Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплои влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 664.8.036.521

Аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве

масличных семян

Вороненко Б.А., Демидов А.С., Демидов С.Ф. mtomz85@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и

пищевых технологий

Получено аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян.

Ключевые слова: аналитическое решение, масличные семена, температура, влагосодержание, тепломассоперенос, дифференциальное уравнение.

The analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer in infrared heating oil seeds

Voronenko B.A., Demidov A.S., Demidov S.F. mtomz85@mail.ru

Saint-Petersburg state university of refrigeration and food engineering

An analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer during infrared heating oil seeds.

Keywords: analytical solution, oil seeds, temperature, moisture, heat and mass transfer, the differential equation.

Процессы кондиционирования масличных семян по влажности и температуре являются типичными нестационарными процессами, которые протекают как с постоянной, так и с переменной (убывающей) скоростью. Все виды масличных семян, как объекты кондиционирования, с учетом анатомического строения, геометрических размеров и формы целесообразно подразделить на четыре группы [1, 2, 3, 4].

К первой группе относятся семена, плодовая (семенная) оболочка которых неплотно прилегает к семядолям, образуя воздушные полости; их геометрические размеры несоизмеримы и форма значительно отличается от сферической (например, семена подсолнечника).

Ко второй группе относятся семена с неплотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, однако геометрические размеры семян этой группы

соизмеримы, поэтому их можно рассматривать как совокупность тел, имеющих форму, близкую к сферической (например, семена клещевины).

К третьей группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой и несферической формы (например, семена льна).

К четвертой группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкие к сферической (например, семена сои).

Одним из перспективных методов подготовки большого объема масличных семян к длительному и качественному хранению является их кондиционирование по влажности и температуре с использованием поля инфракрасного диапазона [5, 6].

Развитием идей работ [1, 2] является учет внутренних источников тепла при ИК-нагреве. Определенные сорта семян подсолнечника, особенно высокомасличные, в первом приближении можно принять имеющими форму, близкую к сферической. Тогда для нахождения полей температур и влагосодержаний в единичном семени подсолнечника с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, рассматриваемом как двухслойное сферическое капиллярно-пористое тело ("оболочка - ядро") можно применить систему дифференциальных уравнений совместного тепло- и массопереноса [7]:

д[Пг г'т ] d2[ri? гд ] Е.р. д[щ г,х ]

Эх ^ дг2 сф Эх U

д\щ т,х ] д2[гщ г,х ] d2[rtt г,т ]

-- = а,п, Л 2-- + ami Л 2-- • (2)

от дг дг

Для зональной системы расчета тепло физические характеристики материала являются постоянными, усредненными величинами, различными для разных слоев.

Температура и влагосодержание окружающей среды в процессе кондиционирования семян подсолнечника изменяются незначительно. Кроме того, в рассматриваемом процессе термический перенос вещества не имеет существенного значения, т.е. 5г = 0 [8]. К моменту начала сушки семян в них

устанавливается равномерное распределение температуры t0 и влаги ы0.

При инфракрасном нагреве мощность внутреннего источника теплоты Qv снижается в зависимости от расстояния от поверхности оболочки по экспоненциальному закону [8, 9]:

V»,

Материал оболочки семени предполагается прозрачным для инфракрасных лучей.

Так как толщина оболочки R2 - « R\, то для оболочки уравнения тепло- и массопереноса можно заменить несвязанными уравнениями теплопроводности и диффузии.

Отмеченные особенности термической обработки масличных семян приводят к решению упрощенной системы уравнений (1) - (2) при следующих начальных

tj г,О = t0 = const;к, г,О =щ= const (4)

и граничных условиях:

tx Rx,т =t2 Rx,т / (5)

ot\ R\ т dt2 R\ i -:— = -'

dr 2 dr

щ Rx,т =u2 R\,x ; (7)

"4 —- —; (6)

дщ R\ т du2 R\ т

-Z-:— = -1—:—>' (8)

1 or 2 or

dtA Од дщ О T

1 = ' = 0; (9)

dr dr

tx 0,T <00;щ 0,T <00; (10)

t2 R2,t =tc = const; u2 R2,x =up= const (11)

Равенства (5) - (8) - граничные условия 4-го рода, заключающиеся в равенстве температур, влагосодержаний и потоков тепла и влаги на границе раздела ядра семени и его оболочки.

