Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системахс периодической нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.511.42 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)

В. Б. Смирнова, Н. В. Утина, А. И. Шепелявый

ОЦЕНКА СВЕРХУ ЧИСЛА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЙ ЦИКЛОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Настоящая работа посвящена получению оценок числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах произвольного порядка с периодической нелинейностью. Впервые такого типа задача была поставлена и решалась Дж. Стокером [1] для уравнения вида

Х + cx\Х| + k sin x = 0. (1)

Это уравнение описывает движение маятника в среде, которая при движении маятника создает силу, пропорциональную квадрату его скорости и направленную противоположно этой скорости. Дж. Стокером рассматривалось движение, переходящее в режим затухающих колебаний около состояния равновесия. Задача заключалась в определении интервала начальных скоростей, при которых маятником осуществляется предварительно заданное число оборотов (циклов).

Число проскальзываний циклов является важной характеристикой переходных процессов (режима захвата) в системах фазовой синхронизации и определяет их работоспособность в целом. Приложения этой задачи имеются, в частности, в системах фазовой автоподстройки частоты, электрических машинах, синхронно следящих системах.

Задача Стокера изучалась ранее в ряде работ. В статье А. Дж. Витерби [2] проведен анализ поведения диффузионного уравнения Фоккера—Планка (дифференциального уравнения первого порядка) и получено точное выражение для оценки разности фаз уравнения первого порядка и приближенное — для уравнения второго порядка. В 1967 году Р. Тасворс [3] показал, что число проскальзываний циклов уравнения произвольного порядка может быть найдено через решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. В 1970 г. Е. А. Бозони, Дж. Марчети, У. Менгали, Ф. Руссо [4] рассматривали дифференциальное уравнение первого порядка и предложили формулу для числа проскальзываний циклов в виде быстро сходящихся рядов. В 1972 г. Р. Тасворс [5] упростил ранее предложенную им формулу для среднего числа проскальзываний циклов для уравнения первого порядка и указал на возможность ее расширения на уравнения более высокого порядка.

Для многомерных непрерывных систем в работе О. Б. Ершовой, Г. А. Леонова [6] и затем в диссертациях О. Б. Киселевой [7] и Али-Хабиба [8] рассматривались задачи, связанные не только с оценками числа проскальзываний циклов, но и с оценками некоторых других характеристик переходных процессов в непрерывных системах произвольного порядка.

В настоящей работе получены оценки сверху числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах произвольного порядка с периодической нелинейностью, имеющей ненулевое среднее значение на периоде. С этой целью применяется дискретный вариант метода функций Ляпунова и процедуры Бакаева—Г ужа [9].

© В.Б.Смирнова, Н.В.Утина, А.И.Шепелявый, 2003

Рассмотрим многомерную дискретную систему с одной скалярной нелинейностью: г(п + 1) = Аг(п) + Ъ£(п),

а(п + 1) = а(п) + е*г(п) + р£(п), (2)

£(п) = ір(а(п)), п = 0,1, 2,...,

где А — (V х V)-матрица, Ъ, с — ^-векторы, р — число, г, а — соответственно ^-мерная и скалярная компоненты вектора состояния системы, у>(а) — непрерывно дифференцируемая Д-периодическая функция.

В дальнейшем будем предполагать, что все собственные числа матрицы А лежат внутри единичного круга. Предположим также, что функция у>(а) имеет на периоде [0, Д) два однократных нуля: а і < <Г2, причем для определенности у>/(аі) > 0, у>/(а2) < 0. Пусть числа а і ,«2 таковы, что

«1 < — < а2- (3)

аа

Заметим, что «1«2 < 0. Для определенности положим

д

0

Введем полезные в дальнейшем обозначения: <71 Д

J у>(а) йа < 0. (4)

Г = У |^(а)| йа + J |у>(а)| йа, 7 = J у>(а) йа, Д =

0

2Г7

Г + 7

Заметим, что в силу (4) Г > 7, и, кроме того, справедливы соотношения

д д

J у>(а) йа = 7 — Г, J |у>(а)| йа = 7 + Г.

Определение. Говорят, что решение (г(п),ст(п)) системы (2) с начальными значениями (г(0), <г(0)) проскальзывает т циклов, если для всех натуральных п выполняется неравенство

|<г(п) - <г(0)| < Д(т + 1) и хотя бы для одного натурального числа по справедливо равенство

|<г(по) — <г(0)| > Дт.

