0,55 - коэффициент, характеризующий отношение потока жидкости и пара при нестационарном влагопереносе в процессе; Bip = = 0,2, Bim = 2,5. Постоянные коэффициенты переноса ку в системе (1) с учетом безразмерных критериев тепловлагопереноса вычисляются по формулам [4]

кц = Ьы; к12 = Ьы • Рп; к^ = Ьы • Рп„; Ге • Ьы

Р'

—21 =

Pn Fe-Lu • Pn

—22 = 1 h Fe • Lu;

—23 =-

Р -

Pn

—31 = s- Lu;

к32 =е^Ьы• Рп; к33 = Ьы^ Ьы• Рп. Характеристические числа {Х^} взяты из [3, таблица] при Biq=2. Кубическое уравнение (4) при вышеуказанных критериях имеет три отрицатель-

(=-78,3Х2к ;

действительных

корня

52 = -0,04Х2; 53 = -3,2Х2), что еще раз подтверждает, что система (1) параболического типа. Корни согласуются с законами линейной термодинамики применительно к процессу конвективной сушки в капиллярно-пористых телах. На рисунке в неограниченном плоском капиллярно-пористом теле при различных значениях Fo построены: а - относительное локальное влагосодержание; б - температура; в - давление. 1 - 0; 2 - 0,01; 3 - 0,02; 4 - 0,03.

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что нестационарные поля потенциалов находятся в рамках представлений о явлениях переноса в капиллярно-пористых средах.

а /a

Относительное локальное влагосодержание (а), температура

(б) и давление (в) при различных значениях Fo Relative local moisture content (a), temperature (b) and pressure (с) at different Fo values

Выводы

Полученные результаты представлены сходящимися рядами, удобными для практических расчетов. В суммах из-за быстрой сходимости можно ограничиться 8-10 членами. Предложенный метод позволяет избежать использования не вполне обос-

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

нованных численных технологий в смысле аппроксимации, устойчивости и сходимости. Учитывая влияние широкого спектра физико-химических факторов (переходных процессов и краевых эффектов) на конвективную сушку железорудного сырья (железорудных окатышей и горячебрикетированно-го железа), можно предложить методику расчета основных параметров сушки с целью оптимизации технологического процесса.

Литература

1. Лыков А.В. Тепломассообмен : справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

2. Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. 472 с.

3. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М.: Гостехиздат, 1954. 296 с.

4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

5. Лыков А.В., Михайлов ЮА. Теория переноса энергии и вещества. Минск: Изд-во АН БССР, 1959. 329 с.

6. Лыков А.В. О системах дифференциальных уравнений тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах // ИФЖ. 1974. Т. 26, № 1. С. 19-25.

7. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. М.: Физматгиз, 1971. 288 с.

8. Петровский Н.Г. Лекции по интегральным уравнениям. М.: Наука, 1965. 246 с.

9. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

10. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности: в 2 ч. М.: Высшая школа, 1982. Ч. 1. 327 с.

11. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. 384 с.

References

1. Lykov A.V. Teplomassoobmen [Heat and mass transfer]. Handbook. Moscow: Energiya, 1978, 480 p.

2. Lykov A.V. Teoriya sushki [Theory of drying]. Moscow: Energiya, 1968, 472 p.

3. Lykov A.V. Yavleniya perenosa v kapillyarno-poristykh telakh [Transport phenomena in capillary-porous bodies]. Moscow: Gostekhizdat, 1954, 296 p.

4. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of thermal conductivity]. Moscow: Vysshaya shkola, 1967, 600 p.

5. Lykov A.V., Mikhailov Yu.A. Teoriya perenosa energii i veshchestva [Theory of energy transfer and matter]. Minsk: Izd-vo AN BSSR, 1959, 329 p.

6. Lykov A.V. O sistemakh differentsial'nykh uravnenii teplomassoperenosa v kapillyarno-poristykh telakh [On systems of differential equations of heat and mass transfer in capillary-porous bodies]. lFZh. 1974, vol. 26, No. 1, pp. 19-25.

7. Dech G. Rukovodstvo k prakticheskomu prime-neniyu preobrazovaniya Laplasa i z-preobrazovaniya [Guide to the practical application of Laplace transform and z-transform]. Moscow: Fizmatgiz, 1971, 288 p.

8. Petrovskii N.G. Lektsii po integral'nym uravneni-yam [Lectures on integral equations]. Moscow: Nauka, 1965, 246 p.

9. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii tep-loprovodnosti tverdykh tel [Analytical methods in the theory of thermal conductivity of solids]. Moscow: Vysshaya shkola, 2001, 550 p.

10. Belyaev N.M., Ryadno A.A. Metody teorii teploprovodnosti [Methods of the theory of heat conduction]. In 2 ch. Moscow: Vysshaya shkola, 1982, ch. 1, 327 p.

11. Farlou S. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Partial differential equations for scientists and engineers]. Moscow: Mir, 1985, 384 p.

Поступила в редакцию /Received_17 января 2019 г. / January 17, 2019