(9) - условия симметрии; (10) - условия физической ограниченности температуры и влагосодержания в центре шара.

Равенства (11) - граничные условия 1-го рода, задающие температуру tc и влагосодержание ыр на поверхности семени.

Поставленная краевая задача (1) - (11) решена аналитически методом интегрального преобразования Лапласа. Распределения температур и влагосодержаний получены в следующем виде:

Т Х^о =1 + Ро

2-уХ + 2у'

Ро

X 1

2у у

ехр у Ро

х

X

Уаг

ехр -у 1-Х

Ро

7

+

гКо

Ьил

1 + ехР -^Щро

2

+Ро§кехр у2Ро Цпх ехР ;

+

00 ^

© Х,Ро =1+Х-ехр -\ijnLuiFo .

т=1

Здесь введены следующие обозначения:

2-у-адк У-1 +1 ;

Ф*

2у го + у

1 Ух

1 к

у[Щ У\к

V

г г

1+у

. Ка У\к Щ У2к

V V Ч

Ун к Уг к

у

1 У\\к , 1 У22к

^^^

л /г с/г

- +-

УУУ

/X

>>

(13)

Фт= 1~атКт ^ПЦ1тС08 (Х,„Ц,„ +

+\хт 1 + атк С08^т СОБ ыт\1т -\ьт ат+к о1т\хт ;

а,

кК-\ ; кК-1 /

- последовательные положительные уравнения

/

а/и|а =ке

1

корни характеристического

(14)

Ф

УУ\пУ2пРо

п 2 '

I£+У2 Ф1«Ф2« - последовательные уравнения

положительные корни характеристического

1

1

т

ctg aa[i =кг

-~ctg\x. VM

(15)

9i к

У

shych a y + sh a y • ychy-shy ;

К

Ф2k=~2 uqk£qsh aqy + yjk^ch aqy ;

Ф1 n = l~aqksq Sinocos aq\xn +[in 1 + a qkZq cosacos aqjAn aq+ksq Sin [Ln Sin QLq\in /

Ф2 г

Mr

.sin-^cos^ß^ + K Sin^t^;

■s] Lii\

Yi k=K +sh

chy_4Ksh, у

у/Тщ y s¡Lu\ J

+

У атУ

ch-

У2k=~ 2kxq У-1 sh aqy + 2y^qch aqy ;

Yn к =

am + Kr¡

í j \\ 1_.

V

.2

V

У

У

ch

sh

J J

ЫупУ

■¡J Lux yj L ti \ k„ * I Lui

ът y I

+ 1 + amke ch ,---- ,—

m ^Ьщ у

ch

У

sha™y

L z/j" ^ Lux

^Lll\ QLmk,t

m'^shycharny

у у[~Ещ yjLux

У22k ~ аЛ, У-1 + y + l ch aqhqy +

+у an + k„ sh у /

4 bq 4 bqy

ФUk= shych aqhj 1 + aqk chych a к у +

+y aa+ke shysh aak у ;

m

m

Ф22 к= ~атКт ^7=^7= +

•IIЫЛ^ л/

У У „г. атУ , У „ -г. У -г. атУ

1 + атК ск , с/г , + , а^+К , л/г-

и х 1 "" и и 1 и 1 '"е^ и и '

а / \IЫЛ^ л/\] л/л/

у1ЬЩ

Уы = К

соя Г - --

лш + лш СОЛ-

?/| ^ 111 ^ 111 ^ 111 ^ 111

.2 , _.2 .. , и .2 , 1 .. 2

1ч

У2п = \^П+У ^П+Ур° К 1~У +1 «^и +

М-и 2 2 о,

+— а -2

^

При мягких условиях сушки (температура семян < 50 °С и отсутствии внутреннего источника тепла (инфракрасного излучения)) перенос влаги в материале происходит только в виде жидкости (8=0). В этом случае исходная система уравнений (1) - (2) превращается в несвязанную систему уравнений тепло- и массопереноса, решение которой совместно с прежними граничными условиями приводит к известным решениям [7,10].