Для формулировки результата введем в рассмотрение передаточную функцию линейной части системы (2)

К (р) = с* (А — рЕ )-16 — р,

функции

■п 1 к| Л

7 — 1. — -------

/х1(х,ш,ад) = -------- .г*™ , (5)

7 + Г

р , ™+\ж\Н

р2{>і,т,и}) = ------- жт (6)

7 + Г

и квадратичные формы v-вектора г и скалярной величины £

Ф(г, £) = (Аг + Ъ£)*Н(Аг + Ъ£) — ,г*Нг + Е(г, £),

Е (г,£) = к£*(с*г + р£) + п£*£ + є(с*г + р£)*(с*г + р£),

где р — комплексная переменная, Е — единичная (V х v)-матрица, Н = Н* —некоторая (V х V)-матрица, є, п, к, т — числа.

Следующая теорема устанавливает оценки числа проскальзываний циклов в зависимости от начальных значений (г(0),а(0)).

Теорема. Пусть все собственные числа матрицы А содержатся внутри единичного круга, пара (А, Ъ) управляема, пара (А, с) наблюдаема. Предположим, что существуют числа є>0, п>0, к = 0 и натуральное число т такие, что для функций ^(к, т, ад), передаточной функции К(р) и вектора начальных данных г(0) верны утверждения:

1) для всех р, |р| = 1, выполнено частотное условие

Ке{ —кК(р) + є|К(р)|2 + п} < 0;

2) справедливо неравенство к«о

4п

є-------^(1-\-т, г*(0)Нг(0))\) > т, г*(О)Нг(О))]2 , г = 1,2,

где а0 = а2, если к > 0, и а0 = а1; если к < 0, Н = Н* —вещественная (V х V)-матрица, для которой при любых г, £ выполнено неравенство Ф(г, £) < 0.

Тогда для решения (г(п),а(п)) системы (2) с начальными данными (г(0),а(0)) при всех натуральных п выполняется неравенство

|а(п) — а(0)| < тД. (7)

Заметим, что указанная в теореме матрица Н может быть построена по алгоритмам, изложенным, например, в [10, 11].

Сформулируем сначала вспомогательное утверждение, при доказательстве которого будет применена процедура Бакаева—Гужа, заменяющая исходную нелинейность нелинейностью, имеющей нулевое среднее на периоде.

Пусть заданы функции а(п) и Ш(п), причем Ш(п) > 0 для любых целых п > 0. Пусть также задана непрерывно дифференцируемая Д-периодическая функция у>(а), имеющая два простых нуля на периоде [0, Д) и удовлетворяющая предположению (4), и пусть числа «і,«2 таковы, что выполнено неравенство (3).

Лемма. Пусть для чисел є > 0, п > 0, к = 0, натурального числа т и функций а(п), Ш(п), у>(а) с вышеуказанными свойствами выполнены условия:

1) для любых целых п > 0 справедливо неравенство

Ш(п + 1) — Ш(п) + к^(а(п))[а(п + 1) — а(п)] + є[а(п +1) — а(п)]2 + п^2(а(п)) < 0;

2) функции ^і(к,т,т) удовлетворяют неравенствам

ка о

4п

є - —тр(1 + \Ні(х,т, ТУ(0))|) >[к/Лі(к,т, ТУ(О))]2, г = 1,2,

где ао = а2, если к > 0, и ао = а1, если к < 0.

Тогда для всех натуральных п имеет место оценка

|а(п) — а(0)| < тД. (8)

Доказатель ств о леммы. Из условия 2) леммы и вида функций ^(к, т, ад), г =1, 2, следует, что для некоторого ео > 0 и всех к > т справедливы неравенства

4гу (е - ^р-(1 + |^(х,/г, 1У(0) + £о)|)) > /г,Т^(0) +е0))2- (9)

Определим далее функции

^К<т) = ^(а) — ^|у>(<т)|, г = 1, 2.

Для них справедливы оценки

и

2

Рі(а)(и - а) + -у (1 + |м*1)(м - а)2 < J Рі(а) сЬ <

< Рі(а)(и — а)-\—^“(1 + ІМі|)(м — а)2, * — 1,2. (10)

Доказательство этих оценок проводится точно так же, как доказательство оценок (5.4.11) в монографии [12].

Введем в рассмотрение последовательности Ляпунова

<т(п)

^(п) = Ш(п) + к Еі(ст) йа, і = 1, 2; п = 0,1, 2,...

Ст(0)

и рассмотрим их приращения, учитывая условие 1) леммы и оценки (10) и (9):

т(п+1) т(п)

^(п + 1) — ^і(п) = Ш(п + 1) — Ш(п) + к J ^і(а) йа — к^ ^і(а) йа =

Ст(0) ст(0)

ст(п+1)

= Ш(п + 1) — Ш(п) + к J ЕЦст) йа.

ст(п)

Оценим Ш(п + 1) — Ш(п) с помощью условия 1) леммы. Тогда

^(п + 1) — ^(п) < — к<£>(а(п))[а(п + 1) — а(п)] — е[а(п +1) — а(п)]2 —

т(п+1)

— п^2(а(п)) + к ! ^г(а) йа.

т(п)

Для оценки интеграла применим (10). В итоге,

У<(п + 1) — У<(п) <

< —ку>(ст(п))[ст(п +1) — а(п)] — е(а(п +1) — а(п))2 — п^2(а(п))+

+к

^(сг(п))(сг(п + 1) - <т(п)) + ^(1 + \^\)(а(п + 1) - <т(п)У

= —е(а(п +1) — а(п))2 — п^2(а(п)) —

—к(а(п +1) — а(п))(у>(а(п))) — ^г(а(п)))+

+ ^(! + ЫЖ«- + 1) - ^Н)2 =

= (сг(п + 1) - сг(п))2 (-£ + ^р-(1 + Ы)) - Г]^2(а(п)^ -— ж[а(п + 1) - сг(п)][^(сг(п))) - ^(сг(п))] ± * -

2

где

6 =

< — %(а(п))|

4гу (е - ^(1 + \т\)) - (ящ)2

4(е-^(1 + |№|)) '

В силу (9) для любого п > 0 выполнено

^(п +1) — V (п) < 0, г = 1, 2.

Отсюда следует, что Ъ^(п) < ^(0) = Ж(0), т.е.

ВД < Ж(0). (11)

Предположим теперь, что оценка (7) нарушена, то есть найдется такое значение по,

что

|а(по) — а(0)| > тД. (12)

Рассмотрим случай, когда а(по) — а(0) > тД. Пусть а(по) = а(0) + 1Д + вь где

в1 € [0, Д), 1 > т. Рассмотрим

т(п о)

У1 (по) = Ж (по) + к [ ^1 (а) йа.

т(о)

Справедливы равенства

о-(по) ст(о) + гд+в1

к J Е!(а) йа = к J (а) йа

т(о) Ст(о)

( т(о)-Нд+в1

т(о)+^ д+в1

/ ^(а) йа — ^1 (к, 1,Ж(0) + ео) / |^(а)| йа

(о) т(о)

= 1к ^ У <£>(а) йа — ^1 (к, 1, Ж(0) + ео) J |^(а)| йа I +

\ т(о)

( т(о) + в 1

+к

о

т(о)+в1

I у>(а) йа — ^1 (к, 1,Ж(0) + ео) У |^(а)| йа I .

\ т(о)

т(о)

Рассмотрим каждое из слагаемых, полученных в правой части цепочки (13) в отдельности. Для первого слагаемого справедлива цепочка равенств.

к1 ^У ^(а) йа — ^1(к, 1, Ж(0) + ео) ^ |^(а)| йа^ =

/ г УП0)+£0+Ыд \

= *< - г - ----------------------(7 + Г^ =

= Ж (0) + ео + |к|Д.

т(о) + в1

Перейдем ко второму слагаемому. Представим / ^(а) йа в виде

т(о)

т(о)+в1

У ^(а) йа = 7о — Го, где 7о > 0, Го > 0.

т(о)

Тогда

т(о) + в1

У |у>(а)| йа = 7о + Го.