Выводы.

1. Решена краевая задача совместного тепло- и массопереноса, поставленная применительно к процессам кондиционирования масличных семян с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкой к сферической.

2. Полученное аналитическое решение дает возможность прогнозировать необходимые значения температуры и влагосодержания в масличном семени, время, необходимое для получения искомых конечных значений температуры и влагосодержания, и является основой для оптимизации процессов сушки масличных семян при термической обработке их электромагнитным полем выделенного электромагнитного диапазона.

Обозначения:

I - номер слоя, I =1 (ядро): 0<г<Я1; I =2 (оболочка): Я1<г< Я2 = г,1 - температура / -го слоя, °С, К; - начальная температура; ^ -

температура окружающей среды; с и; т -время, с;

г - текущая координата, м; - радиус шара;

щ=щ г, т - влагосодержание семени, кг влаги/кг абс.сух.вещ.;

т

и - начальное влагосодержание; индекс р в р указывает на равновесное

Пи = /п -/., состояние; р;

ад, - коэффициент температуропроводности, м2/с;

л

- коэффициент потенциалопроводности (влагопроводности), м /с; 8г - критерий фазового превращения 0 < в < 1 ; рг - удельная теплота фазового превращения, Дж/кг;

- удельная теплоемкость, Дж/(кг-К);

-5

Уо - плотность абсолютно сухого вещества, кг/м ;

- коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);

Хт, - коэффициент массо- (влаго-) проводности, кг/(м-К); 5г - термоградиентный коэффициент, 1/К;

Qv - мощность внутренних источников тепла, м-К/с; Qo - объемная мощность

ИК - источника, Вт/м3; к - коэффициент поглощения ИК - энергии материалом, 1/м;

г , „ , Д,

х-—; у = кЯ; кг,-—;

1 К Ях

ь - ■ - • ь - °т\ . ь - .

К., — , Ку — , К.. — , К\ — ,

Ц Г! 1 \ т п т

42 42 т2 т2

К к, К =-^=;кР = К ■

а т

¥о = —- число (критерий) Фурье;

Я,

Ьщ = —— - число Лыкова; ап

1^

ао =--число Коссовича;

Ш

- - число Померанцева; = а^ с^ у01

tj г, т -t0

Т X,Fо =--безразмерная (относительная) температура;

tc tc

щ - щ г, т

0 X,Fo =--безразмерное (относительное) влагосодержание.

Uq il р

Литература:

1. Вороненко Б.А., Кириевский Б.Н. Решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса применительно к процессам кондиционирования масличных семян по влажности и температуре. // Труды ВНИИЖ, - Л.: 1979. - С.20 -26.

2. Белобородов В.В., Забровский Г.П., Вороненко Б.А. Процессы массо-и теплопереноса масло-жирового производства. - СПб.,ВНИИЖ, 2000. - 430 с.

3. Голдовский A.M. Теоретические основы производства растительных масел. - М.: Пищепромиздат, 1958. - 447 с.

4. Кириевский Б.Н. Исследование механизма и процесса сушки семян подсолнечника в кипящем слое. // Автореферат дисс. на соиск. уч. степ, к.т.н. - Воронеж, 1972. - 32 с.

5. Демидов А.С., Вороненко Б.А., Демидов С.Ф. Аналитическое исследование терморадиационной сушки масличного сырья при подготовке его к хранению.// Международная научно-практическая конференция "Инновационные технологии в пищевой промышленности", Минск, 2011. - с. 27-31.

6. Вороненко Б.А., Демидов А.С., Демидов С.Ф. Решение системы уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян.// V Международная научно-техническая конференция "Низкотемпературные и пищевые технологии в XXI веке", СПБГУНиПТ, ноябрь 2011 г.

7. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 536с.

8. Рогов И.А., Некрутман С.В. Сверхвысокочастотный и инфракрасный нагрев пищевых продуктов. -М.: Пищевая пром-сть, 1976. - 218 с.

9. Ильясов С.Г., Красников В.В. Физические основы инфракрасного облучения пищевых продуктов. - М.: Пищевая прос-сть, 1978. - 360 с.

10. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. -600 с.