т(о)

Заметим, что 7о < 7, Го < Г. Тогда для второго слагаемого правой части (13) справедливы соотношения

/ т(о) + в1

т(о)+в1

\ т(о) к

У ^(а) йа — ^1(к, 1,Ж(0) + ео) J |^(а)| йа

т(о) /

(270Г - 27Г0 + (70 + го)^Ш±£^±№) = 7 + 1 к<

_ (70 + Гр)(ТУ(0) +£р + ИД) 2х(Г7о - Г07)

~~ /(7 + Г) + 7 + Г

2к(Г7о — Го7)

>

7 + Г

к

к

В итоге, правая часть (13) оценивается снизу числом

1 = 1ПО) + .-, + ^ + 2”(ГТгГо7)’

7 + Г 7 + Г

Но 70 < 7, Го < Г и, следовательно,

т-(по)

к J ^!(а) йа > Ж(0) + ео.

т(о)

Тогда

У1(по) > Ж (по) + Ж (0) + ео. (14)

Рассмотрим теперь неравенства (11) и (14) совместно. Получим

Ж (0) > У1(по) > Ж (по) + Ж (0) + ео.

Из этой оценки следует неравенство

Ж (по) < —ео, (15)

что противоречит условию Ж(п) > 0 для всех целых п.

Рассмотрим случай, когда а(по) — а(0) < — тД. Пусть а(по) = а(0) — 1Д — в2, где в € [0, Д), 1 > т. Оценим значение У2(по).

-(по)

V (по) = Ж (по) + ^ У ^2 (а) йа.

т(о)

Справедливы равенства

т-(по) / — д

т-(по) / — Д о \

к I ^2(а) йа = 1к ^(а) йа — ^2(к, 1,Ж(0) + ео^У |^(а)| йа I +

т(о) \ о —д)

г(о) — в2 т(о) —в2 \

У ^(а) йа — ^2(к,1,Ж(0) + ео) J |^(а)| йа I . (16)

\ т(о) т(о) /

Оценим каждое слагаемое правой части равенства (16). Для первого слагаемого справедливы равенства

к1 ^У ^(а) йа — ^2(к, 1, Ж(0) + ео) У |^(а)| йа^

/ р , И/(0)+£о + |^|Д \

= — х/ ( 7 — Г —----------^ + ------(7 + Г)1 =^(0) + е0 + к|Д. (17)

<т(0)

Чтобы преобразовать второе слагаемое, представим сначала / ^(а) йст в виде

т(0)-в2

Ст(0)

J у>(ст) йст = 71 — Г1, где 71 > 0, Г > 0, 71 < 7, Г1 < Г.

т(0)-в2

Тогда для второго слагаемого правой части (16) справедливы соотношения

/ т(0)-в2 т(0)-в2 \

У <£>(ст) йст — ^2 (к,/,Ш(0) + £0) У |^(ст)| йст I =

\ т(0) т(0) /

I ст(0) ст(0)

У <£>(ст) йст — ^2 (к,/,Ш(0) + £0) У |^(ст)| йст У(0)-в2 т(0)-в2

..Л. г 7-г+^0)+:;+|-|д Л 2МГ17-Г71)

= -х 71 - I 1---------------—-----------(71 +11) > -----—------.

\ 7+Г у 7+Г

Таким образом, правая часть (16) оценивается снизу числом

, , 2|к|Г7 2к(Г17 — Г71)

М = ^(0) + £0 + -!-1-1+

7 + 1 7 + 1

Если к > 0, то 2|к|Г7 — 2кГ71 > 0, т.к. 7 > 71. Если к < 0, то 2|к|Г7 — 2|к|Г17 > 0, т.к. Г > Г1. В итоге,

Ш(П0) + Ш(0) + £0. (18)

Из (11) и (18) следует неравенство (15), приводящее, как и предыдущем случае, к противоречию.

Следовательно, предположение о том, что существует п, для которого выполнено ст(п0) — ст(0) < — шД, неверно.

Следовательно, ни для какого значения п не может быть выполнено |ст(п0) — ст(0)| > шД. Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

Прежде всего покажем, что, в силу условий теоремы, существует матрица Н = Н*, обеспечивающая выполнение неравенства Ф(г,£) < 0 для любых г,£.

По частотной теорем [13] для того, чтобы для всех г € и £ € И. выполнялось

Ф(г,£) < 0, (19)

необходимо и достаточно, чтобы при всех р, |р| = 1 выполнялось неравенство

£-( —(А — рЕ)-16£,£) < 0, (20)

где форма ^(,г, £) получена распространением формы ^ на комплексные значения аргументов с сохранением эрмитовости. Рассмотрим

JF(_(A - pEv)-16e, e) = Ke{ке* [c*(pEv - A)-1be + pej+

+nC*С + e(c*(pEv _ A)-1 be + pe)*(c*(pEv _ A)-1be + p£)} =

= Ke{_xK (p) + n + e|K (p) 12}|е|2 •

В силу условия 1) теоремы неравенство (20) выполнено, и, следовательно, по частотной теореме матрица H = H*, обеспечивающая неравенство (19), существует.

Более того, поскольку все собственные значения матрицы A лежат внутри единичного круга, матрица H является положительно определенной. Действительно, рассмотрим

Ф(г,0) = (Az)*H(Az) _ z*Hz + eczVz = z*(A*HA _ H)z + e|c*z|2, и, поскольку Ф(г, e) < 0,

z*(A*HA _ H)z < _e|c*z|2. (21)

Из неравенства (21), наблюдаемости пары (A, с) и того, что все собственные значения матрицы A расположены внутри открытого единичного круга, следует, что H > 0 [12].

Рассмотрим последовательность W(n) = z*(n)Hz(n). Она удовлетворяет всем условиям леммы. Действительно, в силу положительной определенности матрицы H, W (n) > 0 для всех целых n > 0.

Покажем выполнение условия 1) леммы, то есть выполнение неравенства

W(n +1) _ W(n) + K^(a(n))[a(n + 1) _ <r(n)] + e[a(n +1) _ ff(n)]2 + n^2(a(n)) < 0.

(22)

Преобразуем левую часть в (22), в силу системы (2):

W(n +1) _ W(n) + K^(a(n))[a(n + 1) _ a(n)]+

+e[a(n +1) _ a(n)]2 + n^2(^(n)) =

= (Az(n) + b^(a(n)))* H (Az(n) + b^(a(n))) _ z*(n)Hz(n)+

+K^(a(n))[c* z(n) + py>(<r(n))] + e[c*z(n) + p^(a(n))]2 +

+n^2(^(n)) = Ф(z(n), y>(<r(n))).

И, поскольку Ф^(п), y>(<r(n))) < 0, условие 1) леммы выполнено.

Условие 2) леммы совпадает с условием 2) теоремы. Следовательно, справедлива оценка (8) леммы, совпадающая с оценкой (7) теоремы. Теорема доказана.

Summary

Smirnova V.B., Utina N. V., Shepeljavyi A.I. The estimation from above of the number of cycle-slip time of phase-locked loops in discrete systems with a periodocal non-linear part.

By means of direct Lyapunov method and Bakaev—Guzh technique a frequency-domain estimate of cycle slipping in discrete systems is obtained.

Литература

1. Stoker J.J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, 1950.

2. Viterbi A.J. Phase-locked loop dynamics in presence of noise by Fokker—Planck techniques // Proc. IEEE. Vol. 51. Dec., 1963.

3. Tausworthe R. Cycle slipping in phase-locked loops jj IEEE Trans. on Com. Technology. Vol. 1б, N З. June, 19б7.

4. Bozzoni E.A., Marchetti G., Mengali U., Russo F. An extension of Viterbi’sanalysis of the cycle slipping in a first-order phase-locked loop jj IEEE Trans. on AES. Vol. б, N 4. Jul., 197G.

б. Tausworthe R. Simplified formula for mean cycle-slip time of phase-locked loops with steady-state phase error jj IEEE Trans. on Com. Technology. Vol. 2G, N З. Jun., 1972.

6. Ершова О.Б., Леонов Г.А. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в газовых системах автоматического регулирования jj Автоматика и телемеханика. № б. 198З.

7. Киселева О.Б. Частотные оценки характеристик переходных процессов в нелинейных фазовых системах: Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1987.

8. Али-Хабиб. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в системах синхронизации: Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1997.

9. Корякин Ю.А. Процедура Бакаева—Гужа для дискретных систем jj Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск, 1977.

1G. Андреев В.А., Шепелявый А.И. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем в задаче минимизации квадратичного функционала jj Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 8 (1971) 8j9.

11. Андреев В.А., Шепелявый А.И. Синтез оптимальных управлений для амплитудноимпульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа jj Сиб. мат. журнал. Т. 14, № 2. 197З.

12. Leonov G.A., Reitman V., Smirnova V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgard-Leizig, 1992.

13. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления jj Сиб. мат. журнал. Т. 14, № 2. 197З.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.